Методика синтеза управляемых цифровых фильтров на основе аналоговых прототипов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.372.54.01

И.И. Турулин, Ю.И. Булгакова

МЕТОДИКА СИНТЕЗА УПРАВЛЯЕМЫХ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ НА ОСНОВЕ АНАЛОГОВЫХ ПРОТОТИПОВ

Предлагается методика расчета цифровых фильтров по аналоговым прототипам. Коэффициенты выражаются в элементарных функциях и явным образом зависят от частоты среза или граничных частот, что позволяет оперативно управлять фильтром. Это, прежде всего, различные адаптивные системы: адаптивное сжатие, адаптивная дискретизация, адаптивные фильтры, а также оптимальный прием сигналов на фоне помех.

Управляемый цифровой фильтр; аналоговый прототип; билинейное преобразование.

I.I. Turulin, Uy.I. Bulgakova

THE TECHNIQUE OF SYNTHESIS OF OPERATED DIGITAL FILTERS ON THE BASIS OF ANALOG PROTOTYPES

This is the suggestion of technique of synthesis of the digital controlled filter, based on analog prototypes. Coefficients are expressed by elementary functions and depend on cutoff frequency or border frequencies. That allows to operate by filter efficiently. This, above all, the various adaptive systems: adaptive compression, adaptive sampling, adaptive filters, as well as the optimal reception of signals in noise, and many others.

Operated digital filter; analog prototype; bilinear transformation.

.

цифровые фильтры с управляемой частотой среза (фильтры низких или верхних частот (ФНЧ и ФВЧ)) либо с управляемыми граничными частотами (полосно-пропускающие или полосно-загр^дающие фильтры (ППФ и ПЗФ)). Это прежде всего различные адаптивные системы: адаптивное сжатие, адаптивная дискретизация, адаптивные фильтры, а также оптимальный прием сигналов на фоне помех и . ,

, .

Описание метода. Как известно [1], передаточная функция по Лапласу любого аналогового фильтра равна

где ст и йп - постоянные коэффициенты.

Доказано [1], что при т < п (п - степень знаменателя - порядок фильтра)

Н (p) = cmpm + cm_x pm-1+... + c p + c0

pn + dn_ipn-1+... + dp + do ’

(1)

формулу (1) можно представить в виде H (p)= П Hj (p) либо в виде

j = 1

K

H (p )=q+£ hj (p^ где K < n, q - константа (как правило, q = 0), причем Нj (p)

j =1

есть передаточная функция биквадратного звена (звена II-го порядка):

либо звена 1-го порядка:

НІ (Р) =

Сд Р + с

І О

(3)

р+^ і о

і'-е звено ІІ-го порядка (2) характеризуєтся частотой і'-го полюса (о0і , его добротностью Qi и полосой пропускания А®;- :

ао і у ^І0

Qi "\і^іо/гід , Ас°і аоi/Qi

(4)

Выбор структуры управляемого фильтра. Для построения управляемого цифрового ФНЧ достаточно иметь аналоговый ФНЧ-прототип, ФВЧ - ФВЧ-прототип. ФНЧ и ФВЧ могут быть представлены в виде каскадного соединения биквадратных звеньев, если фильтр в целом имеет четный порядок. Для нечетного порядка к биквадратным звеньям добавляется одно звено 1-го порядка. ППФ и ПЗФ реализуются в виде каскадного или параллельного соединения ФНЧ и ФВЧ (рис. 1, а,б соответственно), что позволяет раздельно управлять граничными частотами фильтров, а также упростить выкладки.

ФНЧ

ФВЧ

ФНЧ

V

ФВЧ

а б

Рис. 1. Структуры управляемых ППФ или ПЗФ

Если использовать методы синтеза цифровых фильтров, основанные на преобразовании аналоговых прототипов в цифровые, можно получить цифровой , -ты среза в виде элементарных функций. Наиболее подходящим является метод билинейного преобразования как наиболее простой и допускающий т < п.

Билинейное преобразование выражается заменой переменной

2 1-Г

(5)

Для компенсации деформации оси частот, свойственной такому преобразованию, перед расчетом фильтра в его граничные частоты (и во все частотные параметры звеньев (т^, <ц„ Асц% Лт„); см. формулы (4), (7), (9)) вводят предыска-,

П

тІ

2

т

д

2

(6)

Расчет коэффициентов звеньев управляемых фильтров. Передаточная функция звена 1-го порядка общего вида равна

ср + тИ

Н (р) = ■

(7)

Р + ю0

где т0 - частота полюса (среза);

- , 0 1 ( р -).

Системная функция цифрового звена 1-го порядка:

Н (г) =

1—

Применив преобразование (5) к формуле (7), после преобразований получим:

1

ко1

2 + аоТд (8)

а1 = *01 {-Т - 2с);

Ь1 = к 01 (2 -—оТд )

где Тд - шаг дискретизации.

Передаточная функция биквадратного звена:

2 л 2

„/ \ ар + Аа р +

Н (Р ) = —---------------------------------------------------------------------------а > (9)

2 ао 2

Р + о1 Р + ао

оо

где ан - коэффициент, принимающий значения ±1.

Системная функция цифрового биквадратного звена:

а + а г — + а V—

н (г) = -

1 - Ь11 1 - Ь21 2

где его коэффициенты, полученные с помощью метода билинейного преобразования из формулы (5), выражаются формулами:

к0 =----------------------1-;

о г -*пТ

4 + 2-0^ + (— Т )2 уо

К = 4а - 2А-Т + а„ (-Т )2; ао = кокл;

К0Ь2^ (-Т )

= к0 [4а + 2А-"ТЛ + аи (—"Тл )2 ];

аі = к0[2ан(аТ)2 -8а]; (іо)

Ьі = ко[8 - 2(а Т )2];

Ь2 ко

2О- - ат)2 - 4

°о

где — и —0 - частоты нуля и полюса соответственно с предыскажениями;

—о - резонансная частота /-го звена П-го порядка,

А— = —/ б о, А— =—/ <2я.

Разностные уравнения, реализующие звенья 1-го или 11-го порядка управляемого ФНЧ или ФВЧ, имеют стандартный вид [1] и выражаются формулами

9о

Уп = ax + aiXn-1 + biyn-1,

Уп = aGXn + aiXn-i + a2Xn-2 + ЬіУп-і + Ь2Уп-2,

(12)

(ii)

где yn - выходной, - входной цифровой сигнал звена (коэффициенты звеньев

одного ФНЧ или ФВЧ будут разные).

Для звена I-го порядка коэффициенты определяются формулой (8), для звена II-го порядка - формулой (10).

Алгоритм синтеза управляемого фильтра

1. ( , . .)

( ), n ( ,

т.д.) фильтра, структуры фильтра: каскадная (см. рис. 1,а) или параллель-( . . 1, ).

2. Для ФНЧ и ФВЧ производят расчет звеньев (I-ro и/или II-го порядка)

фильтра для частоты среза 1 рад/с, например, с помощью программы Filter Solutions. Для каждого звена II-го порядка получаются значения нулей W,, и полюсов W0 (обозначения в программе), а также их добротности Q,, и Q0. Эти параметры печатаются над числителем (W„, Q,,) и под знаменателем (W0, Q0) передаточной функции (Transfer Function). Каскадное соединение звеньев выбирается установкой флажка «casc», параллельное - флажка «para». Иногда числитель передаточной функции умножен на постоянный коэффициент к.

3. Программирование коэффициентов формул (8) и (10). Все параметры, имеющие размерность частоты, в программе, реализующей управляемый

, ( ).

4. При задании или перестройке частоты среза ФНЧ или ФВЧ юс в программе-фильтре пересчитывают ее в afc по формуле (6). Значения W,,, W0

используются как безразмерные мультипликативные поправки к частотам

Solutions

II- , , -

ред домножением на частоту среза из него надо извлечь квадратный ко. Filter Solutions I- -

ние частоты полюса, то частота среза домножается на свободный член I- .

5. Рассчитанные параметры со", О , подставляют в формулы (8) и (10) и получают новые коэффициенты фильтра, которые используют в разно, . управляемого ФНЧ или ФВЧ домножают на коэффициент к (или сигнал управляемого фильтра в целом - на произведение коэффициентов к для

- . 1).

Схематически процесс управления частотой среза ФНЧ или ФВЧ выглядит следующим образом: ю ^ формула (6) ^ формулы (8), (10) ^ формулы (11), (12). Подробное описание методики с примерами и имитационными моделями приводится в [2].

Оценка вычислительной сложности перестройки. Для перестройки биквадратного звена общего вида требуются следующие операции: 4 сдвига, 8 сложений, 16 умножений, 3 деления, 2 тангенса. Для ФВЧ или ФНЧ операций будет

n /2 , n - .

. , -но просто синтезировать управляемые цифровые фильтры.

9i

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лэм Г. Аналоговые и цифровые фильтры: расчет и реализация. - М.: Мир, 1982. - 452 с.

2. Турулин НИ. Управляемые цифровые фильтры / Технолог. ин-wt. Южн. федерал. ун-тета. - Таганрог, 2009. - 260 с. Библиогр. 22 назв. Рус. Деп. в ВИНИТИ 18.06.09. №383-В2009.

Статью рекомендовал к опубликованию к.т.н. АЛ. Долгов.

Турулин Игорь Ильич

Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.

E-mail: [email protected].

347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.

Тел.: 88634371638.

Кафедра автоматизированных систем научных исследований и экспериментов; профессор.

Булгакова Юлия Ивановна

E-mail: [email protected].

Тел.: 88634673641.

.

Turulin Igor' Il'ich

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.

E-mail: [email protected].

44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.

Phone: +78634371638.

The Department of Automated Research Systems; Professor.

Bulgakova Uyliya Ivanovna

E-mail: [email protected].

Phone: +78634673641.

Postgraduate Student.

УДК 621.37

Н.Н. Прокопенко, А.И. Серебряков, П.С. Будяков

МЕТОДЫ ВЗАИМНОЙ КОМПЕНСАЦИИ ВЛИЯНИЯ ТОКОВЫХ

АВТОНОМНЫХ ПАРАМЕТРОВ ТРАНЗИСТОРОВ НА НУЛЕВОЙ УРОВЕНЬ АНАЛОГОВЫХ МИКРОСХЕМ

Рассматривается задача синтеза структурных и принципиальных схем аналоговых устройств (отрационных усилителей, непрерывных стабилизаторов, компараторов напряжения и т.п.), имеющих малый нулевой уровень (исм), и его дрейф в условиях температурных и радиационных воздействий. При этом за основу для модернизации приняты хорошо известные схемы базовых аналоговых микросхем, в которые по сформулированным ниже правилам вводится некоторая структурная избыточность, обеспечивающая умень-

и - .

Радиация; температура; напряжение смещения нуля; операционный усилитель; ком; .