CC BY
50
УДК 658.014.1.011.56:378(043)
Г. А. Воробьев, В. Н. Малыш
МЕТОДИКА ОЦЕНКИ СЕМАНТИЧЕСКОЙ СЛОЖНОСТИ ГРАФОВЫХ МОДЕЛЕЙ УЧЕБНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Аннотация. В статье рассматривается одна из методик разработки и оценки семантической сложности графовых моделей учебных элементов. Полученные результаты используются при планировании изучения базовых понятий математической статистики.
Ключевые слова: методика, семантика, модель, обучение, измерение.
Abstract. In article one of techniques of working out and an estimation of semantic complexity графовых models of educational elements is considered. The received results are used at planning of studying of base concepts of mathematical statistics. Keywords: a technique, semantics, model, training, measurement.
Введение
Основным принципом формализации педагогических знаний, обеспечивающей переход педагогики на следующие ступени научного развития, является корректность применения научных положений дисциплин более высокого уровня методологического знания.
Для разработки методов формализации рассматриваются две модели расчета трудоемкости усвоения учебного объекта (УО) как информационного продукта, отображающего те или иные стороны структуры или функционирования, на которые направлено конкретное обучающее воздействие: модель Л. П. Леонтьева [1] и модель В. М. Мизинцева [2].
В основе обеих моделей лежат идеи А. И. Уемова [3], в соответствии с которыми информационная мера сложности графовой модели обусловливается:
1) количеством дуг графа как отношений между его вершинами;
2) конфигурацией графа, которая оценивается коэффициентом относительной энтропии.
1 Постановка задачи оценки семантической сложности
Для разработки и оценки семантической сложности графовых моделей учебного элемента (УЭ) как информационного продукта, представляющего собой отображение логически завершенного элемента содержания программы обучения в соответствии с целями его изучения [4], предлагается методика, использующая модель В. П. Мизинцева [3].
Методика включает три этапа:
1) разработку альтернативных моделей УО;
2) оценку семантической сложности альтернативных графовых моделей;
3) выбор оптимальной модели УО.
Целью первого этапа является выявление таких моделей УО, которые соответствуют системе предпочтений преподавателя и не включают в себя вершин, избыточных в отношении рассматриваемых целей или содержания обучения.
Второй этап включает оценку семантической сложности альтернативных моделей УО:
1. Определяется средний ранг связности пучка в графовой модели УЭ:
1 m
=—Е =—, (1)
Ш Л ш
1=1
где гср - средний ранг связности пучка (связь/пучок); ш - общее число пучков;
- число пучков с рангом связности ; р - количество связей в модели. Здесь под пучком дуг понимается множество дуг, направленных к соответствующей вершине.
2. Определяются абсолютные значения приведенной степени абстрагирования для каждой из вершин X) модели:
Ф(Х]-) = 1св2{[z(Xj) -1]У(Х]) + 1} , (2)
где Ф( Xj) - приведенная степень абстрагирования вершины Xj
(эсед/сем.ед.); г (X j) - средний ранг связности пучка в той части структуры, в вершине которой находится вершина Xj; у (Xj) - число вершин в той ветви графа, в вершине которой расположена семантическая единица X^ . Здесь
введено понятие «элементарная семантическая единица» (эсед) как понятие, которое усвоено обучающимися на предыдущих этапах обучения и не имеет связей с вершинами графовой модели, лежащими на более низком уровне абстракции.
Если Xj не имеет нисходящих связей, то она является исходной: X^ = Xо, при этом степень абстрагирования Ф( X0) = 1.
3. Рассчитываются значения [ф(X^ )^ для всех Xj .
4. На основании функции распределения определяются вероятности для всех вершин графа:
-1
q( Xj) = q( Xz)
Ф( Xj )-1
Z Ф( Xi )-1
l=1
(З)
где q(Xj) - вероятность рассматриваемой вершины Xj; q(Xz) - вероятность вышестоящей вершины, образующей пучок связей, в который входит рассматриваемая вершина Xj; Ф(Xj) - приведенная степень абстрагирования рассматриваемой вершины; Ф^/) - приведенные степени абстрагирования всех вершин Xj, связанных с вышестоящей единицей Xz, включая и
рассматриваемую (/ = 1, z).
Вероятность графообразующей вершины X1: q(Xi) = 1.
5. Рассчитывается показатель конфигурации (коэффициент относительной энтропии) графовой модели:
E = -^~, (4)
п max
Hmax = lo§2 m , (5)
m
H=Z (-qt log2 q) (6)
/=1
где E - коэффициент относительной энтропии графа; Hmax - величина максимальной энтропии числа m исходных элементов графа; H - величина энтропии исходных m элементов рассматриваемой модели; q/ (г = 1, m) - рас-
считанное значение вероятности г-го исходного элемента графовой модели.
6. Определяется количество семантической информации, содержащейся в структуре рассматриваемой модели:
S (у) = y log2 у, (7)
S(у) = уlog2 (гСр - 1)у + 1 , (8)
S (E) = у(1 - E )log2
^ ?ср 1 1
——У+—
2ср 2ср j
(9)
5(у, V, Е) = 5(у) + 5(V) + 5(Е), (10)
где 5(у, V, Е) - количество информации, содержащейся в структуре графовой модели; 5(у) - количество информации, образующейся при изменении ранга связности пучка от 0 до 1; 5 (V) - количество информации, образующейся при изменении ранга связности пучка от 1 до ^ср; 5 (Е) - количество
информации, заключенное в конфигурации данной системы; у - число вершин в графе.
Интегральное изменение состояния рассматриваемой графовой модели в процессе ее образования выражается формулой (10).
Третий этап включает выбор оптимальной модели УЭ.
В соответствии с [4] оптимальная графовая модель УЭ должна представлять собой логико-смысловую структуру, полностью отвечающую целям обучения и содержащую наименьший объем семантической информации по отношению к другим возможным вариантам модели:
5опт = т1П{ 5 (у;, Vi, Е-)}, (11)
где 5^ (уi, VI, Е-) - оценки семантической сложности конкурирующих моделей.
Приведенная выше методика позволяет произвести выбор модели изучаемого УЭ с учетом объективных оценок трудоемкости его усвоения, состояния обученности студента и системы предпочтений преподавателя.
При любой разбивке упорядоченного избыточного графа (дерева) V(Xj) суммарная семантическая сложность множества {М(X-)} полученных ветвей всегда меньше семантической сложности дерева.
У{М(X)}{{М(X)}~V(XІ)}^£I(X) <IX). (12)
-=1
Таким образом, в случае разбиения УЭ на ряд УО совокупное количество семантической информации, содержащейся в моделях УО, значительно меньше информации, заключенной в модели УЭ.
2 Приложение методики к конкретной предметной области
Покажем справедливость выражения (12) на примере. Разобьем все дерево V(X!), приведенное на рис. 1, на ветви М(X!), М(X2), М(X3), обозначенные по имени порождающих их вершин. При этом
V(Xl)~{M(Xl),М(X2),М(X3)}.
В соответствии с приведенной выше методикой оценим характеристики вершин (табл. 1), семантическую сложность дерева и его ветвей (табл. 2).
Таблица 1
Характеристики вершин рассматриваемого дерева и его ветвей
Вершина Дерево Ветвь М(Х1) Ветвь М(Х2) Ветвь М(Х3)
Ф(Х) Я(Х) Ф(Х) *(*,) Ф(Х) *(*,) Ф(Х) Я(Х)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
* 5,200 1 3,170 1 - - - -
X 2 3,170 0,2061 1,000 0,3333 3,170 1 - -
X з 4,644 0,1407 1,000 0,3333 - - 4,644 1
Х4 1 0,6533 1,000 0,3333 - - - -
Х5 1 0,0687 - - 1,000 0,3333 - -
Хб 1 0,0687 - - 1,000 0,3333 - -
Х7 1 0,0687 - - 1,000 0,3333 - -
Х8 3,755 0,0237 - - - - 3,755 0,1684
Х9 3,170 0,0281 - - - - 3,170 0,1994
Х10 1 0,0703 - - - - 1 0,6322
Х11 2,000 0,0079 - - - - 2,000 0,0561
Х12 2,000 0,0079 - - - - 2,000 0,0561
Х13 2,000 0,0079 - - - - 2,000 0,0561
Окончание табл. 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
X 14 1 0,0094 - - - - 1 0,0665
X15 1 0,0094 - - - - 1 0,0665
Х 16 1 0,0094 - - - - 1 0,0665
X 17 1 0,0039 - - - - 1 0,0281
Х18 1 0,0039 - - - - 1 0,0281
Х 19 1 0,0039 - - - - 1 0,0281
Х 20 1 0,0039 - - - - 1 0,0281
Х 21 1 0,0039 - - - - 1 0,0281
Х 22 1 0,0039 - - - - 1 0,0281
Таблица 2
Характеристики семантической сложности дерева и его ветвей
Характеристики графа Дерево У(Хі) Ветвь М(Хх) Ветвь М(Хг) Ветвь М(Хз)
У 22 4 4 16
т 14 3 3 10
^ср 2,625 3 3 2,50
н 1,845 1,585 1,585 2,066
Нтах 3,807 1,585 1,585 3,322
Е 0,485 1,000 1,000 0,622
S(y) 98,11 8,00 8,00 64,00
S(V) 114,39 12,68 12,68 74,30
ад 43,17 0,00 0,00 20,09
S(y, V, Е) 255,67 20,68 20,68 158,39
Расчеты свидетельствуют, что семантическая сложность рассмотренного дерева на 55,92 эсед выше суммарной сложности составляющих его ветвей. Данное положение определяется тем, что количество семантической информации, определяемое конфигурацией логической структуры (коэффициентом ее относительной энтропии Е), с ростом иерархической организации этой структуры растет лавинообразно.
Разбиение УЭ на совокупность УО, образующих рассматриваемый УЭ, существенно снижает уровень абстракции каждого УО относительно УЭ, т.е. уменьшает совокупную трудоемкость усвоения этих УО в сравнении с трудоемкостью усвоения УЭ. Приведенное свойство известно в педагогике: если обучающийся не способен усвоить сложный объект целиком, то обучающий организует его изучение по частям.
3 Оценка эффективности разработанной методики
Эффективность внедрения описанной модели и методики определяется следующими положениями:
1) соотношением трудоемкости процедур предъявления и проверки усвоения УЭ Оа(Х}), Ов(Х}) или семантической сложности £(Х) изучаемых УЭ со свойством обучаемости конкретного обучающегося, т.е. с тем количеством семантической информации 1об, которое он способен усваивать с первого предъявления;
2) степенью соответствия индивидуальных неформализованных особенностей обучающихся тем приемам (способам) обучения, которые лежат в основе процедур Оа(Х}) предъявления изучаемых УЭ;
3) степенью валидности процедур Ов(Х}) контроля усвоения УЭ;
4) степенью наглядности информационных моделей УЭ, предъявляемых обучающимся в процессе реализации процедур Оа(Х});
5) степенью соответствия математических моделей, лежащих в основе адаптивных информационных моделей УЭ, целям обучения и природе изучаемых объектов;
6) исходным уровнем подготовки и степенью мотивации обучающихся на достижение целей обучения и т.д.
Первое из них (соотношение трудоемкости процедур Оа(Х}), 0В(Х}) и свойства обучаемости) имеет непосредственное отношение к задаче планирования предъявления содержания обучения, поскольку определяет первоначальный план преподавателя.
Структура графовой модели одного и того же содержания обучения вариативна и зависит от системы предпочтений ее разработчика. Если целью разработки является оценка семантической сложности УЭ, то структура соответствующего графа должна отображать без исключения все умственные действия, совершаемые в процессе предъявления данного УЭ. Выполнение этого условия обеспечивает адекватность оценки трудоемкости усвоения УЭ. Однако для решения задач, связанных с планированием предъявления содержания обучения, данное требование является избыточным.
Для целей планирования содержания обучения любой граф или его ветвь могут быть представлены в виде пучка связей, что практически реализуется путем создания кадра сценария предъявления обучения.
Пусть одной из целей учебного курса по математике, определенной понятийной сетью знания, является усвоение понятия «математическая статистика» (Х1), граф которого приведен на рис. 2.
Рассмотрим три утверждения. В математической статистике (Х1) объем (Х8) выборки генеральной совокупности (Х4) является важным параметром (Х9) оценки статистических данных (Х10) (утверждение 1). Важнейшим инст-
рументом в математической статистике (Х1) является выборка (Х2) генеральной совокупности (Х4), которая может быть выражена при помощи гистограммы (Х5) и охарактеризована эмпирической (Х6) или теоретической (Х7) функцией распределения (утверждение 2). В математической статистике (Х1) для оценки результатов экспериментов широко применяются оценки параметров (Х3) выборок генеральной совокупности (Х4). Методы получения подобных оценок (Х11) зависят не только от объема (Х8) выборки. Оценки могут быть точечными (Х12) и доверительными (Х13). Свойства (Х14) точечных и доверительных оценок существенно различаются (утверждение 3).
Каждое из приведенных на рис. 2 утверждений является логически завершенным. Оценки семантической сложности (трудоемкости усвоения) приведенных утверждений по (7)-(10) представлены в табл. 3.
Таблица 3
Характеристики семантической сложности понятия «математическая статистика» и составляющих его утверждений
Характеристики графа Сложное утверждение Утверждение 1 Утверждение 2 Утверждение 3
Граф М(Хі) Ветвь М(Х4) Ветвь М(Х2) Ветвь М(Х3)
7 ср 4,25 3,0 5,0 6,0
H 3,622 1,585 2,322 2,585
Hmax 3,807 1,585 2,322 2,585
Е 0,951 1,00 1,00 1,00
SV(X) 75,06 8,00 15,51 19,65
SvX) 106,11 12,68 27,86 36,19
Se(X) 3,33 0,00 0,00 0,00
S(X) 184,49 20,68 43,37 55,84
Указанные оценки определяют трудоемкость соответствующих процедур Ол(Х}), GB(Xj■). Они рассчитываются на основе упорядоченного избыточного графа (дерева) УЭ Хь который включает все без исключения трансформации исходных понятий Х5...Х1Ф Методика обсчета подобных графов подробно описана в [5].
Рассматриваемые оценки не изменяются в зависимости от тех изменений, которые совершаются с деревом УЭ Х1 в процессе разработки плана предъявления содержания УЭ Х1 (представление дерева в виде неупорядоченного графа, сокращения числа уровней абстракции за счет представления ветви в виде пучка связей исходных элементов и т.д.). Если {Х0} = {Х5, ...,Х14} є В, то для целей планирования процедур Ол(Х}), ОВ(Х^) корректны варианты, приведенные на рис. 3, а также их сочетания.
Для квантификации имеющегося содержания обучения и компоновки плана преподавателя необходимо иметь: 1) варианты компоновки информационных кадров сценария предъявления обучения (рис. 3); 2) оценки трудоемкости усвоения рассматриваемых вариантов компоновки; 3) общее представление о закономерностях изменения свойства обучаемости; 4) оценки этих закономерностей в отношении контингента обучающихся.
Оценки трудоемкости вариантов компоновки плана преподавателя, приведенных на рис. 3, представлены в табл. 4.
№ 1 (9), 2009 Технические науки. Информатика, вычислительная техника
\ УО1 (аА(х1),ав(х1)) х1
Х8 Х9 Х10 Х5 Хб Х7 Х^ Х11 Х12 Х13 Х14 Х15
Вариант 1
Рис. 3 Варианты компоновки рассматриваемого УЭ Х1
Установлено и экспериментально подтверждено, что приведенные в табл. 4 оценки обеспечивают возможность сравнения вероятности усвоения альтернативных вариантов по соотношению
Б(Хк) > Б(Х1) ^ Р [Ов (Х1 )]> Р [Ов (Хк)]. (13)
Качественная формулировка данного соотношения: чем проще
изучаемый объект, тем выше вероятность его усвоения.
Таблица 4
Трудоемкость усвоения вариантов сценария предъявления УЭ Х
Сложность Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4
УО1 184,49 136,79 136,79 —
УО2 — 43,37 — 43,37
УО3 — 55,84 — 55,84
УО4 — 20,68 20,68 20,68
X^[0А (Х}) ] 184,49 119,89 157,47 119,89
X 5 [Ов (Х])] 184,49 157,47 157,47 119,89
X 368,98 277,36 314,94 239,78
Заключение
Условие (13) не определяет обязательность выбора варианта 4 (см. рис. 3 и табл. 4), потому что наряду с ним необходимо учитывать ряд других условий:
1) частый контроль усвоения простых с точки зрения обучающегося УЭ неминуемо вызывает у него раздражение и психологическое отторжение содержания обучения (понятия);
2) при делении УЭ на множество УО, трудоемкость которых обеспечивает их безусловное усвоение с первого предъявления, обучение теряет свое развивающее значение;
3) деление УЭ на УО должно обеспечивать логическую завершенность УО, а значит, не может быть беспредельным.
Данные условия не формализованы. Поэтому и сама задача квантификации (декомпозиции) содержания обучения на информационные кадры и разработки плана преподавателя является слабо формализованной. Для ее обоснованного решения необходимы количественные оценки возможностей усвоения контингентом обучающихся УЭ различной семантической сложности.
Список литературы
1. Леонтьев, Л. П. Проблемы управления учебным процессом (математические модели) / Л. П. Леонтьев, О. Г. Гохман. - Рига : Зинанте, 1984. - 239 с.
2. Мизенцев, В. П. Проблема аналитической оценки качества и эффективности учебного процесса в школе / В. П. Мизенцев. - Куйбышев : Куйбышевский государственный педагогический институт, 1979.
3. Уемов, А. И. Системный подход и общая теория систем / А. И. Уемов. - М. : Мысль, 1978. - 272 с.
4. Печников, А. Н. Теоретические основы психолого-педагогического проектирования автоматизированных обучающих систем / А. Н. Печников. - Петродво-рец : ВВМУРЭ им. Попова, 1995. - 322 с.
5. Евстигнеев, В. А. Теория графов : алгоритмы обработки деревьев / В. А. Евстигнеев, В. Н. Касьянов. - Новосибирск : Наука, 1994. - 360 с.
Воробьев Григорий Алексеевич
старший преподаватель,
Vorobjev Grigory Alekseevich
the senior teacher,
кафедра прикладной математики и информационных технологий, Липецкий государственный
chair of applied mathematics and information technologies,
Lipetsk state pedagogical university
педагогический университет
E-mail: [email protected]
Малыш Владимир Николаевич
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой электроники телекоммуникаций и компьютерных технологий, Липецкий государственный
Maljesh Vladimir Nikolaevich a Dr.Sci.Tech., the professor, managing chair of electronics of telecommunications and computer technologies,
Lipetsk state pedagogical university
педагогический университет E-mail: [email protected]
УДК 658.014.1.011.56:378(043)
Воробьев, Г. А.
Методика оценки семантической сложности графовых моделей учебных элементов / Г. А. Воробьев, В. Н. Малыш // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2009. -
№ 1 (9). - С. б2-71.
