Методика оценки влияния показателей обобщенного мультифрактального трафика на построение очередей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.396.67

Методика оценки влияния показателей обобщенного мультифрактального трафика на построение очередей

О.И. Шелухин, К.Ю. Окулов, И.Б. Матвеев

Представлены аналитические выражения для скейлинговой функции, размерностей Реньи и спектра сингулярностей мультифрактального трафика на основе численного вейвлет-анализа реализаций телекоммуникационного трафика; проведена оценка влияния найденных показателей на качество обслуживания трафика при построении очередей.

Analytics expressions for scaling function, Renyi dimension and spectrum of multiractal traffic singularity based on numerical wavelet analysis of telecommunication traffic implementations are shown; observed rates influence estimation on quality of service from queuing point of view is shown.

Ключевые слова: мультифрактальный трафик, вейвлет-анализ, спектр сингулярностей, построение очередей, скейлинговая функция, самоподобие телекоммуникационного трафика, преобразование Лежандра.

Постановка задачи

Оценка производительности построения очередей является важной проблемой управления ресурсами телекоммуникационных сетей связи.

В настоящее время опубликовано несколько важных работ [1, 2, 3, 4, 5], но в большинстве из них рассмотрены только трафики самоподобного типа. В некоторых исследованиях показано, что при самоподобном типе трафика хвост распределения длины очереди асимптотически затухает по закону Вейбулла [6, 7], откуда следует, что распределение очереди при фрактальном (самоподобном) трафике на входе обладает гораздо меньшим затуханием, чем в экспоненциальном случае. Эти исследования базируются на гауссовском характере распределения входного процесса и не могут быть распространены на другие процессы, обладающие масштабными свойствами. Существует всего лишь несколько работ (например [8]), в которых рассмотрено построение очередей для случаев, когда трафик обладает более сложным масштабным поведением.

В настоящей статье представлена асимптотическая аппроксимация хвостовой части распределения длины очереди отдельного сервера с бесконечной емкостью буфера. Сервер осуществляет обслуживание с постоянной интенсивностью обобщенного мультифрактального процесса. Показано, что если входной трафик представлен в виде монофрактального или фрактального броуновского движения (ФБД), то хвост распределения можно аппроксимировать в виде закона Вейбулла Р[Х>х] ~ ехр(- ухр) при р < 1 (хорошо известный частный случай). Также показано, что класс гауссовских процессов, обла-

дающих масштабными свойствами входит в класс монофрактальных процессов.

В статье излагается новый метод оценки производительности обслуживания очередей с обобщенным мультифрактальным трафиком на входе.

Модель построения очередей

Рассмотрим простую модель построения очередей отдельного сервера в непрерывном времени. Дисциплина обслуживания задана как FIFO. Очередь обладает бесконечным буфером, а интенсивность обслуживания s является постоянной величиной. Обозначим через X(t) объем нагрузки, поступающей в очередь, начиная с какого-то прошедшего момента времени —t, до настоящего момента времени 0. Процесс W(t) является общим объемом нагрузки, хранимым в буфере на интервале (—t; 0), и этот процесс описывается выражением

W (t) = X (t) — st. (1)

Однако на практике интересна текущая длина буфера очереди, обозначаемая как Q. Она является длиной очереди в равновесном состоянии, когда система эксплуатируется в течение длительного периода времени и начальная длина очереди не оказывает никакого воздействия на состояние системы. Если такое состояние системы существует, т.е. справедливо предположение о стационарности и эргодичности процесса нагрузки, и также достижимо состояние устойчивости системы, т.е. limsuptM[X(t)]/1 < s, тогда

Q = supW (t), (2)

t>0

где W(0) предполагается равным 0.

Будем рассматривать входной процесс поступлений X(0 как обобщенно определенный мультифрактальный процесс. В отличие от монофрактальных самоподобных процессов, многомасштабные или мультифрактальные процессы обеспечивают более гибкий закон масштабного поведения. Класс мультифрактальных процессов включает в себя все процессы, обладающие свойствами масштабирования, в том числе самоподобные, мономасштабные и многомасштабные процессы.

Определение. Стохастический процесс Х(0 называется мультифрактальным, если он обладает стационарными приращениями и удовлетворяет уравнению М[|X(¿)|д] = с(дуг(я)+1 для некоторого

положительного де Q, [0,1]с Q, где т(д) - масштабная функция (скейлинговый показатель), а с(д) - моментный коэффициент, не зависящий от t.

Очевидным следствием из этого определения является то, что т(д) является выпуклой функцией. Если т(д) линейно зависит от д, то процесс называют одномасштабным или монофрактальным, в противном случае - мультифрактальным. Можно показать, что в частном случае самоподобного процесса с показателем Н справедливо равенство т(д) = дН - 1, откуда следует, что с(д) = М[|Х(1)|д]. Класс мультифрак-тальных процессов включает в себя и монофрактальные, и самоподобные случаи.

Рассмотрим сумму д-х моментов коэффициентов вейвлет-преобразования телекоммуникационного трафика ц(у,д) на разных масштабах у, где суммируются максимальные значения :

ц (у,д) = 1/ПуЕП=1^х(у,к)|д .

В [9] показано, что в случае фрактального сигнала эта сумма должна вести себя как

«о, д)«= 2 у ^>д/2 ] , т. е.

м\

log ,q )с

j

•(q У 2

Таким образом, необходимым условием того, чтобы сигнал обладал свойствами самоподобия, является линейная зависимость log /u(j,q) от номера уровня разложения j. Если это требование удовлетворено, то зависимость функции т от ранга момента q определяет, является данный сигнал монофрактальным или мультифракталь-ным. Монофрактальные сигналы характеризу-

ются одной размерностью, тогда как для описания мультифрактальных сигналов необходим целый набор таких размерностей. Монофрактальные сигналы однородны в том смысле, что они обладают одними и теми же свойствами скейлинга на всем их протяжении. С другой стороны, мультифрактальные сигналы можно разложить на «подсигналы», каждый из которых характеризуется своей локальной размерностью, задаваемой определенной весовой функцией. При выборе вейвлета с достаточным числом нулевых моментов вейвлет-преобра-зование нечувствительно к низшим полиномам, которые могут воспрепятствовать количественному описанию локального скейлинга сигнала при традиционном подходе путем подсчета на отдельных интервалах. Функция T(q) может рассматриваться как масштабно-независимая мера фрактального сигнала. Ее нетрудно связать с размерностью Реньи, показателями Херста и Гельдера. Область применимости мультифрактального формализма при исследовании функций можно выяснить с помощью методов дважды микролокального анализа, обобщенных на случай высших моментов вейвлет-коэффициентов. Заметим, что сумма вторых моментов log fj,(j,q=2) представляет собой дисперсию вейвлет-коэффициентов при равенстве нулю их среднего значения.

При положительных значениях q функция log ¡u(j,q) описывает скейлинг больших флуктуации и сильных сингулярностей, а при отрицательных q она отвечает за скейлинг малых флуктуации и слабых особенностей, проявляя тем самым свою чувствительность к разным аспектам динамики, лежащей в основе исследуемого сигнала.

А п пр о ксимация вероятности для асимптотик хвоста очереди

Как показано в [10], вероятности для асимптотик хвоста распределения очереди для модели построения очередей с одним сервером и обобщенным мультифрактальным процессом на входе точным образом аппроксимируются при помощи соотношения

log(P[0 > b}) * minlog

q>0

для больших b, где ib(q)= <q) + 1.

c(q)

Ьть (q) *o(q)

_s(q -T0(q))_

bq q

_ q-^(q) _

Или в более удобном виде: log PQ > b]* min| log c(q) +

q>0 V

+ Tq (q) log

br0 (q) s(q - Tq (q))

- q log

q - To (q)

(3)

T(q) = | [t(2) +1]- 1,

c(q) =

_ [2c(2)]]

q/2

4n

-r

q +1

где r(z) = Jxz 1 exp x dx, z > 0 - Гамма-функция.

U» = J x

o

В случае ФБД получаем T(q) = qH -1,

2q/2 Г q +1 c(q) = ^ r| q +1

л/ж I 2 где Н - показатель Херста.

Подставляя эти две функции в (3), получим

log(P[Q > b]) * log

min

q>0

,q/2

■4л

bH

q_+1 ^ ls(1-H) 2 ) (

1 - H

qH

Асимптотическая формула для вероятностей на хвосте распределения очереди, полученная при помощи метода больших отклонений [10], выглядит как

log P[Q > b] ^ -1 b 2(1-H) s 2H (1 - H)-2(1-H) H-2H

при b

(4)

Масштабные функции т(д) и c(q) являются функциями, которые, как было показано выше, определяют мультифрактальный входной процесс.

Анализ формулы (3) показывает, что она имеет точный вид и только заданный вид функций c(q) и т0(д) может дать окончательный результат. Причина этому кроется в определении класса мультифрактальных процессов, не накладывающем ограничения на вид функций c(q) и т0(q), а также в том, что т0(д) является выпуклой.

Таким образом, проблема анализа состояния очередей в постановке (3) сводится к определению функций с(д) и т0(д).

В к а ч е с т в е ч а с т н о г о случая рассмотрим монофрактальный гауссовский процесс, называемый фрактальным броуновским движением (ФБД). ФБД является самоподобным монофрактальным гауссовским случайным процессом. Процесс приращений для ФБД является фрактальным гауссовским шумом (ФГШ). Лемма. Гауссовский процесс с масштабным свойством является монофрактальным с параметрами

Методика оценки функций с(^) и ть(#) в случае произвольного мультифрактального процесса

Э т а п 1. Проводятся измерения входного процесса поступлений X(0 с высоким разрешением. Предположим, что входной процесс проявляет свойства мультифрактального масштабирования. Тогда масштабная функция т(д) и функция с(д) могут быть оценены на основании записанных данных для нескольких возможных параметров д > 0. На важность функции с(д) следует обратить особое внимание, как на количественный коэффициент мультифрактального процесса, значение которого иногда недооценивается в исследованиях, рассматривающих мультифрак-тальные свойства высокоскоростного сетевого трафика. Масштабная функция т(д) определяет только качество мультимасштабности, и ее одной недостаточно для описания мультифрак-тальной модели, а следовательно, и для анализа моделей построения очередей с мультифрак-тальными процессами на входе.

Масштабное поведение может быть протестировано при помощи методов, основанных на вейвлет-представлении [10]. Дискретное вейв-лет-преобразование представляет собой ряд X размера п на масштабном уровне у, полученный при помощи набора вейвлет-коэффициентов dX(j, к), k = 1, 2, ..., щ, где щ = 2~;". Здесь п - доступное число вейвлет-коэффициентов в октаве у. Э т а п 2. Определяется д-й порядок логарифмической диаграммы д-го момента октавы у:

ц (j, q) = 1/nj £ IuWx (j, k )|q .

(5)

Сумма в (5) берется по тем точкам пространства, в которых модуль вейвлет-преобразования принимает максимальные значения (по локальным максимумам модуля). В [9] показано, что скелет, построенный из линий максимума модуля, содержит всю информацию о распределении особенностей исходной поверхности.

Расчеты функции разбиения (функции Ре-ньи) л (у, д) позволяют отслеживать скейлинг

для больших (д > 0) и малых флуктуаций

(д < 0).

—> да

2

Г

q

Линейность логарифмических диаграмм при различном порядке моментов q говорит о масштабном свойстве ряда, т.е.

log2 m(j\q) = (log2 j)T(q)+ log2c (q), (6)

где Tq) характеризует показатель масштабирования; c(q) = const.

Метод оценки Tq) и c(q) для фиксированного значения q может быть проиллюстрирован на рис. 1.

Рис. 1. Оценка функций Tq) и c(q)

Из этого рисунка видно, что наклон прямой характеризует скейлинговый показатель Tq), а отрезок, отсекаемый на оси ординат, является величиной log 2 c(q) . Из рис.1 и соотношения (6) видно, что

log2 мО^ q)

t(q) = lim mf^,

log2 j

(7)

Аппроксимируем найденные численным способом функции Tq) и log 2 c(q) полиномами

вида

2 3 3

/ ч q q sr i

T(q) = -cb + ciq - c2^T + c 3 = V c>q и

i=b

2 3 3

q . ~ q ^T' „«

log2 c (q) = - a о + a1q - a + a 3 = V aiq

2! 3!

i=0

Подставляя найденные соотношения в (3), получим расчетные формулы для мультифракталь-ного трафика произвольного вида:

logP[Q > b] * mini Vaq' +T,(q) >

q>b I ^^

, b%o (q) ,

X log-0--q log

s(q - T (q))

q - t (q)

где Tb(q) =VC'-q + !.

Рассмотрим трассы данных, взятые из трафи-кового архива, размещенного в Интернете [1]. Эти трассы записывались в течение часа в первичной Интернет-точке доступа и являются реализацией глобального трафика. Специальная программа Tcpdump «захватывала» всю информацию о заголовках IP-пакетов, используя временные метки с миллисекундной точностью. Каждая трасса содержала в себе более чем 3 млн заголовков пакетов.

B необработанных данных была получена счетная трасса пакетных поступлений для временной выборки, равной 3 мс. Предварительный анализ этих трасс выявил их масштабные свойства, поэтому они были использованы в качестве входного процесса при анализе системы построения очередей.

На рис. 2, а представлены графики абсолютных моментов агрегированной последовательности набора данных исследуемой трассы в зависимости от уровня объединения на log-log графике для некоторых значений порядка момента q.

Нелинейность графика Tq) явно обнаруживает масштабное свойство этого набора данных. После применения метода оценки, представленного ранее, были оценены множества T0(q) и c(q), которые представлены на рис. 2, б и рис. 2,в. График функции rb(q) = r(q) + +1 является выпуклой кривой, что говорит о мультифрактальном характере исследуемой трассы. В результате аппроксимации функции Tq) найдены численные значения коэффициентов: с0= 1; с = 0,843; с2= 0,013.

Оценка размерностей Реньи и спектра син-гулярностей мультифрактального трафика

Зная скейлинговую функцию, можно найти спектр обобщенных фрактальных размерностей (размерностей Реньи), характеризующих данное распределение точек в области Dq, который определяется с помощью соотношения [10] T(q)

Dq =

q -1

(8)

Если Dq = D = const, т.е. не зависит от q, то

данное множество точек представляет собой обычный фрактал, который характеризуется всего лишь одной величиной - фрактальной размерностью D. Напротив, если функция как-то меняется с q, то рассматриваемое множество точек является мультифракталом.

Часто наряду с обобщенными фрактальными размерностями Dq для характеристики

Рис. 2. а - Абсолютные моменты агрегированного трафика; б - зависимость z(q); в - зависимость log 2 c(q); г - зависимость logPQ > b]

мультифрактального множества используют так называемую «функцию мультифрактального спектра» Да) (спектр сингулярностей муль-тифрактала).

Здесь а представляет собой некоторый «показатель сингулярности», или «экспоненту сингулярности». Чем меньше значение а, тем более сингулярной является мера. Известно, что для регулярного (однородного) фрактала все показатели степени а одинаковы и равны фрактальной размерности D. Несложно показать, что для мультифрактала справедливо выражение

dJI п I

j _ _ ^min '7

•-да ^max

(9)

т.е. интервал возможных значений а определяется предельными значениями (при д ^ ) обобщенных фрактальных размерностей Dд.

Таким образом, физический смысл функции Да) заключается в том, что она представляет собой хаусдорфову размерность некоего однородного фрактального подмножества Са из исходного множества С, характеризуемого одинаковыми вероятностями заполнения ячеек pi и еа . Поскольку фрактальная размерность подмножества, очевидно, всегда меньше или равна фрактальной размерности исходного множества D0 , для функции / (а) имеет место важное неравенство

/ (Ф А,. (10)

Исходя из этого, можно сделать вывод, что набор различных значений функции /(а) (при разных а) представляет собой спектр фрактальных размерностей однородных подмножеств £а, на которые можно разбить исходное множество С. Отсюда становится понятным термин «муль-тифрактал». Его можно понимать как некое объединение различных однородных фрактальных

подмножеств £а, каждое из которых имеет свое собственное значение фрактальной размерности Да).

В результате приходим к следующему важному неравенству для функции /(а), а именно, при всех значениях а справедливо выражение

/ (а)< «. (11)

Знак равенства здесь имеет место, например, для полностью однородного фрактала, где /(а) = а= D.

Установим теперь связь функции /(а) с введенной ранее функцией т(д).

Используя выражение (8), приходим к выводу, что

т(д)= да(д)-/(а(д)) . (12)

Отсюда с помощью уравнения (8) можно найти функцию Dq:

(13)

Dq = —Ц- [да(я)- / (а(д))]. д -1

а

(д)-± [(д - ],

а = -

йд

/(а)=д^т-т •

ад

(15)

Уравнения (15) определяют в параметрическом виде зависимость /(а(д)). Обратное преобразование Лежандра определяется формулами

а/

д =

йа

т(д) = а^-- / .

аа

(16)

кретных точек, а представляет собой некоторую непрерывную линию. Проанализируем такое поведение функции /(а) для различных значений а. В точке а0 = а(0) функция /(а), являясь всюду выпуклой, имеет максимум. Значение функции в максимуме легко определить, если воспользоваться выражением (13). Положив в нем д = 0, получим, что /(а0) = D0, т.е. максимальное значение /(а) равно ха-усдорфовой размерности мультифрактала D0.

Качественно эта ситуация отражена на рис. 3. Там же показаны границы интервала (ат1П,атах), в котором задана функция /(а). Заметим, что обращение функции /(а) в ноль на этих границах (как показано на рисунке) вовсе не обязательно и в ряде случаев /(а) в одной из этих точек (или в обеих) может быть и отлична от нуля. Обязательным условием, однако, является обращение в бесконечность производной /' (а) в этих двух точках.

Таким образом, если известна функция мультифрактального спектра /(а), то с помощью соотношений (11) и (13) может быть найдена функция Dq• Наоборот, зная Dq, можно найти зависимость а(д) с помощью уравнения

'Ч ], (14)

и после этого найти из (13) зависимость /(а(д)). Эти два уравнения и определяют (в параметрическом виде) функцию /(а).

Формально переход от переменных {д,т(д)} к переменным {а,/а)}, задаваемый вышеприведенными соотношениями, может быть осуществлен при помощи следующих преобразований Лежандра: йт

Да)' О/ \

Ч >0 / &/(а)1Аа = \ Ч <0

с1 = 'х' / \\ \\ \ с1 = ~'х'

<а> «шах а

Рис. 3. Спектр сингулярностей мультифрактального процесса

Исполь зуя численны е методы оценки скей -линговой функции, можно найти аналитическое выражение для спектра сингулярностей в квадратичном приближении:

/(а) = Со -

(а-2сп

(17)

где границы интервала удовлетворяют уравне-

2сп /

нию а

т1п,тах 1

= с1 2с2 с0 , или д* = +.

Для однородного фрактала Dq=D=const• Поэтому а= dт/dq=D и /(а) = да - т(д) = qD - D(q - 1) = D. В этом случае «график» функции /(а) на плоскости (а,/а)) состоит всего из одной точки (Д D).

Обратимся теперь к более интересным случаям, когда график функции /(а) состоит не из дис-

Таким образом, в статье представлено исследование построения очередей в отдельном сервере с бесконечной емкостью буфера при постоянной интенсивности обслуживания, с мультифрактальным процессом на входе.

Получена аппроксимация асимптотики вероятностей распределения длины очереди в устойчивом состоянии.

Показано, что аппроксимация приводит к хорошо изученному хвосту распределения очереди по закону Вейбулла, когда в качестве входного процесса выбирается монофрактальное ФБД.

Предложена методика численной оценки скей-лингового показателя т(д) и масштабного коэффициента c(q), полученных в результате обработки реального трафика. Получены аналитические выражения для оценки длины очереди при обобщенном мультифрактальном процессе на входе.

Продемонстрирована практическая применимость аппроксимации и выполнена проверка при помощи обработки реального мультифрактального процесса.

Показано, что полученные формулы дают корректные результаты при анализе как мультиф-рактального, так и монофрактального трафика.

Найдено аналитическое выражение для спектра сингулярностей в квадратичном приближении при использовании численных методов оценки скейлиноговой функции.

ЛИТЕРАТУРА

1. Willinger W., Taqqu M. S., Erramilli A. A bibliographical guide to self-similar traffic and performance modeling for modern high-speed networks, Stochastic Networks: Theory and Applications (Oxford) (F. P. Kelly, S. Zachary, and I. Ziedins, eds.), Royal Statistical Society Lecture Notes Series, vol. 4, Oxford University Press, 1996, pp. 339-366.

2. Brichet F., Roberts J., Simonian A., Veitch D., Heavy traffic analysis of a storage model with long range dependent on/off sources, Queueing Systems 23 (1996), pp. 197 - 215.

3. Tsybakov B., Georganas N. D. On self-similar traffic in ATM queue: Definitions, overflow probability bound, and cell delay distribution, IEEE/ACM Trans. on Networking (1997), No. 3, pp. 397 - 409.

4. Giordano S., O'Connell N., Pagano M. Procissi G., A variational approach to the queueing analysis with fractional brownian motion input traffic, 7th IFIP Workshop on Performance Modelling and Evaluation of ATM Networks (Antwerp, Belgium), June 1999.

5. Lui Z, Nain P., Towsley D., Zhang Z. L. Asymptotic behavior of a multiplexer fed by a long-range dependent process, J. Appl. Prob. 36 (1999), pp. 105 - 118.

6. Moln'ar S., Vid'acsA, Nilsson A. A. Bottlenecks on the way towards fractal characterization of network traffic: Estimation and interpretation of the Hurst parameter, Int. Conf. of the Performance and Management of Complex Communication Networks, November 1997.

7. Duffield N. G., O'Connell N., Large deviations and overflow probabilities for the general single-server queue, with applications, Proc., Cam. Phil. Soc., vol. 118, 1994, pp. 363 - 374.

8. Riedi R. H., Crouse M. S., Ribeiro V. J., Baraniuk R. G. A multifractal wavelet model with application to network traffic, IEEE Trans. Inform. Theory 45 (1999), No. 3, pp. 992 - 1018.

9. Шелухин О.И., Осин А.В., Ахметшин Р.Р., Оценка самоподобности телекоммуникационного трафика с помощью вейвлетов //Электротехнические и информационные комплексы и системы, 2006, т.2, №3, С. 28 - 34.

10. Шелухин О.И., Осин А.В., Смольский С.М. Самоподобие и фракталы. Телекоммуникационные приложения / Под ред. О.И. Шелухина. - М.: Физматлит, 2008.

Поступила 20.02.2009 г.