CC BY
161
Л. А. Ларченкова
МЕТОДИКА АНАЛИЗА РЕШЕНИЯ УЧЕБНОЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ
Анализируется проблема проверки решения физической задачи путем сравнения с результатами, получаемыми для частных и предельных случаев. Обсуждаются преимущества такого подхода при изучении физики.
Ключевые слова: физические задачи, анализ решения, предельные и частные случаи.
L. Larchenkova
THE METHODS OF ANALYZING OF THE SOLUTION OF A PHYSICS PROBLEM
The problem of evaluating the solution of a physics problem by means of comparison with the results obtained for particular and special cases analysed. The advantage of such an approach to teaching physics is discussed.
Keywords: physics problem, analysis of problem solving.
Решая задачу совершенствования обучения физике в новых условиях, следует уделить внимание такой важной проблеме, как повышение интереса учащихся к изучению предмета. Одной из основных причин, из-за которой учащиеся негативно относятся к изучению физики, является неумение пользоваться накопленным багажом знаний и, что вполне естественно, нежелание терпеть неудачи. Чем сильнее познавательная мотивация у школьников, тем более сложные задачи они способны решить, приобретая ясность мышления и простоту восприятия. Физику любого уровня необходимо преподавать на высоком научном уровне, отслеживая весь ход мысли, на доступном учащимся уровне строгости, но при этом соответствующем научной методологии. Весь накопленный опыт преподавания физики и научно-методические исследования этого вопроса показывают, что с учетом возрастных особенностей, уровня развития и подготовки учащихся общенаучные методологические знания можно успешно формулировать в рамках школьного курса физики [3]. Однако «прямой перенос приемов и методов научного познания не гарантирует поисковой познавательной деятельности учащихся в обучении» [7, с. 79]. Фундаментальный характер формируемых знаний требует активной методики преподавания, иначе неизбежно понижается уровень развития общей культуры мышления учащихся. Пробудить интерес к изучению физики можно не только более ярким изложе-
нием курса, включающим фрагменты из истории науки и усиливающим мотивацию изучения иллюстративными примерами практического приложения научных достижений, но, прежде всего, повышением успешности учащихся в решении достаточно сложных учебных физических задач.
Решение физических задач как раз и представляет собой такую активную форму обучения, которая может обеспечить достижение целей, поставленных перед современным физическим образованием. При этом опора на последовательное применение методологии, сложившейся в физической науке, с необходимостью требует определенной расстановки акцентов при выполнении основных этапов решения физической задачи.
Процесс решения физической задачи должен начинаться с создания физической и математической моделей исследуемого процесса или явления и завершаться анализом условия его экспериментального наблюдения [3]. Особое внимание следует уделять анализу условия физической задачи с точки зрения реалистичности описанной ситуации, степени модельности ее представления. В ходе этого анализа следует попытаться предсказать ход физического явления, не решая задачу в обычном смысле, а опираясь только на качественные методы и методологические принципы физической науки. В сложившейся практике обучения этот этап обычно пропускается. Это связано с тем, что условия задач, представленных в большинстве пособий, являются достаточно формализованными и зачастую уже содержат указания на то, какую модель следует использовать. Однако такой подход и отсутствие этого этапа решения физической задачи негативно влияет на формирование физического понимания и развитие мышления учащихся, так как практически исключает их из процесса построения модели явления и навязывает стереотипы действий. Кроме того, в этом случае учащимся психологически трудно убедиться в том, что физические модели описывают реальные природные процессы.
Для разрешения этих проблем могут быть предложены различные пути. Мы остановимся только на двух. Первый — заключается в том, что в свете обсуждаемой проблемы к формулировке условия учебной физической задачи предъявляются особые требования, при выполнении которых учащийся уже на начальном этапе решения задачи нацеливается на исследование физического явления. Подробно этот аспект рассмотрен в работах [1; 5]. Его реализация требует значительного пересмотра, а часто и переформулировки накопленного за-дачного материала. Второй путь состоит в организации учителем специальных обсуждений условия физической задачи, даже если это условие сформулировано не совсем правильно с точки зрения современных требований. Результатом такого обсуждения будет осознание, а в ряде случаев и установление границ применимости физической модели явления (возможно, уже изначально заданной), что часто бывает более важным и трудным, чем непосредственное получение результата на основе уже разработанной модели [4].
Обязательным также должно стать исследование полученного при решении задачи ответа на соответствие простым предельным и частным случаям, для которых ответ очевиден или может быть получен независимо от общего решения. В методике решения задач указание на необходимость и полезность этого этапа является общепризнанным и более или менее широко используется в практике решения задач в средней школе. Однако поиск и использование ча-
стных и предельных случаев для проверки решения может оказаться нетривиальной методической проблемой. Например, возможны задачи, приводящие к различным классам решений, когда в одинаковых, на первый взгляд, частных случаях получаются различные результаты [4, с. 18, 35]. Встречаются также ситуации, когда, казалось бы, в очевидном предельном случае получается результат, не соответствующий более общему решению, но это не свидетельствует о неправильности полученного общего решения, так как при формулировке предельной задачи может быть допущено существенное искажение исходных физических условий. Наименее исследованным в этой связи является направление, когда поиск предельных и частных случаев ведется с помощью других физических законов, а не тех, которые использовались в исходном решении. Этот аспект представляет собой еще одно яркое проявление принципа толерантности, рассмотрение использования которого в обучении решению физических задач было подробно проведено в работе [2], однако исследование предельных и частных случаев не затронуло.
Покажем на конкретных примерах проявление указанных моментов. Пример 1 (рис. 1). В некоторый момент времени две звезды равной массы находятся на расстоянии I друг от друга и имеют скорости ух и у2, направленные в противоположные стороны. Скорости звезд направлены под углом а к прямой, соединяющей звезды. Каковы массы этих звезд, если известно, что в процессе движения они сближаются до минимального расстояния г?
Анализ ситуации сразу же позволяет выяснить, что состояние системы, описанное в задаче, может быть создано только искусственным путем, а в есте-V ственных условиях в природе невозможно, так
^ 2_»т_ как при реальном взаимодействии таких объек-
тов у них не может быть скоростей, направлен/ ных антипараллельно. Модельная же ситуация I / вполне имеет право на существование и может быть объектом для более детального исследова-Ха ния. Уже этот этап решения задачи является по-у - * учительным для учащихся, так как показывает
1 принципиальные отличия реальной ситуации от
модельных представлений. Рис- 1 Поскольку не известно, каковы будут ско-
рости звезд в момент максимального сближения в лабораторной системе отсчета, перейдем в систему отсчета, связанную с центром масс, в которой скорости звезд в этот момент будут одинаковыми по модулю.
Скорость центра масс системы звезд относительно лабораторной системы отсчета определяется известной формулой:
- = тЛ + т2 ^2 т1 + т2
откуда с помощью закона сложения скоростей в нерелятивистском приближении
= V+V ; ^ = V + ^ '
и условия равенства масс можно получить из выражения для скоростей звезд относительно центра масс в момент начала наблюдения:
, VI + У2
V = —--
VI + V2 V, = —1 2
(1)
2
Запишем закон сохранения энергии относительно центра масс рассматриваемой звездной системы:
ч2
.2 .....2 ___2
m(v1 ')г т (V 2') т~ ти~ т'
--1---О-= 2--О- ,
2 2 / 2 г
где и — скорость звезд относительно центра масс в момент наибольшего сближения.
Отсюда с учетом (1) получаем выражение
(+ ^)2 — от=и* — от . (2)
4 / г
Неизвестную скорость и найдем из закона сохранения момента импульса, учитывая, что при максимальном сближении скорость и перпендикулярна прямой, соединяющей звезды:
, . V + v2
т1$та —-- = тги ,
2
откуда
^т а( v1 + v2)
и =-2- • (3)
2г
С помощью выражений (2) и (3) получаем ответ:
1 г1 (V + V, )2 (/2 5т2 а Л
т =---------;--1
О / — г 4 ^ г2 )
(4)
При проверке полученного ответа нельзя ограничиться только традиционно используемым в обучении анализом размерности полученной величины, обязательно следует проанализировать его на предмет соответствия частным случаям. Например, частным и более простым случаем к приведенной задаче может служить ситуация, когда скорости звезд в лабораторной системе отсчета одинаковы, угол а=п/2, а значения скоростей таковы, что они вращаются вокруг центра масс системы. Очевидно, что при таких условиях звезды уже находятся на минимальном расстоянии друг от друга, т. е. / = г. Описание такой ситуации может быть проведено на другом методологическом уровне — не с помощью законов сохранения энергии и момента импульса, а с помощью второго
Н От2 2у 2 2У2/
закона Ньютона: О —— = т-, а, следовательно, т =-.
/2 / О
Однако при анализе исходного выражения (4) для этого частного случая у учащихся сразу же возникает математическая проблема: если l = r, то l - r = 0, к
тому же, sin П = 1 и разность в скобках тоже оказывается равной нулю. Неопределенности такого вида легко решаются математически, но модель будет более реалистичной, если предположить, что l ^ r , т. е. l - r ^ 0. Тогда выражение (4) примет вид
m =
1 l2 (2v) l2 - r2 = 1 l
G l - r 4
= l.v 2.( + r )= 2^
G l - r l2 G G
что совпадает с рассмотренным выше частным случаем.
Наибольшую методическую ценность разобранного примера составляет именно последний — проверочный — этап решения задачи. С его помощью учащиеся могут эффективно осваивать применение целого ряда действий, актуальных для настоящих научных исследований — прежде всего, использование разных уровней методологии не только для получения ответа задачи, но и для проверки его правильности (причем, частный случай становится очевидным при применении для его анализа физических законов другой степени общности). Данное обстоятельство становится особенно существенным при проведении математического моделирования различных процессов, поэтому знакомство с ним на уровне решения физических задач, где всегда можно выявить причины возможных расхождений в результатах, является чрезвычайно полезным и актуальным для реализации целей современного физического образования.
В этой связи следует отметить еще одно тонкое обстоятельство. При обучении учащихся анализу полученного решения задачи путем поиска соответствия с предельными и частными случаями важно не поддаваться иллюзии очевидного решения, а доводить проверку до конца, выясняя физические причины особенностей протекания физического явления. В этом заключается еще одно
проявление принципа толерантности, ^ характеризующего не только способ-
____ность к осознанному выбору между раз-
\ в ^^^ личными подходами и способами опи-
сания одного и того же явления, но и способность к распознаванию схожих, но различных явлений. Для иллюстрации этого обстоятельства приведем следующую задачу.
Пример 2 (рис. 2). Внутри гладкой диэлектрической сферы радиусом Я находится маленький шарик массой т с электрическим зарядом q, который может смещаться вдоль поверхности сферы в вертикальной плоскости, проходящей через шарик и центр сферы, без трения. В нижней точке сферы закреплен заряд Q. Каким должен быть этот заряд Q, чтобы шарик мог нахо-
Q
Рис. 2
2
r
диться в равновесии в точке B, если отрезок, соединяющий заряды Q и q, образует с вертикалью угол а?
По условию задачи шарик должен находиться в точке B в равновесии, т. е. должны выполняться два условия: равенство нулю суммы всех сил и суммы моментов этих сил, действующих на шарик. Анализ этих условий сразу же показывает необходимость наличия силы реакции опоры, без которой равновесие в указанном положении оказывается принципиально невозможным, так как в противном случае горизонтальная составляющая кулоновской силы остается неуравновешенной.
Рассмотрев в простейшей физической модели явления, действующие на заряд q силы, запишем первое условие равновесия шарика:
F + mg + N = 0 ;
F = Neos a + mgeos ß. (5)
Величину силы реакции опоры можно найти из правила моментов сил, действующих на заряд q, относительно точки Q. Так как момент кулоновской силы относительно этой оси равен нулю, это означает, что момент силы тяжести и момент силы реакции опоры должны быть одинаковы. Из геометрических соображений очевидно, что углы а и ß, образованные направлениями действия
сил N и mg и прямой ВQ, равны: a=ß. Из этих же соображений очевидно, что одинаковыми оказываются и плечи этих сил, следовательно, равны и модули этих сил: N = mg.
Теперь из уравнения (5) имеем
F = 2mg eos а . (6)
С другой стороны, по закону Кулона:
F = ^ (7)
(2R cosa)
Из соотношений (6) и (7) получаем выражение для искомого заряда:
= KmgR2 eoS а kq
После получения ответа следует еще раз обратить внимание учащихся на то, что равновесие шарика должно быть устойчивым, и проверить выполнение этого условия. Для исследования устойчивости найденного положения равновесия допустим, что шарик сместился, например, вниз. При этом кулоновская сила F возрастает по модулю, что ведет к увеличению силы реакции опоры N. Плечи сил тяжести и реакции опоры одинаковы при любом положении шарика на сфере. Поэтому при увеличении N момент этой силы станет больше момента силы тяжести и шарик вернется в положение равновесия. Аналогичные рассуждения можно провести в допущении, что шарик сместился вверх от положения равновесия. Таким образом, можно убедиться, что равновесие действительно устойчивое.
Проверкой найденного решения может стать анализ какого-нибудь простого предельного случая, например, когда шарик находится в верхней точке сферы, т. е. а = 0°. На первый взгляд, в этом случае условие равновесия очевидно — сила кулона уравновешивается силой тяжести:
, qQ _ 4R2mg mg = к^^г , и, следовательно Q =-— .
4R kq
Однако выражение (8) при подстановке а = 0° дает ответ, в два раза больший:
Q = 8R2 mg
kq
Казалось бы, имеет место несовпадение более общего и предельного решения. Однако на самом деле несовпадение обусловлено тем, что проанализированная ситуация не является предельным случаем исходной задачи, так как равновесие шарика в верхней точке сферы при отсутствии силы реакции опоры будет неустойчивым. Случайно отклонившись влево или вправо, шарик будет продолжать скользить по поверхности сферы под действием неуравновешенного момента силы тяжести, поскольку возникающая теперь сила реакции опоры будет недостаточна по величине.
Этот результат, непосредственно следующий из решения предыдущей задачи, может быть установлен и независимо, однако условие задачи в этом случае не нацеливает учащихся на подобное исследование. Таким образом, фактически происходит подмена исходной задачи на другую, с иными условиями. Чтобы подтолкнуть учащихся «поймать» эту подмену, важно методически правильно выстроить работу с задачами. Во-первых, уже рассмотренные особенности показывают, что крайне желательно предъявлять такие задачи «в паре», чтобы у учащихся была возможность на одном уроке обратить внимание на существенные расхождения в описании физического явления. Во-вторых, методика работы с задачами будет зависеть от выбранной учителем последовательности их предъявления учащимся. Если вторую задачу (частный случай) решают независимо от первой или раньше ее, как уже было показано, это может спровоцировать ошибки в выводах. В этом случае обязательным элементом работы должно быть обсуждение причин несовпадения результатов. Если же более общий случай рассматривается первым, то ответ к частному случаю получается сразу с помощью ответа к первой задаче. Но тогда необходимо обсудить возможность получения ответа к частному случаю другим способом.
Включение подобных задач в обучение физике имеет большое значение для развития творческого мышления, так как ярко демонстрирует недостаточность и ограниченность любых стереотипов действий и необходимость применения разнообразных подходов при решении даже несложной школьной задачи. Для реализации такого подхода к обучению не обязательно выискивать очень сложные и необычные задачи. Накопленный в методике обучения физике за-дачный материал вполне позволяет реализовать новые методические идеи, расставив соответствующие акценты в процессе обучения [6].
Проиллюстрируем это на следующей задаче.
Пример 3. Два электрона находятся на большом расстоянии друг от друга и движутся навстречу друг другу со скоростями VI и До какого минимального расстояния могут сблизиться электроны?
Первым этапом решения должно стать обсуждение особенностей движения электронов. При сближении электронов в результате кулоновского отталкивания они движутся с одинаковым по модулю ускорением. Причем вначале скорости обеих частиц по модулю уменьшаются, но так как изначально они были различны, у одного из электронов она обратится в нуль раньше, чем у второго. После этого первый электрон будет разгоняться в противоположном своему первоначальному движению направлении, а второй — продолжит торможение, т. е. второй электрон будет «догонять» первый, изменивший направление движения. Сближение закончится в тот момент, когда скорости электронов сравняются, после чего второй электрон начнет «отставать» от первого до тех пор, пока и его скорость не обратится в нуль, а затем изменит свое направление на противоположное. После этого электроны уже будут разлетаться в противоположные стороны. Таким образом, главным результатом обсуждения должен стать вывод о том, что в момент сближения скорости у электронов не нулевые, как ошибочно предполагают многие учащиеся, а одинаковые по величине и направлению, т. е. равна нулю относительная скорость электронов.
Расстояние между электронами в этот момент можно найти, пользуясь законами сохранения энергии и импульса:
ти2 mv'2 , а2 „ ти2 —- + —- = к— + 2- ;
2 2 г 2
mVl + mV2 = 2ти.
Из этих соотношений находим:
VI - V . и = - 1 2
г = ■
2
4кд2
( + V )
т
Проверить правильность полученного решения можно с помощью применения методологического принципа относительности. Рассуждения могут быть проще и изящнее, если рационально выбрать систему отсчета, в которой рассматривается движение частиц, в данном случае — систему отсчета, связанную с центром масс, в которой скорость электронов в момент максимального сближения равна нулю:
,т (V + VI2 ,„ а2
2—.I = к
2 I 2 ) г
Частным случаем к этой ситуации может служить рассмотрение движения электронов с одинаковыми скоростями, для которого не требуется применение закона сохранения импульса, так как очевидно, что в момент сближения скорости электронов равны нулю, поэтому решения в лабораторной системе отсчета и в системе отсчета центра масс будут одинаковыми.
2 , q2 kq
mv = k— , ^ г =—
mv2
Если же в качестве частного случая выбирают сюжет, когда движется только один заряд и записывают уравнение
2 2 mv , q
-= ,
2 г
совпадения ответов, естественно, не будет, потому что это — уже другая ситуация, которая может быть реализована только в том случае, если второй заряд закреплен.
В приведенном примере рассуждения велись по принципу постепенного упрощения задачной ситуации: решение простых задач является проверкой решения более сложных. Однако следует заметить, что если в данном случае предъявлять сюжеты в обратном порядке: 1) один заряд движется, а второй закреплен; 2) оба заряда движутся с одинаковыми скоростями; 3) оба заряда движутся с разными скоростями; то, как показывает практика многолетних наблюдений за учащимися и студентами, такой подход провоцирует у них грубейшие ошибки. Даже пытаясь применить для упрощения решения правильный методологический принцип — принцип относительности, учащиеся часто поддаются соблазну перейти в систему отсчета, связанную с одним из электронов. Простота полученного решения весьма обманчива, так как оно является принципиально неверным из-за нарушения границ применимости физических законов (система отсчета, связанная с одним из электронов, будет являться неинерци-альной). Таким образом, абсолютизация применения правила «от простого к сложному» без учета особенностей конкретного учебного материала и психологии восприятия учащихся может давать результаты обучения, не соответствующие ожидаемым.
В заключение отметим, что обсуждение противоречий, возникающих в процессе решения физических задач, поиск их причин, необходимость обоснования выбора правильного ответа и возможность достижения успеха при использовании самых общих принципов и правил физической науки для получения конкретного результата не только способствуют развитию физического понимания и повышают предметную компетентность учащихся, но и неизменно вызывают у них неподдельный интерес, вызванный самим процессом познания.
Автор выражает глубокую признательность доктору физико-математических наук, академику РАО А. С. Кондратьеву за постановку проблемы, помощь в ее решении и обсуждение полученных результатов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Долженко Е. В., Кондратьев А. С. Ларченкова Л. А. Проблема формулировки условия физической задачи в современной парадигме образования // Физика в школе и вузе: Международный сборник научных статей. Вып. 9. СПб.: БАН, 2008. С. 65-71.
2. Кондратьев А. С., Ларченкова Л. А. Принцип толерантности при решении физических задач в средней школе // Известия РГПУ им. А. И. Герцена: Естественные и точные науки: Научный журнал. СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 2008. №10 (64). С. 158-168.
3. Кондратьев А. С., Прияткин Н. А. Современные технологии обучения физике: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006.
2
г
4. Кондратьев А. С., Филиппов М. Э. Физические задачи и математическое моделирование реальных процессов: Учебно-методическое пособие для учителя. СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 2001.
5. Ларченкова Л. А. О формулировке учебной физической задачи // Физика в школе и вузе: Международный сборник научных статей. Вып. 7. СПб.: БАН, 2007. С. 156-161.
6. Ларченкова Л. А. Современные проблемы учебных физических задач // Физика в системе современного образования (ФССО-09): Мат-лы Х Междунар. конф. СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 2009. Т. 2. С. 89-92.
7. Махмутов М. И. Проблемное обучение. Основные вопросы теории. М.: Педагогика, 1975.
REFERENCES
1. Dolzhenko E. V., Kondrat'ev A. S. Larchenkova L. A. Problema formulirovki uslovija fizicheskoj zadachi v sovremennoj paradigme obrazovanija // Fizika v shkole i vuze: Mezhdu-narodnyj sbornik nauchnyh statej. Vyp. 9. SPb.: BAN, 2008. S. 65-71.
2. Kondrat'ev A. S., Larchenkova L. A. Princip tolerantnosti pri reshenii fizicheskih za-dach v srednej shkole // Izvestija RGPU im. A. I. Gercena: Estestvennye i tochnye nauki: Nauch-nyj zhurnal. SPb.: Izd-vo RGPU im. A. I. Gercena, 2008. №10 (64). S. 158-168.
3. Kondrat'ev A. S., Prijatkin N. A. Sovremennye tehnologii obuchenija fizike: Ucheb. po-sobie. SPb.: Izd-vo S.-Peterb. un-ta, 2006.
4. Kondrat'ev A. S., Filippov M. E. Fizicheskie zadachi i matematicheskoe modelirovanie real'nyh processov: Uchebno-metodicheskoe posobie dlja uchitelja. SPb.: Izd-vo RGPU im. A. I. Gercena, 2001.
5. Larchenkova L. A. O formulirovke uchebnoj fizicheskoj zadachi // Fizika v shkole i vuze: Mezhdunarodnyj sbornik nauchnyh statej. Vyp. 7. SPb.: BAN, 2007. S. 156-161.
6. Larchenkova L. A. Sovremennye problemy uchebnyh fizicheskih zadach // Fizika v sisteme sovremennogo obrazovanija (FSS0-09): Materialy X Mezhdunar. konf. SPb.: Izd-vo RGPU im. A. I. Gercena, 2009. T. 2. S. 89-92.
7. Mahmutov M. I. Problemnoe obuchenie. Osnovnye voprosy teorii. M.: Pedagogika,
1975.
