МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КОЛЕБАНИЙ ИНСТРУМЕНТА УДАРНОГО УСТРОЙСТВА ПРИ АСИММЕТРИЧНЫХ НАГРУЗКАХ Текст научной статьи по специальности «Физика»

DOI 10.36622/VSTU.2023.19.4.007 УДК 519.8:622.231.5

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КОЛЕБАНИЙ ИНСТРУМЕНТА УДАРНОГО УСТРОЙСТВА ПРИ АСИММЕТРИЧНЫХ НАГРУЗКАХ

А.М. Слиденко

АО «Научно-исследовательский институт лопастных машин», г. Воронеж, Россия

Аннотация: рассматривается модель инструмента ударного устройства в форме стержня постоянного поперечного сечения при наличии несимметричных импульсных нагрузок. Предполагаются независимыми поперечные и продольные колебания инструмента при импульсных внешних нагрузках. Рассматриваются нагрузка на инструмент со стороны обрабатываемой породы и дополнительная нагрузка в результате воздействия других неопределенных факторов. При расчете поперечных колебаний инструмент рассматривается как консольная балка с жестким креплением на одном конце. Расчетная схема продольных колебаний представлена стержнем с упругим и диссипативным сопротивлением на торце со стороны взаимодействия с бойком. Импульсная нагрузка моделируется определением начальной скорости на малом участке инструмента и кратковременно действующей силой на заданном участке инструмента. Сформулирована начально-краевая задача с неоднородными волновыми уравнениями второго и четвертого порядков, правая часть которых моделирует кратковременно действующую силу на определенном участке инструмента. Решение начально-краевой задачи находится методом конечных разностей и методом Фурье при наличии только жесткого сопротивления в продольном направлении. Метод Фурье позволяет выбрать рациональные параметры разностной схемы. Выбрана смешанная разностная схема с весовыми коэффициентами. Решение разностных задач на каждом временном слое находится трехточечным и пятиточечным методами прогонки. Показана эквивалентность определения импульсной нагрузки двумя различными методами. Метод Фурье и метод конечных разностей реализованы в общей компьютерной программе. Программа позволяет определять различные формы и частоты колебаний в продольном и поперечном направлениях и распределение напряжений в сечениях инструмента

Ключевые слова: ударное устройство, инструмент, волновые уравнения, консольная балка, поперечные колебания, продольные колебания, метод Фурье, краевые условия, импульсная нагрузка, разностная схема, методы прогонки

Введение

Исследование I математических моделей продольных колебаний инструмента ударного устройства при его взаимодействии с рабочей средой проводилось рядом авторов [1-6]. В этих работах предпочтение отдавалось в основном аналитическим методам решения начально-краевых задач. Рассматривались импульсные продольные нагрузки со стороны бойка [3-6] и также со стороны обрабатываемой породы [1, 2, 7]. Импульсные нагрузки со стороны обрабатываемой породы моделировались начальным распределением скорости по длине инструмента. Изучались в основном продольные нагрузки, которые приводили к продольным колебаниям инструмента. При взаимодействии инструмента с обрабатываемой средой, как правило, возникают также поперечные импульсные нагрузки, которые приводят к поперечным колебаниям инструмента. В работах [8-10] проводились исследования поперечных колебаний балки при различных

© Слиденко А.М., 2023

поперечных нагрузках и способах крепления. Сформулированные начально-краевые задачи решались методами Фурье.

Следует отметить, аналогичные задачи актуальны для многих технических устройств. Например, валы роторных машин подвержены радиальным и осевым импульсным нагрузкам, поэтому динамические расчеты являются актуальными при проектировании и оптимизации устройств данного типа [11, 12].

В работе [10] применялся разностный метод решения начально-краевой задачи, описывающей поперечные колебания балки с шарнирным креплением. Совместное исследование поперечных и продольных колебаний инструмента ударного устройства позволяет получить более полную картину о деформациях и напряжениях, возникающих в поперечных сечениях инструмента. Большое значение имеет учет внешних нагрузок, которые могут носить импульсный, случайный характер.

Цель работы заключается в построении математической модели, учитывающей несимметричную импульсную нагрузку на инструмент и проведении численного анализа решений сформулированных начально-

краевых задач методом Фурье и методом конечных разностей.

Перечислим основные решаемые задачи:

1) постановка начально-краевой задачи с неоднородными уравнениями поперечных и продольных колебаний инструмента круглого поперечного сечения при жестком креплении в поперечном направлении с учетом упругого и диссипативного сопротивления в продольном направлении;

2) решение начально-краевой задачи методом Фурье;

3) выбор схемы и параметров метода конечных разностей;

4) реализация решения начально-краевой задачи методом конечных разностей;

5) сравнение методов моделирования импульсного воздействия на инструмент со стороны обрабатываемой породы и других возможных факторов.

1. Постановка начально-краевой задачи

Упрощенная конструктивная схема элементов ударного устройства и расчетная схема нагрузки со стороны обрабатываемой породы представлены на рис. 1.

N

Vli

б

Рис. 1. Схема нагрузки на инструмент ударного устройства; а) конструктивная схема инструментальной части ударного устройства: 1 - корпус, 2 - боек, 3 - инструмент, Р (х) - реакция отдачи; б) расчетная схема нагрузки: Рх, Рк - составляющие реакции

отдачи, С, В - приведенные жесткость и диссипация составляющих ударного устройства; е , Ь, Ь1, с1 - размеры соответственно краевого участка, консольной части, длины инструмента и диаметр поперечного сечения

Предполагается также возможность приложения импульсной нагрузки, вызванной другими внешними случайными факторами. Такая нагрузка может быть приложена в любом сечении инструмента и моделируется функциями в правых частях волновых уравнений.

Предполагается жесткое крепление стержня только на одном конце в поперечном направлении при упругом и диссипативном сопротивлении в продольном направлении.

Колебания стержня описываются неоднородными дифференциальными уравнениями четвертого и второго порядков с частными производными:

EJ d 4 w(t-x) + p d 2 w(t'x) = g(t, x), x e(0,L), (1)

dx dt2

d2U(A = ax2 + _Lx) x 6 (0, Lj), t e (0, в), (2)

dt dx2 pS

где E - модуль упругости материала инструмента, J = nd4/64 - момент инерции поперечного сечения, p - плотность материала инструмента, S - площадь поперечного сечения, ax E ■ p- , w(t, x)- поперечное перемещение

сечения инструмента x в момент времени t, u(t, x)- продольное перемещение сечения x инструмента, g(t, x) и o(t, x) - распределение внешних поперечных и продольных сил. Принятый вид крепления балки определяет тип краевых условий. При консольном жестком креплении краевые условия для поперечных перемещений имеют вид

w(t, l) = 0, М^) = 0,

dx

d 2w(t,0) 0, d3w(t,0) 0.

dx 2

dx3

(3)

(4)

Для продольных перемещений краевые условия принимаются в виде

Езд-кА )=-С. и(^1)-В ), (5)

дх т

ES (t ,0) = 0.

dx

(6)

Расчетная схема представляет стержень с постоянным круглым поперечным сечением, который нагружается начальным импульсом или распределением начального перемещения.

Начальные условия характеризуют начальную нагрузку в продольном и поперечном направлениях:

а

и(0,х)= /1 (х) д;х) = ^(х), Г е [о,Ц], (7)

х) = / (х), ^(0,х) = F2 (х), X е [0,Ь], (8)

Рх

/ (х) = (1 - х / Ц), ^(х) = | р^е' 0 < Х (9)

х , если 0 < х <е, 10, если е < х < Ц..

Р

/2 (х) = ™2 (1 - х / ь)2 , F2 (х) = ■] р8е

, если 0 < х < е,

(10)

10, если е< х < Ь.

где Рх = рх|, Р„ = Щ, Р(х) = р(х), тогда Рх = р(х)ео8а, Р№ = р(х^та . Постоянные т1 и ш2 определяют величины наибольших начальных перемещений. Условия (3) означают отсутствие в сечении х = Ь поперечного перемещения и поворота. Условия (4) выражают факт отсутствия сопротивлений поперечному перемещению и изгибу в сечении х = 0 . Условие (5) выражает равенство сил на левом торце в продольном направлении, условие (6) - отсутствие напряжений после контакта инструмента с обрабатываемой породой. Функции / (х) и /2 (х) задают начальное распределение продольных и поперечных перемещений сечений стержня по длине, функции (х) и F2 (х) задают распределение продольной и поперечной скоростей сечений стержня по длине в начальный момент времени. Распределением начальной скорости на конечном малом участке длины £ (рис.1) моделируется ударный импульс [1, 2]. Функция g(г, х) моделирует кратковременную внешнюю поперечную нагрузку и определяется формулами

g (г, х) = Н (г, Дг) • g 0 (х, у, 8),

где

Н (г, Д )=

1, если 0 < г <Дг, 0, если г > Дг,

g 0(x, у,8) = |(

Р0, если у - 8 < х < у + 8, 0, если х < у -8 или х > у + 8.

(11)

(12)

(13)

Аналогично определяется функция ф(г, х), которая моделирует внешнюю продольную импульсную нагрузку:

Ф(г, х) = Н1(г, г1, г2) • <р(х, у, е) .

(14)

Графики функций, определяющих продольную импульсную нагрузку (14), представлены на рис. 2.

ср(х, у, е)

//.<7, /.-, Ь)

Ь

Рис. 2. Графики функций, определяющих внешнюю продольную нагрузку

Для получения решения начально-краевой задачи методом Фурье на заданном промежутке времени [0, в], рассматривались отдельно две начальные задачи на промежутках [0,Аг] и [Аг, в] (г1=0, г2=А0, с обеспечением условия непрерывности перемещений и скорости перемещений. На втором промежутке решалась задача, начальными условиями которой являлись значения решений первой задачи на конце первого промежутка.

2. Метод конечных разностей и алгоритм исследования

Приведем аппроксимацию начально-краевой задачи методом конечних разностей. Приняты обозначения разностных отношений:

ДД^ = ——-—-т-—-—, г = 2,...,N -2,

к 4

и- 2и г + и г-1

Д; = _ш-^-, , = 1,..., N - 1.

Уравнение (1) аппроксимируется разностной схемой с весовыми коэффициентами

- + оОДДм> П+1 + (1 - 2ст)^ДД» +

+ сОДД» П

-1 g (гп, х )

Р

к

жп+1 - 2и>П + п,п-1

2

т

где Б = Ы/рз , т, к - параметры сеточной области, а - весовой коэффициент, м>1 = м>({п, х{), и^ = и([п, х) - значения сеточных функций.

Решение разностной задачи находится методом пятиточечной прогонки [13] с учетом краевых условий, алгоритм метода реализован в системе Mathcad [14].

Смешанная разностная схема с весовыми коэффициентами для волнового уравнения (2) принята в виде

(и1+1 - 2и1 + и1-1 )г~2 = а2 (<тДи1+1 + (1 - 2<г)Ди1 + сДи1-1)+ + (р)-1 ф(^,хг). (16)

Аппроксимация краевых условий применялась в виде:

,п+1 и+1

«0 = 0,

ES

И+1 И+1 UN — UN-1

„п+1 „п n+1 „UN — UN

= —CuN1 — B

(17)

(18)

3. Решение задач методом Фурье

Получено решение начально-краевой задачи методом Фурье для продольных колебаний при наличии только жесткого сопротивления (В = 0) и внешней нагрузки.

Решение на промежутке действия продольной силы представлено в виде ряда

и к х) = ]Г Т/ ^). Со/-^х 1 =

k=1

ш 2p1 cosf^^^ 1(1 — cos(lkí))cos[^^x)

Zl a )_la )

~ : (21. w . (19)

k=1

ps—

a . (2— L +-sinl —-Ц

2— l a

На промежутке отсутствия внешней силы решение имеет вид

u-, (t,x) = ^ A cos —t + a2 sin —t)cos| — x), (20)

k=1

На каждом временном слое решение системы (16)-(18) находится методом трехточечной прогонки.

Общий алгоритм исследования в системе Mаthcаd представлен на рис. 3.

Отметим, сравнение решений, полученных методом Фурье и разностным методом, позволяет в автоматическом режиме выбирать рациональные параметры разностной схемы (с,к,г), которые обеспечивают приемлемую точность разностного метода. С другой стороны близкие решения, полученные двумя методами, являются обоснованием корректности применения метода Фурье.

где

A1k =

—Tkd (t2 )cos(—kt2 ) — -Щ sin(—kt2 ) dt

(21)

Ak =

—Td (t2)sin(—kt2)+ cos(—kt2)

dt

■■ (22)

Частное решение неоднородного уравнения представлено в форме интеграла Дюамеля:

t

Tkd (t)=-±- í gk (t sin(—k (t—t))dt. (23)

—k 0

При заданных распределениях начальной скорости и перемещения, когда отсутствует внешняя импульсная нагрузка, решение представлено в виде ряда

u(í, x) =

= ¿ í Ak cosí ax ^t) + Bk siní ax ^t)) cos ^x , (24)

где

Рис. 3. Общий алгоритм исследования в системе Mathcad

h

т

x

A =

, и ^ , ) f / (x)cos ^xdx , L (2 /k + sin 2 /k ,)J L

L

Bk = ~ь-^-, fFi(x)cosULxdx ,

ax (2 Uk + sin 2Uk ) 0 L1

fik - собственные значения краевой задачи, которые находятся численным решением уравнения

ES (L1C )-1 / = ctg/u

с помощью функции root в системе Mathcad.

Для поперечных колебаний решение начально-краевой задачи методом Фурье получено в виде:

lw2 (t>

w1 (t, x) 0 < t < At, t, x) t > At.

(25)

где

S

x) =

a

f \2 Г \4 Л

2 1 ( a '

Ли 1

a.,

t+2le

,(x), (26)

w (t, x)=S

И=1

v

a-

f i Л a

2 >

4 A 1

где a 4 =^- = — .

y EJ D

Коэффициенты ряда Фурье определяются формулами:

-1

U(x)dx -J/2(xUn(x)dx-pn(ij , (28)

L V1 L

(2n )2 -j)? (x)dx JF2 (xUn (x)dx , (29)

Dn = a'y

(L V1 L

ju2(x)dx j/3(x)Un (x)dx , (30)

Un (x)=(sln 2nx + sh2nx)-

sin 2nL + sh2nL

cos 2nL + ch2nL

- (cos 2nx + ch2nx),

L (L

e = Pü JUn (x)' go (x,y,s)dx jun (x)dx

(33)

(34)

В приведенных формулах Xn - собственные значения краевой задачи, являющиеся численными решениями уравнения

cos Л = —(chX)-1,

которые определяются в системе Mathcad с помощью встроенных функций.

4. Результаты вычислительных экспериментов

Вычисления проводились при следующих значениях основных параметров: р = 7800 кг/м3, E = 2,1 -105МПа, L = 0,5 .1 м, Р(х) = 300...1000 Нс, а = 5...10град,

А/ = 0,005...0,02 c, Lj = 0,5...1 м, d = 0,05...0,15 м, £ = (0,1...1)L , 0 = 0,01...0,1 С, C = 5 • 104...5-107 Н/м,

Un(x), (27) B = 0...7 -103 Нс/м, m12 = ü...ü,üü1.

При использовании ряда Фурье вычислялись коэффициенты для 10-12 членов ряда, увеличение их числа практически не влияло на форму и частоту колебаний.

Рассмотрим сравнение решений, полученных методом Фурье и методом конечных разностей для поперечных колебаний инструмента.

Графики на рис. 4-8 получены при рациональном выборе параметров разностной схе-

мы:

h = 0.001...0.01м,

t = 10-7...10-5 с,

а = 0,5...0,9 .

Задача рассмотрена при наличии импульсной нагрузки только за счет начального распределения постоянной поперечной скорости У0 = F2(х) на длине инструмента £ (рис. 4).

( l У1

Mn = a.

(2„ )2 .ju„2(x)dx jF3(x)„(x)dx , (31)

0 J 0

где

/3 (x)= W1(At, x), F3 (x ) = dWL (At, x) dt

-1

Cn cos

t + Dn sin

Kn cos

t + Mn sin

t

n

C„ =

Kn =

к, мм =0.0056с

-о,б-

-0.4-0,2 —и -0

1=0,011С

¡=0,0028с

0,01

0,02

0,03

0,04

б

Рис. 4. Сравнение решений: а) форма поперечных перемещений; б) перемещения отдельных сечений инструмента; 1) метод Фурье; 2) разностный метод.

Основные параметры: Ь = 0,9 м; е = 0,3 м; в = 0,05 с; Р„ = 26,15 Нс; ¥0 = -0,781 м/с; а = 5 град

Для получения решения на заданном промежутке времени при наличии кратковременной внешней нагрузки рассмотрены последовательно две начальные задачи. Решение приведено на рис. 5.

-0,92 -1,6

XV, мм л I Л * 1

1 (#•? \ 2

/ / АЛ ---

Ж

30 б

Рис. 5. а) сравнение решений при кратковременной внешней нагрузке: 1) метод Фурье; 2) разностный метод; 3) решение методом Фурье при нагрузке на всем промежутке времени; б) решение методом Фурье: 1) кратковременная нагрузка; 2) нагрузка на всем промежутке времени; Параметры: Д = 10 мс, р0 = 30 кН/м, Ь = 0,9 м, в = 0,02 с, у = 0,1 м,- У0 = -2,34 м/с

Практическое совпадение кривых на рис. 4, и рис. 5,а свидетельствует о корректности применяемых алгоритмов разностного метода и метода Фурье.

На рис. 6 представлены продольные колебания стержня при наличии нагрузки за счет начального распределения скорости. Продольные колебания можно разделить на низкочастотные (~100 Гц) и высокочастотные (~2500 Гц).

В продольном направлении значение начальной скорости определялось по формуле (9). То есть функция ¥(х) принимала постоянное значение, равное 0,5 м/с на участке е = 0,1м и равнялась нулю вне участка.

Следует отметить, параметры разностного метода находятся в более узком диапазоне по сравнению с разностным методом для поперечных колебаний. Подробно этот диапазон и типы разностных схем численно оценивались в работах [2, 7]. Ограничение шага по времени связано с большим значением параметра ах = 5189 м/с в волновом уравнении. Наличие высокочастотных колебаний приводят к быстрому росту погрешности решения с увеличением временного промежутка.

4 2,4 0,8 -0,8 -2,4 -4

лш- 1

/ \ 1 V - У

1 У

0 2 4 Ч 6 8 У и

I, мс

0,50 б

Рис. 6. а) выделение переносных и относительных продольных колебаний левого торца стержня: Ь = 1м;

Р = 298,9 Нс; С = 5,6 • 107 Н/м: В = 6,6 • 103 Нс/м;

1) е = 1м, 2) е = 0,1 м; б) выделение высокочастотных колебаний: 1) х = 0, 2) х = Ь1

Высокочастотные колебания (относительно средней линии низкочастотных колебаний) отделяются от низкочастотных по формуле

а

а

а

ип(е) = ип (е)-ип(е1 ), п = 0,...,N1; г = 0,...,N2.

Формула представляет разность решений при малом значении е = 0.1 • Ц м, и при большом значении е1 = Ц м. Малое значение имитирует начальную импульсную нагрузку на торец инструмента, большое значение - передачу начального импульса всей массе стержня. Такое решение получается для начально-краевой задачи с начальным условием

и(0, х) = ^ (х,е) - ^(х,е1 ) .

Следует отметить, такое решение можно получить, если отбросить первое слагаемое ряда Фурье.

Отделение высокочастотных колебаний позволяет определить распределение нормальных напряжений по длине инструмента. На рис. 7, а представлены результаты вычисления напряжений в заданном сечении в зависимости от времени по различным формулам:

, и10

(е)-;1о(е1 )-(и0) (е)-и0) (е1 ))

= Е

10к

= к и10(е)- и"(е) 10к :

= Е;п0 (е1 )- и" (е ) 10к

а3 = Е

(35)

(36)

(37)

Результаты вычислений показали, что формулы (35) и (36) дают практически одинаковые результаты, вычисленные по формуле (37) напряжения равны нулю, что свидетельствует о неприменимости этой формулы.

На рис. 7, б показано затухание низкочастотных продольных колебаний левого торца инструмента вследствие наличия диссипатив-ного сопротивления.

Представляет интерес сравнение результатов при моделировании импульсной нагрузки двумя способами: определением начальной скорости (иЕ(г, х)) и заданием кратковременной

силы, распределенной на малом участке стержня (и3 (г, х)).

300 160

20 -120

-260

-400

а, МПа

*чт

Л

мс

0.2

0,4 а

0,6

8.3 16.7 25 33,3 41.7 50 б

Рис. 7. а) напряжения в сечениях, близких к контактному торцу инструмента: 1) формула (35), 2) формула (36), 3) формула (37) б) влияние диссипативного элемента на процесс продольных колебаний; основные параметры: В = 6600 Нс/м, С = 5,6 • 107 Н/м, Рх=299 Не, Ь1=1 м

На рис. 8 приведены высокочастотные продольные колебания (5000 Гц). На рис. 8, а решения получены методом Фурье при двух способах моделирования импульсной нагрузки (кратковременное действие силы на малом участке стержня и начальное распределение скорости). На рис. 8,б приведены решения методом Фурье и методом конечных разностей при кратковременном действии внешней силы.

3.2 2,4 1,6 0,8

4

3.2 2,4 1,6 0,8

- и, мм ~ /

1 г-4 I

/ ] 1 ~2~

/

'Г~1 3

(! 1 4

0,1

0.2

0,3

0,4

г. мс

и, .им •1

/1

/ / !_и 1

! 7 1..... 3

1 У ~4~

0.1

0.2

0,3

0.4

I мс

б

Рис. 8. Сравнение высокочастотных колебаний: а) решения методом Фурье при двух видах импульсной нагрузки: 1) и3 (г,0), 2) и3 (гЦ), 3) иЕ(г,0), 4) иЕ (г,ь1); б) решения методом Фурье 1) и3 (г,0), 2) и$ (г,Ь)

и разностным методом: 3) и0п , 4) и

N

а

Отметим достаточно хорошее совпадение графиков при рациональном подборе основных параметров. Приведем эти значения:

Ь = 0,5 м, е = 0,05 м, гх = 0 , ¿2 = 9,636 мкс,

Рх = 400 Нс, Р = 4,151.107 Н, В = 0 , С = 5,6-107Н/м.

Аналогичные результаты получены и для низкочастотных колебаний.

Отметим увеличение погрешности разностного метода при увеличении временного промежутка. Погрешность можно уменьшить за счет уменьшения шага по времени, однако это приведет к требованию увеличения ресурсов вычислительной системы. Можно считать, что для проектировочных расчетов полученная погрешность является приемлемой.

Заключение

1. Предложена модель продольно-поперечных колебаний инструмента ударного устройства в результате реакции со стороны обрабатываемой породы и других случайных факторов. Модель представлена независимой системой неоднородных дифференциальных уравнений второго и четвертого порядков в частных производных с краевыми и начальными условиями.

2. Для решения начально-краевых задач предложен метод Фурье и метод конечных разностей. Сравнение решений позволило выбрать смешанные разностные схемы с весовыми коэффициентами и их параметры.

3. Применение различных параметров распределения начальной скорости при продольной составляющей ударного импульса позволило выделить высокочастотные составляющие продольных и поперечных колебаний инструмента и таким образом определить нормальные напряжения в поперечном сечении инструмента в зависимости от времени.

4. Проведено сравнение колебаний инструмента при различных способах моделирования ударного импульса. Показана равнозначность определения ударного импульса

начальным распределением поперечной и продольной составляющей скорости и кратковременно действующей на малом участке стержня внешней силой.

Литература

1. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1969. 288с.

2. Слиденко А.М., Слиденко В.М. Исследование дискретно-непрерывной адаптивной модели ударного устройства// Математическое моделирование. 27:1. 2015. С. 54-64.

3. Иванов А.П. Динамика систем с механическими соударениями. М.: Международная программа образования, 1997. 336 с.

4. Манжосов В. К., Слепухин В.В. Моделирование продольного удара в стержневых системах неоднородной структуры. Ульяновск: УлГТУ, 2011. 208 с.

5. Манжосов В.К. Модели продольного удара: монография. Ульяновск: УлГТУ, 2006. 160 с.

6. Манжосов В. К., Новиков Д.А. Моделирование переходных процессов и предельных циклов движения виброударных систем с разрывными характеристиками: монография. Ульяновск: УлГТУ, 2015. 236 с.

7. Слиденко А.М., Слиденко В.М. Исследование модели ударного устройства стержневого типа разностным методом // Вестник Воронежского государственного технического университета. Т. 16. № 5. 2020. С. 73-80.

8. Доев В.С. Поперечные колебания балок: учебное пособие. М.: КНОРУС, 2016. 412 с.

9. Никитина Т. Ю. Динамика поперечных колебаний вертикально защемленной балки.// Вестник государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова. № 3(22), 2013. С. 79-88.

10. Слиденко А.М. Исследование поперечных колебаний балки численно-аналитическими методами// Насосы. Турбины. Системы. Научно-технический журнал. 2(39), 2021. С. 47-55.

11. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970. 712 с.

12. Галаев В.И., Кулешов Ю.В. Аналитический метод выбора расчетной динамической модели и собственные частоты колебаний обрабатывающей системы роторных машин // Вестник ТГТУ. 2009. Т. 15. № 1. С. 191-198.

13. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. 592 с.

14. Охорзин В. А. Прикладная математика в системе MATHCAD: учеб. пособие. 2-е изд., исп. и доп. СПб.: Издательство «Лань», 2008. 352 с.

Поступила 28.04.2023; принята к публикации 02.08.2023 Информация об авторах

Слиденко Александр Михайлович - канд. физ.-мат. наук, инженер, АО «Научно-исследовательский институт лопастных машин» (394019, Россия, г. Воронеж, ул. Газовая, д. 2а), тел. 8(905) 053-74-07, e-mail: [email protected]

STUDY OF IMPACT DEVICE TOOL OSCILLATIONS UNDER ASYMMETRIC LOADS

A.M. Slidenko

JSC «Scientific Research Institute of Blade Machines», Voronezh, Russia

Abstract: a model of an impact device tool in the form of a constant cross section rod in the presence of asymmetric impulse loads is considered. The transverse and longitudinal oscillations of the tool are assumed to be independent under impulsive external loads. The load on the tool from the processed rock and additional load as a result of other uncertain factors are considered. The tool is considered as a cantilever beam with a rigid mount at one end when calculating transverse oscillations. The design model of longitudinal oscillations is represented by a rod with elastic and dissipative resistance at the end from the side of interaction with the striker. The impulse load is modeled by determining the initial speed in a small section of the tool and the short-term acting force in a given section of the tool. An initial-boundary value problem is formulated with inhomoge-neous wave equations of the second and fourth orders, the right part of which models an instantaneous force on a certain part of the tool. The solution of the initial boundary value problem is found by the finite difference method and the Fourier method in the presence of only rigid resistance in the longitudinal direction. The Fourier method allows choosing rational parameters of the difference scheme. A difference scheme with weight coefficients is chosen. The solution of difference problems on each time layer is found by three-point and five-point sweep methods. The equivalence of determining the impulse load by two different methods is shown. The Fourier method and the finite difference method are implemented in a common computer program. The program allows you to determine various forms and frequencies of oscillations in the longitudinal and transverse directions and the distribution of stresses in the tool sections

Key words: impact device, tool, wave equations, cantilever beam, transverse oscillations, longitudinal oscillations, the Fourier method, boundary conditions, impulse load, difference scheme, sweep methods

References

1. Aramanovich I.G., Levin V.I. "Equations of mathematical physics" ("Uravneniya matematicheskoy fiziki"), Moscow, Nau-ka, 1969, 288 p.

2. Slidenko A.M., Slidenko V.M. "The study of a discrete-continuous model of an adaptive impact device", Mathematical modeling (Matematicheskoye modelirovaniye), 2015, 27:1, pp. 54-64

3. Ivanov A.P. "System dynamics with mechanical collisions" ("Dinamika sistem s mekhanicheskimi soudareniyami"), Moscow, Mezhdunarodnaya programma obrazovaniya, 1997, 336 p.

4. Manzhosov V.K., Slepukhin V.V. "The modeling of longitudinal impact in frameworks of heterogeneous structure" ("Modelirovaniye prodol'nogo udara v sterzhnevykh sistemakh neodnorodnoy struktury"), Ulyanovsk, UlGTU, 2011, 208 p.

5. Manzhosov V.K. "Longitudinal impact models: monograph" ("Modeli prodol'nogo udara: monografiya"), Ulyanovsk, UlG-TU, 2006, 160p.

6. Manzhosov V.K., Novikov D.A. "Modeling of transient motions and limit cycles of vibro-shock systems with discontinuous characteristics: monograph" ("Modelirovaniye perekhodnykh protsessov i predel'nykh tsik-lov dvizheniya vibroudarnykh sistem s razryvnymi kharak-teristikami: monografiya"), Ulyanovsk: Ul.GTU, 2015, 236 p.

7. Slidenko A.M., Slidenko V.M. "The research of impact device vodel of the rod type by difference method", The Bulletin of Voronezh State Technical University (Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta), 2020, vol. 16, no. 5, pp. 73-80.

8. Doev V.S. "Transverse oscillations of the beams: textbook" ("Poperechnyye kolebaniya balok: uchebnoye posobiye"), Moscow, KNORUS, 2016, 412 p.

9. Nikitina T.Y. "Dynamics of transverse oscillations of a vertically clamped beam", The Bulletin of The Admiral Makarov State University of Maritime and Inland Shipping (Vestnik gosudarstvennogo universiteta morskogo i rechnogo flota imeni admirala S.O. Makarova), 2013, no. 3 (22), pp. 79-88.

10. Slidenko A.M. "Investigation of transverse beam vibrations by numerical and analytical methods", Pumps. Turbines. Systems. Scientific and Technical Journal (Nasosy. Turbiny. Sistemy. Nauchno-tekhnicheskiy zhurnal), 2021, no. 2 (39), pp. 47-55.

11. Koshlyakov N.S., Gliner E.B., Smirnov M.M. "Equations in partial derivatives of mathematical physics" ("Uravneniya v chastnykh proizvodnykh matematicheskoy fiziki"), Moscow, Vysshaya shkola, 1970, 712 p.

12. Galaev V.I., Kuleshov Yu.V. "Analytical method for choosing a computational dynamic model and natural oscillation frequencies of the rotary machine rolling system", The Bulletin of TSTU (Vestnik TGTU), 2009, vol. 15, no. 1, pp. 191-198.

13. Samarskiy A.A., Nikolaev E.S. "Methods of solving grid equations" ("Metody resheniya setochnykh uravneniy"), Moscow, 1978, Nauka, 592 p.

14. Ohorzin V.A. "Applied Mathematics in the MATHCAD System: textbook" ("Prikladnaya matematika v sisteme MATHCAD: ucheb. Posobiye"), St. Petersburg, Lan, 2008, 352 p.

Submitted 28.04.2023; revised 02.08.2023 Information about the authors

Alexander M. Slidenko - Cand. Sc. (Physical and Mathematical), engineer, JSC «Scientific Research Institute of Blade Machines», (2a Gazovaya str., Voronezh 394019, Russia), e-mail: [email protected], tel.: +7 (905) 053-74-07

63