CC BY
403
УДК 539.3
М.В. Жигалов, Т.В. Бабенкова
МЕТОДЫ ЛИНЕАРИЗАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРОВАННОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА (ОБЗОР)
Даны обзор и систематизация методов, позволяющих линеаризовать исходные дифференциальные уравнения, описывающие поведение твердых тел при действии различных нагрузок.
Дифференциальные уравнения, механика, линеаризация.
M.V. Zhigalov, T.V. Babenkova DIFFERENTIAL EQUATIONS LINEARIZATION METHODS OF DEFORMED SOLID BODY MECHANICS
The article is the review and systematization of the methods which allow linearization of the initial differential equations describing behaviors of solid bodies at action of various loadings.
Differential equations, mechanics, linearization.
Введение
Для полного описания общих закономерностей упругого деформирования и периодических движений пластинчатых и оболочечных конструкций аппарат линейных дифференциальных уравнений оказывается недостаточным, поскольку в его рамки не укладываются наиболее интересные и характерные особенности нелинейных систем. К ним относятся не только количественная эволюция параметров системы в пространстве состояний, связанная с их нелинейной зависимостью от интенсивности возмущения и перестройкой пространственно-временных конфигураций, но и качественные изменения, приводящие к возникновению критических состояний, ответвлению новых решений и потере устойчивости равновесия либо движения.
Одним из первых нелинейных уравнений, как известно, является «уравнение Бернулли»:
= p( x) y + g(x) yn. (1)
dx
И. Бернулли предложил замену искомой функции в виде:
y1- = z
d (y1-n )= y-«. di=dL. (2)
dx dx dx
Подставляя выражение (2) в уравнение (1), приходим к линейному обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка:
dz
—=p( x) z+g(x). (3)
dx
Линеаризация нелинейного уравнения Рикатти:
dy = P( x) y2 + Q(x)y + R( x) (4)
dx
была предложена Эйлером. Им было показано, что, когда известно частное решение, то подстановкой
y = v +1 (5)
z
исходное нелинейное уравнение может быть приведено к линейному.
Приём, известный в настоящее время под именем метода Ньютона, впервые был подробно изложен Ньютоном в труде «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов», написанном не позднее 1669 г. Основная идея метода состоит в том, что малый корень нелинейного уравнения
F (x) = 0 (6)
можно найти из линейного уравнения, получающегося, если в данном уравнении отбросить по их сравнительной малости все члены, начиная со второй степени. Тогда, если для корня данного уравнения известно приближенное решение x0 такое, что
x = x0 + Р , (7)
где р - малое число, то исходное уравнение заменяется уравнением
F1(P) = ^ (8)
с малыми корнями {p, p0}, приближенное значение находится путем линеаризации этого уравнения. После этого, полагая, что
Р = Р0 + q, (9)
решается уравнение
F2(q) =0 (10)
и т. д. Так возникает цепочка уравнений:
F (р) =0; f2 (q) =0; Fi(r) =0 (11)
и т. д. Последовательные поправки вычисляются всякий раз из соответствующих линейных уравнений.
Последователь Ньютона, член Королевского общества Джозеф Рафсон (1648-1715) придал методу несколько иной вид, вычисляя последовательные приближения корня
x1, x2, ... по одной и той же формуле. А именно, получив посредством линеаризации для
уравнения
f (x) = f (x0 + Р) = f (x0) + f Xx0)Р + f 2x0) Р2 + - (12)
первую поправку
f ( x0)
x1 = x0-^H, (14)
Д. Рафсон использует приближенное значение корня
ИЪь
/' ( хс)
точно такое же, как х0, т.е. образует
/(Х1 + д) = 0, (15)
что позволяет аналогично найти
= -^ (16)
Г (х,) ' '
+1 = . (17)
и т.д. Отсюда получаем известную формулу
Г ( хп)
Г X хп)
Итерационный метод Ньютона - Рафсона породил обширную литературу. Л. Эйлер в 1744 г. (в письме к Гольдбаху) и в 1755 г. (в своём курсе дифференциального исчисления) дал вывод метода Ньютона - Рафсона с помощью ряда Тейлора, пригодный и в случае трансцендентных уравнений. Приближения не всегда сходятся к истинному корню. На это обращал внимание еще И. Ньютон. Как можно обеспечить сходимость итерационного процесса показал марсельский математик Ж.Р. Муррайль в «Трактате об общем решении уравнения» (1768 г.) Детальный анализ метода провел Ж.Б. Фурье (опубликовано посмертно в 1831 г.).
В XVIII веке появился и первый метод линеаризации. Его автором стал российский академик Яков Герман. В одной из своих работ он рассмотрел уравнение:
у = Р (У) х + О(у’). (18)
Это уравнение теперь известно под именем либо Даламбера, решившего его на 20 лет позднее (1748 г.), либо Лагранжа, занявшегося им еще позднее. Для решения уравнения Я. Герман вводит параметр
Р = У', (19)
и дифференцируя уравнение по х, получает линейное уравнение относительно х:
Р = Р (р) + [р' (р) + 0 ,(р)]]Р. (20)
ах
В XVIII веке создавались основы приближенных методов решения дифференциальных уравнений. Необходимость в них возникла при попытке применить основные уравнения механики к задачам теории планетных движений, а именно к задаче трех тел. Эксцентриситеты планетных орбит, наклон их к эклиптике и действия сил тяготения в теории возмущений представляют собой очень малые величины. Поэтому со времени выхода «Исследований о различных, важных вопросах системы мира» (1754 г.) Даламбера пришли к мысли рассматривать в качестве приближенных решений круговые орбиты, а затем исправлять эти приближения с помощью рядов, расположенных по возрастающим степеням указанных малых величин.
Рассмотрим систему нелинейных уравнений, полученных Эйлером при рассмотрении задачи движения планет. Начало системы координат, Эйлер поместил в центр Солнца:
й2х „ йу 2д 2\ -п2(1 + х)
—2п—-п (1 + х2 ) =-----------^V;
а Л [(1 + х)2 + У2 ]
а2 у „ йх 2 - п2 у
■'+ 2п---п2у = ^
& &
1
где х, у - декартовы координаты планеты в момент і; п = —-т= ; а - среднее расстояние
ал/а
планеты от Солнца. В выбранной системе координат у2 весьма мало по сравнению с (1+х2). Учитывая это, Эйлер разлагает в ряд общий множитель правых частей уравнений
1 1 3 у2 3 • 5 у4
--------------■и' =------3----------5 +-------------7—... (22)
[(1 + х)2 + у2 ] (1 + х) 2 (1 + х) 2 • 4 (1 + х)
Затем проводится разложение каждого из слагаемых. После замены
£ = пі (23)
Эйлер сохраняет в правых частях преобразованных уравнений члены до шестого порядка. Приближенное решение весьма сложной нелинейной системы уравнений Эйлер строит в виде разложений неизвестных функций х и у по степеням малого параметра, за который в данном случае берется эксцентриситет орбиты в:
[ х = вР + в 20 + в3 Я +...
[у = вр + в2д + в3г +...,
где Р, 0, ••• Р, Ч, ••• - неизвестные функции аргумента £, подлежащие определению. Определение их проводится соответственно задаваемой степени точности, т.е. максимальной степени в, участвующей в уравнениях. Сохраняя члены лишь первого и второго порядков, Эйлер получает линейную систему:
(24)
й 2Р 2йр 2йд
&£2 & 20
= 3Р;
й2 р 2йР
— о +----------= 0;
2
&£2
3
= 30 - 3Р2 + - р
2
й2 а 2йО —т + —— = 3Рр. &£2 И
(25)
Аналогичные системы последовательно выписываются при учете членов до шестого порядка включительно.
В работах Эйлера получает дальнейшее развитие метод бесконечных рядов, при этом, наряду с разложениями по степеням приращения независимого переменного Эйлер использовал разложение по степеням малого параметра, а также им использовались тригонометрические ряды. Кроме Эйлера в указанной области много работали Лагранж, Лаплас и Кондорсе.
В теории обыкновенных дифференциальных уравнений заслуживает внимание работа Остроградского «Заметка о методе последовательных приближений» (1838 г.). В ней предложен метод решения нелинейных уравнений с помощью разложения решения в ряд по малому параметру, позволяющий избегать так называемых вековых членов, содержащих аргумент вне тригонометрических функций. В этом случае:
й2 у
- + у = а у
при граничных условиях
у 1х=о =1;
йу
йх
= 0
х=0
представляется в виде
й2у ( 3аЛ ( 3 3
^ + (1 - Т/ = Ю1у - 4у
(26)
(27)
(28)
которое совпадает с исходным уравнением при ш = а. Решение имеет вид:
2 3 а
у = соб (п) +-(оо$(М) - соб (3п)), где И = 1-----. (29)
32И п
Еще одним способом линеаризации является выделение из нелинейного линейного оператора и построение итерационной процедуры. При этом на каждом шаге её решается линейное дифференциальное уравнение. Одним из самых старых и известных итерационных методов является метод последовательных приближений. В историкоматематической литературе распространено мнение, что первое применение этот метод получил в работах Огюста Коши (1789-1857). Поводом для этого послужили ссылки на Коши французского ученого Ф. Муаньо во втором томе его лекций по анализу (1844 г.), где для решения уравнения
—2 у
-ф = Р (х) • у (30)
строилась следующая итерационная процедура:
-2у0 _ -2у1 л -2у2 л ,.1Л
-гг = 0;-гг = Р (х) • у0^-гг2 = Р (х) • Уl;..., (31)
ах2 ах2 ах2
тогда сумма решений этих уравнений дает решение исходного уравнения
у = у0 + у1 + у 2 +... (32)
Метод последовательных приближений досконально проанализировал Пикар. В дальнейшем метод последовательных приближений применялся целым рядом авторов для интегрирования линейных дифференциальных уравнений произвольного порядка (Коке, 1864 г., Фуке, 1870-1871 гг. и др.).
В III томе «Интегрального исчисления» Эйлера изложены методы решения нелинейных уравнений первого порядка типа:
+®- = в2> дУ = Г П V ПУДЛ. (33)
дх) \ду) ду V х у V дх ду)
При этом ряд нелинейных уравнений сводится к линейным уравнениям при помощи преобразования
/„ дУ дУ Л /дУ Л ГдУЛ
- Г - х аГ ' у ~ду)Ы"у Ьт ]' (34)
которое впоследствии стало несправедливо называться «преобразованием Лежандра». Эйлер использует также несимметричное преобразование
-(У-у'Э=^х-у(|т) (35>
В этом же томе «Интегрального исчисления» Эйлер показал, что любое дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка с тремя переменными можно привести к линейному уравнению в частных производных с четырьмя переменными. Этот результат, которому сам Эйлер не придал должного значения, был по достоинству оценен Лагранжем. Однако ни Эйлер, ни Лагранж не завершили исследование нелинейных уравнений первого порядка. Их идеи были развиты в работах П. Шарпи и Г. Монжа. Идея метода, носящего имена Лагранжа и Шарпи в современных учебниках, состоит в том, что к нелинейному уравнению
РУ дУ дУЛ 0 (36)
Р1 х, у, У,—,— 1 = 0 (36)
подбирается другое уравнение
дх ду Л 1Т дУ дУ Л
0 хУ,У,—, — 1 = а, (37)
V дх ду)
содержащее произвольную постоянную а так, чтобы система уравнений (35) и (36) стала бы вполне интегрируемой. Для этого необходимо, чтобы систему можно было решить относительно совокупности переменных
дУ дУ
р = ^Т, Ч = ^т, (38)
дх ду
и чтобы найденные при этом функции удовлетворяли условию полной интегрируемости:
д-Ч = др. (39)
дх ду
Условие (38) приводит к линейному уравнению в частных производных для подбираемой функции 0(х, у, У, р, Ч) :
дР дО дР дО Г дР дР Л дО Г дР дР ЛдО Г дР дР Л дО
р^г+ч— 1тН—+р— 1тН—+|—= 0. (40)
др дх дч ду V др дч) дУ V дх дУ) др V ду дУ) дч
Достаточно найти одно частное решение последнего уравнения, а так как оно эквивалентно системе обыкновенных дифференциальных уравнений
-х _ -у _ -У -р -ч
дР , (41)
дР дР дР дР дР дР дР
--- р---------+ ч— —+ р— —+ Ч—
др дч др дч дх дУ ду дУ
то достаточно найти один первый интеграл этой системы
О (х, у, У, р, ч) = а . (42)
После подбора функции О( х, у, 2, р, ч) в уравнении (36) из системы уравнений (35),
(36) находят р и ч:
р = ф1 (х, у, У, а), ч = Ф2 (х, у, У, а) (43)
и для неизвестной функции У(х,у) получается вполне интегрируемое уравнение
-У = ф1 (х, у, У, а)-х + ф2 (х, у, У, а)-у . (44)
Интеграл последнего уравнения
/(х,у,У,С1,С,) = 0, (45)
где С1, С2 - произвольные постоянные, будет так называемым полным интегралом исходного нелинейного уравнения.
Шарпи пытался распространить метод на уравнения с большим числом переменных, но ему не удалось преодолеть встретившиеся на этом пути трудности. Новые методы решения нелинейных уравнений в частных производных были даны в следующем столетии, в трудах И.Ф. Пфаффа, О. Коши, К.Г. Якоби.
Нелинейные уравнения в частных производных второго порядка были рассмотрены Монжем еще в 1784 г. Он продифференцировал уравнение
Р (х, у, У, р, ч, г, 8,г ) = 0, (46)
дУ дУ д 2У д 2У д У
где р =-----, ч =---, г = —г, 8 =-------, г = ——, и особо допустил, что дифференциал
дх ду дх дхду ду
А-г + В-8 + С- + В-х + Е-у = 0 (47)
распадается на два уравнения
\Б-х + Е-у = 0;
А-г + В-8 + N-г = 0,
(48)
т.е., как мы говорим теперь, существует характеристика второго порядка. Эти два уравнения дали ему линейное дифференциальное уравнение, но уже третьего порядка, которое доставило согласно прежним его указаниям два обыкновенных дифференциальных уравнения, непосредственно приводящих к решению.
Еще один прием решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка дал Лежандр в 1789 г. Он рассмотрел уравнение
г = Р (8, г). (49)
С помощью преобразования
х-8 + у-г = -и (50)
он свел последнее к линейному уравнению
= 0, (51)
дг дг дя дя
где £ и Т - функции 8 и г.
Ниже рассмотрено современное состояние методов линеаризации нелинейных дифференциальных уравнений механики деформированного твердого тела.
Математические методы, позволяющие исследовать нелинейные
дифференциальные уравнения, значительно сложнее и труднее методов линейного анализа, поэтому долгое время в механике рассматривались лишь простейшие нелинейные задачи. Развитию новых идей в понимании нелинейной механики способствовало появление компьютеров. Их использование для нелинейного анализа достигло такого уровня, что представляется возможным исследовать глобальное поведение тонкостенной системы.
Существующие методы решения нелинейных задач, в зависимости от уровня, на котором происходит линеаризация, можно разделить на две группы. Первая -линеаризация систем дифференциальных уравнений, вторая - линеаризация алгебраических уравнений, получающихся в результате применения к исходным дифференциальным методов дискретизации. Далее рассмотрены методы первой группы.
1. Методы, не изменяющие исходный дифференциальный оператор
Одними из представителей этой группы являются методы Ньютона и Ньютона -Канторовича. Суть их в следующем: пусть задано нелинейное уравнение
Ь[ х] = 0 (52)
с нелинейным, дифференцируемым по Фреше оператором, действующим из некоторого множества О банахова пространства Е1 в банахово пространство Е2. Если определен действующий из Е1 в Е2 линейный оператор
[Ь'[ х(и+1)]}-1, (53)
то для решения исходного дифференциального уравнения применима следующая итерационная процедура
х(«+1) = х(п) - {£'[х(п) ]}-1 Ь[х(п) ]. (54)
Модификацией этой итерационной процедуры является следующая
х(п+1) = х(п) - {Ь'[х(0)]}-1 Ь[х(п)], (55)
где х(0) - начальное приближение.
Метод Ньютона - Канторовича использован в статье [44] для решения системы нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих большие деформации оболочек вращения при симметричной нагрузке. При этом метод применен ко всей системе. Для нахождения матрицы функциональных производных предлагается использовать либо численную процедуру, типа разностной, либо непосредственное дифференцирование операторов. Эффективность метода подтверждена решением задачи о нелинейном деформировании плоской мембраны. Тот же метод применен в статье
В.Н. Мальгина [32] для создания алгоритмов решения задач прочности, устойчивости и колебаний оболочек вращения, основанных на уравнениях типа С.П. Тимошенко. Метод Ньютона - Канторовича применяется последовательно к каждому из шести обыкновенных нелинейных уравнений. Линейные уравнения решаются методом ортогональной прогонки. Автором отмечается, что контрольные расчеты по всем программам показали хорошую сходимость алгоритмов и их устойчивость. В статье Н.В. Валишвили [10] с помощью метода Ньютона исходная нелинейная краевая задача теории оболочек сводится к задаче Коши, для решения которой используется метод Рунге - Кутта. Что касается доказательств сходимости методов Ньютона и Ньютона - Канторовича для нелинейных
уравнений, то они даны в статьях В.М. Вержбицкого [15] и А.В. Машкова [33]. Модификация метода Ньютона с использованием ряда Тейлора относится к другой группе и описана ниже.
2. Методы, изменяющие исходный дифференциальный оператор
Наиболее известный метод этой группы - метод последовательных приближений. Существуют две модификации этого метода. В первой - из нелинейного оператора выделяется линейный оператор со старшими производными. Все остальные составляющие исходного уравнения перебрасываются в правую часть и их формирование происходит за счет значений искомых функций, полученных на предыдущих итерациях.
Наиболее часто встречается метод простой итерации. Суть его в следующем. Для решения нелинейной системы
где Ь\ - линейный оператор старшей степени, а Ь2 - линейный оператор младшей степени, Ь3 - нелинейный оператор. В результате получается следующая итерационная процедура:
Использование этой процедуры отражено в статьях [45, 5, 6, 7, 28, 29, 1] и многих других. Для учета нелинейных членов в граничных условиях при решении задач теории оболочек в статье [47] предложено добавить в правую часть итерационного уравнения член, стоящий слева, вычисленный по формулам нелинейных граничных условий от предыдущей итерации. В ряде статей [26, 27] предложено кроме линейных членов со старшей производной оставлять линейные члены меньшей степени с искомой функцией. В статье [56] в итерационную процедуру введен специальный параметр:
Ряд статей посвящен привлечению дополнительных итерационных процедур для уточнения решения, получаемого методом простой итерации. Так, в статье С.П. Гавели [16] предлагается при решении основных итерационных процессов использовать методы теории потенциала, приводящие к удобным для построения итерационного процесса матрицам Грина. В работе [11] в основную итерационную процедуру добавлены уравнения, для уточнения некоторых членов в правой части. И наконец, в статье [17] введен дополнительный итерационный процесс
где а - параметр, обеспечивающий сходимость процесса; ~ - решение по методу простой итерации.
Другой модификацией метода последовательных приближений является подход, предложенный в статье В.Г. Трошина [49]. Рассматривается техническая теория оболочек в смешанной форме. Вводятся три новых функции
Величина фз представляет собой дополнительную изгибную жесткость, а в операторы Дг- входят дополнительные параметры кривизны и кручения срединной поверхности. Таким образом, исходная нелинейная система заменяется последовательностью линейных систем с дополнительными параметрами жесткости,
Ци ] = /
(56)
предлагается представить оператор в виде
(57)
(58)
4П)[И] = (1 - и)4и)[м] + и(/ - Ь(2п-1)[и] -Ц-1)[и]) .
(59)
и(п+1) = и(п) + а (и - и(п)),
(60)
(61)
где ^ - некоторая постоянная. В результате получаем систему следующего вида:
(62)
кривизны и кручения, определяемых итерационным путём. Коэффициент 8 характеризует вклад, который вносит дополнительная изгибная жесткость в общий уровень нелинейности системы. Для примера автором рассматривалась прямоугольная в плане сферическая панель под действием равномерно распределенной нагрузки, края оперты шарнирно-подвижно. Результаты расчетов подтверждают хорошую сходимость предлагаемого метода.
Метод, предложенный в 1958 г. В.З. Власовым и получивший название метода последовательных нагружений, заключается в представлении нагрузки в виде суммы отдельных ступеней. В пределах каждой ступени нагрузки считаются линейными для рассматриваемых объектов (пластинки, оболочки и др.). Величины ступеней нагрузки выбираются так, чтобы, например отношение прогиба к толщине пластинки укладывалось в рамки лимитной теории. Таким образом, решение системы нелинейных уравнений сводится к последовательному решению нескольких систем линейных уравнений. Этот метод был разработан В.В. Петровым в статье [39]. Этим методом решены как геометрически, так и физически нелинейные задачи, контактные задачи и задачи для массивных тел. В ряде статей предложено уточнять решение, полученное методом последовательных нагружений, методом наискорейшего спуска, разработанным Л.В. Канторовичем [40], или методом Ньютона [30].
Одной из разновидностей методов последовательных приближений являются методы линеаризации, описанные в книге Р. Беллмана, Р. Калаба [9]. Применение этих методов описано в статьях Я.М. Григолюка, А.Т. Василенко, Н.Н. Крюкова и многих других [18, 20, 21]. Во всех работах многомерная задача предварительно сводилась к одномерной методами Власова - Канторовича, Бубнова - Галёркина, прямых. В результате получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида:
^ = В (х, N), (63)
-х
где N, В, х - соответственно вектор искомых функций, вектор правых частей и независимая переменная. К уравнениям присоединяются граничные условия
С^ (х1) = С2N (х2) = С2 . (64)
Для решения этой нелинейной системы предлагается следующий алгоритм:
-Ш(т+1) — — — —
—-------= В(х, N(т)) + 3(N(т))[N(т+1) - N(т)];
-х
С1N (п*1)( х1) = с„ (65)
С2 N(п *»( х2) = С2,
где 3(N(т)) - матрица Якоби системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Полученная линейная краевая задача решается методом дискретной ортогонализации.
Другой разновидностью методов последовательных приближений являются методы спуска, которые впервые были описаны Темплем [53] и Канторовичем [25]. Они состоят в том, что для решения функционального уравнения
(А-ХВ)Х - Р = 0 (66)
отыскивают на каждом шаге итерационного процесса минимум одной из форм: Ф1 -потенциальная энергия системы, Ф2 - сумма квадратов левых частей уравнений или других на некотором подпространстве минимизации. Помимо геометрической интерпретации, метод спуска может быть истолкован «механически». Он имитирует движение системы, когда она освобождена в начальном положении, не представляющем положение равновесия. Для такой интерпретации достаточно номеру шага процесса присвоить название «дискретного времени». Таким образом, статическая система заменяется динамической с искусственно введенным временем, что обеспечивает ранее
недостижимые вычислительные результаты. Классификация методов спуска и обзор работ по использованию их в задачах механики приведены в работах [12, 13, 14, 46].
3. Метод малой добавки
Методы, принадлежащие третьей группе, используют представление искомых функций в виде суммы известного решения и малой добавки - играющей роль уточнения решения. Это представление дает возможность линеаризовать исходное уравнение. Одним из таких методов является метод, изложенный в статьях [52, 54, 55, 41, 36]. Суть его в следующем. Пусть дано нелинейное уравнение
У\х) + / (У( х) х) = °. (67)
Будем искать решение в виде
У = У0 +А, (68)
где у0 - заданное решение; А - поправка. Подставляя в исходное уравнение и разлагая нелинейные члены в ряд Тейлора в окрестности точки (х0, у0), получаем:
У0+А'+1(Уo, х0)+1 ’(Уo, х0)(У1- У0)+... = °. (69)
Отбрасывая слагаемые, начиная с
(У1 - У0)2 =А2, (70)
приходим к линейному уравнению
А + к А = р(Уo,х0). (71)
Решая это уравнение, находим поправку, которую используем для нахождения первого приближения. Затем процесс повторяется до достижения заданной точности.
Аналогичный подход, но под названием метода последовательных приближений, применен в статье [2] для численного решения нелинейной задачи определения прогибов и напряжений в гофрированной мембране, упруго закрепленной по контуру и
нагруженной равномерно распределенным давлением и сосредоточенной силой в центре. Гофрированная мембрана представлена в виде осесимметричной пологой оболочки. Далее используется процедура, описанная выше. Нулевое приближение находится из решения линейной задачи. Статья [51] посвящена применению аналогичного подхода к решению задачи для тела типа диска из анизотропного материала, нагруженного по краю. Нулевое приближение получается из решения задачи для изотропного тела.
Разновидностью методов, использующих малые добавки к решению, являются методы малого параметра. Д.Ф. Давиденко в статьях [22, 23] предложен метод решения систем нелинейных уравнений, содержащих параметр, значение которого известно. Изложим кратко существо этого метода. Пусть дана система уравнений
/к(х„х2,...,х„,Г) = 0 к = 1,2,...,п. (72)
Пусть также для X = ^0 известны такие хг0, что
/к (Х10, Х20,..., хп 0, Х0) = 0, к = 1,2,..., п . (73)
Функции /к определены и непрерывны в некоторой (п+1) - мерной области G изменения х1,х2,...,хп,X и точка (х10,х20,...,хп0,Х0) е G . Пусть также в области G якобиан
/(х1,хг,...,х„X) = ^}"/г-' .-/п1 * 0. (74)
В( xl, ^..^ хп )
Параметр X принимается за независимую переменную и х1,х2,...,хп считаются
функциями X. Исходная система дифференцируется по X. В результате получается система обыкновенных уравнений, линейных относительно производных:
£^-^ = _&., к = 1,2..........п. (75)
и дх, -X дX
Так как якобиан этой системы отличен от нуля, то она может быть решена
-х, „
относительно производных —. В итоге задача сводится к системе уравнений вида:
-X
-х
-X = Р(х„..,хп,X), г = 1,2,...п . (76)
-X
К этой системе присоединяются граничные условия
хг (X0) = г = 1,2,...,п. (77)
Полученная задача является задачей Коши для переменной X. Интегрирование этой задачи любым из известных методов для значений на отрезке [X, X0 ]е G даёт приближенное решение для исходной системы. Описанный метод нашел широкое применение для решения разнообразных задач механики [31, 33, 18, 24, 48, 50]. Метод малого параметра был впервые использован Г.Н. Савиным и А.Н. Гузем [42] для исследования напряженного состояния около криволинейных отверстий в оболочках. Развитием этого подхода явилась статья Ю.К. Немиша и Б.Л. Пелеха [35]. Метод Ньютона в сочетании с методом продолжения решения по параметру применен к задаче о нелинейном деформировании спиральных камер гидротурбин в упругой среде в статье [4]. Для линеаризации уравнений, описывающих деформацию нелинейно-упругих оболочек вращения переменной толщины И.Р. Садыховым [43] используется метод малого параметра, названного автором методом малых возмущений. Для этого в нелинейный закон упругости вводится малый параметр, который характеризует отклонение нелинейного закона от условного линейного закона. Использование малого параметра и разложения в ряд Тейлора нелинейных членов рассмотрено в статье [3].
4. Методы прямой линеаризации
Рассмотрим их на примере статей Я.Г. Пановко [37, 38]. Пусть задано нелинейное уравнение
х + /(х) = 0. (78)
Заменим это уравнение на линейное
х +1(х) = ^ (79)
где / (х) = кх.
Для определения коэффициента к проведем следующие рассуждения. Уклонение заменяющей линейной характеристики от заменяемой нелинейной имеет вид
г (х) = /(х) - / (х) (80)
и может быть подчинено требованию минимума интеграла
А
I = |г2(х)-х, (81)
- А
выражающего интегральное квадратичное уклонение. Этот интеграл, очевидно, зависит от выбора параметра к, поэтому минимизация достигается определением этого параметра из уравнения:
дк = 0. (82)
дк
Далее автор отмечает, что в существе такого подхода лежит предположение о том, что все уклонения в равной мере важны, независимо от значения координаты х. На самом деле, в задачах о колебаниях существеннее те уклонения, которые имеют место при больших значениях координаты, а это делает естественным замену самого уклонения моментом уклонения:
г •х = [/(х) -1(х)]-х . (83)
Задача сводится к минимизации интеграла:
1 = А {[ (х) - /(х)1х }}, (84)
-А
т.е. нахождению коэффициента к из уравнения
д а _ 2
^Я1/(х) - /(х)1х }-х =0. (85)
дк -А
Подставляя в подынтегральное выражение значение /(х) и проводя некоторые вычисления, получаем формулу для вычисления к:
5А
к = ^(х) • хЪ-х. (86)
2 А - А
После того как параметр к найден, задача сводится к элементарному интегрированию линейного уравнения
х + кх = 0. (87)
Аналогичный подход прямой замены нелинейных членов на линейные описан в статье Л.У. Бахтиевой и А.У. Богдановича [8]. Идея метода изложена на примере оболочек вращения. Отметим также, что данный подход предусматривает уточнение вводимых линейных величин.
ЛИТЕРАТУРА
1. Алексеева Е.Г. Инженерный метод расчета тонких прямоугольных плит переменной толщины / Е.Г. Алексеева // Сб. тр. Моск. инж.-строит. ин-та. 1969. № 63. С. 124-129.
2. Андреева Л.Е. Численное решение задачи о больших прогибах гофрированной мембраны / Л.Е. Андреева // Инженерный журнал. Механика твердого тела. 1967. № 3.
С. 83-89.
3. Андрианов И.В. Модифицированный метод декомпозиции Адомяна / И.В. Андрианов, В.И. Олевский, С.И. Токажевский // Прикладная математика и механика. 1969. Т. 62. № 4. С. 334-339.
4. Аронсон А.Я. Нелинейное деформировании спиральных камер гидротурбин в упругой среде / А.Я. Аронсон // Проблемы прочности. 1985. № 4. С. 97-102.
5. Баженов В.А. О кольцевых напряжениях в цилиндрических оболочках, усиленных продольными ребрами / В. А. Баженов, В. А. Заруцкий // Прикладная механика. 1968. Т. 4. № 11. С. 125-129.
6. Баженов В.А. Нелшшна задача згину цилшдрично1 оболонки-труби, укладено1 в грунт / В. А. Баженов // Доповвд АН УРСР. А. 1968. № 7. С. 648-652.
7. Баженов В. А. Расчет цилиндрических оболочек по деформированному состоянию / В.А. Баженов // Сопротивление материалов и теория сооружений: Всесоюзн. межвуз. науч. сб. М., 1968. Вып. 7. С. 26-32.
8. Бахтиева Л. У. Метод прямой линеаризации геометрически нелинейных задач теории оболочек / Л.У. Бахтиева, А.У. Богданович // Исследования по прикладной математике. 1992. № 18. С. 12-16.
9. Беллман Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи / Р. Беллман, Р. Калаба. М.: Мир, 1968. 183 с.
10. Валишвили Н.В. Об одном алгоритме решения нелинейных краевых задач / Н.В. Валишвили // Прикладная математика и механика. 1968. Т. 32. № 6. С. 1089-1092.
11. Ващенко Л.Ф. Геометрически нелинейное деформирование мягких оболочек / Л.Ф. Ващенко // Доклады АН УССР. Сер. А. 1979. № 2. С. 101-104.
12. Вайнберг Д.В. Методы численного анализа в теории упругости / Д.В. Вайнберг, А.Л. Синявский // Тр. 2-го Всесоюзн. съезда по теор. и прикл. механ. М.: Наука, 1964. С. 83-94.
13. Вайнберг Д.В. Итерационные алгоритмы и численные задачи теории пластин и оболочек / Д.В. Вайнберг, А.Л. Синявский, Е.С. Дихтярюк // Теория оболочек и пластин: сб. ст. Ереван: АН Арм. ССР, 1964. С. 301-308.
14. Вайнберг Д.В. Метод спуска и программирование задач строительной механики пластин и оболочек / Д.В. Вайнберг, Е.С. Дихтярюк, А.Л. Синявский // ЭЦВМ в строительной механике: сб. ст. М.: Стройиздат, 1966. С. 465-470.
15. Вержбицкий В.М. О свободных от обращения вложенных итерациях Ньютона / В.М. Вержбицкий // Краевые задачи: сб. ст. Пермь, 1979. С. 83-84.
16. Гавеля С.П. Итерационные схемы расчета напряженного состояния тонких оболочек / С.П. Гавеля // Прикладная механика. 1969. Т. V. № 8. С. 42-49.
17. Грибов А.П. Алгоритм расчета гибких пологих оболочек с использованием прямого метода граничных элементов / А.П. Грибов, В.Г. Малахов // Тр. XVIII Междунар. конф. по теории оболочек и пластин. Саратов: СГТУ, 1997. С. 54-59.
18. Григолюк Э.И. К построению периодических решений в задаче о концентрации напряжений в круговой цилиндрической оболочке с отверстиями / Э. И. Григолюк, Л.А. Фильштинский, В.Е. Кац // Исследования по теории пластин и оболочек: сб. ст. Казань: КГУ, 1970. Вып. 6-7. С. 65-67.
19. Григоренко Я.М. К численному решению краевых задач о деформации гибких круглых пластин переменной жесткости / Я.М. Григоренко, О. Овлякулиев // Прикладная механика. 1978. Т. XIV. № 4. С. 63-70.
20. Григоренко Я. М. Неосесимметричная деформация гибких круглых пластин переменной жесткости / Я.М. Григоренко, Н.Н. Крюков, Т.Г. Ахалая // Прикладная механика. 1979. Т. XV. № 10. С. 75-80.
21. Григоренко Я.М. Численное решение задач о напряженном состоянии гибких некруговых цилиндрических оболочек / Я.М. Григоренко, А.Т. Василенко, Н.Н. Крюков // Прикладная механика. 1984. Т. XX. № 3. С. 40-44.
22. Давиденко Д.Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений / Д.Ф. Давиденко // Доклады АН СССР. 1953. Т. 88. № 4. С. 601602.
23. Давиденко Д.Ф. О приближенном решении систем нелинейных уравнений / Д.Ф. Давиденко // Украинский математический журнал. 1953. Т. 5. № 2. С. 196-206.
24. Карасик М.И. Об одном шаговом методе решения нелинейных уравнений теории упругости / М.И. Карасик, В.И. Шалашилин // Прочность конструкций: сб. ст. Уфа, 1976. № 1. С. 87-92.
25. Канторович Л.В. Об одном эффективном методе решения экстремальных задач для квадратичных функционалов (о градиентном методе наискорейшего спуска) / Л.В. Канторович // Доклады АН СССР. 1945. Т. 48. № 7. С. 345-357.
26. Каюк Я. Ф. Метод квазилинеаризации в некоторых нелинейных задачах механики / Я.Ф. Каюк, В.К. Хижняк // Прикладная механика. 1981. Т. XVII. № 5. С. 27-32.
27. Каюк Я. Ф. Об улучшении сходимости метода простых итераций в нелинейных задачах гибких пластин и пологих оболочек / Я.Ф. Каюк // Прикладная механика. 1974. Т. X. № 11. С. 47-55.
28. Квитка А.Л. Методика расчета нестационарных температурных полей и термоупругих деформаций пластин / А.Л. Квитка, А.С. Цыбенко, Ю.Б. Гнучий // Проблемы прочности. 1976. № 1. С. 68-71.
29. Куземко А. М. О разрешимости интегральных уравнений теории оболочек /
А. М. Куземко, Н.И. Куземко // Вычислительная и прикладная математика: межвед. науч. сб. 1971. Вып. 17. С. 134-139.
30. Кузнецов Э. Н. Об одной модификации шагового метода последовательных нагружений / Э.Н. Кузнецов // Тр. ЦНИИ строительных конструкций. 1972. Вып. 22. С. 1618.
31. Леньков В.Ф. Изгиб нелинейно-упругого клина в квадратичной теории упругости / В.Ф. Леньков, В.М. Собин // Технология машиностроения: сб. ст. Тула, 1969. Вып. 14. С. 113-116.
32. Мальгин В. Н. Алгоритмы решения задач прочности, устойчивости и колебаний оболочек вращения, основанные на уравнениях типа С.П. Тимошенко / В.Н. Мальгин // Методы решения задач упругости и пластичности: сб. ст. Горький, 1973. Вып. 7. С. 137142.
33. Машков А.В. К вопросу использования метода Ньютона-Канторовича при решении задач нелинейной теории упругости эластомеров / А.В. Машков // Методы решения задач упругости и пластичности: сб. ст. Горький, 1990. Вып. 15. С. 141-145.
34. Немиш Ю.Н. Приближенный метод решения граничных задач математической теории упругости анизотропной среды / Ю.Н. Немиш // Математическая физика: Респ. межвед. науч. сб. 1972. Вып. 11. С. 98-104.
35. Немиш Ю.К. Изгиб трансверсально-изотропных пластин с криволинейными включениями / Ю.К. Немиш, Б.Л. Пелех // Прикладная механика. 1970. Т. 6. № 1. С. 119124.
36. Овчинников И.Г. Метод Ньютона в приложении к гибкой пологой осесимметричной оболочке из нелинейно-упругого материала / И.Г. Овчинников // Вычислительная физика: сб. ст. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1977. Вып. 1. С. 64-68.
37. Пановко Я.Г. Способ прямой линеаризации в нелинейных задачах теории упругих колебаний / Я.Г. Пановко // Инженерный сборник института механики АН СССР. 1952. Т. XIII. С. 34-35.
38. Пановко Я.Г. Способ прямой линеаризации в нелинейных задачах крутильных колебаний / Я.Г. Пановко // Уч. записки Латвийского гос. ун-та. 1953. Вып. 4. С. 73-90.
39. Петров В.В. К расчету пологих оболочек при конечных прогибах /
В.В. Петров // Научные доклады высшей школы. Строительство. 1959. № 1. С. 27-35.
40. Петров В. В. Применение градиентного метода Канторовича к расчету гибких пластинок и пологих оболочек / В.В. Петров, Ю.В. Бетев // Теория расчета и надежность приборов: сб. ст. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1969. С. 3-10.
41. Пухлий В.А. К расчету сопряженных оболочек переменной жесткости / В.А. Пухлий // Прикладная механика. 1989. Т. 25. № 11. С. 31-37.
42. Савин Г.Н. О напряженном состоянии около криволинейных отверстий в оболочках / Г.Н. Савин, А.Н. Гузь // Известия АН СССР. Механика и машиностроение. 1964. № 6. С. 37-39
43. Садыхов И.Р. К расчету нелинейно-упругих оболочек вращения переменной толщины с использованием ЭВМ / И.Р. Садыхов // Известия АН Азерб. ССР. Сер. Физикотехнических и математических наук. 1984. № 1. С. 132-138.
44. Санкин Ю.Н. Об одном численном методе в нелинейной теории тонкостенных упругих оболочек / Ю.Н. Санкин // Тр. Ульянов. политехн. ин-та. 1972. Т. 8. № 2. С. 191202.
45. Свирский И.В. Использование соображений подобия для улучшения сходимости процесса последовательных приближений при расчете оболочек / И.В. Свирский // Прикладная математика и механика. 1960. Т. 24. № 1. С. 134-143.
46. Симеонов С.В. Некоторые методы решения нелинейных задач механики деформируемого твердого тела / С.В. Симеонов // Прикладная математика и механика. 1964. Т. 28. № 2. С. 418-429.
47. Скрипник В.П. Об учете нелинейных членов в граничных условиях / В.П. Скрипник // Вычислительная и прикладная математика. 1979. № 38. С. 26-34.
48. Солянова О.Н. Изгиб квадратной пластинки с отверстием, внешний контур которой защемлен / О.Н. Солянова // Механика деформируемых сред: сб. ст. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1973. Вып. 1. С. 5-10.
49. Трошин В.Г. Об одном подходе к решению геометрически нелинейных задач технической теории оболочек / В.Г. Трошин // Прикладная математика и механика. 1983. Т. 47. № 1. С. 101-107.
50. Уздалев А.И. Свободные колебаний двухсвязанных пластин / А.И. Уздалев, Л.Н. Нагибин // Механика деформируемых сред: сб. ст. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1973. Вып. 1. С. 136-142.
51. Gruters J. Iterative Losung von Lastspanningsproblemen in anisotropen Korpern / J. Gruters // Z. angew Math und Mech. 1974. Vol. 54. № 4. P. 79-80.
52. Mescall J. Numerical solutions of nonlinear equations for shells of revoltion /
J. Mescall // AIAA Journal. 1966. Vol. 4. № 11. P. 2041-2043.
53. Temple G. The general theory of relaxation methods applied to linear systems /
G. Temple // Proc. Roy. Soc., Ser. A, 1939.
54. Thurston G.A. A Numerical Solution of the Nonlinear Equations for Axisymmetric Bending of Shallow Spherical Shells / G.A. Thurston // Trans ASME. 1961. E28. № 4. P. 557562.
55. Thurston G.A. Continuation of Newton’s Method Through Bifurcation Points / G.A. Thurston // Trans ASME. 1969. E36. № 3. P. 425-430.
56. Weinitschke H.J. Warmespannungen in elastischen Platten und Schalen bei endlicher Durchbiegung / H.J. Weinitschke // Z. angew. Math und Mech. 1972. Vol. 52. № 4. P. 158-161.
Жигалов Максим Викторович —
кандидат технических наук, доцент кафедры «Высшая математика» Саратовского государственного технического университета
Zhigalov Maksim Viktorovich -
Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor of the Department of «Higher Mathematics» of Saratov State Technical University
Бабенкова Татьяна Валентиновна -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Высшая математика» Саратовского государственного технического университета
Babenkova Tatyana Valentinovna -
Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor of the Department of «Higher Mathematics» of Saratov State Technical University
Статья поступила в редакцию 28.10.08, принята к опубликованию 25.02.09
