CC BY
30
МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СТОЙКОСТИ "БАЛКИ", ОБРАЗОВАННОЙ ГРЕЙФЕРОМ
Адамовский Н.Г., Бакай Б.Я. (НЛТУ Украины, г. Львов, Украина)
The method of calculation of destruction of static stability of "beam ", formed logs in the process of capture by a grapple is offered in the article. The exact decision of task can be got, utilising the generalized functions and splines.
Введение. Усовершенствование существующих конструкций грейферных захватных механизмов для работы с пачками или пакетами круглых лесоматериалов, а также проектирование и создание принципиально новых надежных конструкций грейферов с оптимальными параметрами и минимальным собственным весом - сложные инженерные задачи, рациональное решение которых будет возможно тогда, когда станут известны усилия взаимодействия круглых лесоматериалов с грейферным захватом.
Все это свидетельствует о необходимости разработки теоретических решений для грейферных захватных механизмов, предназначенных для круглых лесоматериалов, на базе современных исследований в области прикладной механики с применением теории обобщенных (сингулярных) функций для решения задач устойчивости механических систем [1-3].
Цель и постановка задачи. При исследовании процесса захвата бревен грейферным захватом выявлено образование "балки" как сопутствующего при этом процесса [1]. Грейфер углубляется в штабель на определенную глубину, потом под действием усилий гидропривода осуществляет поворот рычагов и незначительное вертикальное перемещение их вниз. В результате чего происходит перемещение бревен. При этом они сначала перемещаются в зоны наименьших сопротивлений как во внутри контура грейфера так и вне него.
При перемещении бревен навстречу друг другу происходит их сжатие, которое приводит к возникновению "балки". Перемещение бревен вне контура, которое образуется рычагами грейфера, ведет к некоторому уплотнению штабеля. В результате зачерпывания бревен при смыкании рычагов грейфера происходит образование из контактирующих бревен жесткой "балки", а сама линия контакта характеризуется сложной кривой. Тем не менее, сопротивление этому уплотнению большое, поэтому рычаги под действием реактивных сил перемещаются к оси грейфера, что вызывает дополнительное усилие сжатия бревен в середине контура грейфера.
Рассмотрим "балку" как ряд круглых лесоматериалов одинаковых диаметров d , которые находятся на горизонтальной основе и сжимаются горизонтальными
силами. Длина "балки" L формируется количеством бревен n, размещенных в ряд L = ndср.
Каждое бревно "балки" n2..nn_x находится по своей образующей в непосредственном контакте с пятью бревнами по всей длине бревна.
Составляющую продольного усилия обозначим N. Критическая сила -это сила, которая необходима для разрушения "балки" путем выталкивания одного из бревен, из которых образована "балка". Нагрузки, которое возникают в "балке", представим как: силы N действия рычагов грейферного захвата; распределенная нагрузка дкол от действия бревен, расположенных над "балкой"; реакции опор Коп, на которых расположены бревна "балки".
Методика и решения поставленной задачи. Рассмотрим "балку" под действием сосредоточенных сил и моментов по координате х в точках £, £2. Известно, что действие равнодействующей, равномерно распределенной на участке длиной к от £ = ~ к £ = ~ + к, нагрузки при к ^ 0 можно заменить 8 -подобной последовательностью. А класс эквивалентных 8 -подобных последовательностей определяет сингулярную обобщенную функцию 8(х) = < (х). Интенсивность нагрузки при действии сосредоточенной силы в точке £ = £ есть запаздывающая сингулярная обобщенная функция < (х - £). Если в точке х = £ приложена сила Р, то интенсивность нагрузки д(х) = Р< (х - £ ). Аналитическое выражение интенсивности q(х) нагрузки при действии единичного момента равно q(х) = М< <г2 (х - £2), где <г2 - вторая производная от функции Хевисайда [4].
Пусть на "балку" действует силаР, и момент М0 щс. 1.
Р
Рисунок 1 - Схема сил и моментов действующих на "балку"
Интенсивность произвольной нагрузки, приложенной в точке х = х1, аналитически можно выразить с помощью сингулярных обобщенных функций
(1) (2)
(3)
(4)
q2 = Р<1(х - £1) + М0<2(х - £2)
<1(х - £1) = [<0(х - £)]х ,
<2(х - £1) = [<0(х - £)] х ,
где <0 (х - £) - функция Хевисайда <0 (х - £)=0 х<£
Г0 х < £
<0(х - £) Ч, ^ .
[1 х > £
Изгибающий момент в произвольной точке "балки" можно выразить через жесткость Е1 и вторую производную от нормального до оси "балки" перемещения о(х) формулой М(х) = -Е1и"(х), где и(х) - перемещение в точке х. Дифференциальное уравнение упругой линии "балки" имеет вид
Е1и" = -М„ - Мр.
(5)
где Мм, Мр - изгибающие моменты от сжимаемой силы N и силы Р. Мы = Ыи, поэтому
Е1и" = - Ыи- Мр, Продифференцировав уравнение (5) дважды, получим
Е1и1У =- Ыи" + д( х),
где д(х) = Р< (х - ^ ).
При действии п сосредоточенных в точках с абсциссами ^, ^, . моментов равно
(6) (7)
£ сил и
п
и + К и " =
К2
N
£Р<(X - ) + £М<2(Х - £ 1 )
1=1
(8)
у 2 N где К =—.
Е1
Таким образом получено уравнение сгиба "балки" при действии сжимаемой силы Ы, изгибающих сил Р, приложенных при х = £, и моментов М , сосредоточенных в точках £ .
1
На последующем этапе все точки контакта каждого бревна, которые образуют "балку", представим через сосредоточенные включения. Использование сосредоточенных включений при решении задач статики стержней вызывает необходимость использовать обобщенные функции [4]. Обобщенные функции применяются, с целью получения для линии прогиба одного аналитического выражения, пригодного для всей "балки", независимо от того, какие сосредоточенные включения имеются вдоль всей её оси.
Если имеются сосредоточенные включения различных видов, дифференциальное уравнение оси "балки" можно получить, используя принцип наложения, рис. 2.
Рисунок 2 - Схема оси "балки" с сосредоточенными включениями различных видов
1=1
Выполнив определенные преобразования, для общего случая упругого шарнира с упругими постоянными К и К получим уравнение
N0"
Е1п
1 + Е а^о (х - х)
]=1
Е1п
1=1
Ррх (х - х )+м1а2 (х - х )
/ г Л
1+Еа
у
Е-
1=1
1
1+Еа
V J=1 У
[ар'"(хг - 0) + К1го(хг - 0)]^(х - хг) + [ар"(хг - 0)- К2р (хi )]ст2(х - хг) +
п
+ Е Е10 [А 0 "(хК (х - ^ )+ А 0хК К (х - )]Г ,
(9)
к=1
где
Ло(х ) = о(х + 0) - о(х - 0) = - 2 '(х ) = .
г г г КЯ1 1 КЯ1
Таким образом, получено уравнение сгиба "балки" с включениями в упругое основание, с распределенной жесткостью, а также нагрузками типа сосредоточенных сил и моментов. Эти уравнения являются основными для исследования потерь стойкости "балки", сжатой силами N.
Уравнение (9) с граничными условиями можно решить методом сплайн-преобразования аргумента, который заключается в приведении уравнения с кусково-постоянными коэффициентами к уравнению с постоянными коэффициентами в левой части уравнения сгиба и сингулярной правой частью.
Выводы. Представленный материал предложен как методика расчета разрушения статической устойчивости "балки", образованной бревнами в процессе их захвата грейфернов. Отмеченные факторы дают возможность использовать предложенный подход для создания математических моделей при решении задач обеспечения прочности, жесткости, надежности и долговечности конструкций грейферов.
Показано, что точное решение задачи о статической устойчивости "балки" с кусочно-постоянной жесткостью, можно получить, используя обобщенные функции и сплайны.
Литература
1. Таубер, Б. А. Грейферные механизмы [Текст] / Б. А. Таубер. - М. : Машино-строение, 1985. - 272 с.
2. Парамонов, С. Д. Силы сопротивления при зачерпывании грейфером пачки круглых лесоматериалов [Текст] / С. Д. Парамонов, В. Г. Высочанский // Перс-пективные технологические процессы и системы машин на нижних лесных складах: труды / ОНТИ ЦНИИМЭ, - Химки, 1976. - С. 149-154.
3. Бакай, Б. Я. Погрузочные машины: надежность, скорость, качество [Текст] / Б. Я. Бакай // Оборудование и инструмент для профессионалов. - Х. : ЦентрИнформ, - 2007. - № 5 (93). -С. 102 - 107.
4. Лазарян, В. А. Обобщенные функции в задачах механики [Текст] / В. А. Лазарян, С.И. Конашенко. - К. : Наук. думка, 1974. - 192 с.
1
п
<
