Методика расчета нижней оценки стоимости соединений в задачах размещения промышленных объектов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Экономические и гуманитарные науки

УДК 004.8:502

МЕТОДИКА РАСЧЕТА НИЖНЕЙ ОЦЕНКИ СТОИМОСТИ СОЕДИНЕНИЙ В ЗАДАЧАХ РАЗМЕЩЕНИЯ ПРОМЫШЛЕННЫХ ОБЪЕКТОВ С.Я. Егоров

Кафедра «Автоматизированное проектирование технологического оборудования», ТГТУ

Представлена членом редколлегии профессором В.И. Коноваловым

Ключевые слова и фразы: автоматизированное проектирование; размещение промышленных объектов; теория графов.

Аннотация: Рассматриваются вопросы, связанные с разработкой алгоритмов для поиска оптимальных решений задач размещения промышленных объектов. Предлагается методика оценки суммарной стоимости соединений в задачах размещения, определенных на упорядоченном множестве пригодных для установки позиций.

Введение

За последние годы проблемами автоматизированного размещения стали интересоваться во многих областях промышленности. Это проектирование жилых зданий и сооружений в строительстве, размещение интегральных схем на платах и их трассировка в радиоэлектронике, компоновка технологического оборудования в машиностроении и химической промышленности и т.д. Существует множество различных постановок задач размещения, отличающихся критериями, разной степенью проработки математических моделей и подходами к их решению. Каждая из этих задач имеет свои особенности, но есть и общие черты, которые присутствуют практически во всех задачах. Это, прежде всего, объекты размещения, перечень которых, как правило, всегда известен, и связи между этими объектами во многом определяют получаемые решения. Последние, чаще всего, выступают в качестве оценки получаемых решений. В плане постановки многие задачи размещения - это комбинаторные задачи, подразумевающие существование множества вариантов решений. Причем многие из них относятся к классу № трудноразрешимых задач, точное решение которых удается получить лишь в некоторых частных случаях или при ограниченном числе размещаемых объектов [1]. Типичная постановка задачи размещения может быть сформулирована следующим образом: имеется М позиций пригодных для размещения и N объектов размещения с заданной структурой связей между ними. Причем М > N. Требуется найти такое распределение объектов по позициям, при котором минимизируется некоторая целе-

вая функция. Чаще всего это суммарная стоимость или длина соединений между размещаемыми объектами.

Существует множество методов и алгоритмов решения соответствующих задач. Большинство из них сводится к поиску локального экстремума целевой функции. При этом часто приходится выбирать между временем решения задачи и полученным значением целевой функции. Причем различные алгоритмы, примененные для решения одной задачи, дают различные значения локальных минимумов целевой функции. Поэтому представляет интерес получение нижних оценок целевой функции, что позволит использовать их для оценки качества получаемых решений.

Методика расчета

Ниже рассматривается методика расчета нижней оценки целевой функции, заданной в виде суммарной стоимости соединений между размещаемыми объектами с учетом размеров области размещения и сложности структуры связей между объектами.

Для получения оценки минимальной суммарной длины связей в рассматриваемой задаче для большей наглядности представим размещаемые объекты и связи между ними в виде графа О = (X, V), где Х - множество размещаемых объектов (вершины графа); V - множество технологических связей (ребра графа), причем Х| = Ы, |и| = Ь. Пусть также задана сетка Ог с шагом равным 1 м, число узлов п которой больше или равно N. В частности, можно считать, что п = Ы, так как всегда можно расширить множество Х путем добавления новых (фиктивных) вершин, то есть будет выполняться равенство п = N. Тогда ребра графа будут иметь длины 1, 2, ..., к. Если Ог имеет размеры тхI, то максимальная длина ребра в графе к = т + I - 2.

Введем понятие стандартного графа Од =(Xд, ид) для графа О = (X, V), отображенного в сетке Ог . Граф Од имеет |Хд| = |Х| , \ид| = |Ц| .

Основная идея нахождения нижней оценки суммарного веса ребер произвольного графа О = (X, V) заключается в следующем. Сначала подсчитывается число вершин и ребер графа О. Далее в координатной сетке Ог строится стандартный граф Од =(Xд, Vд), имеющий такое же число вершин и ребер как и граф О. Построение ведется путем последовательного помещения в сетку сначала всех ребер Од, длина которых равна 1 м. Если число ребер графа Од с длиной 1 м равно или больше числа ребер графа О, то процесс построения заканчивается. В противном случае последовательно добавляются ребра с длинами 2, 3 м и далее до тех пор, пока общее число ребер графа Од не станет равным числу ребер графа О. Затем производится ранжирование ребер графа О по весам таким образом, что ф( V-) > ф(Ui+l) "і = 1,1, где ф^-) - вес V- -го ребра, длина которого равна 1 м, и эти веса приписываются ребрам графа Од в соответствии с порядком построения его ребер.

Тогда, подсчитав суммарную стоимость ребер графа Од , получим нижнюю оценку минимальной суммарной длины для графа О

т1 т2 тк

I (Од) = £ ф( V / ) + 2^ ф^т1+/) + к£ фК^ +...+тк_1+/ ) , (1)

}=1 /=1 /=1

где т- - число ребер графа Од, длина которых равна -, - = 1, 2, ., к.

Из приведенных рассуждений следует теорема.

Теорема 1. Минимальный суммарный вес произвольных графов с вершинами N и ребрами Ь не может быть меньше суммарного веса ребер соответствующего стандартного графа Од .

Доказательство теоремы следует из построения стандартного графа. Рассмотрим пример.

Пусть дан граф О = (X, V), изображенный на рис. 1. В этом графе 1X1 = 6, IV = 10. Обозначим Ф(Ц) = {ф^-)|і = 1,10} - веса ребер. Положим

Ф(Ц) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}. Для подсчета нижней оценки веса ребер графа О построим стандартный граф Од по описанному выше правилу (рис. 2).

Учитывая, что расстояние ^ / между двумя произвольными вершинами в графе Од определяется по формуле

^ / = |ті _ т/1 + |/і _I/1,

Рис. 2

где ші , Шу, Іі , І у - координаты вершин хі, Ху є Од в сетке Ог с координатными осями ш и І, а шаг сетки равен 1 м. Получим, что в данном примере ребра иі, і = 4,10 имеют длину 1 м, а ребра П - длину 2 м.

Упорядочив вес ребер графа О в порядке их убывания и приписав их ребрам графа Од в порядке его построения, получим по формуле (1) нижнюю оценку веса ребер графа О

10 3

1 (°д) = Е ф(П) + 2^ ф(П) =20 + 18 + 16 + 14 + 12 + 10 + 8 + (6 + 4 + 2) = 122. і=4 і=1

Очевидно, что построенный граф Од в общем случае не изоморфен графу О, так как структура связей в графе Од не тождественна О и, следовательно, приведенная выше оценка является весьма грубой.

Другой, более точный, способ оценки нижней границы веса ребер графа О, отображенного в сетку Ог, основан на подсчете веса ребер графа с учетом структуры связей и расположения вершин графа в сетке.

Сопоставим каждой вершине хі звездный граф Уі , который состоит из множества Пі єП ребер, имеющих своим концом вершину хі . Под стоимостью ребра П у будем понимать величину у (и у ) = ёу ф(иу), где ёу - длина ребра и у. Под

стоимостью у(Уі) звездного графа будем понимать суммарную стоимость его ребер, то есть

у(^) = Е у(иу )= Е ф(иу)а]. (2)

иуєПі иуєПі

Относительно любой вершины хі остальные, смежные ей, можно расположить так, чтобы у(Уі) имела минимальное значение. Сумма минимальных стоимостей звездных графов и будет нижней оценкой А множества всех решений А = {А =(хі, уі, іі )|і = 1,...,N}, где хі є{1,...,ш}, уі є{1,...,п}, іі є{1,...,п}, т.е. минимальной стоимостью соединений, которая определяется как

л N л N

/(а*)=:2і¥(^ ) = -Е Е ф(иу)ёу. (3)

2 і=1 2 і=1 иуєПі

Сумма делится на два, так как каждое ребро входит в состав двух звездных графов. Для каждого множества ребер Пі строится упорядоченный вектор их весов Фг- =(фк (иу) к = 1,2,..., Бі ; фк (иу) < ф^-1 (иу); иу є иі), где фк (иу) - вес

ребра и у є иі с порядковым номером к в векторе Фг-, Д = \Пі |.

Лемма 1. Минимальная стоимость звездного графа Уі на неограниченной сетке определяется как

"Ч 2 n

y(V ) = Ефк (uj) + 2ЕфЩ1+k (u}) +... + Ефгmi+m2 +...+mn+1+k (uj), (4)

к=1 к=1 k=1

n

где mr = 4xr, r = 1,2,...,n, Еmr = Ui |.

r

r=1

Доказательство легко установить из рис. 3, на котором изображена вершина хг0 и свободные позиции, расположенные на расстоянии 1, 2, ..., п от вершины Х/о, в которых в порядке убывания весов ребер располагаются вершины, смежные с хг0.

Положим теперь, что множество позиций, в которых размещаются вершины, ограничено сеткой заданного размера тXI.

Тогда минимальная стоимость звездного графа V/ будет зависеть от положения вершины х/ на сетке.

Лемма 2. Минимальная стоимость звездного графа V' на сетке размером тXI зависит от положения вершины хг0 в сетке и определяется как

Рис. 3

S ^2 S.

y(v)=Z j (uj)+2Z jS1+k (uj)+nZ j1 k=1 k=1 k=1

Si +S2 +• • •+/«—! +k

■+k (uj )•

(5)

где Бг - число позиций в сетке, отстоящих от вершины хго с координатами т/о, 1/0 на расстоянии г.

Введем обозначения:

/1 = min {m — mio, r — 1}; i* = min {mi0 — 1, r};

/3* = min {mi0 — 1, r — 1}; i* = min {m — m/o'; r};

j* = min {/— //o, r};

j* = min { — //o, r — 1};

j3 = min {/o—1r};

j* = min {/0 — 1;r — 1}.

Тогда £г определяется по формуле:

^г =х(/1 + Л +1 - г К'х* + Л +1 - г ) + %( '2 + }*! +1 - г )('2 + }\ +1 - г ) + + %(/3 + Уз +1 - г )(4 + Уз +1 - г ) + %('4 + у4 + 1 - г )('4 + у4 + 1 - г ),

где %(Г) - функция Хевисайда, равная

' 1 Г1. ?>0;

C(t) =

0, t < 0.

Рассмотрим пример (рис. 4).

Для вершины Х'о имеем т/о = 2; 1/0 = 2. Рассчитаем значения £г для г = 1, 2, ..., к, где к = (т-т/о) + + (/ -110 ) = 9 - 2 + 4 - 2 = 9;

3AWW\8 9

2 /1\ 2 3. 4Ч 5 6 7Х 8 1 л;.,, 1 > .! 1 ' 6 -

2\\/:\/3/лЛ5/б/7/8

123456789 Рис. 4

m

r = 1

* Л ■*

■і = 0, i2 =

r = 2 i1 = 1, i2 =

r = З

.* /-* .*

i1 = 2, i2 =

r = 4 i1 = З, i2 =

r = 5

•* А •*

i1 = 4, i2 =

r = б

* _ *

i1 = 5, i2 = r = 7 i1 = б, i2 =

r = В

i1 = 7, i2 =

r = 9

i1 = 7, i2 =

■з = 0, і* = І;

ІЗ = І, І4 = 2;

jl = l, j = 0 j3 = l, j4 =0;

■* -І ■* 1 ■* 1 ■* 1

j1 = 2 j2 = 1, j3 = 1, j4 = 1;

S4 = 1 +1 +1 +1 = 4;

S2 = 2 +1 +1 + 2 = б;

S3 = 2 +1 + 0 + 2 = 5;

■3 = 1 i4 = 3; j1 = 2, j2 = 2 j3 = 1, j4 = 1;

■З = 1, i* = 4; j* = 2, j* = 2, j3 = 1, j* = 1; S4 = 2 + 0 + 0 + 2 = 4:

■3 = 0, 14 =5; jl* = 2, j'* = 2, j3 =1, j* =1

■* -і ■* -1 ■* 1 ■* 1

j1 = 2, j2 = 2, j3 = 1, j4 = 1;

j1 = ^ j2 = 2, j3 = 1, j4 = 1; S7 = 2 + 0 + 0 + 2 = 4

j1 = ^ j2 = 2, j3 = 1, j4 = 1;

i;3 = 1, i4 = б;

■з = 1, іл = 7;

S5 = 2 + 0 + 0 + 2 = 4;

S6 = 2 + 0 + 0 + 2 = 4;

13 = 1 i4 = 7;

S8 = 2 + 0 + 0 +1 = 3;

■З = 1, іл = 7;

j1 = 2, j2 = 2, j3 = 1, j4 = 1; S4 = 1 + 0 + 0 + 0 = 1

С учетом приведенных выше соображений нижнюю оценку суммарного веса ребер графа О = (X, П), отображенного в сетку Ог, можно определить по следующему алгоритму:

- для каждой вершины хі по формуле (4) подсчитываем минимальный вес

ребер звездного графа у(Уі);

- вершины графа О ранжируем по величине у(Уі), то есть у(Уі) > у(^+1),

/ = 1, N -1;

- далее в порядке убывания весов звездных графов размещаем вершины в сетке, начиная с позиций в центре сетки и кончая позициями, находящимся в углах сетки;

- по формуле (5) подсчитываем веса ребер звездных графов с учетом позиций вершин графа на сетке;

- и, наконец, воспользовавшись формулой (3) определяем нижнюю оценку веса ребер графа О.

Теорема 2. Минимальный суммарный вес ребер графа О(Х, V) на сетке размером т XI не может быть меньше величины, определяемой согласно выражениям (3) - (5), т.е. 1(А) > /(О).

Доказательство следует непосредственно из лемм 1, 2 и построения нижней оценки графа О.

Для примера воспользуемся ранее рассмотренным графом (см. рис. 1).

1. По формуле (4) рассчитываем веса звездных графов для каждой из вершин:

= X ^ и ) = 18 + 8 + 6 + 2 = 34;

к=1

У(72) = 12 +10 + 2 = 24 ; у(73) = 14 + 6 = 20; у(74) = 16 +18 + 4 = 28;

4 1

У(75) = X Ф5 (и]) + 2^ Ф4+1 (и] ) = к=1 к=1

= 20 + 18+16 + 14 + 2x12 = 92; Рис. 5

У(76) = 20 +10 + 4 = 34.

2. Ранжируем вершины по весам ребер звездных графов

X = {х5, х1, хб, х4, х2, хз } .

3. Размещаем вершины в сетке. Вершины х5 и х1 размещаем сооветственно в

* *

две центральные позиции на сетке с координатами т5 = 2; 19 = 1; т = 2; ^ = 2.

Остальные вершины расположим в углах сетки, например, как показано на рис. 5.

По формуле (5) подсчитываем нижние оценки для каждого звездного графа с учетом расположения их вершин в сетке:

у(71) = 18 + 8 + 6 + 2 х 2 = 36;

У(72) = 12 +10 + 2х2 = 26 ;

у(73) = 14 + 6 = 20;

у(74) = 16 + 8 + 2 х 4 = 32;

У(75) = 20 +18 +16 + 2х(14 +12) = 106 ;

У(76) = 20 +10 + 2 х 4 = 38.

В завершение, по формуле (3), определяем нижнюю оценку графа О 1(О) = 1/2(36 + 26 + 20 + 32 + 106 + 38) = 129.

Реальный расчет веса ребер для варианта, представленного на рис. 3, дает величину ДА) = 138.

Сравнение нижних оценок, полученных по первому и второму способу, показывает, что второй способ более точен. Однако следует заметить, что результат здесь в значительной мере зависит от структуры связей вершин в графе О. Практические расчеты показывают, что второй способ предпочтителен, если в графе О существуют вершины с числом связей > 4 . В противном случае результаты практически не отличаются.

Практическое использование

Полученные оценки минимального веса ребер звездных графов, построенных на вершинах графа О = (X, П), практически использованы при разработке оптимизационных алгоритмов для решения задачи компоновки технологического оборудования ХТС в объеме цеха [2]. Алгоритмы базируются на использовании методов парных и групповых перестановок для улучшения первоначального варианта размещения.

Содержательная (словесная) постановка задачи компоновки формулируется следующим образом: определить с учетом всех правил, требований и ограничений такое пространственное расположение оборудования ХТС с заданной структурой технологических связей и такие габариты производственного помещения, при которых затраты на проектируемый объект были бы минимальными.

С учетом приведенных выше рассуждений алгоритм решения задачи можно описать следующей последовательностью шагов:

1) получение начального варианта размещения оборудования с помощью метода последовательного размещения;

2) выделение среди размещаемых аппаратов подмножества переставляемых аппаратов;

3) расчет нижней оценки стоимости связей (Ен) для выделенного подмножества аппаратов (по изложенной выше методике) и сравнение его значения с реальным (Ер);

4) если Ен < Ер - ДЕ, то переходим к пункту 5. В противном случае возврат на пункт 2;

5) улучшение варианта размещения за счет перестановок аппаратов из выделенного подмножества;

6) если есть еще не рассмотренные подмножества аппаратов, то переход в пункт 2, в противном случае - останов.

Приведенная выше общая схема алгоритма отражает лишь общие черты решения задачи. Основным «трудным» моментом в нем является определение подмножества аппаратов, на которых осуществляется улучшение значения целевой функции.

Один из возможных подходов выделения таких подмножеств заключается в следующем:

- для каждого аппарата подсчитывается сумма весов ребер звездного графа (стоимость связей);

- производится ранжирование аппаратов по весам их связей;

- берется первый аппарат, затем аппарат с большим весом, но не связанный с первым, затем аппарат с большим весом, но не связанный с уже выбранным и т.д.

Таким образом, получаем подмножество несвязанных между собой аппаратов. Особенность такого разбиения заключается в том, что исходная задача размещения сводится к хорошо известной задаче линейного программирования -задаче о назначениях, и соответственно эта задача может быть точно решена с привлечением соответствующего математического аппарата.

Другой подход при выделении подмножеств размещаемых объектов, пригодных для перестановки, сводится к следующему:

- как и в предыдущем случае, аппараты ранжируются по весам ребер звездных графов, соответствующих каждому аппарату;

- по методу парных перестановок производятся перестановки только для аппаратов, у которых отклонение ДЕ = Ер - Ен максимально.

Варьируя значением ДЕ можно «настраивать» соответствующий алгоритм на решение конкретной задачи.

Практически, алгоритмы, реализующие описанные выше подходы, реализованы в виде отдельных программных модулей и включены в программное обеспечение информационно-графической системы компоновки промышленных объектов [3].

1. Michael, C. Georgiadis. General mathematical programming approach for process plant layout / Michael C. Georgiadis, Gordian Schilling, Guillermo E. Rotstein, Sandro Macchietto // Computers and Chemical Engineering. - 1999. - No. 23. -P. 823-840.

2. Егоров, С.Я. Информационно-логическая модель компоновки промышленных объектов / С.Я. Егоров, В.А. Немтинов, М.С. Громов // Научно-техническая информация. - 2006. - Серия 2, № 4. - С. 19-23.

3. Егоров, С.Я. Автоматизация компоновки оборудования в цехах ангарного типа. Часть 3. Информационно-графическая система трехмерной компоновки оборудования / С.Я. Егоров, В.А. Немтинов, М.С. Громов // Химическая промышленность. - 2003. - № 8. - С. 35-39.

The Technique for Calculation of Lower Estimate of Connection Cost in the Task of Industrial Objects Location

S.Ya. Egorov

Department “Automated Designing of Technological Equipment”, TSTU

Key words and phrases: automated designing; graph theory; industrial objects location.

Abstract: Matters associated with the development of algorithms for the search of optimum solutions to the tasks of industrial objects location are studied. The technique for estimation of total cost of connections in the tasks of certain objects location on the well-ordered set of positions suitable for location is proposed.

Methodik der Berechnung der unteren Bewertung der Verbindungen in den Aufgaben der Anlage der Industriellobjekte

Zusammenfassung: Es werden die Fragen, die mit der Erarbeitung der Algorithmen fur die Suche der optimalen Beschlusse der Aufgaben der Anlage der industriellen Objekte verbunden sind, betrachtet. Es wird die Methodik der Einschatzung des summarischen Preises der Verbindungen in den Aufgaben der Anlage der auf der ordentlichen Menge bestimmten Positionen vorgeschlagen.

Methode du calcul de la minoration du cout des assemblages dans les problemes de la localisations des unites industrielles

Resume: Sont examinees les questions liees a l’elaboration des algorithmes pour la recherche des solutions optimales de la localisations des unites industrielles. Est proposee la methode de l’estimation du cout total des assemblages dans les problemes de la localisations des positions convenant pour la localisation definie sur l’ensemble ordonne.