CC BY
21
1/2П11 ВЕСТНИК
j/2012_мгсу
МЕТОД ВЫВОДА ОПТИМАЛЬНОИ ФОРМЫ СЕЧЕНИЯ ПОЛОГИХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ПЛИТ-ОБОЛОЧЕК
METHOD OF DERIVING THE OPTIMAL FORM OF THE CROSS
SECTION
OF SHALLOW FLAT CONCRETE SLABS SHELLS
A.B. Боровских
A.V. Borovskikh
МИКХиС
Представлен метод выбора оптимальной формы сечения пологих железобетонных оболочек.
The author offers a method of select the optimal form of the cross section of shallow reinforced concrete shells.
Оптимальное проектирование строительных (особенно железобетонных) конструкций имеет большое значение, позволяя с использованием определенных критериев достигать существенной экономии по целому ряду показателей [1]. К ним, в первую очередь, относятся расход арматуры и бетона, трудоемкость изготовления, транспортировки и монтажа конструкции. Следует учитывать также и эксплуатационные расходы.
В общем случае задача оптимального проектирования железобетонной панели междуэтажных перекрытий многоступенчатой (как минимум - трехступенчатой).
Первая ступень - это выбор класса перекрытия (сплошное плоское, плоское многопустотное, ребристое, пространственно работающее и т.д.). При решении указанной задачи могут быть применены самые разнообразные приемы. При этом технико-экономическое сравнение вариантов должно охватывать весь комплекс факторов, влияющих на стоимость конструкции.
При технико-экономическом сравнении вариантов, отличающихся классом перекрытия, внутри последнего предварительно должна быть осуществлена оптимизация геометрических параметров панели, т.е. внутри каждого класса перекрытия должна быть решена оптимизационная задача второй ступени, связанная с выбором оптимальной формы сечения конструкции.
При решении задачи второй ступени такие факторы, как стоимость изготовления, транспортировки, монтажа и эксплуатации конструкции уже не имеют решающего значения для выбора оптимального варианта, оказываясь в ряде случаев либо «прочими равными условиями», или оказывая незначительное влияние на оценку сравнительной стоимости панели. Поэтому для упрощения задачи в качестве критерия оптимальности наиболее целесообразно принимать стоимость материалов (бетона и стали).
В свою очередь, решение задачи второй ступени предполагает постановку внутри нее еще одной задачи оптимизации уже третьей ступени, а именно - оптимального армирования и т.д.
Следует также иметь в виду, что решение любой задачи оптимального проектирования нельзя рассматривать вне места и времени. На определенной стадии развития строительства во главу угла могут быть поставлены или экономия бетона (цемента), или стали, или трудозатрат (нехватка рабочей силы); могут быть различные условия строительства в той или иной административной области и т.д.
Относительно решения оптимизационной задачи первой ступени представляется, что процесс выбора оптимальной конструкции не может быть проведен на основе какой-либо строгой теоремы, а является сугубо эвристическим. Ниже даются рекомендации по решению задачи оптимизации второй ступени, т.е. поиску оптимальной формы конструкции.
Внутри каждого класса оболочек при определенной геометрии контура и стреле подъема содержится бесчисленное множество поверхностей, в спектре которых находится одна оптимальная, с применением которой достигается наиболее благоприятное напряженное состояние оболочки с минимальной стоимостью материалов на ее осуществление. Лучшим сооружением является то, надежность которого обеспечивается главным образом за счет его формы, а не за счет прочности его материалов. Как писал Эдуардо Торроха, «последнее достигается просто, тогда как первое, наоборот, с большим трудом». Между тем, прочность оболочки по форме имеет существенное значение в оценке эффективности того или иного пространственного перекрытия.
С целью решения оптимизации рассматриваемой ниже вспарушенной плиты, уравнение ее поверхности задается в обобщенном виде с варьируемым параметром «с» [2], конкретное значение которого далее определяется из условия его удовлетворения критерию оптимальности, имеющего следующий вид:
где а и Ь (а < Ь) - размеры плиты-оболочки в плане; /- стрела подъема; с - геометрический параметр, варьируемый в пределах 0 < с < 0,5 [2] для оболочки двоякой кривизны и 0 < с < 1,0 для цилиндрической оболочки.
Ниже, в качестве критерия оптимальности при поиске оптимальных геометрических параметров плиты-оболочки принимается стоимость материалов Д, слагаемая из стоимости бетона Дв и стали Дс:
Стоимость бетона Д6 включает стоимость бетона контурных элементов д1 и собственно скорлупы оболочки :
где под а и Ь в данном случае подразумеваются размеры панели в свету; Ц6 - стоимость бетона.
Для вспарушенных и шатровых плит-оболочек:
(1)
Д = Дб + Дс.
(2)
(3)
1/2П11 ВЕСТНИК _1/2011 МГСУ
а Ь
Дб = Цб № - 2z(x, у)] <Ыу, (4)
0 0
в случаях цилиндрической и призматической оболочек:
и
Дб = -2z{x)]dx, (5)
0
Дб = Дб + Дб. (6)
Стоимость арматуры Дс включает стоимость рабочей арматуры контурных элементов д1 рабочей арматуры в нижней зоне плиты Д1С1, верхней Д1С11, а также конструктивной арматуры и закладных деталей Д^. Последняя стоимость при вариации параметров плиты оболочки может меняться весьма незначительно, поэтому в расчетах условно можно принять:
Дс = д1 + Д1/ + дf, (7)
что не внесет практически никаких изменений в сравнительную оценку экономической эффективности того или иного варианта. Следует также учесть, что Д^ составляет в Дс незначительную долю.
Геометрию вспарушенных и цилиндрических плит-оболочек определяют пять подлежащих при оптимизации варьированию параметров: к0, к,, с, Ьр, кр. При оптимизации многогранной (призматической, шатровой) плиты-оболочки состав варьируемых параметров увеличивается, так как взамен параметра «с» в расчет вводятся координаты точек перелома срединной поверхности панели:
к0 - толщина плиты-оболочки в центре;
к - на контуре;
с - параметр, определяющий форму срединной поверхности;
Ьр - ширина контурного ребра;
кр - его высота.
Решается задача на основе минимизации целевой функции, в данном случае Д. При этом используются рекомендации [3].
На варьируемые параметры накладываются соответствующие ограничения. По конструктивным соображениям ограничения на периметр к0 имеют вид:
3,0 (см) < к0 < кь (8)
В ряде случаев из условия соблюдения необходимой величины защитного слоя и размещения арматуры нижний предел может быть повышен. Верхний предел соответствует вырождению плиты-оболочки в плоскую плиту.
Ограничения на параметр к,:
ко < к\ < кр . (9)
В (9) нижнее ограничение соответствует вырождению плиты-оболочки в плоскую плиту. Верхнее ограничение очевидно из конструктивных соображений. Ограничения на параметр к0 имеют вид:
ЬМ.К < Ьр < Ъож . (10)
В (10) ЬМ К - минимально возможная по конструктивным соображениям, вызванным условием размещения арматуры (плоский или пространственный каркас) ширина контурного ребра; Ьоп - максимально возможная ширина опорной площадки, зависящая от условий опирания.
Ограничения на параметр Нр :
¿1 < Ьр < кт. (11)
Здесь нижний предел очевиден, а верхний предел соответствует строительной высоте известного типового решения, заменяемого плитой-оболочкой. Если плита-оболочка конкурирует с многопустотным настилом, то к1 = 0,22 м. В ряде случаев, особенно в промышленном строительстве, если плита-оболочка выступает в качестве альтернативного решения не многопустотных настилов, а других видов перекрытий типа ребристых, указанная величина верхнего предела может быть больше. При замене плитами-оболочками панелей сплошного сечения размером на комнату = 0,16 ми т.д.
Ограничения на параметр «с» имеют записанный выше вид:
0 < с < 0,5 (в случае вспарушенной плиты оболочки); (12)
0 < с < 1,0 (в случае цилиндрической плиты оболочки). (13)
При решении конкретных задач число варьируемых параметров может быть и меньше пяти, т.к. некоторые из них могут быть заранее обусловлены. Если варьируется только один параметр, то, естественно, задача решается простым перебором вариантов.
Шаг вариации переменных параметров должен быть по возможности малым и вместе с тем соответствовать как конструктивным требованиям, так и условиям расчета. В последнем случае имеется в виду, что расчет приближенный и изменения в НДС конструкции, вызванные малой вариацией переменных параметров, могут оказаться того же порядка, что и погрешность расчета.
Из совокупности указанных соображений рекомендуется принимать в качестве шага вариации параметров Ьр и кр величину 0,02 м, в качестве шага вариации параметров к0 и к1 - величину 0,005 м, а в качестве шага вариации параметра «с» срединной поверхности плиты-оболочки - величину 0,05.
Первым шагом при решении задачи оптимизации геометрических параметров плиты-оболочки методом крутого восхождения [3] теории планирования экстремального эксперимента является выбор базового (нулевого) варианта. Последний должен соответствовать известным аналогам, т.е. накопленному опыту проектирования.
Каждый из факторов (та или иная геометрическая характеристика плиты-оболочки) с целью построения математической модели задачи варьируется на двух уровнях в соответствии с принятой матрицей планирования. В последней для каждого
1/2011
ВЕСТНИК _мгсу
Таблица 1
Матрица планирования полного двухфакторного эксперимента
Номер варианта (и) Х0
1 1 -1 -1
2 1 -1 +1
3 1 + 1 -1
4 1 + 1 +1
из вариантов (опытов) записываются кодированные значения переменных параметров: +1 означает, что к геометрической характеристике основного (базового) варианта в данном опытном расчете необходимо прибавить шаг вариации, -1 - вычесть.
Теория планирования экстремального эксперимента позволяет при решении задачи значительно сократить число всех подлежащих расчету вариантов использованием так называемых дробных реплик (сокращенных матриц планирования).
В случае двухфакторной оптимизации число вариантов незначительно. В этом случае рекомендуется использовать матрицу планирования полного двухфакторного эксперимента (табл. 1). В табл. 1 и последующих таблицах х0 - фиктивный вектор-столбец, вводимый для удобства записи коэффициентов функции отклика (математической модели).
В случае необходимости вариации трех параметров рекомендуется применять полуреплику матрицы планирования полного трехфакторного эксперимента (табл. 2).
В случае четырех варьируемых параметров также рекомендуется использовать полуреплику матрицы планирования теперь уже полного четы-рехфакторного эксперимента (табл. 3) [4].
При пяти варьируемых параметрах рекомендуется четверть-реплика полного пятифакторного эксперимента (табл. 4) и т.д.
Таблица 2
Полуреплика матрицы планирования
полного трехфакторного _эксперимента
Номер варианта (и) X) X! X,
1 1 -1 -1
2 1 +1 -1
3 1 -1 -1
4 1 +1 +1
Таблица 3
Полуреплика матрицы планирования полного _четырехфакторного эксперимента
Номер варианта (и)
1
2
Х0
X
X,
X
Х4
При расчете каждого варианта под-считывается соответствующая ему стоимость материалов Ди, после чего строится функция отклика (математическая модель) в виде полинома:
Ди = Ьо ЬХ ,
(14)
!=1
здесь хг - кодированные значения переменных; п - число варьируемых параметров.
п
х1и Д и
и-1
г N
-(г = 0,1, 2,..., п\
I х
и=1
(15)
где N - число вариантов, соответствующее принятой матрице планирования.
+
+
3
+
+
4
+
+
5
+
+
6
+
+
7
+
+
8
+
+
+
+
ВЕСТНИК мгсу
1/2011
Проверка адекватности модели (14) в условиях отсутствия дисперсии опыта не представляется возможной. Ее в данном случае можно заменить проверкой «отклонений в процентах», вычисляемых по формуле:
Ди - Ди
Ди
■100%.
(16)
Таблица 4
Если отклонения незначительны, то принятая модель удовлетворительна.
После получения функции отклика с целью минимизации целевой функции осуществляется движение по антиградиенту. Направление движения определяется знаком при Ь; в (14). Если он положительный, то соответствующий параметр надо уменьшать, если отрицательный - то увеличивать. Движение по антиградиенту прекращается, если величина целевой функции при расчете какого-либо из последующих вариантов окажется больше, чем в предыдущем. Тогда последний считается окончательным.
Далее этот окончательный вариант можно принять за нулевой и повторить весь ход решения. Однако, как показала практика, в этом редко бывает необходимость. Очень часто в окончательном варианте геометрические параметры принимают предельные значения.
Приведенный инженерный метод решения оптимизационной задачи, связанный с построением функции отклика, позволяет легко определить, какое из предельных значений следует придать тому или иному параметру - верхнее или нижнее. Такой путь облегчает инженерное осмысливание особенностей работы конструкции.
Если при проведении основной серии опытов, так и при движении оп антиградиенту, помимо указанных выше внешних ограничений должны удовлетворяться и соответствующие внутренние ограничения, которые необходимо контролировать.
Библиографический список
Четверть-реплика матрицы планирования полного пятифакторного эксперимента
Номер варианта (и) ^0 х2 Х3 А4 ^5
1 1
2 1 +1 +1 + 1
3 1 +1 + 1 + 1
4 1 +1 +1
5 1 + 1 + 1
6 1 + 1 +1 + 1
7 1 + 1 +1 + 1
8 1 + 1 +1 +1 + 1
[1] Боровских А.В. Исследование формообразования плит-оболочек. Тезисы докладов научной сессии МОО и научного совета РААСН. «Пространственные конструкции зданий и сооружений». М.: 2008, стр. 13-15.
[2] Боровских А.В. Исследование напряженно-деформированного состояния железобетонных плит-оболочек. «Строительная механика инженерных конструкций и сооружений». Журнал №4. М.: 2008, стр. 82-86.
[3] Краковский М.Б. Об оптимальном проектировании конструкций на основе метода крутого восхождения. Строительная механика и расчет сооружений. Журнал №1, М.: 1973.
[4] Боровских А.В. Расчеты железобетонных конструкций по предельным состояниям и предельному равновесию. М.: Издательство АСВ, 2002, с. 229-235.
Bibliography
[1] Borovskikh A.V. Investigation of Forming Plate-Shells. Abstracts of scientific session of the IPO and the scientific council of RAASN. «The spatial structure of buildings and Facilities». M.: 2008, pp. 13-15.
1/2П11 ВЕСТНИК
_угогт_мгсу
[2] Borovskikh A.V. Investigation of the Stress-Strain State of Reinforced Concrete Slabs, Shells. «Structural mechanics of engineering structures and buildings». Issue №4. M.: 2008, pp. 82-86.
[3] Krakovskii M.B. On the Optimal Design of Structures Based on the Method of Steepest Ascent. Structural mechanics and analysis of structures. Issue №1, M.: 1973.
[4] Borovskih A.V. The Calculations of Reinforced Concrete Structures in Limit State and Limit Equilibrium. M.: Publishing house ASV, 2002, pp. 229-235.
Почтовый адрес:
109469 Москва, ул. Новомарьинская, д.16, корп. 1, кв. 73
Тел./факс: 658-61-43
Рецензент: к.т.н., проф. Московского государственного строительного университета Бедов А.И.
