CC BY
46
УДК 531.781.2(088.8)
МЕТОДИЧЕСКАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ОПТОЭЛЕКТРОННОГО ДИСКРЕТНО -ФАЗОВОГО МЕТОДА ПРИ ИЗМЕРЕНИИ ДЕФОРМАЦИЙ ЛОПАТОК ТУРБОАГРЕГАТОВ
© 2004 А. И. Данилин Самарский государственный аэрокосмический университет
Приводится описание одного из вариантов определения методической погрешности оптоэлектронного дискретно-фазового метода определения деформаций лопаток турбоагрегатов с помощью регрессионных математических моделей, построенных на основе теории планирования факторного эксперимента. Рассматривается процесс получения интерполяционных полиномов для описания методической погрешности. Приведены графики для методической погрешности в зависимости от вариаций влияющих факторов и показано, что существуют оптимальные параметры измерительной системы, позволяющие минимизировать методическую погрешность определения деформаций лопаток турбоагрегатов.
При определении деформаций лопаток турбоагрегатов с помощью оптоэлектронного дискретно-фазового метода (ОЭДФМ) измеряется временной интервал между информационным импульсом оптоэлектронного первичного преобразователя (ОЭП) и опорным импульсом вихретокового первичного преобразователя (ВТП) [1]. Импульсы в первом приближении имеют колоколообразную форму Для выполнения корректных измерений необходимо определить характерные точки импульсов, которые будут являться от-счетными при нахождении временного интервала. Из сущности ОЭДФМ следует, что такими характерными точками должны быть временные отметки, соответствующие амплитудным значениям импульсов. Нахождение амплитудных значений импульсных сигналов аналоговыми способами, например с помощью схем пикового детектирования, не позволяет определять момент времени наступления максимального значения сигнала. При использовании цифровых методов точность нахождения амплитудно-временных значений информационных импульсов в значительной мере определяется быстродействием и разрядностью используемых аналогоцифровых преобразователей, устройствами и программным обеспечением для последующего анализа и сравнения амплитудных отсчетов, выбора среди них максимального значения и привязки его к текущему времени. Поэтому аппаратная реализация такого
функционального узла оказывается громоздкой и дорогостоящей.
Компромиссный вариант основан на аналоговом компарировании по одному уровню переднего и заднего фронтов колоколообразного импульса [2] и последующего использования в качестве характерной точки середины полученного прямоугольного импульса. Временные же интервалы между серединами прямоугольных импульсов легко определяются классическими цифровыми способами. Такой подход оказывается значительно проще и эффективнее с точки зрения компактности аппаратной реализации измерительного блока. Поэтому для построения оптоэлектронных устройств, реализующих дискретно-фазовый метод амплитудных отсчетов, выбора среди них максимального значения и привязки его к текущему времени. Поэтому аппаратная реализация такого функционального узла оказывается громоздкой и дорогостоящей.
Компромиссный вариант основан на аналоговом компарировании по одному уровню переднего и заднего фронтов колоколообразного импульса [2] и последующего использования в качестве характерной точки середины полученного прямоугольного импульса. Временные же интервалы между серединами прямоугольных импульсов легко определяются классическими цифровыми способами. Такой подход оказывается значительно проще и эффективнее с точки зрения
компактности аппаратной реализации измерительного блока. Поэтому для построения оптоэлектронных устройств, реализующих дискретно-фазовый метод определения деформаций лопаток, использовался именно такой вариант, и дальнейшее рассмотрение погрешностей метода ведется с точки зрения точности определения временных интервалов между серединами импульсов ОЭП и ВТП. Источником же методической погрешности является асимметрия колоколообразных импульсов, обусловленная физическими процессами взаимодействия объекта контро -ля, т. е. торца лопатки, и чувствительных элементов в первичных преобразователях.
Определение середины S импульса ОЭП - процесс неоднозначный, зависящий от комбинационного соотношения таких факторов, как установочный зазор 5 , уровень ком -парирования Uk и диапазон изменения угловых положений а торца лопатки. Поэтому при минимизации методической погрешности требуется определить оптимальные значения установочного зазора и уровня ком-парирования в требуемом диапазоне угловых положений торцов лопаток. Для этого необходимо найти аналитическое задание линии, которая проходит через середины отрезков, соединяющих равные значения на переднем и заднем фронтах импульса. Пусть это будет линия середины импульса (ЛСИ):
Soэп = Ф(5/Uк;а). При нахождении аналитического выражения ЛСИ в качестве исходных будут выступать данные, полученные как экспериментально, так и в результате теоретических расчетов. Поэтому целесообразно воспользоваться методами построения интерполяционных моделей, разработанными в теории планирования факторного эксперимента, с последующим регрессионным анализом полученных зависимостей [3, 4, 5].
Методика нахождения интерполяционного полинома [3] применительно к решению поставленной задачи выглядит следующим образом. Необходимо получить некоторое представление о функции отклика
SОЭП = ф(х1 ,х2 >—>хп ), где Х1 , x2 >•••>хп -независимые переменные факторы, варьиру-
емые при проведении эксперимента. Для этого искомую функцию отклика аппроксимируют полиномом
РОЭП- Ь0
_ Ь0 + ЕЬі хі + ЕЬчх(хі +Е Ь((х(
(Х(2 +.
где 5роэп - полиномиальное выражение
ЛСИ; Ь - соответствующие коэффициенты регрессионного полинома.
Факторный эксперимент осуществляется с помощью матрицы планирования. В результате кодирования факторов она приобретает стандартную форму При кодировании факторов осуществляется линейное преобразование факторного пространства с переносом начала координат в центр эксперимента и выбором масштаба по осям в единицах варьирования факторов. Кодирование факторов основано на отношении
„ _ сі - с0і
8
где -I - кодированное значение фактора;
01 - натуральное значение фактора; сдг - натуральное значение фактора на нулевом уровне; в - натуральное значение интервала варьирования.
После построения матрицы планирования ее преобразуют в рабочую матрицу, заменяя кодированные значения переменных соответствующими именованными величинами. Затем с помощью рабочей матрицы ведется эксперимент. После получения экспериментальных данных вновь возвращаются к матрице планирования, преобразуя ее в расчетную матрицу Если модель первого порядка оказалась неадекватной, то переходят к модели второго порядка, расчет коэф -фициентов регрессии которой осуществляется по формулам [5]
Ь А
Ь0 _— 0 N
2Х- (+2)Е 5, - 2ЛЄ ЕЕ х(2А
с с2
Ь( _N Е х(,5, ; Ь _ ^Е ХгиХ,и5и ;
1
1
и
h = -{ с2[+2)Я-n]xiS„ +
' и
+
с2 M)EZ x.s„ - 2ЯС ZSu };
A =
Я =
2A[(n + 2)Я- n]
nN
( + 2)(- - n0),
; C=■
N
N ’
,2
z x:
и =1
D
{b 0 }
2 A Я 2 (n + 2 )D ) }
N
D 2 = C D {S} • D {2 }
D {ьг }= - ’ {by' }
D = A [(n+ 1)Я-(п-1)Cг D|S}]
|b“} n ’
N m
ZZS, - s„, )
где d{s} = г=1 1 .---г--
|S} N (m -l)
°ад = Gr - Ge ; frn = N -
Г = G АД fE р
(n + 22(n +1) -(no -1);
где п - число варьируемых факторов; пд -число нулевых точек; N - общее число опытов; и - номер опыта; Su - значение ЛСИ в
и -ом опыте; X - константа.
Дисперсии адекватности коэффициентов регрессии определяются с помощью следующих выражений [6]:
дисперсия, ха-
рактеризующая ошибку опытов; S iu - значения ЛСИ в параллельных опытах; Scu - среднее значение ЛСИ по параллельным опытам; m - число параллельных опытов.
При проверке адекватности модели второго порядка используются [3] следующие формулы:
Ge = Z (s 0u - SO )2; Gr =z(. - S )
U =1
О Е /АД
где Ое - сумма квадратов, связанная с дисперсией, характеризующей ошибку опыта; Ок - остаточная сумма квадратов; О ад -сумма квадратов, связанная с дисперсией адекватности модели; /е , /ад - соответствующие числа степеней свободы; - расчет-
ное значение критерия Фишера; Sou - значение ЛСИ в нулевой точке в и -ом опыте; Sд -среднее значение ЛСИ по нулевым точкам.
После сравнения расчетного значения критерия Фишера с табличным, при 5 %-ном уровне значимости, делается вывод об адекватности представления функции отклика уравнением регрессии второй степени. Далее проверяется значимость коэффициентов регрессии путем построения доверительных
интервалов: ± АЬ = ±^, где ^ - табличное
значение критерия Стьюдента с 95 %-ой достоверностью при соответствующем числе
степеней свободы; - дисперсии адекват-
ности соответствующих коэффициентов регрессии.
При нахождении аналитического задания ЛСИ ОЭП линейная модель функции отклика оказалась неадекватной. Поэтому проводилось центральное композиционное планирование второго порядка. Функция отклика аппроксимировалась полиномом второй степени, который имеет вид
SРОЭП = Ь0 + Ь1Х1 + Ь2 х2 + Ь3 х3 + Ь12 Х1Х2 +
+ Ь13Х1Х3 + Ь23х2х3 + Ь11х12 + Ь22х2 + Ь33х3 .
После расчета коэффициентов регрессии получено уравнение
и
1
2
8роэп = 10 [ 677 + 251 Хі + 396х2 + 0,32х3 +
+144 х1х2 - 8,5 х1х3 + 5,25 х2х3 -16,9 х12 +
+ 2,54х22-13,4х32 ].
Проверка адекватности модели второго порядка по вышеприведенным формулам показала, что
0Е = 1,82-10~2; Ок = 6,6-10
2
0Лд = 4,78-10-2; /Ад = 5; Гр = 2,63.
В связи с тем, что табличное значение критерия Фишера Fo,05 = 5,05 > Ер , гипотезу об адекватности уравнения с 95 %-ой вероятностью можно считать верной. Результаты определения значимости коэффициентов найденного уравнения регрессии приведены в таблице 1.
Коэффициент регрессии можно считать значимым, если его абсолютное значение больше величины доверительного интервала [4]. Таким образом, в полученном уравнении значимыми с 95 %-ой вероятностью являются все коэффициенты, кроме
Ьз ,^23 ,^22 (для учета эффекта, обусловленного произведением факторов х^3, коэффи -
циент Ь13 = 8,5 можно считать значимым в силу его близкого значения к величине соответствующего доверительного интервала
_3
АЬгу = ± 10, 31 -10 ). Поэтому искомое урав-
нение преобразуется к виду
^роэп = 10 [ 677 + 251Х1 + 396 Х2 +144 х^2 —
— 8,5 Х1Х3 —16,9 Х1 —13,4 Х3 ]. Таблица 1
4} 8,357-10-5 і=3,182 для /=3
^0} 1,39 -10-5 > О ± 11,86 -10-3
4,} 6,12 -10-6 > ьі ±7,87 -10-3
4і} 1,05 -10-5 >% ± 10,31-10-3
°іії} 5, 81-10-6 >ьіі ± 7, 67 -10-3
Это уравнение с кодированными факторами неудобно для интерпретации полученных результатов и практического использования. Преобразуем его к именованным величинам с помощью формул перехода
Х1 =-
їп5 -1 0.4
а-15
Х2 =
9
х3 =
К1 - 0.5 0.2
где К\ - нормированный уровень компари-рования импульса ОЭП,
$РОЭП = 10 3 [ - 253 + 292Ы5 + 4а + 40аЫ5 -
- 106Кхїп5 + 441К1 -106 їп2д-335К12 ].
Методическая приведенная погрешность [6] определения информационного параметра ОЭП при условии, что положение опорной метки соответствует нулевому зна-
А5
чению: о = 0, представляется в виде V =----,
5ш
где
АО = О _ 5*2 = ^(8;а; Кп )_ф(62;а; КХ2);
Ош - значение информационного параметра,
соответствующее конечной точке диапазона измерений.
Известно, что максимально допустимые уровни вибраций корпуса двигателя НК-12СТ вызывают нестабильность устано -вочных зазоров порядка ± 0,2 мм. Это приводит к изменению амплитуды сигналов первичных преобразователей на ± (10...15) % и, как следствие, к изменению на такую же величину опорных уровней компарирования. Поэтому при расчетах методической приведенной погрешности ОЭДФМ принято:
А5 = 81 _52 =± 0,2 мм - нестабильность установочного зазора; 8=(1...5,5) мм - диапазон возможных значений установочного зазора; АКу = Кц _ К12 =± 0,1 - нестабильность нормированного уровня компарирования; К\ = 0,1...0,8 - возможные значения нормированного уровня компарирования;
Аа = 0...30° - диапазон изменений угловых положений торца лопатки. Тогда выражение
для методическом приведеннои погрешности запишется в виде
Ф(; а; Кп )-ф(5 2; а; Кп) 100 ф|'8г_52;30. ;К11_К12|
Результаты расчетов для значении а = 5°, 15°, 30° приведены на рис. 1.
Для определения общей методической погрешности ОЭДФМ необходимо найти вторую составляющую погрешности, обусловленную алгоритмом обработки аналоговых импульсов ВТП. С этой целью экспериментально были получены трассовые характеристики выходных сигналов преобразователя. Эксперименты проводились с лопаткой, длина которой Ь = 50 мм, для значений устано -вочных зазоров 5, равных (0,5; 2,0; 4,0; 6,0) мм, при угловых положениях торца лопатки а, равных 10°, 20°, 30°, и радиусе обмотки ВТП
Квтп = 4 мм. Значения угловых координат у
отсчитывались с помощью нониусного гониометра, выходные напряжения ВТП измерялись цифровым вольтметром. Для примера на рис. 2 приведены нормированные трассовые характеристики импульсов ВТП:
и / итса = / (у) при нескольких фиксированных значениях 5 и а =20°. Нулевое значение текущей абсциссы соответствует местоположению оси ВТП.
На основании экспериментальных трассовых характеристик ВТП рассчитаны середины импульсов с учетом нормировки размерных соотношений лопатки и ВТП:
$ = Уср Ь / ВБТП. По результатам расчетов
построены ЛСИ: $бтп = I (К2 ) для различных уровней компарирования К 2 при фиксированных значениях 5 и а. В качестве примера для а=10° на рис. 3 приведены графики ЛСИ ВТП.
1 1,5 2 2.5 3 3,5 4 4,5
¥[%]' ' \ ' \ А , а = 5° 1 *м = = 0,5
\ \ А" а = 15° а = о о б
' V V \\ «ч Ч7 ^ 1 м
ч \\ \ 1 V' 'Л ' \\ ■ 1 ^ — —" — 5 [мм]
1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
Рис. 1. Методическая приведенная погрешность определения информационного параметра ОЭП:
а - К} =0,2; б - К} =0,5; в - К:=0,7
10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Рис. 2. Нормированные трассовые характеристики импульсов ВТП для
фиксированных уст ановочных зазоров и а = 20°
Известно [8], что передаточная характеристика ВТП определяется многими факторами, которые группируются в три основные группы: функциональные, конструктив -но-технологические и конструктивные.
К функциональным факторам относятся: рабочая частота возбуждения, электропро -водность, магнитная проницаемость, геометрические параметры контролируемого металлоизделия и некоторые другие факторы. В группу конструктивно-технологических параметров рационально объединить плотность и равномерность намотки катушек ВТП, способ намотки, число витков, материал провода обмоток и его характеристики. Конструктивные параметры включают в себя диаметры обмоток ВТП, их ширину, длину и расстояние между ними.
Из перечисленных параметров наибольшее влияние на передаточную характеристику ВТП оказывают конструктивные
8В1П
6 > = 6мм 1 /
,5 = о 5мм Л
3 —1мм
9:
' 3=3
к2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1.0
Рис. 3. Линии середин импульсов ВТП для а = 10°
[7, 8]. Таким образом, меняя конструктивные параметры, можно сформировать необходимую передаточную характеристику ВТП [7] с минимальными для конкретных условий абсолютными погрешностями отклонения середин импульсов. Для этого составляется матрица планирования эксперимента [3, 5], в которой указываются факторы и диапазон их изменения. Поиск оптимальных конструктивных соотношений осуществляется на ЭВМ методом ускоренного симплекс-планирования, и результаты экспериментальных работ в этом направлении показывают на возможность уменьшения указанных погрешностей практически до нулевых значений [7].
Информационный параметр, как было определено ранее, заключен между серединами импульсов генерируемых ОЭП и ВТП во время прохождения возле них торца лопатки. Поэтому можно записать
Бинф (5;а; К,; К2 ) = | БОЭП (;а; к)
+ | ^ВТП (;а; К2 ) [
Для нахождения аналитического выражения зависимости 5инф от четырех независимых переменных воспользуемся методами теории планирования факторного эксперимента. В этом случае искомый аппроксимирующий квадратичный полином представляется в виде
^ = Ъ0 + Ъ1Х1 + Ъ2 Х2 + Ь3 Х3 + Ъ4 Х4 + Ъ12 Х1Х2 +
+ Ъ13 х1х3 + Ъ14 х1х4 + Ъ23 х2 х3 + Ъ24 х2 х4 +
+ Ъ34х3х4 + Ъ11 х,2 + Ъ22х22 + Ъ33х32 + Ъ44х42 .
Обозначения переменных, уровни и интервалы варьирования факторов сведены в таблицу 2. Рассчитанные коэффициенты аппроксимирующего полинома сведены в таблицу 3.
Проверка адекватности представления искомой зависимости уравнением второй степени показала, что
0Е = 5,92-10-4; Ок = 3,717-10"3;
0Ад = 3,125-10-3; /е = 6; /ад =10;
Гр = 3,167.
Таблица 2
Переменные х1 х2 х3 х4
1п 5 а *1 К 2
Уровни варьирования 2 1,8 30 0,8 0,8
1 1,35 22,5 0,65 0,65
0 0,9 15 0,5 0,5
-1 0.45 7,5 0,35 0,35
-2 0 0 0,2 0,2
интервал е 0,45 7,5 0,15 0,15
Таблица 3
Ь1 273,4^10-3 Ьц 56,36 10-3 Ь12 139,910-3 3 Ь -2,31 •Ю-3
Ь2 338,7 10-3 Ь22 -1,389 10-3 Ь13 0,44^10-3 3 Ь 0,44^10-3
Ьз -4,88 •Ю-3 2 2 Ь -2,64 •Ю-3 Ь14 1,19^ 10-3 4 2 Ь -0,688^ 10-3
Ь4 1,63 •ю-3 Ь 1,36^ 10-3 Ьо 658,7^ 10-3
А = 0,49804 С = 1,29167 X = 0,861
Таблица 4
4 } 59,2-10-5 X = 2,447 для / = 6
П{ьо} 8,461 -10-5 АЬо ±2,25 -10-3
2, 467 -10-5 АЬ, ±12,2-10-3
вы 3,7-10-5 Аьу ±14,9-10-3
П{Ьп} 2,07-10-5 АЬц ± 11,1 -10 -3
В связи с тем, что табличное значение
критерия Фишера Fo, 05 = 4,06 > Fp, гипотезу об адекватности полученной математической модели с 95 %-ной вероятностью можно считать верной. Результаты расчетов дисперсии адекватности коэффициентов, приведенных в таблице 3, сведены в таблицу 4.
Согласно [5] значимыми с 95 %-ой вероятностью являются коэффициенты
Ьо ; Ъ; Ь2 ; Ь^ ; Ьц. Незначимость коэффициентов Ьз ;Ь4 означает, что эффекты, определяемые параметрами хз ; Х4, и связанные с ними эффекты взаимодействия, не оказывают существенного влияния на получение информационного параметра по сравнению с остальными в диапазоне проведенных экспе-
риментов. Поэтому аппроксимирующий полином можно записать в виде
8и = 10-3[ 659 + 273х1 + 339х2 +
+140 х1х2 + 56,4 ху2 ] .
Формулы перехода к значимым натуральным коэффициентам имеют вид
1п5 - 0,9 а-15
х, =---. х2 =------------
1 0,45 ; 2 7,5 .
После приведения к натуральным величинам полученное уравнение представляется следующим образом:
Зри = 10-3[ 219,67-515,381п5 + 7,85а +
+ 41,46а 1п5 + 278,321п5 ].
Тогда выражение для методической приведенной погрешности определения информационного временного интервала можно представить в следующем виде:
ф(; а)-ф(5 2; а)
у = -
f 61 -б^ с
ф[-^- >'30
100.
Проведенный количественный анализ методической приведенной погрешности для системы ОЭП-ВТП в диапазоне а : (5...30)° и 5 : (0...5) мм, представленный в виде графиков на рис. 4, показывает, что минимальное значение погрешности (около 1 %) достигается при 5 = 2,25 мм.
Таким образом, рассмотренный подход к определению методической погрешности ОЭДФМ позволяет на основе экспериментально-расчетных параметров исследуемой системы получать аналитические выражения необходимых зависимостей, оценивать вклад и значимость каждого параметра в формирование методической точности измерительной системы. Полученные результаты позволяют
Рис. 4. Методическая приведенная погрешность определения информационного параметра в системе ОЭП-ВТП
сделать вывод о том, что основными факторами, влияющими на точность формирования информационного параметра в системе ОЭП-ВТП, являются нестабильность установочно -
го зазора 8 и угловое положение а торца лопатки.
Список литературы
1. А. с. 1450531 СССР. Способ определения деформаций лопаток вращающегося колеса турбомашины и устройство для его осуществления / В. А. Медников, А. И. Данилин (СССР). Опубл. Бюл. № 33, 1998 г.
2. А. с. 1332258 СССР. Компаратор / В. А.Медников, А. И.Данилин, В. А.Антро-пов (СССР). Опубл. Бюл. № 31, 1987 г.
3. Адлер Ю. П., Маркова Е. В., Гранов -ский Ю. В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М.: Наука, 1976. - 279 с.
4. Налимов В. В., Чернова Н. А. Статистические методы планирования экстремальных экспериментов. М.: Наука, 1975. - 119 с.
5. Тихомиров В. Б. Математические методы планирования эксперимента при изучении нетканых материалов. М.: Легкая индустрия, 1968. - 155 с.
6. Рабинович С. Г. Погрешности измерений. Л.: Энергия, 1978. - 262 с.
7. Данилин А. И., Макарычев Ю. И., Медников В. А. Выбор и оценка влияния факторов, определяющих передаточную характеристику электромагнитных первичных преобразователей: Тез. докл. VII областной НТК. Куйбышев, 1985. С. 109.
8. Соболев B. С, Шкарлет Ю. М. Накладные и экранные датчики. М.: Наука, 1967.
- 139 с.
METODICAL ERROR OF THE OPTICAL-ELECTRONIC DISCRETE-PHASE METHOD OF TURBOMACHINE BLADES DEFORMATION MEASUREMENT
© 2004 A. I. Danilin
Samara State Aerospace University
The article is describes one of the variants to determine methodical error of the optical-electronic discrete-phase method of turbomachine blade deformation measurement with the aid of regressive mathematical models based on the factor experiment planning theory. The process of obtaining interpolation polynomials for the description of methodical error is considered. Graphs of methodical error as a function of variations of the factors that influence it are given. Optimal parameters of the measuring system which make is possible to minimize the methodical error in measuring turbomachine blade deformations are shown to exist.
