Методика оценки и исследование пространственно-временных характеристик процесса переноса загрязняющих примесей и их концентрации в турбулентной атмосфере Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.5

МЕТОДИКА ОЦЕНКИ И ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОЦЕССА ПЕРЕНОСА ЗАГРЯЗНЯЮЩИХ ПРИМЕСЕЙ И ИХ КОНЦЕНТРАЦИИ В ТУРБУЛЕНТНОЙ АТМОСФЕРЕ

© 2003 г. НМ. Каргин, В.И. Наац

This paper is concerned with methods for estimating concentration of the pollutions, which is*transferring in the frontier layer of the atmosphere from the momentary point-contact source. The calculation equations for the definition spatiotemporal parameters of the pollutants transferring are obtained and then properties of these parameters are investigated

В данной работе рассматривается импульсный точечный источник мгновенного действия и предполагается, что расчет концентрации загрязняющих веществ (ЗВ) основан на гауссовом решении уравнения турбулентной диффузии. Проводится исследование зависимости концентрации ЗВ от величины скорости ветра и турбулентности атмосферы, характеризуемой коэффициентом турбулентной диффузии.

1. Пусть q(M,t) - функция, значения которой в момент времени / в точке М(х,у,г) совпадают со значениями мгновенной концентрации примеси, переносимой в атмосфере потоками воздуха. Предполагается, что функция q{M,t) - непрерывно дифференцируема по /, х, у и г . Полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии записывают в виде [1]:

дq ôq r, dq T_ dq

- + Vx—+Vv—+V7 — + aq = x Ôx y dy Zdz

ôt

(1)

= ±КХ*+±КЛ + ІК'

dx dx dy dy dz dz

q(i,x,y,z) =

Q(ip,x\),yo,z0)

[4;г(*-*0)Р/2[**ад]

1/2

xexlfcíohMzío)]lL

4 Kx(t-í0)

x exp<-

x exp<-

h-yo)-vy{t-tü)Y

4 Ky(t-t0) [(z-Zo)-rz(f-/o)]2

где Ух>Уу,У2 — компоненты скорости перемещения

воздушных масс (ветра) соответственно вдоль осей Ох, Оу, Ог; Кх,Ку,Кг - коэффициенты турбулентной диффузии соответственно вдоль тех же осей; а - коэффициент, определяющий выведение примесей в процессе переноса, когда примесь превращается в другие виды или вступает в реакцию с внешней средой; 5 — источник примеси, находящийся в точке М0{х0,у0,г0) и производящий мгновенный выброс ЗВ В момент времени /0 в количестве <2о •

Для расчета средних концентраций ЗВ в приземном слое атмосферы от мгновенного точечного источника используется решение (1):

4Кг(1-10) \

называемое гауссовой функцией распределения концентрации ЗВ. Для задач экологии важно знать время достижения «выброса» ЗВ данной точки наблюдения М{х,у,г), длительность его действия в ней и степень концентрации загрязнения.

Исходные данные для уравнения (2):

/0 - момент времени, когда источник производит выброс ЗВ;

Л*0(*0.У0>г0) - координаты источника;

Я - расстояние от источника до пункта наблюдения;

(2о — количество ЗВ, выброшенное источником в начальный момент времени ;

К = {Кх,Ку,Кг\ - турбулентность атмосферы в

приземном слое, характеризуемая коэффициентом турбулентной диффузии;

V = ^х,Уу,У2} - скорость ветра.

Параметры задачи:

а) х,у,г - координаты пункта наблюдения М, в котором проводятся замеры концентрации ЗВ, поступающих от источника,

х = 2 , у = К1^12 , г> г0;

б) / - время прихода в пункт М загрязнений. Необходимо вычислить значения функции

q(MQ,M,t(),t) - концентрации примесей в пункте наблюдения.

Введем нормированные величины с помощью соотношений:

q(M0,M,tQ,t) = Q0q(M0,M,t0,t) ;

q(MQ,M,to,t) ~ q*q(M0,M,t0,T,V,K) ; x0=x0IR,ÿ0=y0IR,70= z0lz0 ; x=x/R, y = y/R, z-z/zq;

(3)

КХ=КХ/К , Ку=Ку/К , К2=К2/К ;

УХ = УХ/У\ Уу = Уу1У\ у2 = у2/у\

К* =тах\кх,Ку,К2}\ V* - тах^Ух,Уу,Уг};

<1 =?1 /Г, *„=№ ¡2- ¡2 ¡Т, ^<>1 < ¡2;

Г = / -¡о - временной интервал, в течение которого в пункт наблюдения поступят загрязнения и будет зафиксировано максимальное значение концентрации ЗВ; [/х, /2 ] " временной интервал в окрестности точки Т . /

Тогда

1

X exp'

[Атг(Г-70)f2[KxKyKz}n

\ [(?-zq)-F7(F-Fo)]21„

4К2(7-70)

(4)

xexp'

х ехр

Ь-^о)-^(Г-Го)]2

4 Kx(í-t0)

Ь-?о)-^(7-7о)Г

4Ку (/-/„)

Положим, что

?*(ТК*Тъп. , (5)

На рис. 1 показан график функции д(Мо,М,7(1,7,У,К), характеризующий изменение концентрации ЗВ за время [/^г] • Расчеты проводились по формуле (4) при следующих исходных данных: 10 = 0 с; Г = 1800 с; *о=Л)=0 м; 20 ~ 25 м» Л = 500 м; £?о = 500-10-3 кг/с; Кх = Ку = К2 =5 м2/с;

Ух =Уу =Уг =2 м/с; г = 26 м.

Вид графика функции <](Мо,М,7о,7,У,К) позволяет сделать вывод о распространении в атмосфере «импульсного возмущения» (ИВ) ЗВ длительности [*1,<2] • Кроме того, явно виден эффект «размывания» ИВ ЗВ с течением времени. Цель данной работы -построение таких соотношений, которые бы позволили количественно оценить следующие временные параметры: «основание ИВ ЗВ» - границы и ширину интервала ; момент времени, когда в точку наблюдения «приходит «пик ИВ ЗВ», «эффективную длительность ИВ ЗВ» - время, в течение которого сохраняется концентрация загрязнений на уровне 70 % и «эффект размывания ИВ ЗВ». Используя далее соотношения (3) - (5) и задавая различные исходные данные, исследуем процесс распространения * ЗВ в атмосфере.

2. Как видно из рис. 1, ИВ ЗВ имеет точку максимума /* (Юр1 - см. также рис. 2) - момент времени, когда в пункте наблюдения фиксируется «пик» концентрации ЗВ. Для определения момента времени I* решим уравнение:

Я'\м, 0 = 0. (6)

Решением уравнения (6) в одномерном варианте будет следующее выражение [2]:

^Кх2+Ух2(х-х0)2-Кх

t =ÍQ+-

(7)

При значениях ;с0 = 0 и /д = 0 уравнение (7) можно привести к виду

t*=Ib

х2+У2х2-Кх

(8)

Рис. 1. Концентрация ЗВ, фиксируемая в пункте наблюдения

Для трехмерного варианта:

/ =/q +

(9)

вЛ

3

у х У v z

Y~x+Y~y+T~z

(x-x0)¿ | (У-УоУ | (Z-Z0)

Kr

К,

1X у “z

Таким образом, (9) определяет время прихода в пункт наблюдения ЗВ с максимальной •концентрацией.

Другим важным вопросом при исследовании пространственно-временных характеристик процесса распространения ЗВ в приземном слое атмосферы является .численная оценка «эффективной длительности» ИВ ЗВ в точке наблюдения. Она определяется как г = Г[ + г2 (см. рис.2). Для оценки этого параметра в работе предлагается алгоритм, который позволяет, кроме того, определить интервал длительности («основание») ИВ ЗВ

*

В момент времени t в пункте наблюдения М фиксируется максимальное значение концентрации q{t*) = q*. На рис. 2 оно обозначено как q(topt). Построим уравнение прямой у = aq . На рис. 2 прямая обозначена как у = alfa * q(topt). Значение

a -q /4l и определяет остаточный уровень концентрации загрязнений до 70 %, наблюдаемый в течение времени где fJJ и t$ определены на

временной оси t и соответствуют точкам пересечения прямой y = aq с графиком функции q(t), где / е Обобщенный алгоритм включает в себя три

основных шага.

Шаг1. Определение интервала [/],72]:

1) задаются начальные значения: • а = 0,1;

= 0,15 • / и ; /] = 2; /2 = 2;

2) вычисляется q{t\);

3)если q(t\)>aq*, то = /1 //^

4) /]=/)• 2 и возвращаемся на пункт 2;

5) вычисляется q(J2)'■>

6) если q(t^l) <сщ , то ¡2 - ’¡2

I) /2 = /2 • 2 и возвращаемся на пункт 5;

8) фиксируем окончательные значения [/] ,/2 ] •

Шаг II. Определение Т\ (1аи1 - на рис. 2):

9) задается а = 1 / 42 ;

10) рассматривается интервал [^,/*].

II) вычисляется Л = (7* -/¡)/т, где /я- число

разбиений отрезка [/],/*];

12) определяется ? = /1;

13) вычисляется д(/);

14) если од* - <7(/)| < £■, то перейти на пункт 18;

15) иначе г = / + й;

16) если / </*, то вернуться к пункту 13;

17) иначе т = т • 2 и вернуться к пунюу 11;

18) /$=/;

19)г,=/*-ф.

Шаг III. Определение Г2 (1аи2 - на рис. 2):

20) рассматривается интервал

[ЛЫ;

21) вычисляется А = (72-/*)/т, где т - число разбиений отрезка

[ЛЫ;

22) определяется ( = /2 ;

23) вычисляется <у(/);

24) если \aq -q(t)

Рис. 2. Определение «эффективной длительности ИВ» ЗВ г = Т\ + г2 (обозначено как 1аи=1аи1+1аи2)

< £ , то перейти на пункт 28;

25) иначе / = ї - И;

26) если />/*, то вернуться к пункту 23;

27) иначе т = т • 2 и вернуться к пункту 21;

28) ($=1-,

29) г2 =/$-/*;

30) в итоге, «эффективная длительность» (ширина) г = Г| + г2.

Возможность вычис-

* ч

ления значения г - момента времени, в который импульс возмущения ЗВ достигает максимального значения, позволяет при расчете концентрации ЗВ

д(М,г) по формулам (3)

- (5) положить в них Г = ?* при условии, что ¿0 = 0 . Кроме того, для вычисления нормированных значений функции д(М, /) по формуле

(4), предварительно необходимо рассчитать нормированное значение

/ * по формуле (9). Вычисление значений функции д(М,/) сопровождается предварительным расчетом значений границ интервала ^ , Т2

относительно / , а затем в случае необходимости получением значений параметров ,

?2 , т . При переходе от нормированных значений д(М,7) к реальным необходимо выполнить пересчет значений следующих параметров задачи:

¡1=1 //], /2 -I

~ ( ~ ^ор! > Г2 ’ ?ор1 ^ ~ *2 >

Г(1) ,

ф=Л1-71).®=/*(1 + %)» П2=-^-

I {ор1

3. Исследуем влияние скорости ветра и турбулентной диффузии на характер распространения вредных примесей в пространстве и во времени.

На рис. 3 показано совместное влияние скорости ветра и коэффициента турбулентной диффузии на характер распространения загрязнений. С увеличением скорости ветра и усилением турбулентности ИВ ЗВ д(М,/) приходит в пункт наблюдения значительно быстрее, но с меньшей концентрацией. При этом эффективная длительность г = Г| + г2 ИВ ЗВ уменьшается. При ослаблении ветра и соответственно турбулент-

ности поступление примесей замедляется, но при этом в большей степени сохраняется их концентрация и длительность действия.

На рис. 4 показано изменение концентрации примесей при увеличении расстояния от источника до точки наблюдения.

В каждом рассмотренном случае наблюдается «эффект размывания» ИВ ЗВ. Для количественной оценки влияния скорости ветра и турбулентной диффузии на размывание примесей в атмосфере предлагается ввести понятие «коэффициента размывания ИВ ЗВ» <?(М,/) : 7,- = г,- / Г[, где / = 1,Ы, N — количество наблюдений. Параметры т, рассчитываются по формулам (10), а т\ = тт{г;}.

Рассмотрим одномерный вариант уравнения (8). При Кх -> 0, т.е. при малых значениях коэффициента

Рис. 3. Графики функций яЦМД) и я2(Мд); К] = 5 м/с; ^=12 м/с; /С] = 15 м2/с; К2 = 50 м2/с; Я = 500 м; = 500-10'3 кг/с Ч 7.0Е-03

0.0Е+00

1

-1.0Е-03

М 28,3 42,4 56,5 84,8 113 141 170 198 212 226 257 343 429 602

____________________________________________________________________________________________________________________і

------------Ч1

42

-чз

Рис. 4. Графики функций ql(Ml,t), q2(M2,t) и цЗ(МЗ,1:)); Л] = 250 м; Я2 = 500 м; Я$ = 750 м; V = 5 м/с; К = 15 м2/с; £?0 = 500-10_3 кг/с

(10)

турбулентной диффузии из (8) получаем

/*(Кх —>0)и/р — х1Ух.

Это говорит о том, что при фиксированном положении точки М и слабой турбулентности время прихода ИВ ЗВ в пункт наблюдения тем меньше, чем больше скорость ветра, следовательно, загрязнения поступают в пункт наблюдения быстрее. В то же время, чем больше расстояние от источника до точки М, тем дольше будет идти процесс распространения ЗВ до заданной точки. Эти выводы полностью подтверждаются результатами расчетов, приводимых выше. Если в уравнении (8) значение коэффициента турбулентности Кх > 0, то

чкх> о

Докажем утверждение (11):

(П)

і

4

К2х+У2х2 <УХ2

Кх х —£•+— V2 ух

\Г X *

=> -)к2х + У2х2 <Кх + Ух-х=>

=> К2 + У2х2 <к1+ У2х2 +2КхУх-х=>

=> 2КХУХ -х > 0.

Последнее неравенство справедливо при значениях Кх > 0, Ух >0, х > 0.

Из утверждения (11) следует, что при больших значениях коэффициента турбулентной диффузии процесс распространения ЗВ в атмосфере ускоряется. Этот факт также подтверждается расчетами, показанными выше (см. рис. 3). Временной интервал £, на

величину которого ускоряется процесс распространения ЗВ за счет турбулентной диффузии, определяется по формуле

2х+У2х2-Кх

(12)

мала. Тогда можно положить

* ІКІ 1н!

ґо -і

|У«| |У|со8(Н,У)

(13)

(х-х0 )2 +{у-уо)2 +{2-го)2

(х-Х0)УХ+(у-У0)Уу+(2-20)У2

Пространственное значение параметра С, можно аналогично (12) определить по формуле ¿¡ = ^-1 , где ^{Кх = Ку = К2 = К -> 0) определяется< соотношением (13), /* ( Кх = К у - К2 - К > 0 ) определяется

формулами (9).

В таблице приведены расчетные значения основных временных параметров процесса переноса примесей в приземном слое атмосферы. При этом предполагается, что г определяется при условии сохранения загрязнений на уровне 70 %, а = 0,7. Параметр т] показывает, во сколько раз усиливается размывание ИВ ЗВ при изменении скорости ветра и коэффициента турбулентной диффузии. Параметр* £ определяет

временной интервал, на величину которого ускоряется процесс распространения примесей при наличии в атмосфере турбулентной диффузии. В таблице приведены результаты' расчетов в предположении, что

Ух = Уу = У2=У и Кх = К у

■ К2=К.

Расчеты показывают, что при увеличении скорости ветра сокращается время поступления загрязнений в точку наблюдения, т.е. поступление происходит быстрее, «эффективная длительность действия ИВ ЗВ» значительно сокращается, значение коэффициента «размывания ИВ» и временной интервал, на величину которого ускоряется процесс поступления примесей, также сильно уменьшаются. При этом значения коэффициента турбулентной диффузии и расстояние до пункта наблюдения остаются постоянными. Очевидно, что с увеличением скорости ветра процесс по распространению примесей существенно ускоряется.

Тогда £ =--------.

( \ X

+

к2] к;

К

-/0

Ь.

У2

\гх

.2 К + /0 +-;

Рассмотрим далее трехмерный вариант задачи, для которого /* определяется уравнением (9). Определим временной интервал, на величину которого ускоряется время прихода максимума «импульса возмущения» примесей в точку М за счет турбулентной диффузии в атмосфере. Для этого выведем сначала расчетную

формулу для вычисления 1^{К —> 0), где предполагается, что Кх = К у = К2 = К -* 0, т.е. турбулентность

Расчетные значения основных временных параметров процесса переноса примесей в приземном слое атмосферы в зависимости от К и V (числитель (Я = 500 м, К = 50 м2/с, а = 0,7); знаменатель (Я = 500 м, У = 7 м/с, а = 0,7))

V к Г* (с) Г (с), п С (с)

2 132.37 140.69 11.54 44.14

50 40,23 42,75 1,07 10,20

7- 40.23 42.75 3.50 10.20

100 39,24 41,71 1,05 И,18

12. 23.71 25.20 2.06 5.70

150 38,29 40,69 1,02 12,14

25 11.46 12.18 1 2.65

200 37,35 39,70 1 13,07

Изменяя далее значения коэффициента турбулентной диффузии при постоянных значениях скорости ветра и расстояния до точки наблюдения, видим, что с усилением турбулентности приход «пика загрязнений» в пункт М незначительно ускоряется, «эффективная длительность действия ИВ ЗВ» незначительно сокращается. Коэффициент размывания ИВ остается практически неизменным, а временной интервал, на величину которого ускоряется процесс переноса примесей за счет турбулентности, увеличивается.

Кубанский государственный университет________________

Таким образом, разработанная методика позволяет вычислять и исследовать пространственно-временные параметры распространения ЗВ под действием ветра в условиях турбулентности в приземном слое атмосферы. Литература

1. Берлянд М.Е., Генихович ЕЖ Метеорологические аспекты загрязнения атмосферы. Л., 1971.

2. Наац В И. // Тез. докл. 28-й науч.-техн. конф. Ставрополь, 1998.

________________________________________5 декабря 2002 г.

УДК 539.3

ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ КОНТАКТ ШТАМПА И СОСТАВНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА ПРИ НАЛИЧИИ СИЛ ТРЕНИЯ

© 2003 г. М.И. Чебаков

Three-dimensional contact problem of elasticity theory on the impression of a stamp in the form of an elliptic paraboloid on a surface of a layer lying without friction on a half-space with other elastic constants are considered. The area of contact is beforehand unknown and dependent on the value of normal force and tangential force acting on a stamp. It is supposed also, that between the stamp and the layer there are Coulomb friction forces, which are parallel to a direction of tangential force. Integral equations of contact problems are developed. Influence of the Coulomb friction coefficient, shape of the stamp, elastic constants and thickness of the layer to contact stresses, to dependence of vertical displacement of the stamp on pressing force, to the size and the form of the contact area, and finally, to the shape of the free surface of the layer out of the contact area, are investigated.

Учет сил трения в области контакта взаимодействующих тел имеет важное значение при расчете сопряжений деталей машин и механизмов в машиностроении. Особенно это актуально, когда процесс взаимодействия имеет существенно пространственный характер. Ниже рассматривается пространственная контактная задача теории упругости о действии штампа в форме эллиптического параболоида на поверхность слоя толщиной А, лежащего без трения на упругом полупространстве с другими упругими постоянными. Штамп находится под действием нормальной силы Р, прижимающей его к поверхности слоя, и тангенциальной силы Г, действующей на него в перпендикулярном направлении; межцу штампом и слоем имеют место силы кулоновского трения. Предполагается, что силы трения параллельны направлению действия тангенциальной силы Г. Получено интегральное уравнение поставленной контактной задачи. Исследовано влияние упругих констант и толщины слоя на величину контактных напряжений, на зависимость вертикального перемещения штампа от вдавливающей силы, на величину и форму области контакта и на перемещение точек поверхности слоя вне области контакта.

Случай, когда слой лежит на недеформируемом основании, изучен автором в [1, 2]. В [3] рассмотрен

случай, когда слой жестко соединен с упругим полупространством. В работах других авторов с учетом сил трения рассматривались пространственные задачи для полупространства [4, 5] и клина [6,7].

Предположим, что жесткий штамп лежит на поверхности слоя г = /г и находится под действием нормальной силы Р и тангенциальной силы Т, направленной вдоль оси Ох. Здесь (х,у,г) - прямоугольная система координат, начало которой находится на нижней поверхности слоя. Пусть слой лежит без трения на упругом полупространстве. Предполагая, что силы трения под штампом параллельны силе Т, штамп находится в условиях предельного равновесия и не поворачивается, получим краевую задачу для пространственных уравнений Ляме при следующих граничных условиях:

И'1 = 3~/{х>у\ т\г = ¿уг = 0 (* = (х>у) е Я);

0-1 = = 0 (г = к (х,у)еП); (1)

М,1 = уу2, а\ = су], т\г = т'уг = т^ = т^ = О (2 = 0). Кроме того, выполняются условия статики Р = [[стг (х, У,0)(К1, Т ~ р.Р П

и в полупространстве при г —> со перемещения стремятся к нулю.