Методика расчета коэффициентов смещения для колес реверсивной эвольвентной зубчатой передачи Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 62-233.3/.9

Канд. техн. наук А. Г. Попович, канд. техн. наук В. Г. Шевченко

Запорожский национальный технический университет, г. Запорожье

МЕТОДИКА РАСЧЕТА КОЭФФИЦИЕНТОВ СМЕЩЕНИЯ ДЛЯ КОЛЕС РЕВЕРСИВНОЙ ЭВОЛЬВЕНТНОЙ ЗУБЧАТОЙ ПЕРЕДАЧИ

Выведены формулы для суммы толщин изношенного слоя на поверхностях зубьев шестерни и колеса эвольвентной прямозубой зубчатой передачи при контакте этих зубьев в крайних точках активной линии зацепления. Составлено уравнение, связывающее такие значения коэффициентов смещения х и х2 для шестерни и колеса эвольвентной передачи, при которых увеличение бокового зазора между зубьями в зацеплении вследствие износа будет минимальным. Решение этого уравнения совместно с условием вписывания передачи в заданное межосевое расстояние позволяет определить значения х и х2, при которых во время реверсирования передачи динамические нагрузки на зубья, претерпевшие износ, будут минимальными.

Ключевые слова: эвольвентная зубчатая передача, коэффициент смещения, удельное скольжение, износ, боковой зазор.

Введение

Зубчатые передачи являются наиболее распространенным видом механических передач, поэтому принятие технически обоснованных решений при их проектировании дает значительную экономию материальных ресурсов. Одной из причин снижения долговечности зубчатых передач является износ активных поверхностей зубьев, из-за которого увеличиваются боковые зазоры в зацеплении, возрастают динамические нагрузки в зубчатой передаче и ее шум.

Известно, что у тяжелонагруженных зубчатых

передач эпюры износа по профилям зубьев кор-

0

релируют с эпюрами величин 01 и [1], где величины 0ниЖ1 и

где уск — скорость скольжения между зубьями в рассматриваемый момент зацепления;

у^ и У^ — скорости, с которыми точка контакта зубьев перемещается вдоль эвольвент-ных профилей зубьев шестерни и колеса соответственно.

Поскольку наибольший износ обычно наблюдается у ножек зубьев, то для сопоставления износостойкости колес зубчатой пары (если твердости активных поверхностей зубьев обоих колес примерно одинаковы) принято использовать

0

ниж2

Здесь через 0ниж1 и

12

01 и 02 — удельные скольжения в точках на эвольвентных профилях зубьев шестерни и колеса соответственно, и12 — передаточное отношение. При этом по истечении определенного времени работы передачи толщина изношенного слоя на активном профиле зуба имеет наименьшее значение в точках на начальной окружности (проходящей через полюс зацепления Р), а большие значения — в точках, лежащих ближе к нижней активной точке профиля зуба, а также в точках, лежащих ближе к окружности вершин [2].

Удельные скольжения определяются по формулам [1]:

ниж2 обозначены удельные скольжения в ниж-

0

них активных точках эвольвентных профилей

зубьев колес; и12 =— , где ю1 и ю2

угловые

скорости вращения шестерни и колеса.

В работе [3] выведены формулы для расчета толщины Н изношенного слоя в произвольной точке активного профиля зуба и для определения ресурса работы % зубчатого колеса по критерию износа. В случае, когда рассматриваемое зубчатое колесо зацепляется только с одним зубчатым колесом, эти формулы в наших обозначениях имеют вид:

01 =

0 2 ="

Ткпр

(1)

Н = I ■ 2 ■ s-0--

2 ■р

(2)

и

12

2

ск

ск

у

у

ю

к.пр

у

© А. Г. Попович, В. Г. Шевченко, 2015

[h]

I - 2 • 5-е--

(3)

2-p

где 5 — полуширина полоски контакта зубьев;

ю

-— — число оборотов зубчатого колеса за 2 • р

одну секунду;

t — время работы передачи (в секундах в системе единиц СИ);

[И] — допустимая величина износа;

I — интенсивность изнашивания, I =

A h

A 1тр

A h — приращение толщины изношенного слоя, соответствующее приращению пути трения

A 1тр •

Назначая коэффициенты смещения исходного производящего контура xj и x2 для шестерни и колеса соответственно, конструктор может влиять на сопротивление зубьев колес контактным и изгибным нагрузкам, а также на их сопротивление изнашиванию. Действительно, значения xj и x2 влияют на радиусы кривизны эвольвентных профилей, на толщину зубьев колес на окружностях впадин и окружностях вершин и на значения удельных скольжений в нижних активных точках профилей зубьев колес.

В статье [4] построены графики зависимости ресурса работы прямозубой эвольвентной зубчатой передачи tnep = min(tj;t2) от коэффициента смещения xj при условии постоянства суммы

xj + x2 = const • Предельным состоянием считалось такое, когда толщина изношенного слоя в наиболее изнашиваемом месте активного профиля зуба

достигает заданного допустимого значения [h]. Рассмотрен случай нулевой передачи (x1 = - x2) и положительной передачи (x1 + x2 = 0,92); показано, что зависимость tnep(xj) имеет максимум.

У реверсивных среднескоростных и быстро -ходных передач для снижения динамических нагрузок на зубья, возникающих при пусках, остановах и изменении направления вращения зубчатых колес, следует ограничивать боковой зазор d между зубьями в передаче. Приращение бокового зазора между зубьями (по отношению к боковому зазору в неизношенной передаче) будет тем больше, чем больше сумма толщин изношенного слоя в сопряженных точках на активных профилях шестерни и колеса. Эта сумма

имеет наибольшие значения (ИниЖ1 + Ивер2) и

(Иниж2 + Ивер1), когда зубья шестерни и колеса контактируют в крайних точках активной линии зацепления. Здесь Иниж1 и Иниж2 — толщина изношенного слоя в нижних активных точках профилей зубьев шестерни и колеса соответственно;

Ивер1 и Ивер2 — толщина изношенного слоя в точках профилей зубьев, расположенных у окружностей вершин шестерни и колеса.

Цель работы — разработать методику расчета

коэффициентов смещения х1 и х2, при которых значения суммы толщин изношенного слоя

(Иниж1 + Ивер2) и (Иниж2 + Ивер1) будут равны друг

другу.

Основная часть

Согласно рекомендациям [5], интенсивность изнашивания зубьев I можно представить в виде произведения безразмерных комплексов:

I=

( Р^ ^

VHZ

•П,

(4)

где рср — среднее давление на площадке контакта зубьев;

Н — твердость поверхностного слоя материала зубьев, выраженная в единицах давления;

через п обозначено произведение безразмерных комплексных величин, учитывающих толщину смазочного слоя и приведенный параметр шероховатости поверхностей зубьев, адсорбционные свойства смазки и ее вязкость.

Значение п будет одинаковым для обоих колес зубчатой передачи в любой момент зацепления.

В энциклопедическом томе [5] приводятся результаты испытаний зубчатых колес, в которых было получено значение показателя степени 1 = 1. Это согласуется со справочником [6], согласно которому для приработанных поверхностей (т. е. на стадии установившегося износа) интенсивность изнашивания прямо пропорциональна контактному давлению.

Подставив выражение (4) и 1 = 1 в формулу (2), получим формулу для толщины изношенного слоя в произвольной точке активного профиля зуба прямозубого колеса:

h =

П-Рср ■ 2■ s-е-ю-1 = П-q-е-w-1

H-2-p

2-p-H

(5)

Здесь предполагаем, что силовое взаимодействие колес зубчатой передачи происходит через

t =

w

одну пару зубьев. Это допущение приемлемо и при контакте зубьев в крайних точках А1 и А2 активной линии зацепления, поскольку погрешности изготовления зубчатых колес не всегда могут гарантировать двухпарное зацепление.

Используя формулы (5) и (1), составим выражения для сумм (Нниж1 + Нвер2) и (Нниж2 + Кер\) в таком виде:

чета эвольвентных зубчатых передач [7]. Подставив в эти формулы параметры, относящиеся к точкам у вершин зубьев и к нижним активным точкам профилей зубьев шестерни и колеса, получим для передачи с внешним зацеплением выражения для скоростей, относящиеся к крайним

точкам активной линии зацепления (А1А2):

У Ка"Р = ю1 ■ ГЪ1 ■ аа

(8)

Нниж1 + Н&:

П q ■ t 2 ■р

П-q ■ t 2 ■р

(

■ У ниж1 ■

■I 0ниж1 + 0

я,

а2

тг- к.пр Н1 ■У ниж1

тг- к.пр Н2 ■ уа2

ТТ\ = Уа2 = ю2 ■ ГЪ2 ■ 1Ваа2

н 2

к.пр

(6) У ниж1 = ю1 ■ ГЪ1 ■ а ниж1

Унж2 = ю2 ■ ГЪ2 ■ 1Ваниж2 ,

(9)

(10)

(11)

2 ■р

Н +Н = П:И10 _^+0 1 =

"ниж2^ "вер1 ~ ~ 1°ниж2 ' „ °а1 ' 1 _

н2

н1

униж1 = (ю1 + ю2) ■ ГЪ2 ■ (1Ваа2 - 1Ваъ) ,

(12)

П q ■ t 2 ■р

н ■ у к.пр 2 ниж2

тт К.пр Н1 ■ Уа1 0

(7) униж2 = (ю1 +ю2) ■ ГЪ1 ■ (1Ваа1 - 1Ваъ)

где

0н

Униж1

Ук. пр _

0н

. униж 2 ■ к.пр

0 а1 =

кмр а1

0 а 2 =

а2

к. пр , причем

а2

Для определения скоростей

к.пр

к.пр ,

точке контакта зубчатых колес в произвольно заданный момент зацепления используем формулы, известные из теории геометрического рас-

(13)

ниж1 ниж 2

0 а\ и 0а2 — удельные скольжения шестерни и колеса в точках на их окружностях вершин,

уа2 = униж1 , уа1 = униж2 ;

н1 и н2 - твердости поверхностного слоя материала зубьев шестерни и колеса.

где гЪ1 и гЪ2 — радиусы основных окружностей колес зубчатой передачи;

аа1 , аа2 и аниж1 , аниж2 — у1™ профиля в

точках у вершин зубьев и в нижних активных точках профилей зубьев шестерни и колеса;

а ъ — угол зацепления (рис. 1). Подставив выражения для скоростей из формул (8)—(13) в формулы (6) и (7), получим выражения для сумм (Нниж1 + Нвер2) и (Нниж2 + Нвер1) в следующем виде:

Н + Н

ниж1 вер 2

уск в

П q ■ t 2 ■р

(ю1 + ю2) ■ ГЪ2 ■ ОБаа2 - 1Ваъ) Х

1

1

Н1 ■ ГЪ1 ■ ниж1 Н2 ■ ГЪ2 ■ а2 ,

(14)

Рис. 1. Схема зацепления зубьев шестерни и колеса в сечении, перпендикулярном к осям вращения зубчатых колес

ю

ю

2

+

ю

ю

2

ск

у

у

+

Х

h + h =

ниж 2 вер1

П-q-t 2-p

(®1 +Ш2)-'il '(tg « a1 - tg « w ) x

1 1

- + -

H2 -rÍ2-tgaниж2 H1 -rb1-tg«

(15)

Углы профиля в нижних активных точках профилей зубчатых колес передачи с внешним зацеплением определяются формулами [7]:

^аниж1 = *---а2 - *) > (16)

z1

tg « ниж2 = tg « w---(tg« a1 - tg« w )= (17)

где z1 и 22 — числа зубьев шестерни и колеса соответственно.

Радиусы основных окружностей зубчатых колес определяются формулами [1]:

m-z1 m -z2 , ч

rb1 =---cosa , rb2 =—-cosa , (18)

2

2

Киж1 + heep2 =-% ' '-— ' У , (19)

2-p - n, 4 '

П-q-t-(w1 + w2)

h + h =

ниж2 еер1

П-q-t-(w1 +ю9)

--y' (20)

причем через y1 и y2 обозначены безразмерные сомножители:

Значение угла зацепления а к зависит от коэффициентов смещения х1 и х2, чисел зубьев

z1 и 22, угла а и связано с ними трансцендентным уравнением [1]:

tga№ -а№ = tgа-а+ 2 + Х2) •tgа . (23) 21 + ^ 2

Углы профиля на вершинах зубьев аа1 и аа2 определяются из формул [1]:

cos a„, = — , cos a„

= ОН., (24)

a2

где т — модуль зацепления,

а — угол профиля исходного производящего контура.

Подставляя выражения для тангенсов углов а ниж1, а ниж2 и для радиусов гм и ь согласно

(16), (17) и (18) в формулы (14) и (15), получим формулы для суммы толщин изношенного слоя на профилях шестерни и колеса, когда они контактируют в одной из крайних точек активной линии зацепления:

причем радиусы окружностей вершин шестерни и колеса определяются из формул:

ra1 = m-| 4т + h*-Х2 + У I ,

■m-1 — + ha - *1 + У

(25)

(26)

где И* — коэффициент высоты головки зуба;

у — коэффициент воспринимаемого смещения,

У=

z1 + z2

(

2

\

-1

(27)

Подставив выражения для радиусов rbj, rb2,

raj, ra 2 и коэффициента y согласно (18), (25), (26) и (27) в формулы (24), выразим углы профиля шестерни и колеса в точках на окружностях вершин через значения xj, x2, zj, z2 и стандартных

параметров (a = 20°, h* = 1 согласно ГОСТу 13755-81):

a aj = arccos( zj - cos a/( zj + 2 -(h* - x2) -

- (zj + z2) - (cos a w - cos a)/ cos a w )) , (28)

У = (tg«a2 - tg«w) x I H2 z 2

1

H1 z1-tg« w - z2 - (tgaa2 - tg«w) tg«a2

У 2 = (tg«a1 - tg«w) x

H 2

z2-tg« w - z1-(tg«a1 - tg«w) H1-tg«a

(21)

. (22)

a a2 = arccos( z2 - cos a/( z2 + 2 - (h* - xj ) -

- (zj + z2)-(cos aw - cos a)/cos aw)) . (29)

Формулы (23), (28) и (29) показывают, что у зубчатой передачи с определенными числами зубьев колес (zj, z2) углы a w , a aj и a a2 являются функциями аргументов xj и x2. Тогда при заданных твердостях активных поверхностей зубьев шестерни и колеса сомножители yj и y 2

x

г

г

cos

cos a

w

x

z

тоже являются функциями аргументов x1 и x2, т. е. y1 = y1 (xj,x2), y2 = у2(xi,x2) • Задавшись определенными числами зубьев (z1 = 20 , z2 = 50), соотношением твердостей поверхностного слоя

Г И2 = 285

шестерни и колеса I И" _ 460 I и значением суммы коэффициентов смещения x1 + x2 = xS, мы построили графики зависимостей y1(x1, x2), y2(x1; x2), где x2 = xS - x1 (рис. 2). Графики на рис. 2 показывают, что при условии x1 + x2 = const величина y1 убывает, а величина y2 возрастает при увеличении x1. Тогда при x1 + x2 = const с увеличением x1 сумма Фниж1 + heep2) убывает, а сумма (Киж2 + heep1) возрастает.

2.5

1.5

0.5

\

\ Vi

J2,

т * __ т

-0.4 -02 0

0 2 0.4 0.6 0.8

h + h = h + h

'Ыиж1 1 ,leep 2 'Ыиж2 1 ,let

(30)

наступления предельного состояния, когда боковой зазор 5 достигнет допустимого значения [5], будет максимальным.

Уравнение (30) с учетом формул (19) и (20) преобразуется к виду:

y1( x1, x2)-y 2 (x1> x2) = 0

(31)

Для нахождения конкретных значений х1 и

х2 нужно решить уравнение (31) совместно с еще одним уравнением, выражающим дополнительное условие, налагаемое на значения коэффициентов смещения. В качестве последнего может выступать, например, условие вписывания

передачи с известными числами зубьев колес z1, 22 и модулем т в заданное межосевое расстояние . Значение может быть, например, бли-

е. т ■ (21 + z2)

жаишим большим к величине 1 2

2

из стан-

дартного ряда межосевых расстояний редукторов. Тогда угол зацепления определяется по формуле [7]:

m • (z1 + z2) |

a w = arccos |---—• cos a|, (32)

2 • aw

а сумма коэффициентов смещения должна иметь значение х1 + х2 = хх, причем [7]:

(tga^ -aw - tga+a) • (Z1 + Z2)

2 • tga

(33)

Рис. 2. Графики зависимостей безразмерных величин у1 и у2 от коэффициента смещения х1 при

х1 + х2 = 0,8 для ^ = 20 , z2 = 50

Следовательно, по истечении определенного времени работы передачи большая из двух сумм

толщин изношенного слоя (Нниж1 + Нвер 2) и (Нниж2 + Нвер1) будет иметь минимальную величину при таком значении х1 , которое обеспечивает равенство этих сумм:

Рассчитав хх с помощью формул (32) и (33), записав х2 = хЕ - х1, введем обозначение:

Ф (х1) = У1 (х15 хх- х1)-У 2 (х15 хх- х1) , (34)

после чего (31) становится уравнением с одним неизвестным:

Ф(x1) = 0 .

(35)

Тогда корень х^ уравнения (35) можно определить с требуемой точностью при помощи итерационной формулы метода секущих [8]. Задавшись двумя начальными приближениями

x10!

и x{1} из интервала (0; xS), рассчитываем:

При этом наибольшее приращение бокового зазора между зубьями, претерпевшими износ, будет минимальным, а ресурс зубчатой передачи до

(„{"! x{n-1}) Ф(x1n}) x{n+1} = x{"! - (x1 - x1 ) •Ф (Х1 ) (36)

1 1 Ф (x{n})-j(x{"-1}) '

где n — номер итерации.

Рассчитав значение корня х^ , находим и

х2 = х£ х1

(37)

Рассмотрим пример определения коэффициентов смещения. Реверсивную прямозубую передачу с числами зубьев колес = 20 , 22 = 50 и модулем зацепления т = 3,5 мм требуется вписать в межосевое расстояние а* = 125мм . Материал обоих колес — сталь 35ХМ, термическая обработка колеса с 22 = 50 — улучшение, твердость НВ 285 ; термическая обработка шестерни с

= 20 — улучшение и поверхностная закалка токами высокой частоты, твердость НКС 48 , что соответствует НВ 460 . По формулам (32) и (33) рассчитываем а * = 0,40042 рад, хх = 0,7658. Затем при помощи формул (36) и (37) определяем х1 = 0,5073 и х2 = 0,2585 .

Выводы

Разработана методика определения коэффициентов смещения для колес прямозубой передачи, обеспечивающая минимальное увеличение бокового зазора в зацеплении при износе зубьев. Дополнительным условием, налагаемым на значения х1 и х2 , может быть не только рассмотренное в статье как пример условие вписывания передачи в заданное межосевое расстояние (х1 + х2 = хх, где хх определяется формулой (33)). Этим условием также может быть получение заданного коэффициента торцевого перекрытия еа, например еа = 1,2. Действительно, поскольку согласно [1]:

еа = ^ • (^аа1 - *) + ^ • (^аа2 - *) , 2- р 2-р

то при известных числах зубьев колес и 22 коэффициент перекрытия еа является функцией от аргументов х1 и х2 . Значит, условие еа (х1, х2) = 1,2 вместе с уравнением (31) являются системой двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными х1 и х2 .

Вместе с известными из курса деталей машин формулами для определения расчетных значений

межосевого расстояния, модуля зацепления и чисел зубьев колес, предложенная методика позволяет определить рациональные с точки зрения износостойкости коэффициенты смещения исходного производящего контура для зубчатых колес реверсивной прямозубой передачи.

Список литературы

1. Теория механизмов и механика машин / [К. В. Фролов, С. А Попов, А. К. Мусатов и др.]; под. ред. К.В. Фролова. — 4-е изд., испр. и доп. — М. : изд-во МГТУ им. Баумана, 2002. — 664 с.

2. Трение, изнашивание и смазка. Справочник в 2-х кн. Кн. 2 / [ В. В. Алисин, Б. М. Асташкевич, Э. Д. Браун и др.]; под. ред. И. В. Крагельского и В. В. Алисина. — М. : Машиностроение, 1979. — 358 с.

3. Крагельский И. В. Основы расчетов на трение и износ / И. В. Крагельский, М. Н. Добы-чин, В. С. Комбалов. — М. : Машиностроение. —

1977. - 526 с.

4. Чернець М. В. Метод дослщження впливу ко-ригування зуб1в на контактну мщшсть, зно-шування та довгов1чтсть цилтндричних еволь-вентних прямозубих передач / М. В. Чернець, В.В. Береза // Проблеми трибологи. — 2010. — № 1. — С. 17—25.

5. Энциклопедия / Ред. совет: К. В. Фролов (пред.) и др. / В. К. Лебедев, С. И. Кучук-Яцен-ко, А. И. Чвертко и др. ; под ред. Б. Е. Патона. — М. : Машиностроение, 1999. — 496 с., ил.

Т. IV-1 : Детали машин. Конструкционная прочность. Трение, износ, смазка / [Д. Н. Ре-шетов, А. П. Гусенков, Ю. Н. Дроздов и др.] ; под общ. ред. Д. Н. Решетова. — 1995. — 864 с.

6. Трение, изнашивание и смазка. Справочник в 2-х кн. Кн. 1 / [ В. В. Алисин, А. Я. Алябьев, А. М. Архаров и др.]; под. ред. И. В. Крагельско-го и В. В. Алисина. — М. : Машиностроение. —

1978. — 400 с.

7. Справочник по геометрическому расчету эвольвентных зубчатых и червячных передач / [И. А. Болотовский, В.И. Безруков, О.Ф. Васильева и др.] ; под. ред. И.А. Боло-товского. — 2-е изд., перераб. и доп. — М. : Машиностроение, 1986. — 448 с.

8. Калиткин Н. Н. Численные методы / Калит-кин Н. Н. — М. : Наука, 1978. — 512 с.

Поступила в редакцию 14.05.2015

Попович О.Г., Шевченко В.Г. Методика розрахунку косфЫенпв змщення для кол1с реверсивно!евольвентно!зубчасто! передач!

Виведено формули для визначення суми товщин зношеного шару на поверхнях зубщв шестерш та колеса прямозубог передача, коли щ зубщ контактують у крайних точках активног лтп зачеплення. Складено р^вняння, котре пов'язуе таы значення коефщент^в змщення xj i x2 для шестерш та колеса евольвентног передача, при яких збльшення бокового промiжку мiж зубцями у зачепленш вна^док зносу буде мттальним. Розв 'язан-ня цього рiвняння сумсно з умовою вписування передачi в задану мiжосьову вiдстань

дозволяе визначити значення xj i x2, при яких тд час реверсування передачi динамiчнi навантаження на зношеш зубщ будуть мшмальними.

Ключовi слова: евольвентна зубчата передача, коефцент змщення, питоме ковзання, знос, боковий промiжок.

Popovich A., Shevchenko V. The technique of profile shift coefficients calculation for wheels of a reverse involute gearing

Formulas to define sum of worn-out layer thicknesses on the surfaces of spur pinion and spur gear teeth when these teeth are contacting at extreme points of the engagement line are deduced. We derived an equation of the linkage between values of pinion and gear profile shift coefficients

(xj and x2) at which gear backlash increased minimally owing to wear. Solution of this

equation simultaneously with condition of gear pair inscribing in the given distance between axes

allows to define xj and x2 values that minimize dynamic loads on the worn teeth during

transmission reversal.

Key words: involute gearing, profile shift coefficient, specific sliding, wear, gear backlash.