CC BY
36
УДК 517.977.57
МЕТОДИКА АНАЛИЗА РАБОТОСПОСОБНОСТИ АЛГОРИТМИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ СИСТЕМ ЭНЕРГОСБЕРЕГАЮЩЕГО УПРАВЛЕНИЯ
, А.Н. Грибков, А.В. Петров
ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет»
E-mail: [email protected]
Предложена методика использования взаимного расположения области существования решения задачи оптимального управления и множества полюсов в пространстве синтезирующих переменных для оценки работоспособности алгоритмического обеспечения систем энергосберегающего управления.
Ключевые слова:
Оптимальное управление, когнитивная модель, метод синтезирующих переменных.
Ю.Л. Муромцев
Введение
Проектирование алгоритмического обеспечения систем энергосберегающего управления (СЭУ) объектами с несколькими входами представляет собой сложную задачу. Это обусловлено большим числом возможных видов функций оптимального управления (ОУ), сложностью построения областей существования различных видов функций ОУ в пространстве компонентов массива исходных данных задачи управления вследствие его высокой размерности, необходимостью разработки большого числа алгоритмов для расчета параметров функций ОУ и т. д. Решению этих вопросов посвящено множество работ авторов Л.С. Понтрягина, Р. Бел-лмана, А.А. Красовского.
Практика показывает, что основная доля отказов СЭУ в процессе эксплуатации связана с ошибками в определении ОУ или отсутствием решения задачи оптимального управления (ЗОУ) при введённых исходных данных, вследствие чего существенно снижается эффективность работы СЭУ [1]. Поэтому важно на этапе разработки алгоритмического обеспечения оценить его работоспособность. Для этого предлагается использовать взаимное расположение области существования решения ЗОУ и множества полюсов в пространстве синтезирующих переменных.
1. Математическая постановка задачи
Предлагаемый подход рассмотрим на примере задачи энергосберегающего управления линейным объектом с ограничением на управление ы=(ы1,и1)Т, закреплёнными концами вектора фазовых координат г=(г1,г2)т и фиксированным временным интервалом [/0,4], т. е.
г = Лг(г) + Ви(г), г е [г0,Гк],
(
A =
a
a
л
12
V a21
a
B =
22 J
0 b
(1)
2J
Vt e [to, tj: u,(t) e [<,u,B] i = 1, 2,
причем |цн| = ui,
z(tü) = (Z0,z20)T ^ z(tj = (z\,z2K)T,
tK
J3 = J(uf (t) + u22(t))dt ^ min.
t0
Здесь A, B - матрицы параметров модели динамики объекта; и", ui - граничные значения управления и, /=1,2; J - минимизируемый функционал (суммарные затраты энергии).
Для численного решения задачи (1), в частности определения оптимальных значений
u* (t), z* (t), i = 1,2, t e [to,tj и J3, (2)
задается массив исходных данных
R = (A, B, uj1, m“, u™, uв
, Z1 , , Z1 ,
, t0, О- (3)
Такого рода задачи типичны для управления динамическими режимами многозонных электрических печей, многосекционных сушильных установок и других энергоёмких объектов.
2. Анализ работоспособности алгоритмического
обеспечения систем энергосберегающего управления
Представлять результаты анализа ОУ в пространстве с размерностью, соответствующей размерности массива исходных данных Я, исключительно громоздко и ненаглядно. В целях сокращения размерности массива (3) и использования метода синтезирующих переменных вместо исходной задачи (1) с натуральным масштабом переменных и;(0, /=1,2 и / будем выполнять анализ базовой (нормированной) задачи с нормированным временем Те [0;2] и управлением [2]
и(Т) = (и1(Т),иг(Т))т, и,(Т) е [-1; 1], I = 1,2.
Базовая ЗОУ записывается в виде
Z = AZ (T) + B (U(T) + AU), T e [0; 2],
A = a
b = b,.
(4)
VT е [0; 2] : U(T) е[-1;1], i = 1,2,
Z(T = 0) = Z0 = (Z“, Z0)T — Z(T = 2) = = Zк = (Zf, Z2ê)T,
•/з =i ((Ui(T ) + AUt)2 + (U 2 (T ) + AU 2 )2 ) dT
—— min,
1
2'
здесь ajj = —Ataij, b,. = —At Au.b,
- 1 4'
At = tK -10, Au, = u," - u",
T = 2^, U,(T) = 2 Ui(t) ~Ui, Ui = V + uB), At A Au.. 2 i
AU= -
Aui
i = 1, 2.
Для решения базовой задачи (4) задаётся массив исходных данных
я = (Л, В, I0, !к). (5)
В массиве Я можно выделить две группы компонентов - базовые и оперативные. Базовые компоненты характеризуют конструктивные и другие свойства объекта, значения которых в процессе эксплуатации в основном остаются постоянными. К этим компонента_м относятся А, В. Оперативные компоненты ^ к), а также Д/обычно изменяются при каждом новом решении задачи. В основе анализа ЗОУ лежат следующие положения.
Утверждение 1. Существование решения базовой задачи (4) для задаваемых исходных данных (5), а также вид и параметры функции ОУ, если решение ЗОУ существует, однозначно определяются значением вектора синтезирующих переменных Х=(Х1,Х2), компоненты которого определяются по формулам
Ц = г* -X /„ (2)г), I = 1,2, (6)
]=1
К<2>1 =т4
24б
^(a22 + ß)e 2ß -(a22 +a)e
aa(e-2a-e~2ß )
(a11 + ß)e 2 -(a11 +a)e '
_ дг - дг в - дг2 п
а =—а, в=—р, и =-------------и,
2 2 4
(а11 + а22)2 и =— 4-+ а12а21 - а11а22,
а = - “(ап + а22)-'■ТБ,
Р=- 2(а11 + а22) + ^.
Доказательство утверждения следует из покомпонентной записи условия
Определение 1. Пространство
Lo = ( L1, L2,a, ß, ^ Ь2)
будем называть общим, а его сечение с координатными осями L1,L2, т. е. L=(LbL2), - синтезирующим сечением.
Определение 2. Область Lc синтезирующего сечения L, в точках которой существует решение базовой ЗОУ (4) и каждой- точке соответствует определённое управление U(Т), называется областью существования.
Утверждение 2. Если точка /=(/1,/2) в пространстве L0, рассчитанная по значениям компонентов массива R, принадлежит области Lc (значение D >0), то ей могут соответствовать следующие виды функций ОУ:
• U ( T/D1 ,D2) - функция имеет два параметра D1, D2;
• U (Т/Тп) - в качестве параметра функции используется время переключения Тп;
• U ( T/D, Тп) - функция содержит три параметра D-, /=1,2 и Тю
• U (Т/%1) - функция ОУ принимает граничные значения управления [—1;1];
• U (Т/%1;Д, Тп) - одна компонента ОУ располагается на границе, а другая содержит параметры Di и (или) Тп.
Доказательство утверждения 2 следует из рассмотрения видов функций отдельных компонентов и их возможных комбинаций.
Определение 3. Описание топологии области существования Lc содержит три группы объектов -подобласти Lu различных видов функций ОУ, границы /гр между областями и полюса точки /п, представляющие собой пересечения границ.
Определение 4. Графическое представление области Lc с её объектами будем называть когнитивной моделью (КгМ) результатов анализа ЗОУ.
_ Фрагмент когнитивной модели при а=-0,118, ß =2,118, -=550, b2=220, содержащий часть граничных ли-ий пок-зан на рисунке, а, при -=0,254, /3=0,946, -=704, ¿>2=176 - на рисунке, б.
Утверждение 3. Граница области Lc образована множествами линий 4рс и полюсов 4е, при этом для реальных объектов управления (значения u ограничены, объекты обладают инерцией) множества 4рс и /пс содержат по четыре компонента.
Доказательство утверждения 3 непосредственно вытекает из рассмотрения границ при скалярном управлении u.
Следствие утверждения 3. Полюса множества /пс={/1с,/1с,/с1,-1),/‘} соответствуют следующим
впидам ОУ
к 2 A 0 Г A (2 -T )
z - e z = e ^ ;
B (U (T) + AU)dT.
1,(-1)>l (-1),1
U = (u^t ) = 1,u 2(T ) = 1), U-, = (U1T ) = -1,u 2(T ) = -1), Uu-j) - (U,(T) - 1,u2(T) = -1), U(-1),1 = (U1(T) = -1,U2(T) -1).
X
Расположение четырёх полюсов множества /пс показано на рисунке.
Определение 5. Полюса, входящие в множество полюсов /пс, будем называть постоянными полюсами существования.
Наряду с полюсами /пс для рассматриваемой ЗОУ имеют место полюса, которые в зависимости от значений массива Я могут располагаться как внутри области Ьс (в этом случае решение ЗОУ существует), так и вне области Ьс (решение ЗОУ не существует).
Б1а =—Ы-(а22 +а)Б1 - а21 Б2 ] (7)
2л1 Б
-^[(а , в)
2у/ Б
Б1в _ [(а22 +в) Б1 а21Б2
Б 2а [ (а11 +а)—2 а12Б1]
2л/ Б
(8)
(9)
Б2в = -Ш ^11 +в)Б2 - а12Б1] (10)
Утверждение 4. Если решается ЗОУ (1), то при расчёте ОУ и(Т), соответствующих переменным полюсам, имеет место а)
Ги° ,и0 ,и° ,
1н,1н ’ 1н,-1н ’ 1н,1" '
Б, =
если и0 е< _ _ _ .,
ь1 [и0 ,и0 ,и0 I
1 Г,-1"’ (Г,-1"),0’ (1н,Г),0 J
1 Гй0н н,й°н н,и0н -, '
1 -уо I -1н,-1” - 1н,1” - 1н,-1”
-=■, если и е < _ _ _
Ь |и0 ,и0 ,и0
1 [ -Г,1"’ (-1н,П05 (-1н,-1'),0,
и (11)
б2 =
[и0 н,и0н н,и0, н
у0 I 1н,1н’ -1н,1н’ -1",1н
б)
если и е • _ _ _
ь2 |и0 н,и0 н „ ,и0 н „ I
2 1",1 0,(1н,-1")’ 0,(1н,1") J
1 Гй0н н,ио н,и0 н, '
1 -о [ -1н,-1” 1н,-1” 1",-1”
-—, если и е< _ _ _
Ь2 |и0 ,и0 ,и0
2 [ -1",-1н’ 0,(-1н,Г)’ 0,(-1н,-Г)
1 -1 /12(2))//11(2), если и^н, Ь1 +1 /12(2) I//11(2), если й0 -1н,
Рисунок. Область существования решения задачи и область значений вектора L при эксплуатации Ц для ситуаций: ЦссЦэ (а) и (б)
Определение 6. Полюса /■, которые в зависимости от значений Я могут принадлежать или не принадлежать области Ьс, будем называть переменными.
Например, переменными являются полюса /"плиц, /"(-1А(-ед, здесь полюсу /п(_х,4),(^,1) соответствует функция ОУ
и(-1, ,),(, ,1) = (Ц(0) = -1,
П,(Т) = Быеат + -УТ ,Т е (0,2]; и2(Т) = Баш + -2/Т, Т е [0,2), V2(2) = 1),
а полюсу / "(-l,d),(_d,l)
и-1,,),(-1,,) = (и, (0) = -1,
и, (Т) = Б,аеет + Б,еТ, Т е (0,2], I = 1,2),
где
-1 =
и (12)
-2 =
(1 + /22(2))/¿2/21(2), если й°(_1нЛ,
(1 -/22(2))/¿2/21(2), если и00анД"),
(-1 -/22(2))/¿2/21(2), если и00ан__1"), (-1 + /22(2))/¿2/21(2), если и00(_1н,_1")
+ь1"/21(2))/если ии)Л"
-¿1: +1 /21(2))//22(2)’ если й-пи-г
(1 + /11(2))/¿1/12(2), если
(-1 - /11(2))/¿1/2(2), если и(01н__1")_0,
(-1 + /11(2))//12(2), если и0_1н,_П0,
(1 -/11(2))/¿1/2(2), если и^;
здесь
(
1, Т = 0, и1(Т), Т е (0,2], 1, Т = 0,
Ц/2(Т), Т е (0,2];
и0н , : и|(Т) =
(1н,-1,),0 1У '
1, Т = 0, и?1(Т), Т е (0,2), -1, Т = 2,
и2(Т) = ^2 (Т), Т е (0,2] и т. д. &(Т) = ¿1( д/дТ) + Б2 Л2 (Т)), £ 2 (Т) = Ь2( Б1/21(Т) + Б2 /22(Т)),
(13)
-1 =
-2 =
Ц1 ¿1 011,11 + ¿2 Ф12 Ц2 ¿1 Ф21,12 + ¿2 ф2:
д
¿1 ф11,11 + ¿2 Ф12 ¿1 Ф21,11 + ¿2 ф2:
д
д =
¿1 ф11,11 + ¿2 Ф12,21 ¿1 Ф11,11 + ¿2 ф2
¿1 Ф21,11 + ¿2 Ф22,21 ¿1 Ф21,12 + ¿2 Ф22
Фу, »=) / (2 - т )/дт ),
2^[Б
(а22 + в)е а12(е
( а22 +а) е 1 )
а»( е
а(2 Т) - Д 2 -Т )-
>-а(2-Т) -в(2-Т)
|/у (Т)
2>/Б
(а22 +в)евТ - ( а22 +а) ^
— / а/ £/ ,
а12(е - е )
(ап +р)е^ -(Оц +а)
(14)
При доказательстве утверждения 4 используются соотношения (13) и (14) при Т=2.
Следствие утверждения 4. Используя соотношения (11), (12) для Д, Д координаты полюсов определяются по формулам
11 = Б1(Ь1 $11,11 + ¿2 $12,21 ) + Б2(Ь1 1,12 + ¿2 $2,22 ),
12 = Б1(Ь1 $21,11 + ¿2 $22,21 ) + Б2(Ь1 $21,12 + ¿2 $22,22 )*
Например, для и01н,-1н используя (11), (13) и (14) получаем
/ = Ь ¿22 ¿12 Ь
11 Ь1 $11,11 + 7" $12,21 Т $11,12 Ь2 $12,22 ,
Ь1 Ь2
/ = Ь Ы - Ы - Ь
12 ¿1 $21,11 + 7“ $22,21 7“ $21,12 ¿2 $22,22 .
Ь1 Ь2
Работоспособность алгоритмического обеспечения СЭУ в основном зависит от того насколько значительно могут изменяться компоненты массива исходных данных (5) в процессе реальной эксплуатации. В результате изменения любого из компонентов в соответствии с формулой (6) меняются значения вектора синтезирующих переменных Ь. Множеству различных значений Ь соответствует некоторая область Ьэ, охватывающая значения Ь, которые могут иметь место при эксплуатации. Если область Ьэ не выходит за пределы Ьс, то при любых значениях массива Я, встречающихся при эксплуатации, алгоритмическое обеспечение позволяет определить вид и рассчитать параметры ОУ.
3. Методика анализа работоспособности
В предположении_ч_о в массиве исходных данных (5) компоненты А ,В сохраняются постоянными, а могут изменяться только Z 0, Zк методика анализа работоспособности алгоритмического обеспечения СЭУ, решающей задачу (1), заключается в следующем.
1. Используя рассмотренный математический аппарат строится когнитивная модель, отражающая анализ решений ЗОУ (1). Наиболее важными компонентами модели являются полюса и границы области существования решения задачи, а также полюса и границы, соответствующие наиболее вероятным видам функций ОУ.
2. На основе анализа предполагаемых режимов работы объекта управления в процессе эксплуатации определяются диапазоны д,“, д,,к, /=1,2, в которых могут изменяться начальные и конечные значения вектора фазовых координат.
3. Используя соотношения (6) выполняются вычисления множества точек для 1={/к,к=1,И} синтезирующего сечения Ь, где N - количество рассматриваемых ~точек (режимов эксплуатации). Множество / должно включать как значения внутри интервалов д,“, д,,к, так и возможные сочетания на границах интервалов.
4. На основе множества точек / строится область Ьэ, отражающая возможные значения вектора L=(L1,L2) при эксплуатации объекта.
5. Выполняется сопоставительный анализ взаимного расположения областей Ьэ и Ьс. При этом возможны следующие основные случаи.
5.1. Область Ьс содержит Ьэ, т. е. ЬэсЬс (рисунок, а). В этом случае при любых исходных данных ЗОУ алгоритмическое обеспечение позволит рассчитать оптимальные управляющие воздействия.
X
х
Если область Ьэ располагается во внутренней части Lc, которая на рисунок, а выделена прямыми линиями, то этому соответствует один вид функций ОУ
U,(T) = DweeT + Diaea, i = 1,2,
параметры для которого рассчитываются по формулам (7), (8), (9) и (10). В этом случае алгоритмическое обеспечение СЭУ является наиболее простым.
5.2. Часть области Lэ находится за пределами области существования Lc (рисунок, б). В этом случае для точек lkgLc решение ЗОУ не существует и возникают проблемы, связанные с выработкой управления, которое не обеспечит выполнение условия z(tk)=zK.
Здесь возможно решение обратной задачи, заключающейся в том, чтобы определить насколько надо изменить интервалы д,0, д,;к, /=1,2 для обеспечения выполнения условия ЬэсЬс.
Выводы
Применение методики использования взаимного расположения области существования решения ЗОУ и множества полюсов в пространстве синтезирующих переменных позволяет оценить работоспособность алгоритмического обеспечения и повысить эффективность функционирования СЭУ. Особенно актуально это для систем, точки режимов эксплуатации которых могут выходить за пределы области существования решения задачи.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Муромцев Ю.Л. Методология полного анализа энергосберегающего управления многомерными объектами // Системы управления и информационные технологии. - 2008. - № 2.3 (32). - С. 364-369.
2. Муромцев Д.Ю. Методы и алгоритмы синтеза энергосберегающего управления технологическими объектами. - Тамбов; М.; СПб.; Баку; Вена: Изд-во «Нобелистика», 2005. - 202 с.
Поступила 03.04.2009 г.
УДК 004.418
ОПЫТ РАЗРАБОТКИ И ЭКСПЛУАТАЦИИ ИНФОРМАЦИОННО-АНАЛИТИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ТЕПЛОЭНЕРГЕТИКЕ
А.Н. Виноградов, С.А. Даниельян, Р.С. Кузнецов, В.П. Чипулис
Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, г. Владивосток E-mail: [email protected]
Рассмотрены проблемы построения и перспективы развития информационно-аналитических систем в теплоэнергетике. Показаны примеры реализации и описаны функциональные возможности эксплуатируемых в настоящее время систем. Сделан акцент на аналитической обработке измерительной информации, накопленной в процессе функционирования систем.
Ключевые слова:
Информационно-аналитическая система, объект теплоэнергетики, автоматизированное рабочее место.
В последнее десятилетие отмечается интенсивный процесс внедрения информационно-измерительных систем в теплоэнергетике. Он обусловлен возможностями современной измерительной базы, позволяющей не только выполнять измерения в полном объеме и с высокой точностью, но и передавать их в компьютер с помощью разнообразных телекоммуникационных средств. Выполняемые в этом направлении разработки совместного коллектива сотрудников института автоматики и процессов управления ДВО РАН и инжиниринговой компании «ВИРА» отличаются тем, что в них существенный акцент делается на обработку результатов измерений с ориентацией на потребности технических специалистов, управленческого персонала, а также представителей административных и финансовых служб.
Одной из необходимых предпосылок для решения проблемы энергосбережения является внедрение на объектах теплоэнергетики (ОТЭ) систем технологического и коммерческого учета тепловой энергии. Выделим и далее будем рассматривать два класса ОТЭ - потребителей и источников тепловой энергии. В настоящий период, в отличие от последних десятилетий прошлого века, обще признана экономическая целесообразность установки на объектах-потребителях приборов учета тепловой энергии. Эти приборы, как правило, позволяют существенно сократить расходы на оплату потребляемых ресурсов и тем самым создают стимулы для реализации мер по их экономии. Постепенно также приходит понимание необходимости пополнения и модернизации контрольно-измерительно-
