CC BY
27
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана СО РАН, междисциплинарный проект № 107 и Российским фондом фундаментальных исследований (грант № 10-01-00132).
Finogenko I.A. Principle of quasiinvariance for nonautonomous functional-differential inclusions. For nonautonomous functional-differential inclusions property of quasiinvariance for и -limiting sets and analogue of a principle of invariancy La-Salle by use of Lyapunov functional with constant sign derivative is established.
Key words: functional differential inclusion; Lyapunov functional; quasiinvariant set; a principle of invariancy; asymptotic stability.
Финогенко Иван Анатольевич, Институт динамики систем и теории управления СО РАН, г. Иркутск, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, заведующий лабораторией, e-mail: [email protected].
УДК 519.853
МЕТОДЫ НЕВЫПУКЛОЙ ОПТИМИЗАЦИИ С НЕЛИНЕЙНЫМИ
ОПОРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
© О.В. Хамисов
Ключевые слова: опорная функция; касательная опорная функция; недифференцируемая оптимизация.
Для минимизации невыпуклой недифференцируемой функции на выпуклом компактном множестве предлагается и обосновывается итерационная процедура, на каждой шаге которой решается вспомогательная задача выпуклого программирования.
Пусть даны множество X С К” и функция / : X ^ М.
Определение1. Будем говорить, что функция / имеет вогнутую опорную функцию-миноранту и выпуклую опорную функцию-мажоранту на множестве X, если существуют функции ф : К” х X ^ К и ф : К” х X ^ К такие, что
1) ф(-,у) непрерывна и вогнута;
2) ф(-,у) непрерывна и выпукла;
3) ф(х,у) 4 /(х) 4 ф(х,у) У(х,у) е X х X;
4) ф(у,у) = /(у) = ф(у,у) уу е х:.
Функцию ф будем называть опорной функцией-минорантой, а функцию <р — опорной функцией-мажорантой.
Теорема 1. Пусть / и /^, г = 1,... ,т, т > 1 удовлетворяют определению 1, X -
т
- компактное множество и /(х) > 0 Ух е X. Тогда функции в(х) = ^ Х^/Жх), Х е К),
г=1
Р(х) = /1(х) • /2(х) • ... • /т(х) и г(х) = ф) также удовлетворяют определению 1. Доказательство теоремы 1 приведено в [1].
/ 1.
функцию-мажоранту <р будем называть выпуклой касательной функцией-мажорантой, есЛИ
ф(х,у) - /(х) = М1х - y\\),
где Ор (t) .
lim ОМ = 0,
t—^0 t
Теорема2. Пусть /1, /2 удовлетворяют опред елению 2. Тогда функции Г(х) = а1/1(х) + а2/2(х),аг е Ка ^ 0,г = 1,2; С(х) = тах{/1(х), Ь(х)}
2.
Теорема 3. Пусть ф1 и ф2 - две касательные мажоранты функции /, удовле-
2.
дхф1(у,у) = дхф2(у,у), где дхфч(-,у) — субдифференциал фч(-,у),г = 1, 2.
/
тельную мажоранту ф в точке у е X, то / суперднфференцнруема в точке у. Супердифференциалом функции / (х) в точке у е X называется множество
дз/(у) = дхф(у,у).
Теорема 4. Пусть х* — оптимальное решение задачи минимиз ации функции / на выпуклом компактном множестве X и / супердифференцируема в х*. Тогда, существует вектор р е д3/(х*) такой, что
рТ(х — х*) ^ 0 Ух е X.
Определение 4. Точка х* е X такая, что / супердифференцируема в ней и
Эр е д3/(х*) : рТ(х — х*) ^ 0 Ух е X,
называется критической.
/
го множества X, х0 е X, касательная мажоранта ф(х, у) непрерывна по совокупности переменных (х, у). Тогда каждая предельная точка последовательности {хк}, генерируемой процедурой:
хк+1 е Атдтги{ф(х, хк) : х е X}, к = 0,1,...,
является критической точкой.
ЛИТЕРАТУРА
1. Хамисов О.В. Глобальная оптимизация функций с вогнутой опорной минорантой // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т. 44 № 9. С.1552-1563.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантом Российского фонда фундаментальных исследований 09-01-00397-а.
Khamisov O.V. Methods of nonconvex optimization with nonlinear support functions. We describe and justify reduction of the problem of minimizing nonconvex nonsmooth function over a convex compact set to a sequence of auxiliary convex programming problems.
Key words: support functions; tangent support functions; nonconvex nonsmooth minimization.
Хамисов Олег Валерьевич, Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН, г. Иркутск, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, заведующий отделом прикладной математики, e-mail: [email protected].
