Методика изложения темы "Решение краевых задач для уравнения Лапласа в прямоугольнике методом Фурье" Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2304-120X

ниепт

научно-методический электронный журнал

Попова Е. М., Чигирёва О. Ю. Методика изложения темы «Решение краевых задач для уравнения Лапласа в прямоугольнике методом Фурье» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2018. - № У9. - 0,4 п. л. -иН1: http://e-koncept.ru/2018/186085.htm.

ART 186085 УДК 378.147

Попова Елена Михайловна,

кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва [email protected]

Чигирёва Ольга Юрьевна,

кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва m kfn 12@yandex. ru

Методика изложения темы «Решение краевых задач для уравнения Лапласа

в прямоугольнике методом Фурье»

Аннотация. В статье приводится методика изложения темы «Решение краевых задач для уравнения Лапласа в прямоугольнике методом Фурье» в курсе уравнений математической физики в МГТУ им. Н. Э. Баумана. Данный математический аппарат широко используется в физике, математической физике, электродинамике, квантовой механике, акустике, волновой оптике, теории колебаний, теории сигналов и цепей. Цель работы -помочь студентам приобрести навыки применения методов математической физики к решению различных физических задач. Одним из основных методов решения задач математической физики является метод Фурье (разделения переменных). Задача Штурма -Лиувилля - важный этап этого метода. Для того чтобы структурировать основные типы задач Штурма - Лиувилля, в статье приведена таблица, в которой максимально лаконично представлен материал. В работе также кратко приведены основные теоретические сведения и в качестве примера решена краевая задача для уравнения Лапласа в прямоугольнике. Статья будет полезна студентам приборостроительных специальностей, а также преподавателям соответствующих курсов.

Ключевые слова: метод Фурье разделения переменных, задача Штурма - Ли-увилля, уравнение Лапласа.

Раздел: (01) отдельные вопросы сферы образования.

При подготовке студентов приборостроительных специальностей важную роль играет изучение аналитических методов решения задач математической физики [1]. Одним из таких методов является метод Фурье разделения переменных [2-4], согласно которому решение ищется в виде разложения в ряд Фурье по системе собственных функций задачи Штурма - Лиувилля.

Для успешного освоения студентами данной темы в работе приводятся необходимые теоретические сведения из функционального анализа [5]. Особое внимание уделено рассмотрению задачи Штурма - Лиувилля. Изложенный материал включает постановку задачи, свойства собственных значений и собственных функций [6]. Приведена таблица, в которую сведены наиболее часто встречающиеся типы задач Штурма - Лиувилля для отрезка [7]. Работа содержит краткие теоретические сведения, связанные с постановкой краевых задач для уравнения Лапласа; доказательства сформулированных теорем можно найти в [8, 9]. Показан пример решения краевой задачи для уравнения Лапласа в прямоугольной области.

Структурированный подход к изложению материала, сочетающий основные теоретические сведения и подробно разобранный пример решения краевой задачи, позволяет студентам не только овладеть математическим аппаратом, но и научиться применять его при решении прикладных задач.

ниегп

1бб1\1 2эо4-12ох Попова Е. М., Чигирёва О. Ю. Методика изложения темы «Решение краевых задач для уравнения Лапласа в прямоугольнике методом Фурье» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2018. - № У9. - 0,4 п. л. -иН1: http://e-koncept.ru/2018/186085.htm.

научно-методический электронный журнал

Для описания стационарных процессов в физике обычно используют уравнения эллиптического типа. Наиболее распространенным уравнением этого типа является уравнение Лапласа

Au (M ) = 0,

где A - дифференциальный оператор 2-го порядка, называемый оператором Лапласа.

К уравнению Лапласа приводят задачи о стационарном тепловом состоянии однородного тела, равновесном распределении электрических зарядов на поверхности проводника, об установившемся движении несжимаемой жидкости и многие другие.

При решении краевых задач для уравнения Лапласа используют различные аналитические методы: метод Фурье разделения переменных, метод функции Грина и метод интегральных преобразований. В данной работе рассматривается метод Фурье разделения переменных.

Гильбертово пространство l2 ([ a, b]; р)

Линейное пространство, в котором задана норма, называют нормированным пространством.

Нормированное пространство называют полным или банаховым пространством, если в нем любая фундаментальная последовательность сходится.

Гильбертовым пространством называют бесконечномерное банахово пространство, норма в котором индуцирована скалярным произведением

II/II = /)

Примером гильбертова пространства является пространство функций, суммируемых с квадратом на отрезке [a,b] с весом р(x) > 0:

b

jр(x)/2 (x)dx < +сю .

a

Это пространство обозначается l2 ([a, b]; р).

Скалярное произведение и норма в пространстве l2 ([a, b]; р) задаются следующим образом:

b

(/, g)р=\р (x)/ (x) g (x)dx , /, g e L2 ([a, b]; р);

b

= /ГР =Мр(x)/2 (x)dx ,

V a

f e L2 ([a, b]; р).

Сходимость фундаментальной последовательности {/ }" функций

/ e l ([a, b]; р) к функции / e l ([a, b]; р) означает, что

b

lim|р(x)[/ (x)-/(x)]2 dx = 0 .

a

Такую сходимость называют сходимостью в среднем квадратичном.

a

ниегп

issn 2304-120X Попова Е. М., Чигирёва О. Ю. Методика изложения темы «Решение краевых задач для уравнения Лапласа в прямоугольнике методом Фурье» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2018. - № V9. - 0,4 п. л. -URL: http://e-koncept.ru/2018/186085.htm.

научно-методический электронный журнал

Оператор Штурма - Лиувилля

Рассмотрим линейный дифференциальный оператор Ь , действующий на функцию / по правилу

L [ f ]=-d

Р ( x ) *'

+ q (x) f (x), a < x < b,

где p(x) е С1 [a, b], p(x) > 0, q(x) e С [a, b], q(x) > 0.

Этот оператор называют оператором Штурма - Лиувилля. К области определения D (L) оператора L отнесем множество функций f е С2 (a, b)п С1 [a, b], удовлетворяющих условию L [f ]e L2 [a, b] и однородным граничным условиям

-af '(a) + Pf (a) = 0 , af '(b) + PJ (b) = 0, где a, P = const > 0, причем a + P > 0, i = 1,2.

Свойства оператора L:

1) (L [f], g) = (f, L [g]), f, g e D (L );

2) (L [f], f )> 0, f e D(L) .

Задача Штурма - Лиувилля

Рассмотрим следующую краевую задачу с однородными граничными условиями на отрезке [a, b]:

L [X(x)] = 1р(x)X(x), a < x < b; (1)

-OX '(a) + PX (a ) = 0, aX '(b) + PX (b ) = 0, (2)

где L - оператор Штурма - Лиувилля; 1 - некоторая постоянная; р( x) - весовая функция, р( x)e С [a, b], р( x) > 0; a, P = const > 0, причем a+P> 0, i = 1,2.

Задачу (1), (2) называют задачей Штурма - Лиувилля. Она состоит в нахождении значений 1, при которых уравнение (1) имеет ненулевые решения X (x) из области определения оператора L . Такие значения 1 называют собственными значениями оператора L , а соответствующие им нетривиальные решения X (x) - собственными функциями оператора L.

Свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма - Лиувилля

1. Множество собственных значений {1„}"=1 счетно. При этом каждому собственному значению 1п соответствует с точностью до числового множителя только одна собственная функция Xn (x).

2. Все собственные значения неотрицательны: 1п> 0, n е N и {0}. Значение 1 = 0 может быть собственным значением оператора L только при q(x) = 0 и P = P = 0.

3. Собственные функции Xn (x) и Xm (x), отвечающие различным собственным значениям 1п и 1т, ортогональны на отрезке [a,b] с весом р(x), т. е.

ниегп

issN 2304-i20x Попова Е. М., Чигирёва О. Ю. Методика изложения темы «Решение краевых задач для уравнения Лапласа в прямоугольнике методом Фурье» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2018. - № V9. - 0,4 п. л. -URL: http://e-koncept.ru/2018/186085.htm.

научно-методический электронный журнал

Ъ (0, т Ф п;

\р{ х X (х) хт ( X ) ах = <! 2

X , т = п.

а [II п11 р'

4. Система собственных функций {Хи (х)} оператора Ь является полной в пространстве ь2 ([а, Ъ]; р).

Каждую функцию / е ([а, Ъ]; р) можно единственным образом разложить в

свой ряд Фурье по системе собственных функций {Хи (х)} :

ад

/ (х) = £ апХп (х),

п=1

(/, X )р

где ап = ■

IX.

- коэффициенты Фурье функции f.

Этот ряд сходится равномерно на отрезке [а, Ъ] к функции / по норме пространства ([ а, Ъ]; р), т. е. в среднеквадратичном.

Согласно теореме В. А. Стеклова, если / е О(Ь), то ее ряд Фурье по системе

собственных функций {Хи (х)} оператора Ь сходится к / абсолютно и равномерно.

Задача Штурма - Лиувилля для отрезка [0,1 ]

Постановка задачи Штурма - Лиувилля (1), (2) является общей и в зависимости от значений коэффициентов ц,Д, I = 1,2 включает в себя ряд частных случаев.

Наиболее часто встречающиеся задачи Штурма - Лиувилля при р (х) = 1, д (х) = 0 и

р( х ) = 1 приведены в таблице.

Примеры задач Штурма - Лиувилля для отрезка [0,1 ]

Задача Штурма - Лиувилля Собственные значения и собственные функции задачи Штурма - Лиувилля

Задача 1: ax=a^ = 0 Г-X"(х) = ЛХ (х), 0 < х < l; [ X ( 0 ) = 0, X (l ) = 0. Г V о \ЖП 1 XT я, =[т j ,n Е N; X,, (х ) = sin (Дх), И2 = 1-

Задача 2: Д = Д = 0 Г-X"(х) = ЛХ (х), 0 < х < l; [x '( 0) = 0, X'(l ) = 0. ( л 2 Я = 0 , я, ^Tj , n е N; Xо (х) = 1, XJ]2 = 1; X, (х) = cos (Я), ||Х||2 = I

Задача 3: ax = Д = 0 Т 2n - 1)J2 Я = ( n ) , n е N; V 21 J

2

Р

ISSN 2304-120X

ниепт

научно-методический электронный журнал

Попова Е. М., Чигирёва О. Ю. Методика изложения темы «Решение краевых задач для уравнения Лапласа в прямоугольнике методом Фурье» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2018. - № V9. - 0,4 п. л. -URL: http://e-koncept.ru/2018/186085.htm.

Задача Штурма - Лиувилля

Собственные значения и собственные функции задачи Штурма - Лиувилля

X"(x) = КХ (x), 0 < x < l; Ix ( 0 ) = 0, X '(l ) = 0.

X

(x) = sin(4Inx) , |XJ2 = l

Задача 4: a2 = ß = 0

-X"(x) = КХ ( x), 0 < x < l; IX'( 0 ) = 0, X (l ) = 0.

К =

ж

(2^-1)' 2l

n g n;

X

(x) = cos[4\x), ||Xn||

2 l

Задача 5: ax = 0, a2 = 1, ß2 = ß

r-X"(x) = КХ(x), 0 < x < l;

Ix(0) = 0, X'(l)+ßx(l) = 0.

К =

f \2

^ ,ngN,

v l J ,

где ßn - положительные корни уравнения

jucosju + ßlsinju = 0 ;

X.

(x) = sin(JInx) , XU2 = l

1 +

ß

l (К +ß2)

Задача 6: a = 1, a = 0, ß = ß X"( x) = КХ (x), 0 < x < l; [-X'( 0 ) + ßX ( 0) = 0, X (l ) = 0.

К =

í \2

U I , n g n,

v l J ,

где un - положительные корни уравнения

jucos ju + ßl sin u = 0 ;

X

(x) = sin (VÄ (l - x)), И2 = l

1 +

ß

l (К +ß2)

Задача 7: a2 = 1, ß = 0, ß2 = ß -X"(x) = КХ(x), 0 < x <l; |x'( 0 ) = 0, X'(l ) + ßX (l ) = 0.

К =

f у

y I , n G N,

где jn - положительные корни уравнения

jUsin j- ßl cos u = 0;

X

(x)=cos (К), llXnll2 =l-

1+

ß

l (К +ß2)

Задача 8: a = 1, ß = ß, ß2 = 0

'-X"(x) = КХ(x), 0 < x <l; -X'( 0 ) + ßX ( 0 ) = 0, X'(l ) = 0.

К=

f \2 U I , n G N ,

v l J ,

где ¡n - положительные корни уравнения

¡ sin ¡- pi cos ¡ = 0;

X„ (^) = cos(i-x)), \\Xn\\2 = l-

1 +

ß

l (К +ß2)

2

ниегп

issN 2304-i20x Попова Е. М., Чигирёва О. Ю. Методика изложения темы «Решение краевых задач для уравнения Лапласа в прямоугольнике методом Фурье» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2018. - № V9. - 0,4 п. л. -URL: http://e-koncept.ru/2018/186085.htm.

научно-методический электронный журнал

Постановка краевых задач для уравнения Лапласа

Краевая задача для уравнения Лапласа состоит в нахождении функции и (М),

удовлетворяющей в области О уравнению Лапласа и некоторому условию, заданному на границе Е этой области. Такое условие называют граничным и в зависимости от его вида рассматривают следующие краевые задачи:

- первую краевую задачу, или задачу Дирихле, если задано граничное условие 1 -го рода

£ = /(Р), Р е Е;

вторую краевую задачу, или задачу Неймана, если задано граничное условие 2-го рода

ди дп

третью краевую задачу, если задано граничное условие 3-го рода

£ = g (р), Р еЕ ;

du

--vyu

„ dn

2 = h (Р)> Р ,

где / (Р), g (Р), И (Р) и у(Р)> 0 (у(Р)^ 0) - функции, заданные на границе Е области О; Я - внешняя нормаль к границе Е.

Если область, в которой поставлена краевая задача, ограничена, то такая задача называется внутренней.

Далее сформулируем основные свойства 1-й и 2-й внутренних краевых задач на плоскости.

1. Решение внутренней задачи Дирихле на плоскости единственно.

2. Внутренняя задача Дирихле на плоскости разрешима при любой непрерывной функции / (Р).

3. Решение внутренней задачи Неймана на плоскости определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной.

4. Внутренняя задача Неймана на плоскости разрешима при любой непрерывной функции g (Р), удовлетворяющей условию

$Я(Р)<Я = 0

где I - граница области О (замкнутый контур).

Решение краевых задач для уравнения Лапласа в прямоугольнике методом Фурье разделения переменных

Пример. Найти решение следующей краевой задачи для уравнения Лапласа в прямоугольнике:

Ди (х, у) = 0,0 < х < а, 0 < у < Ъ; (3)

и (0, у ) = 0, и (а, у ) = 0; (4)

и (х,°) = /1 (х), и (х Ъ) = /2 (х); (5)

х( х^ 3жх

где /1 (х) = 4и0 — 1 — I, /2 (х) = и би

sin—

a 1 " " ' " a

ниегп

issn 2304-120X Попова Е. М., Чигирёва О. Ю. Методика изложения темы «Решение краевых задач для уравнения Лапласа в прямоугольнике методом Фурье» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2018. - № V9. - 0,4 п. л. -URL: http://e-koncept.ru/2018/186085.htm.

научно-методический электронный журнал

Решение. Согласно методу Фурье, решение u (x, y) краевой задачи (3)-(5) будем искать в следующей форме:

u (x, y ) = X (x) Y (y 0. (6)

Запишем дифференциальный оператор A, стоящий в левой части уравнения

а2 а2

(3), в виде A = —--L , где L =---. Далее подставим предполагаемую форму реше-

ay ax

ния (6) в уравнение (3):

X ( x ) Y'( y )-Y ( y ) L [ X (x )] = 0. После разделения переменных получим соотношение: L [ X (x)] Y •( y) X (x) = Y (y)" •

где 1 = const.

В результате уравнение (3) в частных производных «распадается» на два дифференциальных уравнения:

L [ X (x)] = 1X (x), 0 < x < a; (7)

Y"(y)-1Y (y) = 0, 0 < y < b ; (8)

Учитывая, что функция u (x, y) должна удовлетворять однородным граничным условиям (4), приходим к следующей задаче Штурма - Лиувилля:

X "(x) = 1X (x), 0 < x < a;

X ( 0 ) = 0, X ( a ) = 0.

Собственные значения и собственные функции этой задачи (см. таблицу) имеют вид:

f \2

™ J, n G N; x (x)=sin (Л*), Ы2=a

При найденных значениях Лп запишем дифференциальное уравнение (8) относительно искомой функции Уп (у):

у:(у)-«(У)= 0, 0<у<Ь.

Общее решение этого уравнения представим в следующей форме: у (у ) = ansh (41 у ) + bnsh (л (ь - У )), где А и В - произвольные постоянные.

Подставляя функции и Уп (у) в равенство (6), получаем счетное множество частных решений уравнения (3), удовлетворяющих граничным условиям (4):

ип (^У) = [) + (Т^(ь -У))] вт(Дх). (9)

В силу линейности и однородности дифференциального уравнения (3) и граничных условий (4) сумма всех решений вида (9) также будет удовлетворять уравнению (3) и граничным условиям (4).

Составим ряд, членами которого являются функции ми (х,у):

Hueñi

1бб1\1 2эо4-12ох Попова Е. М., Чигирёва О. Ю. Методика изложения темы «Решение краевых задач для уравнения Лапласа в прямоугольнике методом Фурье» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2018. - № У9. - 0,4 п. л. -иН1: http://e-koncept.ru/2018/186085.htm.

научно-методический электронный журнал

(x, y) = Y\_AnSh (4ly) + Bnsh (ft (b - y))J sin (fa), (10)

ад

u (x, y ) =

n=1

и определим коэффициенты A и Bn таким образом, чтобы решение, записанное в

виде ряда (10), удовлетворяло граничным условиям (5). Для этого подставим ряд (10) в граничные условия (5):

ад ___

X Bnsh (fa ) sin (fa ) = f1 (x),

n=1

ад ___

X Ansh (fa ) sin (fa ) = f (x ).

n=1

Данные соотношения представляют собой разложения функций f (x) и f (x) в

ряды Фурье по системе собственных функций jsin(^ftx)| задачи Штурма - Ли-

увилля. Коэффициенты Фурье Dn = Ansh (-ftb) и Cn = Bnsh (-ftb) этих разложений вычисляются по формулам:

2 а _

Cn = - J f1 (x) sin (ftx)dx -а о

2 a _

Dn = - J f- (x) sin (fa ) dx .

~ 0

- " a

При заданных функциях f (x) и f (x) находим:

2 a x ( x^ . enx , 16U,

0

^ - f X í X i . nnx 16U0 1 , l4« Cn = - í 4Uo -11 - -I sm-dx = -^3 1 -(-!)

a 0 a \ a J a (nn) L

n - a . 3nx . nnx U n =3;

Dn =-| U0sln-sln-dx 4- _

a^ a a [0, n Ф 3.

Далее, подставляя в ряд (10) найденные значения коэффициентов Фурье, получаем решение краевой задачи (3)-(5):

, Чп sh nn (b - y) sh

16U ^ 1 -(-1) a • Tinx ТТ a . 3nx

v - —a--Sin-+ U—то-"'"

nnb a , 3nb

u (x, y) = —X —---a--sin-+ U —^tV • sin -

^y) e X n' sh^nb a 0 shм a

При решении 1-й и 3-й краевых задач с неоднородными граничными условиями искомую функцию и (х, у) следует искать в виде суммы двух функций

и (х, у ) = V (х, у) + w (х, у), где функция V (х, у) является решением краевой задачи с однородными граничными условиями по переменной х и неоднородными граничными условиями по переменной у , а функция w (х, у) - решением краевой задачи с неоднородными граничными условиями по переменной х и однородными граничными условиями по переменной у. При решении 2-й краевой задачи такой подход применим не всегда, поскольку для

ISSN 2304-120X

ниепт

научно-методический электронный журнал

Попова Е. М., Чигирёва О. Ю. Методика изложения темы «Решение краевых задач для уравнения Лапласа в прямоугольнике методом Фурье» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2018. - № V9. - 0,4 п. л. -URL: http://e-koncept.ru/2018/186085.htm.

полученных краевых задач для функций V (х, у) и w (х, у) условие разрешимости может не выполняться.

Работа основана на личном опыте авторов преподавания данной дисциплины и ориентирована на студентов приборостроительных специальностей, в связи с чем особое внимание уделено методике решения краевых задач. Структурированная форма представления материала позволит сформировать у студента необходимые компетенции. Содержание статьи будет полезным преподавателям и студентам при подготовке к занятиям.

Ссылки на источники

1. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1988.

2. Там же.

3. Свешников А. Г., Боголюбов А. Н., Кравцов В. В. Лекции по математической физике. - М.: Изд-во Моск. гос. ун-та; Наука, 2004.

4. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 2004.

5. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1972.

6. Владимиров В. С. Указ. соч.

7. Феоктистов В. В., Чигирёва О. Ю. Уравнения математической физики и специальные функции: метод. указания к выполнению домашнего задания. - М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015.

8. Владимиров В. С. Указ. соч.

9. Свешников А. Г., Боголюбов А. Н., Кравцов В. В. Указ. соч.

Elena Popova,

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University named after N. E. Bauman, Moscow [email protected] Olga Chigireva,

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University

named after N. E. Bauman, Moscow

[email protected]

"Solution of the boundary value problem for Laplace equation on a rectangle using Fourier method" theme methodology presentation

Abstract. The article presents a methodology for the presentation of the topic "Solution of the boundary value problem for Laplace equation on a rectangle using Fourier method" in the mathematical physics equations course of the Bauman Moscow State Technical University. These mathematical tools are widely used in physics, mathematical physics, electrodynamics, quantum mechanics, acoustics, wave optics, oscillation theory, theory of signals and circuits. The purpose of the work is to help students acquire the skills to apply the methods of mathematical physics to solving various physical tasks. One of the main methods of solving mathematical physics tasks is the Fourier method (separation of variables). The Sturm-Liouville problem is an important stage of this method. In order to structure the main types of Sturm-Liouville problems, the article contains information summary table. The article contains the basic theoretical information and an example of a solution of the boundary value problem for the Laplace equation on a rectangle. The article will be useful for students of instrument-making specialties, as well as teachers of the relevant courses. Key words: Fourier method of variable separation, Sturm-Liouville problem, Laplace equation. References

1. Vladimirov, V. S. (1988). Uravnenija matematicheskoj fiziki, Nauka, Moscow (in Russian).

2. Ibid.

3. Sveshnikov, A. G., Bogoljubov, A. N. & Kravcov, V. V. (2004). Lekcii po matematicheskoj fizike, Izd-vo Mosk. gos. un-ta; Nauka, Moscow (in Russian).

4. Tihonov, A. N. & Samarskij, A. A. (2004). Uravnenija matematicheskoj fiziki, Nauka, Moscow (in Russian).

5. Kolmogorov, A. N. & Fomin, S. V. (1972). Jelementy teorii funkcij i funkcional'nogo analiza, Nauka, Moscow (in Russian).

6. Vladimirov, V. S. (1988). Op. cit.

ISSN 2Э04-120Х

ниепт

научно-методический электронный журнал

Попова Е. М., Чигирёва О. Ю. Методика изложения темы «Решение краевых задач для уравнения Лапласа в прямоугольнике методом Фурье» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2018. - № V9. - 0,4 п. л. -URL: http://e-koncept.ru/2018/186085.htm.

7. Feoktistov, V. V. & Chigirjova, O. Ju. (2015). Uravnenija matematicheskoj fiziki i special'nye funkcii: metod. ukazanija k vypolneniju domashnego zadanija, Izd-vo MGTU im. N. Je. Baumana, Moscow (in Russian).

8. Vladimirov, V. S. (1988). Op. cit.

9. Sveshnikov, A. G., Bogoljubov, A. N. & Kravcov, V. V. (2004). Op. cit.

Рекомендовано к публикации:

Горевым П. М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»

Поступила в редакцию Received 14.06.18 Получена положительная рецензия Received a positive review 10.07.18

Принята к публикации Accepted for publication 10.07.18 Опубликована Published 30.09.18

Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) © Концепт, научно-методический электронный журнал, 2018 © Попова Е. М., Чигирёва О. Ю., 2018

www.e-koncept.ru