Методы глобальной оптимизации для исследования суммарных пространственных допусков формы цилиндрического вала Текст научной статьи по специальности «Математика»

А.О.Ракин

Методы глобальной оптимизации для исследования суммарных пространственных допусков формы цилиндрического вала

Отклонения (погрешности) формы и поверхностей возникают в процессе обработки деталей из-за неточности и деформации станка, инструмента и приспособления, деформации обрабатываемого изделия, неравномерности припуска на обработку, неоднородности материалов заготовки и т.п. В подвижных соединениях эти отклонения приводят к уменьшению износостойкости деталей вследствие повышенного удельного давления на выступах неровностей, к нарушению плавности хода, шумообразованию и т.д. При работе механизмов с использованием направляющих, копиров, кулачков в связи с искажением заданных геометрических профилей также снижаются их точности. В неподвижных и плотных подвижных соединениях отклонения формы и расположения поверхностей вызывают неравномерность натягов или зазоров, вследствие чего снижаются прочность соединения, герметичность и точность центрирования [1-4].

Отклонения формы поверхностей снижают не только эксплуатационные, но и технологические показатели изделий. Так, они существенно влияют на точность и трудоемкость сборки и повышают объем пригоночных операций, снижают точность измерения размеров, влияют на точность базирования детали при изготовлении и контроле.

Правильное и более полное нормирование точности формы поверхностей, способствующее повышению точности геометрии деталей при их изготовлении и контроле, является одним из основных факторов повышения качества машин и приборов.

В статье рассматривается возможность задания отклонений от геометрической формы и расположения поверхностей с помощью математической функции ошибки цилиндрической поверхности еще на стадии проектирования детали. Несмотря на разнообразие, все формы микрогеометрии могут быть обобщены и уложены в определенную систему. Если учесть, что процесс обработки есть процесс периодический, то след режущего инструмента, оставшийся на детали, есть периодическая кривая, обладающая своим периодом, своей максимальной и минимальной амплитудой. Эта кривая аналитически может быть определена тригонометрическим рядом. В простейшем случае этот ряд вырождается в синусоидальную или косинусоидальную кривую.

Данные функции, предложенные полвека назад профессором Ю.И. Ляидоном и основанные на рядах Фурье, являются векторным пространством, плотным в пространстве С(Х), непрерывными на компакте X е Rw; они хорошо изучены в литературе [1, 2, 3]. Но полвека назад степень развития компьютерных технологий еще не обеспечивала необходимой производительности для проведения соответствующих расчетов и построения трехмерных моделей.

1. Функция ошибки цилиндрической поверхности

Аналитическое выражение ошибок цилиндрического вала. Функция задания отклонений от геометрической формы и расположения цилиндрических поверхностей

р Ч ¡к

fpju>v) = Е2Х- cos(ku + fe)sin—v. (1)

к-2 »=1

Функция f(u,v) определяется совокупностью величин ск, фк. Совокупность ск носит название спектра амплитуд. Совокупность величин фк называется соответственно спектром фаз [1].

Нахождение минимальных и максимальных значений ошибки формы. Для определения допусков необходимо нахождение следующих величин:

т = max(f(u,v)),(u,v)e D,

т_ = max(-f(u,v)),(u,v)g d, где D = {(u,v);ug [0,2x\ve [0,h]},

m+ = max(f (u,v)),(u,v)g D} - характеризует натяг;

m_ - max(-f(u,v)),(u,v)g DJ - характеризует зазор. Поставим следующую задачу минимизации погрешности формы:

¥(и,\>) = / (иу) = VI шл,

м 2/7

{г/е [0,2я] уе [О,И]

{

Следует отметить, что целевая функция р(и, v) является невыпуклой, а значит, стандартные методы выпуклой оптимизации к ней неприменимы, так как дают возможность нахождения лишь некоторого локального экстремума.

2. Минимизация разности двух выпуклых функций

3.С. программирование. Невыпуклые задачи оптимизации все больше привлекают внимание специалистов ввиду широкого поля приложений. Интересны с этой точки зрения задачи с функциями, представимыми в виде разности двух выпуклых функций, - <±с. функциями. Класс с!.с. функций является векторным пространством, порожденным конусом выпуклых функций, хорошо изученных. К тому же, класс РС(Х) <±с. функций оказывается плотным в пространстве С(Х)

непрерывных на компакте X <е К'1 функций: с1(РС(Х))=С(Х) (в топологии равномерной сходимости на X), что позволяет смотреть на любую непрерывную экстремальную задачу как на предел некоторого семейства <±с. задач оптимизации.

С другой стороны, класс С (Я") дважды дифференцируемых функций принадлежит ОС(Я"). Наконец, пространство с!.с. функций замкнуто относительно большинства обычных для оптимизации операций. Поэтому объясним довольно большой интерес специалистов к задачам с!.с. программирования. При этом методика исследования и решения этих задач весьма разнообразна и варьируется от метода ветвей и границ и стохастических подходов до применения различных двойственных теорий [3]. Задача с1.с. минимизации сводится к функции

Р(х) = g(x)- /(х) ^ тт,хе В, (2)

где /(■) и ) - выпуклые функции на К" с точки зрения так называемых условий глобальной оптимальности (УГО).

Условия глобальной оптимальности. Для характеризации глобального решения задачи (2) предлагается использовать следующее утверждение.

Теорема. Если допустимая точка ге I) является глобальным решением задачи (2) 8о1(%)), то

\/(у,Р): уе 1X13- /(у ) = . (3)

%(у)<р<шр(%Л)), (4)

8(х)-Р > (Ч/(у),х-у)Ухе О. (5)

Если, кроме того, выполнено следующее предположение:

Зуе 0:Р(у)>Р(г)£, (

то условия (3)-(5) становятся достаточными для того, чтобы допустимая точка г была глобальным решением задачи (2). Доказательство есть в [3].

Из доказательства теоремы можно заключить, что допустимая точка 2 является глобальным решением задачи (2) в том и только в том случае, когда справедливо следующее включение:

/Г1 : [ер1(8)ЫОх II)] с= &(/(•)+£). (6)

где С, — Р(г). Условия же (3)-(5) являются аналитическим элементом включения (6), что и объясняет появление р ,

поскольку, например, для выпуклой максимизации включение, соответствующее (6), имеет место в К", а не в К" \ как (6).

Стратегия глобального поиска. При решении линеаризованных задач и задач уровня предполагается использование стандартных методов выпуклой оптимизации. Поэтому разумным, по-видимому, было бы дополнительное использование неких методов локального поиска, допустим, на начальном этапе счета для перехода из старой точки к критической, что позволяет использовать мощные современные методы выпуклой оптимизации. Теперь есть возможность описать стратегию глобального поиска в более алгоритмической форме.

Пусть заданы начальная точка х0е D и числовые последовательности тк и 8к\ тк,5к >0, к - 0,1,2,..., тк Í0,5kl0(k-^«>).

Шаг 0. Положить к = 0, хА х0.

Шаг 1. Начиная с хк е D по средствам некоторого метода локального поиска построить тк - стационарную точку z\ Ск :=F(zk)<F(xk).

Шаг 2. Выбрать некоторое ¡3 е [ ¡3 ] ,

где /?_ = inf(g,D),($+ = sup(g,D).

Шаг 3. Построить некоторую аппроксимацию

Ak(/3)={v\...,vN»\f(V) = p-Ck,i = \,...,Nk,Nk=Nk03)}.

Шаг 4. Сформировать семейство индексов

h=h(P) = {i£ {l...,Nt\g(v')</}}}.

Шаг 5. Для каждого /е 1к найти г/

gCu'J-frfOO^-S, ¿mf{g(x)-ty(J),x)\xe D}. Шаг 6. Для каждого i е найти w1

Ы/(ф<),и!-0')+Зк < sup{(Vf(v),u' - v) I /Cv; = р kt }■

V

Шаг 7. Положить r¡k((3) := ^V/?> + /?,

где ; (yf(ú)J ),uf-coj)- g(uj)Amax{[Wf(co!),ti'-со1)-g(u¡)}.

Шаг 8. Если i]k((3) > 0 , то положить xA"+1 := иJ и вернуться на шаг 1.

Шаг 9. Если rjk((3) < 0 , то положить (3 := (3 + А(3е //?_,/?_] и вернуться на шаг 3.

Шаг 10. Если ?-/к(/3)<0, V/?e//? ,/? / (т.е. одномерный поиск по [3 завершен), то положить

к к + l,xk'] := zk и вернуться на шаг 1.

Наибольшую трудность в предложенном методе вызывают шаги 3, 5 и 6, на которых возникает необходимость построить аппроксимацию, решить линеаризованную задачу

g(x)-(Vf(yi),x}imm,xe Г) и задачу уровня (V/Yv),и' - v) t max,f(v) - ¡3 -£k.

На практике для решения линеаризованной задачи и локального поиска можно использовать имеющиеся численные методы выпуклой оптимизации. Остановку счета необходимо производить в случае, когда Г)к((3) < 0,

V/? е [ (3_, (3. ] и когда тк, 5к < х, где х - заданная точность.

D.C. представление функции ошибки формы. Возможно следующее d.c. представление функции в поставленной задаче:

F( 14,v) = g(u, v) - f( 11, V) ,

P 4 ift

g(u, vj= A(u2 + v2 + ^T cki cos( ku + фк ) sin — vi min,

k-2 1=1 2 h

f(u,v)=A(u2 + v2), где константа А > 0 выбирается из условия выпуклости функции g(u,v) :V2g(U,v) > 0 .

cos(.ku + Фк)sin= 2A-ax ,

cu A--2 /=1 2/7

9 f »'тг V 17[

7 = 2A-XXca Yh C0S(ku+^k)sm—v = 2A-a2,

C V k=2 i=l J

öwdv tltl k: \ 2h j

2h

= ^ (^jswfь + Фк)COS= -ß().

Оценим значения , a?, Д ,. Введем обозначение cmax = max с

k,i

ki

P 4

r

Тогда *, < Сяя£Т.к1 = ^ = М + +

А"-2 ;=1 ¿=2 V " /

7Г2

Алогично получаем < -~~~гСтахд(ц ++ \\р-1) = т2 и 24/7

Д. < —СтЛч+ЯР+-1) - ^. 8/?

Для выпуклости функции необходимо и достаточно выполнение условий 2 А>а1 и

(2А-ах)(2А-сс2)-Р1 > 0. Из выполнения первого неравенства с учетом второго следует необходимость неравенства 2 А> а2.

Введем еще одно обозначение: М = тах{т1,т2}. Очевидно, что (2А-а] )(2А-а,) > (2А -М)2 . Тогда достаточные условия выпуклости сводятся к следующим: 2А > М и (2А-М)2 >Ы2, откуда окончательно получаем, что в качестве А может выступать следующая константа:

„ М + Ы А =--.

Решение задачи уровня. На шестом шаге возникает задача уровня

J(x) = (у f(v),u' - у) Т maxj(v) = fi~Ck. Для нашего случая она примет конкретный вид:

| ./(и, V) - 2 Аи(и, -и)+ 2Ау(- у) Т тах, {А(г<2+У2) = /3-Ск,

где (и., У;) - решение линеаризованной задачи с шага 5. В этом случае задача уровня имеет аналитическое реше-

ние:

A(u} + v?) » = J-1-—и,.

V ß-Ct

у= A(«; + vj)

ß-C

f

к

Локальный поиск и решение линеаризованной задачи. Для локального поиска на шаге 1 предлагается следующий алгоритм.

Пусть задано некоторое начальное приближение л*'1 G D. Далее, если известна допустимая точка sk е D, то следующую итерацию sk~] е D будем искать как приближенное решение линеаризованной задачи:

J(x) = g(x) - (v/(xs), x) i min, X G D.

В качестве критерия остановки может выступать выполнение условия

Р(х$ )<т.

Сходимость такого локального поиска доказана. Однако на каждом шаге приходится решать задачу выпуклой минимизации (ту же, что и на шаге 5):

Рис. 1. Моделирование цилиндрического вала с учетом ошибок микрогеометрии (изометрический вид и вид сверху)

ITC 1

A(u2 + v2/¡Гck¡ cosíku + (pk)sin—v-2A(usu + vv) ф min,(u,v)g D.

k= 2 1

Для её решения можно использовать один из стандартных численных методов.

В системе ГеПАРД на основе созданного алгоритма было проведено моделирование вала с учетом ошибок микрогеометрии, результаты которого представлены ниже (рис. 1, 2).

Рис. 2. Пример моделирования натяга вала

Таким образом возможно задать любое отклонение формы аналитически, а также возможно для облегчения использования данного метода создавать идеальную поверхность и отдельно задавать уравнение ошибки и его параметры, которые могут быть использованы при дальнейшей работе с поверхностью.

Библиографический список

1. Дяндон Ю.Н. Основы взаимозаменяемости в машиностроении. - М.: Машгиз, 1951. - 141 с,

2. Журавлев Д.А., Грушко П.Я., Яценко О.В. О новых дифференциально-геометрических подходах к автоматизированному проектированию сборок с учетом допусков // Вестник ИрГТУ. - 2002, - № 12. - С. 82-92.

3. Стрекаловский А.С, Элементы невыпуклой оптимизации. - Новосибирск: Наука, 2003, - 356 с.

4. Компьютерные технологии в науке, технике и образовании: Учебник / Под общ. ред. А.И. Промптова. - Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2000. - 396 с.

5. Справочник. В 2-х ч./Мягков В.Д., Палей М.А., Романов А.Б., Брагинский В.А, - 6-е изд., перераб. и доп. - Д.: Машиностроение, Ленингр, отд-ние, 1982. - Ч.1.- 543 е.; 4,2. - 448 с.