Методы оценок влияния помех на двумерные системы телеуправления ракетами Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 623.46.019.4

МЕТОДЫ ОЦЕНОК ВЛИЯНИЯ ПОМЕХ НА ДВУМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ ТЕЛЕУПРАВЛЕНИЯ РАКЕТАМИ

В.И. Морозов

Для идеализированных типовых двумерных систем лучевого или командного телеуправления ракетами определяются аналитические и графические значения коэффициентов связи средних квадратичных отклонений случайных сигналов (помех) на входах системы с их значениями для выходов и для случайных динамических ошибок. Коэффициенты связи определяются в зависимости от трех параметров: запаса по фазе разомкнутого контура системы, его частоты среза и фазовой связи каналов.

Ключевые слова: линейные двумерные системы, стационарные некоррелированные случайные процессы, спектральные плотности, средние квадратичные отклонения, передаточная функция, запасы устойчивости по фазе, частота среза по амплитуде, связь каналов.

Известно [1, 2], что если ), х2(г) - реализации стационарных некоррелированных центрированных эргадических случайных процессов с корреляционными функциями соответственно к^т) = т[)+ т)] и

к2(т) = т[х2 (г)х2 (г + т)], где т - операция определения математического ожидания, то для комплексного стационарного процесса

х (г ) = х^г ) + ]х 2 (Г )

корреляционная функция

кх (т) = т [х(г)х* (г + т)] = т{ [х1 (г) + ]х2 (г)] к (г + т) - (г + т)]}=к1 (т) + к2 (т).

Для комплексно-сопряженного случайного процесса

—* 1 х (г) = х1(г)-]х2(г) корреляционная функция

к _*(г) = кх(г) = к1(т) + к2(т).

Спектральная плотность комплексного стационарного случайного процесса x(t) с корреляционной функцией к х (т):

¥

Бх (ю) = 1 к х (т) exp(- = ЗД + ^2 (ю), — ¥

где (ю), Б 2 (ю) - соответственно спектральные плотности составляющих х1(г) и х 2 (г) комплексного случайного процесса х (г), причем

¥

Б1,2(ю) = 1 к1,2(т)ехр(-уюх)^т. — ¥

При известной спектральной плотности (ю) = * (ю) корреляци-

х

онная функция к х (т) = к х * (т) определяется формулой

х

1 ¥

к* (Ф = — I Бх (ю) ехр(/юг^ю • 2р

Дисперсия центрированного стационарного случайного сигнала х: Вх = кх (0) = т

_ _* х * х

[2 ^ 1 ^^

Ы ] = о| =- I,

у 2р

где оХ = ^т|х|2 - среднее квадратичное отклонение (СКО) случайного

комплексного сигнала, характеризующего отклонение модуля |х| .

Для определения спектральной плотности Б у (ю) случайного сигнала у на выходе двумерной системы (или звена) с комплексной ПФ Ф(р) и соответствующей ей при р = АФЧХ Ф(|ю) представим ПФ Ф(р) в форме

Ф (р) = Фх(р) + |Ф 2(р),

где

Ф(р) + ф* (р) Ф(р) - Ф* (р)

Ф1(р) = ЯеФ(р) = Ф(р) Ф (р), Ф2(р) = 1тФ(р) = ^' •

2 2| Эта форма представляет собой ПФ двумерного звена с симметричными каналами, ПФ которых Ф 1(р), и прямыми антисимметричными связями, ПФ которых Ф 2(р) [3].

Такая комплексная ПФ определяет динамическую структуру, изображенную на рис. 1, на котором х^), х 2^)- входные стационарные случайные воздействия со спектральными плотностями и СКО соответственно Б1(ю), ох1 и £2(ю), ох2 , а ), у2(г) - выходные сигналы со спектральными плотностями и СКО соответственно Бу1 (ю), о у1 и Б у (ю), о у2 .

Рис. 1. Двумерное звено с симметричными каналами (ПФ Ф^р)) и прямыми антисимметричными связями (ПФ Ф 2(р))

— оо

Для этой структуры спектральные плотности одномерных сигналов у1,2 (1) определятся формулами

II? II?

Бу1(ю) = \Ф( 7ю)|2 ЗД + \Ф2(/ю)|2 Б2(ю);

|2 I |2

8У2( ю) = Ф ^Ш) 82(ю) + Ф 2 0 ®) §!(ю), в которых Ф^ю) равны Ф^(р) при р = jю, а соответствующая им спектральная плотность Бу (ю) = Бу1 (ю) + Бу2 (ю) двумерного комплексного

сигнала у = у1 + jy2, учитывая, что Ф^Ою^Ф^ю)]*; Ф2*С®)=[Ф2(^ю)]*, принимает вид

1 2 2 Бу(ю) = 2[ Ф 0®)2 + Ф (-]ю)2]Бх(ю),

где |Ф0ю) |2=Ф0ю) [ФО®)]*; |Ф№) | 2=Ф(^®) [Ф(^®)]*. Дисперсия

^у = - -

у 2= ' У

°у =°2 = ^ 1 Бу(ю)ёю,

■ ¥

где СКО о у = Л! Бу = ^ т|у|2 характеризует среднюю величину квадрата

модуля у комплексного случайного процесса у(г) на выходе САУ, а дисперсии

2=

¥

Ву\2 =оу1,2 = 2= 1 Бу1,2(ю)^ю,

где СКО о у12 =Л1 Оу12 = ^ ту12 - средние величины квадратов модулей

и составляющих у1,2(1) случайного процесса.

Оценка по СКО о у более компактна. Однако она не дает возможности судить о проекциях у1 (г), у2 (г) на выходе САУ, в то время как такая их оценка в ряде практически важных случаев может оказаться иногда остро необходимой, например, при полете ракеты вблизи подстилающей поверхности.

Для этих случаев следует использовать оценки по СКО о у1 2, полагая

2 1 1 I 12 I 2

|ф,(И = Ф(И + 1Ф(-] + МФ0ю)Ф(-

2 1 1 19 I 2

Ф 2а®)2 = ^ Ф 0®)Г + Ф (- jю)2] - м Ф (]ю)Ф (-]ю)]>,

1 * где МФа®)ФНю)] = 2{Фа®)ФНю) + [Фаю)ФНю)] >.

Коэффициенты передачи САУ по случайным воздействиям определяются формулами:

со

К У • К

к П --• к П1,2 --•

О 7 О г, ~

х х1,2

В дальнейшем будем рассматривать только оценки САУ по коэффициенту КП.

Анализ результатов воздействия случайных сигналов на идеализированную двумерную СА У

Цель анализа - оценка влияния шумов и помех на двумерную САУ, динамика которой может быть представлена для каждого из каналов при отсутствии фазовой связи А между ними в интервалах частот |ю|, близких величинам частот среза ю с , частотной передаточной функцией разомкнутой САУ:

Ж(]'ю) - <~(ю)ехр[]ф(ю)] -

к г л к

- ехр[- ] (р - ф з)] - — ехр('ф з), ю > 0, ю ю

— ехр[](р - фз)] - - ехр(-]фз), ю < 0, Ю ю

и соответствующей ей частотной передаточной функцией замкнутой САУ

Ф(]ю) - - Яе Ф(] ю) + ] 1шФ(]ю) - Р(ю) + (ю),

1 + & (]ю)

в которых к - ю с, ф з - запас устойчивости по фазе каналов (при отсутствии расфазировки А).

Такое представление САУ, конечно, сильно «огрубляет» динамические свойства САУ. Однако позволяет представить их в наиболее обобщенной форме, а также выявить и наглядно показать характер влияния расфазировки А на динамическую точность САУ.

Таким образом, цель данного анализа - не количественная точность оценок, которая может быть достигнута только исследованием существенно более полных моделей динамики на ЦВМ, а их качественная наглядность. Она может быть особенно полезной на начальном этапе проектирования реальной САУ.

Влияние широкополосных шумов и помех

Пусть случайный стационарный некоррелированный двумерный входной сигнал х - Х1 + ]х2 представляет собой центрированный «белый» шум со спектральными плотностями (ю) - N1 и Бх (ю) - N2 для каждой из координат двумерного входа САУ, а спектральная плотность Бх (ю) комплексного сигнала х будет равна N - N1 + N2.

Пусть динамика САУ характеризуется частотной ПФ Ф^ю), модуль \Ф(]ю) которой можно аппроксимировать формулой

23

ФсН =

Wc

2 + 2 wc - 2wcwcos j3 + w

Wc

2 — 2 wc + 2wc w cos j3 + w

w> 0, w< 0,

в которой ф + = ф з + А - запас по фазе разомкнутой САУ для частот

ю >0, ф- = фз - А - запас по фазе разомкнутой САУ для частот ю< 0, причем, считая САУ устойчивой, будем полагать запас ф з < 45 °, расфази-ровку А < фз.

Амплитудные частотные характеристики Ф^ю) на частотах

w = wM = wc cos j+ и w = wM=—wc cos j— при j ±< 90° достигают соответ-

Л

+

ствующих максимумов: ¿~(jwM)

1

бш ф+

и

Ф(jWм )

1

, а их полосы

пропускания w п и w п для модулей составляют:

Фа«+)

и

sin j3

ФФ(—jw—) по уровню 0,707

ю+=«с

cos j+ + У1 + cos2 j+

Wп =Wc

cosj3 + ^ 1 + cos2 j-

Так, например, при запасе фз = 30 °, расфазировке А = 0 полосы

ю+ = ю- = юп = 2,2юс .

В результате воздействия двумерного шума на выходе САУ возникнет случайный сигнал усл с дисперсией

2 N ¥ 2 ¥ 2 N

Dy =°2 = ^[J °(jw) dw+ JФ(—jw) dw] = — I

J J 2p 0 0 2p

w

эф

где юэф = ^(ю+ф +юэф) - эффективная полоса пропускания замкнутой САУ для частот ю > 0 и ю < 0 , в составе которой

w

+

эф

= J

w^dw

2 + 2 0 ю - 2юсюсоБфз +юс

эффективная полоса САУ для частот ю > 0 ,

p-

wc

бш ф+

о— = J

w^dw

w

2 - 2 0 ю - 2юсюсОБфз +юс

эффективная полоса САУ для частот ю < 0 .

= p-

sin j з

ф+ p

p

Согласно значениям w^ и Wзф эффективная полоса САУ

оо

1

оо

1

юэф

рЮ 2

(аппроксимируется (с погрешностью не более 2%) формулой

ю эф

р

8Ш ф'з

1 -

/ \

фз р

А

в которой фЗ = фз (1 - V ), V = —, а дисперсия Ву - зависимостью

Фз

2 =

^у и у ■ / 81И Фз

1-

/ \

ФзЛ р

которые в отношениях к их значениям при V = 0 (^Рф и Э0) также можно

аппроксимировать для 0,8 (с погрешностью не более 10 %) простыми соотношениями:

л2

1

где ю

0

эф

РЮ с

1-

Ф з

81И ф з ^ Р

Юэф = у 1 Оу

ю0 Юэф в0 1 о0 у

\ I В0 У = (о У 2=■

1 -V

2

81И ф з

1 -ф р

Из этих зависимостей видно, что эффективная полоса юэф пропорциональна произведению частоты среза юс на показатель колебательности

М = ■

1

81И ф з

а СКО Оу - корню квадратному из этого произведения.

С увеличением коэффициента V расширяется эффективная полоса юэф и растет СКО Оу, характеризующее модуль |у| случайных ошибок, но

рост этот заметен только при коэффициентах V >> 0,2 ^ 0,3. Так, при V = 0,3 полоса юэф расширяется менее, чем на 10 %, а СКО Оу увеличивается менее, чем на 5 %. Заметный рост полосы юэф и СКО начинается со

значений V = 0,4 ^ 0,5.

Влияние узкополосных помех

Рассмотрим далее интересный для практики случай воздействия на систему помех со спектральной плотностью N в полосе частот ±юх, то есть в случае, когда

^ (Ю) =

\Ы, -юх <ю<юх, 0, -Юх >ю; Ю>Юх.

Таким образом могут быть представлены в низкочастотной области, например, идеализированные ошибки наведения на цель линии прицеливания.

Для подобного входного сигнала с дисперсией

2 NЮ * N о X =— | dю =—ю *

р

0

р

дисперсия Оу сигнала у на выходе системы с представлением ее динамики той же частотной ПФ Ф(]ю), что и при исследовании влияния широкополосных помех в предыдущем случае, при расфазировке А = 0 будет

' , ю* Л

ю 1

2 1* ~ ,2 7 N юс

- - г ^ dw =--с

о у =- | Ф( М

р

0

р 81П ф з

р

2

- фз - аг^-

Юс008 ф з

*8ф з

Коэффициент передачи САУ по помехам или коэффициент «подчеркивания» помех для модулей [х] и [у] комплексных сигналов х и у К п определяется из зависимости

1—т

р

_2

К 2 =О У

К п = —

1

о 2 т81п ф з

2

- фз - аг^~

008 ф з

tgф з

где т =

ю

х

Юс

Для

случая, когда расфазировка А Ф 0.

квадрат

К П = _ п 2

Ки(ф+) + К2(ф-)], где К2(фЗ) и К2(фз) определяются той же

формулой, что и для случая, когда расфазировка А = 0 , но с заменой в ней

+ 2 + угла ф з на угол ф з = ф з + А = ф з (1 + V) - для вычисления К п (ф 3) или на

- 2 -угол фз = фз - А = фз (1 - V) - для вычисления Кп (ф3 ), причем V

|А|

ф з

Кроме того, той же формулой, что и для варианта, когда угол А = 0 ,

~ 2 2

определяется и аппроксимация Кп квадрата Кп коэффициента Кп и при

г\

расфазировке А ф 0, но с заменой в ней запаса ф з на ф^ = фз (1 -V ).

Графики зависимостей К п = К п (т, V) для значений фз = 203040°; 0<т< 1; 0 0,7 представлены на рис. 2.

Из них видно, что при т< 0,5 - 0,7 (например - для узкополосных ошибок слежения за целью) коэффициент К п практически не зависит от отношения V в указанных пределах его изменения.

Случайные динамические ошибки

Комплексная динамическая ошибка Ь от воздействия х определяется по ПФ:

Ф (Р) = 1- Ф( Р) = .!„

1 + Ж (р)

кг

2,0

1,5

1,0

V 0,7

0,6

0,5

0,4

^ 0,3

\ 0,2 \ 0,1

0,2

0,4

0,6

0,8

Кг

2,0

1,5

1,0

0

0,2

0,4

0,6

0,8

V 0,7 /0,6 / /ч с

/ 0,5 / 0,4 / 0,3 ___ 0,2 \0,1

\ и

Рис. 2. Графики изменений коэффициента К п передачи САУ

-"х

по помехам в зависимости от соотношения частот т =

Юс

|д|

и отношения углов V = — для запасов устойчивости фз = 20° (а),

Ф з

фз = 30° (б), Фз = 40° (в)

Полагая входной случайный сигнал * = *1 + 2 «белым» шумом с интенсивностью (ю) = N = N1 + N2 в полосе частот от - ю х до + ю х, а

аппроксимацию ФиС®) ее амплитудной характеристики ФиС)®>)| от комплексного входа САУ х к ее случайным динамическим ошибкам 2 с комплексной координатой И = Ц + Jh2 в виде

ю

Фк (¿ю)

2 2 ю - 2кЮ008 фз + к

ю

ю2 - 2к|ю 008 фз + к2

ю> 0,

ю< 0,

2

где к = юс, при отсутствии расфазировки А, получаем для квадрата о и СКО о и модуля | И | случайной составляющей динамической ошибки И:

.2 1

ю

*

2

„ю *

N X

о к = 2Р ^ Фк (¿ю) 8* (ю)dю = — | Фк (¿ю)

ю

р

х

N р

юх + к 008фз • 1п

2 2 юх - 2кюх 00 8фз + к к 00 82фз

2

dю =

к

2

81Пфз

р к 008фз - юх

—фз - агег§-—--

2 к 81пфз у

Учитывая, что

ю,

о х =

1 * N — | Шю = —ю *,

2р ^ р -ю *

находим для квадрата К 2 коэффициента Кк передачи САУ от СКО ох ее входа х к СКО о и случайной составляющей динамической ошибки И: 1

К2 = 1+-к

|81Пфз

где соотношение т

81п2фз • 1пдД-2|008фз +т2 + 0082фз ю

^р 00фз -|Л --фз - ас^-

2 81пфз

'х

юс

Если расфазировка А Ф 0, то, полагая аппроксимацию ФиС®) плитудной частотной характеристики ФиС)®>)| в виде

ю

ам-

Фк (¿ю)

2 + 2 ю - 2кю008 фз + к

Ю

ю2 + 2к| ® 008 ф3 + к 2 28

ю> 0,

ю< 0,

+ - Д л.

где фз = фз + Д = фз (1 + V); фз = фз - Д = фз (1 - V), V = —, получаем фор-

мулу для определения коэффициента Кк

фз

ок .

0 X

2 1 2

Кк =-

К2(ф+) + К2(ф- )

2 2

где Кк (ф+) и Кк (фз) определяются той же зависимостью К^ = К2 (т, фз), в которой вместо значений ф з следует принимать ф + = ф з + Д - для вычисления Кк (ф+), или ф- = фз - Д - для вычисления Кк (ф-).

На рис. 3 представлены (сплошными линиями) значения К к , определенные для соотношений т = 0...1 и отношений V = 0...0,7 при значениях ф з = 20 ° (а); ф з = 30 ° (б) и ф з = 40 ° (в).

На тех же рисунках (штриховыми линиями) показаны приближен-

~ 2 2

ные Кк значения Кк , полученные заменой в формуле Кк = Кк (т, фз)

2

значений ф з значениями ф'з = ф з (1 -V), то есть

К2=1

в1п2ф^з • 1пдД - 2|1софз +т2 + О082ф^з

с / Л

% , ео8фз -т

--фз -агсщ ^, V 2 ^шфз ,

^тфз

Приближенные значения Кк характеризуют коэффициент Кк с погрешностью не более 5 % при V £ 0,4 и 15 % - при V £ 0,7.

Как видно из рис. 3, коэффициент Кк увеличивается с уменьшением запаса ф з, ростом соотношений т и V, что накладывает ограничения на эти величины, поскольку рост коэффициента Кк требует расширения размеров поля управления ракетой.

Пусть, например, ох = 2 м; фз = 30°; т = 0,6; V = 0,6 (см. рис. 3, б),

тогда Кь = 0,6 ; оь = 1,2 м .

Требуемый размер Ь п поля управления можно определить формулой Ип = куст + (2 - 3)ок .

Тогда, если куст » 0, то кп = (2 - 3) • 1,2 = 2,4...3,6 м . Достоинством оценки Кк = Кк (фз, т, V) является ее обобщающий характер - она определяет случайную ошибку Ь в зависимости от обобщенных характеристик юс, ф з, Д, что позволяет выявить весьма общие закономерности изменения этих ошибок и на начальном этапе проектирования САУ определить требования к ориентировочной области изменения рациональных параметров юс, ю х , ф з и Д, от которых, в свою очередь,

зависят требования к параметрам аппаратуры управления ракетой.

29

Однако надо подчеркнуть, что формулы Кк = Кк (фз, |, V) и К п (ф з, V) дают все же только грубую ориентировочную оценку, которая при анализе конкретной САУ нуждается в уточнении вследствие того, что, как правило, ФС®) > ФС®>) для частот ю << юс .

Рис. 3. Графики изменений коэффициента передачи от СКО ох модуля помех к СКО ои модуля И случайных составляющих

динамических ошибок

30

Так, для примерной типовой сфазированной САУ малогабаритной

ракетой с частотой собственных колебаний планера ракеты юпл = 5 • 2р 1,

с

коэффициентом его относительного демпфирования X пл = 0,1, параметрами корректирующего (дифференцирующего) фильтра Тк = 0,212 с, пк = 7,5, инерционностью координатора - 15 мс, запаздыванием РП -

15 мс, коэффициентом передачи разомкнутого контура - 30,4^ и коэф-

с2

° У Г^

фициентом К п, определенным по формуле К п = \1 К

.2 N Ю*

2 NУ 2 2 N

о - =— | |Ф( _/а>)| dw, О2 = — ю*, выражается

2 N

у 2р

о,

зависимостью

п

при

- ю

*

К

2 п

Р 1

ю

2ю

*

I \Ф(]Ю)\2dю,

*

ю *

1

по которой для юс = 2р- 0,96 ; т = 0...1; у = 0...0,7 (при ф з = 38 °) полу-

с

чаем значения К п, приведенные на рис. 4, (сплошные линии - коэффициент К п, а штриховые - его аппроксимация для тех же значений юс и ф з).

кп,кп

2,0 1,75 1,5 1,25 1,0

/ / / / / / '' /Л / / ^ А,

/

—••

_ _ — —

0

V

0,7 0,6 0,5 0,4 0,3

0,2 0,1

0,2 0,4 0,6 0,8 Д

Рис. 4. Сравнение точных Кп и приближенных Кп значений коэффициентов передачи от СКО ох помех на входе типовой СА У к СКО оу случайных отклонений центра масс ракеты от точки прицеливания

Из рис. 4 видно, что приближенная оценка Кп дает завышенную

оценку коэффициента Кп: для отношения у=0,5 погрешность достигает 8 %.

Вышеизложенное показывает, что чувствительность к помехам двумерной системы с расфазировкой А определяется не каким-либо одним из запасов устойчивости (например, минимальным для положительных или отрицательных частот) или их полусуммой, а запасом устойчивости 2 А

фз = jз (1 - v ), где v = —, характеризующим устойчивость с запасом по

Фз

фазе j з каждого из каналов разомкнутого плоского контура САУ с учетом его связи А с другим каналом.

Список литературы

1. Бесекерский В. А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972. 768 с.

2. Пугачев В.С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М.: Физматгиз, 1962. 884 с.

3. Казамаров А. А., Палатник А.М., Роднянский Л.О. Динамика двумерных систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1967. 308 с.

Морозов Владимир Иванович, канд. техн. наук, доц., заместитель начальника отделения и начальник отдела, [email protected], Россия, Тула, АО ««КБП»

METHODS TO EVAL UA TE JAMMING INFL UENCE ON TWO-DIMENSIONAL CONTROL SYSTEMS

V.I. Morozov

Analytical and graphical values of coupling coefficients of root-mean-square deviations of random signals (jamming) at the input of the system and their values for random dynamic errors are determined for idealized standard two-dimensional systems of beam and command remote control of missiles. Coupling coefficients are determined depending on three parameters: phase margin of the system open loop, its cut-offfrequency and phase coupling of the channels.

Key words: linear two-dimensional systems, stationary uncorrelated random processes, spectral densities, root-mean-square deviations, transfer function (TF), phase stability margins, amplitude frequency cut-off, channels coupling.

Morozov Vladimir Ivanovich, candidate of technical sciences, docent, Deputy Chief of Division and Chief of Section, kbkedr@,tula. net, Russia, Tula, JSC «KBP»