Методичні аспекти навчання теми «Узагальнені координати» Текст научной статьи по специальности «Математика»

Scientific journal

PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION

Has been issued since 2013.

Науковий журнал

Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА

Видаеться з 2013.

http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/

Завражна О.М. Memodu4Hi аспекти навчання теми «Узагальнен координати». Ф'!зико-математична осв'та. 2019. Випуск 2(20). С. 35-39.

Zavrazhna O. Methodological Aspects Of Teaching «Generalized Coordinates». Physical and Mathematical Education. 2019. Issue 2(20). Р. 35-39.

DOI 10.31110/2413-1571-2019-020-2-006 УДК 378.147+530:531.3

О.М. Завражна

Сумський державний педагогiчний унверситет iменi А.С. Макаренка, Украна

zavragna@gmail.com ORCID: 0000-0002-7716-7138

МЕТОДИЧН1 АСПЕКТИ НАВЧАННЯ ТЕМИ «УЗАГАЛЬНЕН! КООРДИНАТИ»

АНОТАЦЯ

Формулювання проблеми. При пiдгоmовцi фахiвцiв ф'1зико-математичного профлю та особливо - вчител'в фiзики, сл'д значну увагу придiляти загальним принципам, якi в компактнш формi мстять в соб'1 не лише ва в'дом'! експериментальн та теоретичнi положення, але й дозволяють прогнозувати нов! в'дкриття. До таких принципiв в'дносяться штегральш вар/'ац/'йн/' принципи, якi вперше були сформульоват в механ'щ'!. При п'дготовц! вчителiв фiзики вони починають вивчатися в курс теоретично)' фiзики у першому )) роздiлi - «Класична механка». На в'дм'ну в'д загального курсу «Механка», у якому студенти лише поглиблюють сво) шкiльнi знання, при вивчент класично)' механ'ти, уже на початковому етап - при формулюваннi вих'дних положень аналтично) механ'ши вони стикаються з багатьма узагальненими /' абстрактними поняттями, наприклад, «узагальнен координати», формування яких ставить перед викладачами безлч методичних проблем, якi потрiбно вирiшити.

Матер/'али / методи. У якостi методов досл'дження використовувались: системний науково-методолог'1чний аналiз пiдручникiв /' навчальних по^бниюв, статей; спостереження навчального процесу; синтез, пор'вняння та узагальнення теоретичних положень; узагальнення власного педагогчного досв'ду.

Результати. запропоновано один 'в можливих способiв обфунтування поняття «узагальнен координати». Зг'дно цього способу пропонуеться спочатку введення таких понять: узагальнен координати; формулювання переваг переходу до узагальнених координат; кiлькiсть узагальнених координат; р'вняння руху мехашчно)' системи в узагальнених координатах.

Висновки. Розглянута методика дозволяе сформувати у студент'в глибоке й стйке розумння поняття «узагальнен координати» та дозволяе створити геометричний образ еволюцп мехашчно)' системи у вигляд'1 траекторП точки у конфiгурацiйному просторI

КЛЮЧОВ1 СЛОВА: вчител1 ф1зики, класична механика, декартовi координати, узагальненi координати, механ1чна система.

ВСТУП

Постановка проблеми. Розвиток сучасно! науки, впровадження !! досягнень у виробництво та побут, прагнення вищо! освти Укра!ни до тдготовки фахiвцiв, здатних працювати за европейськими стандартами, вимагае значного посилення фундаментально! компоненти в навчальному процес (Мороз, 2012). Тому сучасн навчальн поабники i все науково-методичне забезпечення навчального процесу повинн базуватися на деяких загальних теорiях, ям е фундаментом вае! теоретично! тдготовки. Таким фундаментом при тдготовц фахiвцiв фiзико-математичного профтю та особливо - вчителiв фiзики, е загальш принципи, ям в компактнш формi мктять в собi не лише вс вiдомi експериментальн та теоретичн положення, але й дозволяють прогнозувати новi вщкриття. Там принципи дмсно були вщкрит - це штегральы варiацiйнi принципи, ям вперше були сформульован в механщ, i при тдготовц вчт^в фiзики вони починають вивчатися в кура теоретично! фiзики у першому !! роздЫ - «Класична механта». Але, на вщмЫу вщ загального курсу «Механта», у якому студенти лише поглиблюють сво! шктьы знання, при вивченн класично! мехашки, уже на початковому етат - при формулюванн вихщних положень аналтично! механти вони стикаються з багатьма узагальненими i абстрактними поняттями, наприклад, «узагальнен координати», формування яких ставить перед викладачами безлiч методичних проблем, ям потрiбно виршити.

Аналiз актуальних дослщжень науково-методично! лтератури показуе, що проблема фахово! тдготовки майбутых учт^в фiзики широко обговорюеться науковцями на сторшках педагогiчних та методичних часопиав в рiзних аспектах: iз проблеми якостi освiти в галузi фiзики та фундаменталiзацГi О. Бугайов, С. Гончаренко, О. Ляшенко, А. Павленко,

ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)

О. Сергеев, М. Шут та íh.; становлення майбутнього вчителя фiзики на засадах компетентысного пщхщу дослщжують П. Атаманчук, Г. Атанов, М. Головко, О. Ляшенко, В. Серпенко та íh.; пiдвищення якост дидактичного забезпечення навчального процесу та вдосконаленням фiзичного навчального експерименту дослщжують Л. Благодаренко, В. Величко, В. Вовкотруб, В. Заболотний, Л. Калапуша, Е. Коршак, Д. Костюкевич, О. Мартинюк; методичнi аспекти вивчення певних питань курав загально! i теоретично! фiзики розглядають в сво!х працях В. Мендерецький, I. Сальник, В. Сиротюк та íh.; Г. Бушок, О. Коновал, I. Мороз, М. Садовий, В. Серпенко, Б. Сусь, I. Тичина та íh. Разом iз тим, у теорп та методик викладання теоретично! фiзики практично вщсугы дослщження, у яких висв™ювалися б методичнi аспекти навчання аналтично! механiки, зокрема обГрунтування поняття «узагальнен координати» залишилося поза увагою методично! науки, воно зовам не висв™ене у методична лiтерaтурi i лише фрагментарно описуеться в деяких навчальних поабниках (Бондаренко& ДубшЫ&Переяславцев, 2004; Булгаков&Яременко& Черниш&Березовий, 2017; 1ванов&Максюта, 2012; £жов& Макарець&Романенко, 2007; Литвинов&Михайлович&Бойко&Березовий, 2013), що е недостaтнiм i необГрунтованим.

Тому метою дано!' статт е висвiтлення методичних aспектiв навчання теми «Узагальнен координати», питання яко! е основоположними в aнaлiтичнiй мехaнiцi.

МЕТОДИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ

У якостi методiв дослiдження використовувались: системний нaуково-методологiчний aнaлiз пiдручникiв i навчальних поабниюв, статей з дано! теми; спостереження навчального процесу; синтез, порiвняння та узагальнення теоретичних положень, ям подан у наукових та навчальних джерелах лтератури; узагальнення власного педагопчного Досвiду.

РЕЗУЛЬТАТИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ ТА IX ОБГОВОРЕННЯ

Узагальнюючи результати aнaлiзу навчальних посiбникiв i власного досвщу зупинимось детaльнiше на розглядi одного iз можливих вaрiaнтiв обГрунтування узагальнених координат та дмсних i можливих перемЩень, який ми використовуемо на перших лекщях з класично! механти.

Мета вивчення теми передбачае ознайомлення студенев з прийомом, що дозволяе перейти вщ прямокутних до узагальнених координат, а отже, представити фiзичне явище в абстрактному математичному виглядк

Згiдно мети змiст теми розкриваеться за допомогою таких питань:

• узагальнен координати;

• рiвняння в'язей;

• формулювання переваг переходу до узагальнених координат;

• якому випадку декaртовi координати точок системи залежать не лише вщ узагальнених координат, але й вщ часу;

• як визначаеться ктьюсть узагальнених координат;

• як записуеться рiвняння руху мехаычно! системи в узагальнених координатах.

Особливктю запропонованого пiдходу е те, що мaтерiaл, який викладаеться, систематизований та лопчно згрупований, що дозволяе формувати причинно-нaслiдковi зв'язки мiж поняттями, судженнями, знаннями, теорiями, що засвоюються студентами на лекцп, а потiм закртлюються на практичних заняттях. Отримaнi знання е основою для вивчення у подальшому квантово! мехaнiки та шших роздiлiв теоретично! фiзики. Пiдхiд устшно використовуеться в навчальному процесi майбул-лх вчителiв фiзики у Сумському державному педагопчному унiверситетi iменi А.С. Макаренка.

Вивчення теми доцтьно розпочати з нагадування, що за сторiччя, що минуло вщ Ферма i Декарта до Ейлера i Лагранжа, вщбувся надзвичайно бурхливий розвиток методiв вищо! математики. Однiею з нaйбiльш важливих трансформацмних змiн було узагальнення первинно! iде! Декарта про координати. Виявилось, що введення системи iз трьох взаемно перпендикулярних осей е всього лише одним iз способiв встановлення взаемно однозначно! вщповщност мiж точками простору i числами. Ihuií способи можуть також добре служити для ще! цiлi. Наприклад, зaмiсть прямокутних координат, можна взяти сферичн координати. Одна з характерних особливостей аналтичних методiв мехaнiки полягае саме в тому, що ми не накладаемо ыяких умов на природу координат, що переводять дане фiзичне явище в абстрактну математичну схему.

Дaлi студентам пропонуеться розглянути мехaнiчну систему, що складаеться iз N втьних частинок, «втьних» у тому сена, що вони не зв'язан ыякими кiнемaтичними умовами (в'язями). Прямокулнi координати цих частинок

x¡, y¡, zi (i = 1,2,..., N) (1)

характеризують стан мехаычно! системи у деякий момент часу. Задача руху, природно, вважаеться виршеною, якщо всi x,y,z вiдомi як функцп часу t. Це завдання, однак, буде виршеним i в тому випадку, якщо ва x,y,z виражен через якiсь íhuií величини

4i, q2,..., , (2)

a q в свою чергу визначен як функцп часу t.

Такий непрямий процес розв'язання зaдaчi про рух надае суп^ переваги, що на практик виявляеться вирiшaльним фактором. Ця опера^я в мaтемaтицi називаеться «перетворенням координат». Вона е узагальненням переходу вщ прямокутних координат одые! точки x,y, z до, наприклад, !"i сферичних координат r, ф i в.

Узагальнення, наприклад, стввщношень

x = r sin в cos <р,

y = r sin в sin <p, (3)

z = rcos в

полягае в тому, що ст^ змЫы можуть бути довтьними функциями нових змЫних. Кiлькiсть змЫних для системи N матерiальних точок буде 3N , так як положення розглянуто''' механiчноí системи визначаеться 3N координатами. Отже, у загальному випадку подiбне перетворення координат виглядае наступним чином

Х1 = /1 (й,--, Ъм)

(4)

/3М(^1,----, 1зм )-

На лекцй також потрiбно вiдзначити, що функцй/ можемо вибрати будь-яким способом i звести початкову задачу про визначення координат матерiальних точок х,у., як функцм tдо ново!' задачi про визначення функцм <,...., д як

функцiй часу. Крiм того, можна так вибрати нову систему координат, щоб нова задача виршувалась набагато простiше старо!'. Такi новi координати повиннi бути незалежними, однозначно описувати положення матерiальних точок мехаычно!' системи у просторi i система (4) повинна бути сумкною. Там координати будемо називати узагальненими. Повна свобода у виборi системи вщлшу дозволяе вибрати узагальненi координати так, щоб вони були особливо зручними для даного завдання. Наприклад, у задачi про рух планети, тобто матерiальноí частинки, що рухаеться навколо нерухомого центру тяжЫня, сферичнi координати набагато краще вiдповiдають умовам задачу нiж прямокутнi.

Перевага узагальнених координат стае бтьш очевидною, якщо розглядаються механiчнi системи iз накладеними на них мнематичними в'язями. Цi умови математично виражаються певними функцiональними стввщношеннями мiж координатами (рiвняннями в'язей). Наприклад, вщстань мiж двома атомами, що утворюють молекулу визначаеться рiвновагою сил в середин молекули. З точки зору динамти така система може розглядатись як така, що складаеться iз двох частинок з координатами х,У¡, ^ i частинки знаходяться на поспйый вiдстанi а одна в^д Ышо'(. Це призводить до умови

(Х - х2)2 + (у1 - у2)2 + (гх - г2)2 = а2, (5)

внаслщок яко'' 6 координат не можуть бути задан незалежно. Досить задати 5 координат, а шоста визначиться iз умови (5). Очевидно, однак, що недоцтьно розглядати одну з координат в (5) як залежну змЫну, оскiльки стввщношення (5) симетричне щодо всiх координат. Бтьш природно задати три прямокуп-л координати центру мас системи i два кути, що визначають напрямок ос двоатомно'' молекули. В прямокутних координатах всi 6 координат можна виразити через ц 5 параметрiв.

Далi разом зi студентами аналiзуеться ще один приклад: тверде тто, яке може складаеться з будь-яко'' кiлькостi частинок. Незалежно в^д числа частинок, досить задати три координати центру мас i три кути, що визначають поворот тт вщносно системи нерухомих осей. Цi 6 параметрiв повнiстю визначають положення тта. Координати будь-яко'' з його частини можуть бути вираженi через ц 6 параметрiв.

У загальному випадку, коли на мехаычну систему з N частинок накладено к незалежних мнематичних умов, конф^ура^я ц^е'' системи може бути однозначно задана за допомогою

I = 3N - к (6)

незалежних параметрiв

<71,q2,..., . (7)

причому прямокул-л координати всiх частинок можуть 6ути записанi як функцй змшних (7):

Х1 = /1 (Яl,., 71)

........................... , (8)

ZN = /3N (7,1,...., <)

Приходимо до висновку, що число I не може змЫюватися для дано'' механiчноí системи i е и характерною константою. Менша кiлькiсть параметрiв недостатня для опису системи, бтьша ж ктьмсть - не потрiбна. Про систему, для однозначного визначена конф^урацй яко'' необхiдно й достатньо задати I параметрiв, кажуть, що вона мае «I ступенiв втьносп»; а самi параметри, як уже зазначалось, називаються «узагальненими координатами» системи. Число частинок, що утворюють мехаычну систему (а також 'х координати) несуп^ при аналогичному методi дослiдження, важливi лише узагальненi координати i деяк певнi функцй' в^д них. Тверде тто, наприклад, може складатися з несмнченно''' кiлькостi частинок, а з точки зору механти - це система, що мае не бтьше ыж 6 незалежних координат.

У механц Ньютона тверде тiло потрiбно уявно розбити на достатньо малi частини, якi можна розглядати як матерiальнi точки, i для кожно'' тако'' точки - застосовувати другий закон Ньютона, у якому потрiбно врахувати й невiдомi сили взаемодй мiж окремими такими точками. Останне робить неможливим розв'язання задачi про рух твердого тта лише за допомогою другого закону Ньютона. Отже, разом зi студентами бачимо, що перевага переходу до узагальнених координат стае очевидною за умови, якщо буде встановлена можливкть записати рiвняння для визначення закону змЫи у час узагальнених координат. Зрозумто, що закони Ньютона у загальному випадку не виражаються через узагальнен координати i потрiбно шукати iншi шляхи.

Слщ звернути увагу студентiв на те, що узагальнен координати не обов'язково повинн мати геометричний зм^. Необхiдно, однак, щоб функцй (8) були обмежеы, однозначнi, неперервнi i мали похiднi, i щоб рiвняння (8) були сумiснi. Цi умови Ыколи можуть порушуватися в деяких особливих точках, ям потрiбно виключити з дослiдження. Крiм цих обмежень слщ звернути увагу на те, що дiапазон безперервно'' змiни змЫних <, <,..., <. повинен допускати змiни первинних прямокутних координат у досить широких межах, не обмежуючи 'х бтьше, ыж цього вимагають викладенi мнематичы умови.

Отже, проблеми вивчення руху аналггичними методами вимагають узагальнення вихщно! концепцй декартових координат. У якост системи координат може бути обрана будь-яка сукупысть параметрiв (узагальнених координат), що характеризуе стан механiчно! системи.

Вибiр узагальнених координат надае нову можлив^ь в описаннi руху як втьно! механiчно! системи N матерiальних точок, так i тако! ж системи, на яку накладено к утримуючих голономних в'язей. Далi пропонуеться розглянути останнiй випадок. Така система мае (э^ - к) ступенiв вiльностi, отже !! положення у прост^ можна характеризувати не лише 3N декартовими координатами, але й (э^-к = I)< ЭN узагальненими координатами. Зменшення кiлькостi координат, ям описують конфiгурацiю системи - це вже спрощення задачi про рух системи, але введення узагальнених координат ще дозволяе створити зручний геометричний образ руху тако! системи. Дмсно, введемо математичну абстрак^ю (и зазвичай називають конфiгурацiйний простiр) - багатовимiрний простiр, у якому ортогональними осями е вс узaгaльненi координати. Точка у такому прост^ зображуе не мaтерiaльну частинку, а ва узaгaльненi координати у даний момент часу, тобто конф^ра^ю дослiджувaно! системи. Осмльки частинки реально! системи рухаються, то змЫюються узaгaльненi координати i точка в конфiгурaцiйному просторi (часто називають навпаки - проспр конф^урацй рухаеться. Наголошуемо, що !! трaекторiя описуе конфiгурaцiю всiе! мехaнiчно! системи протягом часу спостереження. При дослщжены деяких систем бувае зручним ввести ще одну координату - t (час) i тодi у такому розширеному (I +1) вимiрному конфiгурaцiйному просторi трaекторiя буде вщображати зaлежнiсть ус^х узагальнених координат вщ часу, тобто - рiвняння

що е рiвняннями руху мехaнiчно! системи в узагальнених координатах. Якщо там рiвняння знaйденi, то з (8) знаходяться ва Г = г(¿), I = 1,2,..., N, а потiм iз другого закону Ньютона визначаються ва реакцй в'язей.

Отже, зауважимо, що основна задача динамти зв'язаних систем може бути виршена. Але ми стикаемось iз проблемою встановлення конфiгурaцiйно! траекторй, тобто знову сто!ть питання про пошук диференцiaльних рiвнянь руху системи, Ытегрування яких i визначить рiвняння (9).

Необхщно вiдзнaчити, що при елементарному векторному пiдходi до мехaнiки метод Ньютона, за суттю, е ктотно геометричним, вiн базуеться на застосуванн зaконiв Ньютона, в якому абстрактна концеп^я декартових координат в описаны простору Евклщовою геометрiею е лише засобом, за допомогою якого виражаються динaмiчнi характеристики частинок.

Векторы методи надзвичайно корисн у задачах статики. Однак у динамц число задач, ям можуть бути розв'язaнi чисто векторними методами, порiвняно велике. При розв'язанн задач на дослiдження складних систем геометричний пщхщ векторно! мехaнiки Ньютона виявляеться обмеженим i змушений поступатися дорогою бiльш абстрактному aнaлiтичному пщходу. При такому aнaлiтичному обГрунтуваны механти поняття координат в нaйбiльш загальному сена займае вже центральне мкце i потребуе узагальнення.

Отже, слщ звернути увагу студентiв на те, що аналогична мехaнiкa е суто математичною наукою. Тут все проводиться шляхом обчислень математичних величин в абстрактна облaстi. Фiзичний свiт переводиться на мову математичних стввщношень, i цей переклад здiйснюеться за допомогою координат. Координати встановлюють взаемно однозначну вщповщысть мiж точками фiзичного простору, ям включають мaтерiaльнi частинки з !х динaмiчними характеристиками, i числами. Пкля встановлення ц^е! вiдповiдностi аналтична мехaнiкa оперуе з координатами як iз алгебра!чними величинами, забуваючи про !х фiзичний змiст. Кiнцевий результат подiбних математичних обчислень потiм переводиться назад у свгт фiзичних реалй

ВИСНОВКИ ТА ПЕРСПЕКТИВИ ПОДАЛЬШОГО ДОСЛ1ДЖЕННЯ

У стaттi наведено деякi методичн аспекти навчання теми «Узaгaльненi координати», що е складовою курсу «Класична механта», який вивчаеться на першому (бакалаврському) рiвнi вищо! освiти. Як показуе досвщ викладання класично! механти, розглянута методика дозволяе сформувати у студенев достатньо глибоке й стшке розумiння поняття «узaгaльненi координати» та дозволяе створити геометричний образ еволюцп мехаычно! системи у виглядi траекторй точки у конф^урацшному просторi. Подальшл дослiдження будуть спрямовaнi на методику навчання основ аналтично! мехaнiки у педагопчному унiверситетi.

1. Мороз I. О. Фундамеж^за^я навчальних KypciB у педагопчних унiверситетах. Науковий часопис Нацонального педагогiчного у^верситету iменi М. П. Драгоманова. Серiя 3 : Ф/'зика i математика у вищй i середой школ'), 2012. Вип. 10. С. 78-85.

2. Бондаренко А. А., ДубшЫ О. О., Переяславцев О. М. Теоретичнамехан'жа: niдручник:У2 ч. Ч.2:Динам'жа. Ки!в: «Знання», 2004. 590 с.

3. Булгаков В. М., Яременко В. В., Черниш О. М., Березовий М. Г. Теоретичнамехан'жа:п')дручник. Ки!в: ЦУЛ, 2017. 640 с.

4. 1ванов Б. О., Максюта М. В. Конспект лек^й i3 теоретично)' механ'жи: навчальний поабник. Ки!в: Видавничо-полiграфiчний центр «Ки!вський уыверситет», 2012. 207 с.

5. £жов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична мехаыка. Ки!в: Фiзичний факультет, 2007. 399 с.

6. Литвинов О. I., Михайлович Я. М., Бойко А. В., Березовий М. Г. Теоретичнамехан'жа Ч. II. Динам'жа. Основи анал')тично)' механ'жи. Ки!в: Агроосвпа 2013. 576 с.

References

1. Moroz, I. O. (2012) Fundamentalizacija navchaljnykh kursiv u pedaghoghichnykh universytetakh [Fundamentalization of training courses at pedagogical universities]. Naukovyj chasopys Nacionaljnogho pedaghoghichnogho universytetu imeni M.P. Draghomanova. Serija 3: Fizyka i matematyka u vyshhiji serednijshkoli. Vyp. 10. S. 78-85. [in Ukrainian].

(9)

Список використаних джерел

W3MK0-MATEMATMHHA OCBITA ($MO)

BunycK 2(20), 2019

2. Bondarenko, A. A., Dubinin, O. O., Perejaslavcev, O. M. (2004) Teoretychna mekhanika: Pidruchnyk: U 2 ch. Ch.2: Dynamika [Theoretical mechanics: Textbook: In 2 parts Part 2: Dynamics]. Kyjiv: Znannja, 590 s. [in Ukrainian].

3. Bulghakov, V. M., Jaremenko, V. V., Chernysh, O. M., Berezovyj, M. Gh. Teoretychna mekhanika:pidruchnyk [Theoretical mechanics: textbook]. Kyjiv: CUL, 640 s. [in Ukrainian].

4. Ivanov, B. O., Maksjuta, M. V. (2012) Konspekt lekcij iz teoretychnoji mekhaniky: navchaljnyj posibnyk [Synopsis of lectures on theoretical mechanics: tutorial]. Kyjiv: Vydavnycho-polighrafichnyj centr «Kyjivsjkyj universytet», 207 s. [in Ukrainian].

5. Jezhov, S. M., Makarecj, M. V., Romanenko, O. V. (2007) Klasychna mekhanika. Kyjiv: Fizychnyj fakuljtet, 399 s. [in Ukrainian].

6. Lytvynov O. I., Mykhajlovych Ja. M., Bojko A. V. & Berezovyj M. Gh. (2013) Teoretychna mekhanika Ch. II. Dynamika [Theoretical mechanics Ch. II. Dynamics. Fundamentals of Analytical Mechanics]. Osnovy analitychnoji mekhaniky / Kyjiv: Aghroosvita, 2013. 576 s. [in Ukrainian].

METHODOLOGICAL ASPECTS OF TEACHING «GENERALIZED COORDINATES» Olena Zavrazhna

Makarenko Sumy State Pedagogical University, Ukraine

Abstract.

Formulation of the problem. While preparing physics and mathematics specialists, and in particular physics teachers, it should be paid attention to the general principles, which in a compact form contain not only all known experimental and theoretical positions, but also allow predicting new discoveries. These principles include integral variational principles that were first formulated in mechanics. Preparing physics teachers', the principles are studied in the theoretical physics course in its first section - "Classical mechanics". Unlike the general course "Mechanics", where students only deepen their school knowledge, while studying classical mechanics, at an initial stage - when formulating the starting points, they encounter many generalized and abstract concepts, for example, generalized coordinates, which formation puts many methodological problems before the teachers that should be solved.

Materials and methods. The following methods were used for research: systematic scientific and methodological analysis of textbooks and manuals, articles on the research problem; observation of the educational process; synthesis, comparison and generalization of theoretical positions, discovered in the scientific and educational literature; generalization of own pedagogical experience.

Results. One of the possible substantiation variants of the main mechanics task of related systems is offered, which the authors use at the first lectures on classical mechanics.

Conclusion. The considered method allows students to form sufficiently deep and stable understanding of the notion of generalized coordinates and, allows you to create a geometric image of the evolution of the mechanical system in the form of a point trajectory in the configuration space. Further research will be aimed at highlighting the methodological aspects of teaching analytical mechanics at the pedagogical university.

Key words: future physics teachers, classical mechanics, cartesian coordinates, generalized coordinates, mechanical system.