CC BY
64
ART 16166 УДК 372.851
Гилев Валерий Георгиевич,
кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики, информа тики и методики их преподавания ФГБОУ ВПО «Ишимский государствен ный педагогический институт им. П. П. Ершова», г. Долгопрудный [email protected]
Методика исследования функций на выпуклость ее графика
Аннотация. Рассмотрены определения понятия выпуклости (вверх, вниз) графика функции с помощью метода касательных, хорд и аналитического метода. Формулируются признаки и соответствующие способы исследования функций на выпуклость графика с использованием второй производной и функции обобщения. Ключевые слова: функция, исследование, выпуклость графика, точки перегиба, производная функция, функция обобщения.
Раздел: (01) педагогика; история педагогики и образования; теория и методика обучения и воспитания (по предметным областям).
Исследовать функцию у = f(x) - это значит установить ее свойства, опираясь на определения или признаки этих свойств. Исследовать функцию на выпуклость графика - это значит найти промежутки, в которых график функции выпуклый вверх или выпуклый вниз.
Свойство выпуклости графика функции имеет большое значение хотя бы потому, что позволяет объяснить учащимся, почему при построении графиков элементарных функций кривые получаются без выступов, плавные. В школе об этом можно говорить, когда изучается, например, квадратичная функция или обратная пропорциональность и возникает необходимость построения их графиков. Но проблема заключается в том, что, зная определение выпуклости графика функции, учащиеся не могут применить его на практике, так как не владеют методом исследования. В настоящей работе рассматриваются методы исследования функций на выпуклость графика: традиционный с использованием второй производной и новый, который называется методом обобщения. При втором методе получается функция обобщения, промежутки знакопосто-янства которой определяют промежутки выпуклости графика функции [1].
1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЫПУКЛОСТИ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Существует три равносильных определения выпуклости графика функции. В первом определении фигурирует понятие касательной, во втором - секущей, точнее, отрезка секущей или хорды (см. рис. 1, 2) и третий аналитический.
Определение 1. График функции у = f(x) называется выпуклым вверх в точке х = а, если в некоторой окрестности этой точки он расположен под своей касательной в точке (a;f(a)) (см. рис. 1).
График функции у = f(x) называется выпуклым вниз в точке х = а, если в некоторой окрестности этой точки он расположен над своей касательной в точке (a;f(a)) (см. рис. 2).
График функции у = f(x) выпуклый вверх (соответственно выпуклый вниз) в некотором промежутке Р, если он выпуклый вверх (выпуклый вниз) во всех точках этого промежутка.
ISSN 2304-120Х
ниепт
научно-методический электронный журнал
научно-методический электронный журнал
Определение 2. График функции у = f(x) называется выпуклым вверх на промежутке Р, если любой отрезок прямой, соединяющий две точки графика функции (с абсциссами из Р), расположен ниже соответствующей части графика (рис. 1).
График функции у = f(x) называется выпуклым вниз на промежутке Р, если любой отрезок прямой, соединяющий две точки графика функции (с абсциссами из Р), расположен выше соответствующей части графика (рис. 2).
Определения 1 и 2 вместе с рис. 1 и 2 словесно-наглядные, дают четкое представление о промежутках выпуклости (вверх или вниз) графика функции. Они устанавливают свойства выпуклости графика функции, или их геометрический смысл.
Равносильность определений 1 и 2 можно показать наглядно-интуитивными рассуждениями. Секущая получается из касательной параллельным переносом, а касательная - это предельное положение секущей.
В курсе математического анализа понятие выпуклости графика функции определяется также с аналитической точки зрения.
Определение 3. График функции у = f(x), определенной на промежутке Р, называется выпуклым вверх в данном промежутке, если для любых точек х1,х2 е Р и любого числа t е (0,1) имеет место неравенство
f(txi + (1- t)x2) > tf(Xl) + (1- t)f(X2).
График функции y = f(x), определенной на промежутке Р, называется выпуклым вниз в данном промежутке, если для любых точек x1,x2 е Р и любого числа t е (0,1) имеет место неравенство
f(txi + (1- t)x2) < tf(xi) + (1- t)f(X2).
Строгое доказательство равносильности определений 1, 2 и 3 осуществляется в курсе математического анализа.
Из определения 3 при t = - получается более простое определение выпуклости
графика функции, которое возможно использовать в школьном курсе математики.
Определение 4. Функция у = f(x) называется выпуклой вверх на данном числовом промежутке Р, если для любых точек х1 и х2 из промежутка Р выполняется неравенство
f(^p-)
> МШМ (см. рис. 3).
Функция у = /(х) называется выпуклой вниз на данном числовом промежутке Р, если для любых точек х1 и х2 из промежутка Р выполняется неравенство + ГМ (см. рис. 4).
ISSN 2304-120X
ниепт
научно-методический электронный журнал
v »
Рис. 3 Рис. 4
2. ПРИЗНАКИ ВЫПУКЛОСТИ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Отметим, что особенностью рассматриваемого свойства функции является то, что исследовать функцию на выпуклость графика невозможно, исходя из его определений непосредственно. С этой целью пользуются признаками выпуклости графика функции.
Признак выпуклости графика функции по второй производной
Из определения 1 следует признак выпуклости графика функции, который сформулирован в теореме 1.
Теорема 1. Если вторая производная функции у = /(х) в данном промежутке Р отрицательна, то график функции выпуклый вверх, а если положительна - выпуклый вниз в этом промежутке.
Справедливость теоремы 1 проиллюстрируем рис. 5.
Уравнение касательной (прямой) в общем виде запишется у = &х, где к = tg а = /'(*).
Необходимость. Рассмотрим случай, когда график функции выпуклый вверх (рис. 5, а).
Видим, что при движении точки М по графику функции слева направо абсциссы точек увеличиваются (х2 > х1), соответствующие значения углов а уменьшаются (а2 < а1). Значит, и соответствующие значения tg а уменьшаются в силу того, что функция tg монотонно возрастает в промежутках определения < tga1).
Имеем: х2 > х1 => tga2 < tga1. Следовательно, функция tg а убывающая. Итак, / (х) = tg а и / (х) функция убывающая, т. е. ее производная / "(х) < 0.
Достаточность. Доказательство от противного. Пусть/ "(х) < 0. Предположим, что график функции выпуклый вниз. Опираясь на рисунок 5, б), получим, что / "(х) > 0. Пришли к противоречию. Что и требовалось.
Аналогичные рассуждения для второй части теоремы 1 (рис. 5, б).
а) б)
Рис. 5
ниегп
issn 2304-120X Гилев В. Г. Методика исследования функций на выпуклость ее графика // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 8 (август). - 0,4 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2016/16166.htm.
научно-методический электронный журнал
В связи со сказанным интересно проследить поведение касательной на всей области выпуклости графика. С этой целью рассмотрим рис. 6.
На рис. 6, а) график функции выпуклый вверх. Видим, что при увеличении абсцисс точек касания соответствующие значения угловых коэффициентов касательных уменьшаются (показано стрелками). Касательная у = k2x(k2 = 0) параллельна оси абсцисс: f'(x) = 0. Абсцисса точки касания является точкой максимума. В этой точке возрастание функции у = f(x) меняется на убывание. При этом значения производной функции k = tg а = / (х) убывают. Об этом шла речь в теореме 1.
Аналогичные рассуждения можно провести относительно графика функции выпуклого вниз (6, б).
Точка графика, в которой он меняет выпуклость вверх на выпуклость вниз или выпуклость вниз на выпуклость вверх, называется точкой перегиба. Убедимся, в каком случае точка, в которой сменяется характер выпуклости графика функции, является точкой перегиба.
С этой целью рассмотрим рис. 7 и 8, на которых схематически представлены графики элементарных функций, заданных на множестве R= (-те; +те).
На рис. 7, а), б) и в) имеем точки перегиба. Точка перегиба на рис. 7, в) представляет особый случай, так как tg 900 не существует и, следовательно, второй производной не существует. На рис. 7, г) и д) точки, в которых выпуклость графика меняется на вогнутость графика (7, г) и выпуклость графика меняется на выпуклость графика (7, д), не являются точками перегиба. Имеем излом графика; график функции не является плавным. Такое возможно, когда непрерывная функция задается различными формулами на различных промежутках.
научно-методический электронный журнал
Аналогичные рассуждения справедливы для точек графика, в которых меняется выпуклость вниз на выпуклость вверх (рис. 8, а) - г) и меняется характер выпуклости вниз на выпуклость вниз (см. рис. 8, д).
Точек перегиба может не быть вовсе (рис. 9). На рис. 9, а) график функции выпуклый вниз на всей числовой прямой. На рис. 9, б) график выпуклый вверх на промежутке (0; +те). На рис. 9, в), г) в точке х = 0 функция имеет разрыв.
Алгоритм исследования графика функции у = /(х) на выпуклость и наличие перегибов с помощью второй производной
1. На первом шаге находим область определения функции и точки разрыва.
2. Разыскиваем критические значения. Для этого берём вторую производную / "(х) и решаем уравнение / "(х) = 0. Точки, в которых не существует 2-й производной, но которые входят в область определения самой функции, тоже считаются критическими.
3. Отмечаем на числовой прямой все найденные точки разрыва и критические точки.
4. Определяем знаки / "(х) на полученных интервалах. Если / "(х) <0, то в рассматриваемом промежутке график выпуклый вверх; если / "(х) >0 - выпуклый вниз.
5. Записываем промежутки выпуклости графика функции с учетом точек перегиба и области определения исследуемой функции.
3. ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ
Для элементарной функции у = /(х) запишем выражение
A(Xi;X2) = /(-
'х1+х2\ f(X1) + f(X 2)
Очевидно, что при х1 = х2,Д(х1;х2) = 0.
2
ниегп
issn 2304-120X Гилев В. Г. Методика исследования функций на выпуклость ее графика // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 8 (август). - 0,4 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2016/16166.htm.
научно-методический электронный журнал
Выражение Д(х1;х2) можно представить в виде разности: Д(х1;х2) = / (Xl+*2) -f (^ ) + f (^ )
1 = 5(х1;х2)^ Л(х1;х2), причем при х1 = х2, 5(х1;х2) = 0 и Л(х1;х2)^ 0.
Спрашивается, при каких значениях х е Dy,Д(х1;х2) >0 И когда Д(х1;х2) < 0?
Для определенности примем х2 > хъ тогда можно выделить множитель 5(х1;х2) > 0. Знак Д(х1;х2) будет зависеть только от знака множителя Л(хъх2).
Остается ответить, на каких промежутках Л(х1;х2) принимает положительные значения, а на каких - отрицательные. Для этого найдем функцию 5(х), сделав обобщение путем замены х1 и х2 на х в выражении Л(х1;х2): 5(х) =Л(х). Функцию 5(х) назовем функцией обобщения. Переменная х принадлежит одному из устанавливаемых исследованием промежутков. Для нахождения самих промежутков необходимо решить, соответственно, неравенства 5(х) >0 и 5(х) < 0. Решение неравенства 5(х) > 0 определяет промежутки, в которых Д(х1;х2) > 0. Решение неравенства 5(х) < 0 определяет промежутки, в которых Д(х1;х2) < 0.
Метод, при помощи которого находится функция 5(х), назовем методом обобщения.
Итак, замена х1 и х2 на х в выражении Л(х1;х2) явилось решением проблемы -знакопостоянства выражения Д(х1;х2).
Функция обобщения 5(х) используется при исследовании функции у = /(х) на выпуклость графика, так как позволяет выявить промежутки, в которых
Д(х1;х2) > 0, т. е./ (Xl+*2) > /(Xl) + /(*2) (график выпуклый вверх) и
Д(х1;х2) < 0, т. е./р^2) < /(Xl)+ /(Х2) (график выпуклый вниз) [2].
Замечание. Замена х1 и х2 на х в выражении A(x1;x2) в математическом анализе называется операцией предельного перехода.
Признак выпуклости графика функции по функции обобщения
Из определения 4 следует признак выпуклости графика функции, который сформулирован в теореме 2.
Теорема 2. Если функция обобщения у = 5(х) в данном промежутке Р положительна, то график функции выпуклый вверх, а если отрицательна - выпуклый вниз в этом промежутке.
В связи с тем что промежутки знакопостоянства функции обобщения 5(х) и выражения Д(х1;х2) совпадают, то теорема 2 примет следующий вид.
Теорема 2'. Если для любых х1 и х2 из промежутка РД(х1;х2) > 0, то график функции у =/(х) выпуклый вверх, а если Д(х1;х2) < 0 - выпуклый вниз в этом промежутке. Д(х^ Х2) = / -
Исходя из геометрических соображений (рис. 10, 11), докажем справедливость теоремы 2', следовательно, и теоремы 2.
Необходимость. На самом деле, пусть график функции выпуклый вверх
(рис. 10). Имеем/ Ж > Л5; = / ; = /(Xl)+/(X2) - средняя линия трапеции
CDEF.
Значит, / > /(Xl)+/(X2W - /(Xl)+/(X2) > 0; Д(х1; х2) > 0.
ISSN 2304-120X
ниепт
научно-методический электронный журнал
Достаточность. Очевидно, что если Д(х1;х2) > 0, то Ж > и по определению 4 график функции выпуклый вверх. Что и требовалось.
Аналогичны рассуждения для случая выпуклости графика функции вниз (см. рис.
11).
Алгоритм исследования графика функции у = /(х) на выпуклость с помощью метода обобщения
1. Выберем х1 и х2 из области определения, такие, что х2 > х1.
2. Находим /(^2) и /(%1) + /(*2).
3. Записываем разность Д(х1; х2) = / (Х1+*2) - /(Х1) + /(*2).
4. Представляем разность Д(х1;х2) = / (Х1+*2) - /(%1) + /(*2) в виде произведе-
ния: /(-^-Ч - г
2 ) 2 = 5(Х1;Х2) • Л(Х1;Х2), где ^(х^) >0.
5. Находим функцию обобщения 5(х): 5(х) = А(х).
6. Находим промежутки выпуклости вверх графика функции у = Дх) решением неравенства 5(х) > 0.
7. Находим промежутки выпуклости вниз графика функции у = Дх) решением неравенства 5(х) < 0.
8. Находим точки перегиба решением уравнения 5(х) = 0.
9. Записываем промежутки выпуклости графика функции с учетом точек перегиба и области определения исследуемой функции.
4. ПРИМЕРЫ
1. Найти промежутки выпуклости графика функции /(х) = -х3 - 3:
а) с использованием второй производной / "(х); б) с использованием функции обобщения 5(х).
Решение:
3:
а) Определим первую и вторую производные /(х) = -х3
/ (х) = -3х2; / "(х) = -6х. Из уравнения / "(х) = 0 имеем -6х = 0, т. е. х = 0 - критическая точка. Найдем промежутки, в которых / "(х) < 0: -6х <0; х > 0 и в промежутке (0; +м) график функции выпуклый вверх.
Найдем промежутки, в которых / "(х) > 0:-6х > 0;х < 0 и в промежутке (-м;0) график функции выпуклый вниз.
С учетом того что х = 0 - точка перегиба, имеем: график функции /(х) = -х3 -3 выпуклый вверх в промежутке [0; +м) и выпуклый вниз в промежутке (-те; 0].
ниегп
issn 2304-i20x Гилев В. Г. Методика исследования функций на выпуклость ее графика // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 8 (август). - 0,4 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2016/16166.htm.
научно-методический электронный журнал
б) Пусть х2 > х1, т. е. х2 - х1 > 0.
fXi + х2\ /(Xi) + /(х2) /Xi + х2\3 ( х3 - 3) + ( х3 - 3)
^ + Х^ _ /(Xi) + /(Х2) ^ _ ^ + Х2^д _ 3 _
2 V 2 ) 2
3 _ о 2 _ о 2 _ 3 _ 3 _ о _ 3 _ о
"Xi 3Xi Х2 ЗХ1Х2 Х2 Xi 3 Х2 3
- -ч - .
8 2 —х3 - 3x2х2 - 3х1х| - xf - 24 + 4x3 + 12 + 4х| + 12 3(х2 - х1)2(х1 + х2)
8 8 = (Х2 - Х1)2 • (3(xi + Х2)) = 5(xi;x2) ^^(xi;x2), где ^(х^) = fe-Xi)2 > 0, A(xi^) =
3(xi + X2).
Найдем функцию обобщения:
5(x) = Л(х) = 3 -2x = 3x.
Таким образом, 5(x) = 3X.
Найдем промежутки выпуклости графика функции: 5(х) > 0 при х > 0 - график функции у = -х3 - 3 выпуклый вверх. 5(х) < 0 при х < 0 - график функции у = -х3 - 3 выпуклый вниз. 5(х) = 0 при х = 0 - критическая точка, точка перегиба.
Итак, при х е [0; график выпуклый вверх, а при х е 0] - выпуклый вниз. 2. Найти промежутки выпуклости графика функции у = sinx: а) с использованием второй производной у "; б) с использованием функции обобщения 5(х). Решение:
а) Определим первую и вторую производные у = smx:
у = cosx; у" = - smx. Из уравнения у" = 0 имеем -smx = 0; smx = 0 при x = пп, n е Z - точки перегиба. Найдем промежутки, в которых у" < 0: -smx < 0; smx > 0; 2яп < х < и + 2яп,п е Z - график функции y=smx выпуклый вверх.
Найдем промежутки, в которых у " > 0/ -smx > 0;smx < + 2яп < х < 2яп, п е Z - график функции у = smx выпуклый вниз.
С учетом того что при x = nn,n е Z - точки перегиба, имеем: график функции у = smx выпуклый вверх в промежутках х е [2пп ; п + 2пп], n е Z, и выпуклый вниз в промежутках х е [-гс + 2яп ; 2яп ], п е Z .
б) Пустьх2>х1, т. е. х2 - х1 > 0.
Применяя формулу суммы синусов, получим:
f i ^1+^2
^42/ 2 42/ 2 2
-sinXl+*2 cos *l-*2= 5tnXl+X2 • (1 - cosXl-X2/= 5(x1;x2) • Л(х1;х2), где 5(x1;x2) = 1 - cos^2—^ > 0, Л(х1;х2) =stnXl+ *2. Найдем функцию обобщения:
5(x) = Л(х) = = smx.
Таким образом, 5(x) =smx.
Найдем промежутки выпуклости графика исходной функции. 5(х) > 0; smx > 0; < х < гс + 2гсп, п е Z - график функции у = smx выпуклый вверх. 5(х) < 0; smx <0; -гс + < х < 2гсп, п е Z - график функции у = smx выпуклый вниз.
5(х) = 0; smx = 0 при х = гсп, п е Z - точки перегиба.
научно-методический электронный журнал
Итак, при х е [2пп ; п + 2пп], n е Z, график выпуклый вверх, а при х е [-я + 2яп ; 2яп ], пе Z, - выпуклый вниз.
С технической точки зрения первый способ исследования на выпуклость графика функции проще второго. В то же время второй способ выигрывает с точки зрения методики обучения математике в школе. С использованием функции обобщения решается проблема исследования функций на выпуклость графика до изучения производной. Появляется возможность более полного знакомства учащихся со свойством выпуклости и его значением в процессе построения графиков функций. Более того, все элементарные основные функции, изучаемые в школе, легко исследуются на выпуклость графика методом обобщения. Следует отметить, что в процессе исследования учащиеся повторяют и закрепляют знания и умения выполнять тождественные преобразования выражений, решать уравнения и неравенства, соответствующие изучаемой функции. Развитию графических навыков способствует построение графиков функций по результатам исследования.
^ылки на источники
1. Гилев В. Г. Методика исследования элементарных функций на монотонность и выпуклость графика методом обобщения // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2015. - № 4 (апрель). - С. 66-70. - URL: http://e-koncept.ru/2015/15102.htm.
2. Гилев В. Г. Исследование функций с использованием метода обобщения. - LAP: LAMBERT Academic Publishing, 2015. - 267 с.
Valeriy Gilev,
Candidate of Pedagogic Sciences, Associate Professor at the chair of Mathematics, Informatics and Technique of Their Teaching, Ishim State Pedagogical Institute after P. P. Ershov, Dolgoprudny [email protected]
Method of function research on the bulge of its schedule
Abstract. The paper considers the definition of convexity (up, down) of the graph of function using the method of tangents, chords and analytical method. The author formulates signs and related methods to study functions for bulge graphics using the second derivative and functions of generalization.
Key words: research, function, convexity graphics, derivative function, generalized functions, inflection point. References
1. Gilev, V. G. (2015). "Metodika issledovanija jelementarnyh funkcij na monotonnost' i vypuklost' gra-fika metodom obobshhenija", Nauchno-metodicheskij jelektronnyj zhurnal "Koncept", № 4 (aprel'), pp. 66-70. Available at: http://e-koncept.ru/2015/15102.htm (in Russian).
2. Gilev, V. G. (2015). Issledovanie funkcij s ispol'zovaniem metoda obobshhenija, LAP: Lambert Academic Publishing, 267 p. (in Russian).
Рекомендовано к публикации:
Горевым П. М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»^^ЯЛ
Поступила в редакцию Received 10.05.16 Получена положительная рецензия Received a positive review 12.05.16
Принята к публикации Accepted for publication 12.05.16 Опубликована Published 18.08.16
© Концепт, научно-методический электронный журнал, 2016 © Гилев В. Г., 2016
www.e-koncept.ru
