CC BY
53Конвективные течения..., 2013
МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ПОВЕДЕНИЯ СФЕРИЧЕСКОГО ТЕЛА ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ
С.В. Субботин
Лаборатория вибрационной гидромеханики, Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24
Описана методика изучения динамики твердой сферы во вращающейся сферической полости, заполненной жидкостью. Разработана методика изготовления полости, особенностей измерения относительной скорости, измерения положения сферы относительно полости, а также способы наблюдения и регистрации структуры течений с учетом оптических эффектов на сферической границе.
Ключевые слова: сферическая полость, сферическое тело, вращение, методика.
Влияние различных факторов на поведение свободной сферы во вращающейся сферической полости с жидкостью интересно прежде всего с геофизической точки зрения. Важной технической проблемой является изготовление прозрачной сферической полости с высокой степенью точности кривизны поверхности. В связи с использованием методов фото- и видеорегистрации возникает ряд вопросов, связанных с кривизой поверхности, то есть с оптическими искажениями. Кроме того, поскольку полость вращается, важной задачей является синхнонизация фотосъемки с положением кюветы. Решению этих вопросов посвящена данная работа.
1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА
Кювета состоит из двух плексигласовых параллелепипедов, в которых выточены полусферы одинакового радиуса (рис.1). Для
© Субботин С.В., 2013
Субботин С.В. Методика изучения поведения сферического тела
обеспечения осесимметричного соединения полусфер используются направляющие шпильки 1, для герметизации кюветы - резиновое кольцо 2, находящееся в канавке прямоугольной формы. Суммарная глубина двух канавок несколько меньше толщины кольца. В момент соединения полусфер зазор исчезает. Две полусферы соединяются абсолютно герметично и в то же время плотно.
Рис. 1. Кювета в разобранном виде
Полусферы изготавливаются на вертикальном фрезерном станке следующим образом. Предварительно подготовленный плексигласовый параллелепипед закрепляется на поворотном столе фрезерного станка. Дисковая фреза устанавливается под углом 45° по отношению к верхней грани параллелепипеда. Полусфера получается при последовательном опускании фрезы в оргстекло и вращении заготовки вокруг оси. Радиус сферы определяется радиусом фрезы. После изготовления первой полусферы закрепляется второй точно такой же параллелепипед и процедура повторяется. Поскольку сферическая поверхность выточена внутри параллелепипеда, оптические искажения при наблюдении сбоку и вдоль оси вращения в значительной степени скомпенсированы.
В кювету 1 радиуса R (рис.2) помещается легкое сферическое тело 2 радиуса r. Кювета заполняется жидкостью: вода,
водоглицериновые растворы различной вязкости. Для измерения вязкости жидкости используется капиллярный вискозиметр типа ВПЖ-2. Ошибка в измерении вязкости не превышает 0.1 сСт.
Кювета закрепляется в шарикоподшипниках неподвижных опор 3 (рис.2) и устанавливается на столике электродинамического вибростенда 4 типа VEB GERATE-UND-REGLER-WERKE
93
Конвективные течения..., 2013
TELTOW, задающего поступательные колебания. С одной из сторон кюветы в качестве опоры используется подшипник большого диаметра, что позволяет наблюдать положение тела и всю полость вдоль оси (рис.3).
а
б
Рис.2. Схема (а) и фотография (б) экспериментальной установки
94
Субботин С.В. Методика изучения поведения сферического тела
Рис.3. Фотография кюветы (R = 0.49), обозначения соответствуют рис.2
Вращение кюветы задается при помощи шагового двигателя 5 типа FL86STH80-4208A с блоком управления SMD-42 и передается через гибкую передачу (рис.2). Скорость вращения вала двигателя регулируется при помощи генератора Г3-112/1. Данная система позволяет варьировать скорость вращения в пределах frot = 0 - 50 об/с. Нестабильность вращения полости дополнительно контролируется оптопарой 6 и составляет в худшем случае
0.001 об/с.
Эксперимент проводится как в отсутствие вибраций, так и при вибрациях, ориентированных перпендикулярно оси вращения. Для получения поступательных колебаний на электродинамический вибростенд с генератора компьютера подается гармонический сигнал известной частоты fvib. Величина сигнала регулируется усилителем DIGISYNTHETIC DP3202. Амплитуда вибраций bvib вычисляется путем анализа осциллограммы сигнала, полученного с одноосного акселерометра 7 типа ПАМТ 4 0.225. Спектральный анализ сигнала акселерометра свидетельствует, что амплитуда паразитных гармоник на несколько порядков меньше основной. Относительная
95
Конвективные течения..., 2013
погрешность измерения амплитуды вибраций не превышает 5%. Амплитуда и частота вибраций могут принимать значения в диапазоне bvib = 0 - 2 мм и fvib = 0 - 50 Г ц.
2. МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
Эксперимент проводится в условиях быстрого вращения кюветы, когда под действием центробежной силы легкая сфера занимает положение вблизи оси вращения. Все наблюдения ведутся в стробоскопическом освещении лампы 8 (рис.2).
В экспериментах изучаются относительная скорость вращения тела, его положение, ориентация оси вращения по отношению к оси вращения полости, а также структура течений. Первоначально задается скорость вращения полости frot. Измерение frot осуществляется путем синхронизации с частотой мерцаний стробоскопа. Измерение скорости вращения тела f выполняется после установления стационарного режима. По результатам измерений рассчитывается скорость дифференциального вращения Df ° f - frot. Далее скорость frot плавно изменяется и измерения повторяются. Отрицательные значения Df означают отстающее вращение тела относительно полости, положительные - опережающее вращение. Точность измерения скорости составляет 0.001 об/с.
При съемке вращающейся кюветы в форме куба необходимо, чтобы затвор фотоаппарата срабатывал только в определенные моменты, когда его оптическая ось перпендикулярна одной из граней куба. Один из возможных вариантов - съемка в стробоскопическом освещении, однако мощности вспышки и светочувствительности объектива фотоаппарата может оказаться недостаточно для получения качественных фотографий. В этом случае используется методика, описанная в работе [1]. Суть заключается в использовании дополнительного модуля 9 (рис.2), который синхронизирует момент срабатывания лампы-вспышки и положение кюветы. При нажатии кнопки фотоаппарата сигнал подается на модуль 9, где синхронизируется с сигналом от оптопары 6. Последний вырабатывается в строго определенной фазе. Время выдержки фотоаппарата согласовано с периодом 1 / frot , за который полость совершает полный оборот.
Положение сферы вдоль оси рассчитывается как х = (Xj - x2) / (Xj + x2), где Xj и x2 - расстояния от правого и левого
96
Субботин С.В. Методика изучения поведения сферического тела
полюсов кюветы до соответствующего полюса сферы. Из-за разности в оптической плотности оргстекла и рабочей жидкости, сферическая поверхность кюветы работает как рассеивающая линза, что приводит к искажению реального размера тела (рис.4). Показатель преломления оргстекла составляет п1 = 1.49 , а показатель преломления жидкости изменяется в интервале п2 = 1.33-1.45 при изменении массового содержания глицерина в воде в диапазоне 0 - 85%. С увеличением концентрации глицерина в воде оптические искажения, связанные с наличием сферической границы, уменьшаются.
Рис.4. Оптический ход лучей в кювете в случае центрального положения сферы. Сплошная линия - граница тела, штриховая - ее изображение
97
Конвективные течения..., 2013
В экспериментах с маловязкой жидкостью, особенно при сильном смещении сферы вдоль оси, искажение размеров может быть существенным. Это подтверждается следующим наблюдением: когда сфера упирается в стенку кюветы, кажется, что она отстоит от нее на несколько миллиметров.
2.1. Методика измерения положения сферы
Пользуясь законом преломления света
sin а _ п2 sin b п1
на границе жидкость - оргстекло (рис.4), можно получить поправку Ах к измерениям положения тела:
Ат _ tanarcsin
^П- -
VF^v2
(2.1)
Л
п
2
а
а
п
п
2
где а _ rxi R , r - расстояние вдоль радиуса.
Зависимость Ах(^) представлена на рис.5. Экспериментальные точки, полученные для центрального и крайнего положений тела, хорошо согласуются с теоретической кривой.
18 Г1, мм 36
0
98
Рис.5. Поправка Ах к измерениям положения сферы вдоль оси r для кюветы R1 = 36.0 мм, (+) - экспериментальные точки
Субботин С.В. Методика изучения поведения сферического тела
Фотографии обрабатываются с помощью пакета MatLab. Первоначально в исходных изображениях (рис.ба) выделяется область от середины до полюса кюветы, и создается многостраничный tiff-файл. После этого программа проводит процедуру бинаризации изображения с заполнением всех внутренних промежутков, которые можно воспринять как границу жидкость - тело. Далее проводится подсчет количества темных пикселей от поверхности кюветы до края полюса сферы (рис.бб). Для расчета положения достаточно измерить расстояние до одной границы х1. Результаты, полученные при ручной обработке, хорошо согласуются с результатами обработки программы (рис.бв).
0.5
x
0
Сфера
X 1 в
О 2
X
$ 8 ^xggs щ S
10 17 froP об/с 24
Рис.б. Положение сферы (а); б - изображение, обработанное с помощью программы; в - зависимость положения тела от скорости вращения полости при n = 1 сСт, fvib = 30 Гц, bvib = 0.27 мм, точки 1 - ручная обработка, 2 - с помощью программы
2.2. Методика измерения ориентации оси вращения сферы
В случае, когда сфера теряет симметричное положение и смещается к одному из полюсов кюветы (рис.7), направление оси вращения сферы может отличаться от направления оси вращения полости. Угол наклона оси вращения сферы растет с увеличением x .
Для определения величины наклона велась одновременная фотосъемка со стороны боковой поверхности полости (Camera 1, рис.2) и вдоль оси вращения (Camera 2). Для исключения ошибки, связанной с параллаксом, оптическая ось фотоаппарата совмещалась с осью вращения полости. Это контролировалось соосным располо-
99
Конвективные течения..., 2013
жением окружностей r1 и r2 (рис.8), которые соответствуют двум
посадкам кюветы на ось вращения. При фотосъемке сбоку для обеспечения перпендикулярного расположения грани кюветы к оси объектива в момент съемки использовалась методика, описанная в работе [1].
а
б
Рис.7. Различные положения сферы в полости, h = 0.49 (вид сбоку)
Рис.8. Сфера, ось вращения которой наклонена относительно оси вращения полости (R = 0.5, вид вдоль оси вращения)
Ось вращения тела определялась по специальной светоотражающей метке. Съемка вдоль оси осуществлялась в непрерывном освещении с выдержкой в несколько секунд. За это время метка вырисовывала окружность, центром которой и является ось вращения тела (рис.8). Зная расстояние между центром метки и центром
100
Субботин С.В. Методика изучения поведения сферического тела
сферы r (ось вращения в отсутствие наклона), можно рассчитать угол наклона оси вращения.
2.3. Методика регистрации структуры течения
Для визуализации структуры течений в рабочую жидкость добавляются светорассеивающие частицы Resin Amberlite нейтральной плавучести, р~\. Наблюдая за частицами визуализатора, можно судить о форме основного течения. Для выделения ограниченного объема жидкости при фотосъемке вдоль оси использовался световой нож толщиной около 1 мм, располагающийся на среднем расстоянии между сферой и стенкой кюветы (рис.9а). По теореме Тейлора - Праудмена [2] вращение кюветы навязывает течению двухмерность. Частицы визуализатора оседают на касательной к геометрическому продолжению сферы вдоль оси вращения, визуализируя границу жидкого столбика (рис.9б).
Camera 2
I
Flash
tvvvv
а
Рис.9. Схема фоторегистрации (а) и фотография структуры течения (б) вдоль оси вращения
Структура течения определяется соотношением двух безразмерных комплексов: числом Россби Ro ° Df / frot и безразмерной частотой 2pfrotr2 /n . В одном эксперименте при заданном значе-
нии размера тела r и вязкости n можно варьировать только скорость вращения полости frot и, как следствие, Df . При изменении скорости вращения сферы спустя характерное гидродинамическое время t ~ R-2 / n регистрируется структура течения.
Заключение. Разработаны: метод изготовления сферической полости заданного радиуса, метод учета оптических искажений на сферической границе полость - жидкость для определения истинного положения тела в полости, а также методика определения
101
Конвективные течения..., 2013
ориентации оси вращения тела по отношению к оси вращения системы. Полученные результаты апробированы в работах [3, 4].
Работа выполнена в рамках Программы стратегического развития ПГГПУ (проект 030-Ф), при поддержке Минобрнауки РФ (задание 1.2783.2011) и РФФИ (грант 13-01-00675а).
СПИСОК ССЫЛОК
1. Субботин С.В., Шаров М.Т. Методика наблюдений течений в быстровращающейся кювете // Конвективные течения... Вып. 5. Пермь: Перм. гос. пед. ун-т, 2011. С. 195-204.
2. Гринспен X. Теория вращающихся жидкостей // Л.: Гидроме-теоиздат, 1975. 304 c.
3. Козлов В.Г., Субботин С.В. Динамика легкой сферы во вращающейся сферической полости с жидкостью // В настоящем сборнике.
4. Козлов В.Г., Субботин С.В. Вибрационная динамика легкой сферы во вращающейся сферической полости // В настоящем сборнике.
TECHNIQUE OF THE BEHAVIOR STUDY OF THE LIGHT SPHERICAL BODY IN A ROTATING SPHERICAL CAVITY
S.V. Subbotin
Abstract. The technique of the study of the dynamics of solid sphere in a rotating spherical cavity filled with liquid is described. The methodic of manufacturing of the cavity, features of measuring of the relative velocity, measuring of a position of the sphere relative to the cavity, and also ways of observation and recording of a flux structure taking into account optical effects on the spherical boundary is developed.
Key words: spherical cavity, spherical body, technique, rotation.
102
