CC BY
30
ц<-
4(l0p + 3y) 5(7y- 10p).
(24)
l0.
Таким образом, при у= — р равновесие Р1 = Р2 = 0 системы (19) асимптотически устойчиво,
l0.
l0,
а при У > — Р ^У < 7 Pj оно асимптотически устойчиво при выполнении неравенства (23) (или (24)).
Перечень ссылок
1. Агафонов С. А. К вопросу устойчивости неконсервативных систем / С. А. Агафонов // Изв. АН СССР. МТТ. -1986. - №1. - С. 47-51.
2. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения / Д. Р. Меркин. - М. : Наука, 1971. - 312 с.
3. Kirillov O. N. Stabilization and destabilization of a circulatory system by small velocity-dependent forces /
Kirillov O. N., Seyranian A. P. // J. of Sound and Vibration. -2005. - Vol. 283. - № 3-5. - P. 781-800.
Kirillov O. N. A theory of the destabilization paradox in non-conservative systems / Kirillov O. N. // Acta Mechanika. - 2005. - Vol. 174. - № 3-4.- P. 145-166. Сейранян А. П. Парадокс дестабилизации в неконсервативных системах / А. П. Сейранян // Успехи математики. - 1990. - Т. 13. - № 2. - С. 89-124.
Hagedorn P. On the destabilizing effect of non-linear damping in nonconservative systems with follower forces / Hagedorn P. // Intern. J. Non - Linear Mech. - 1970. -Vol. 5. - № 2. - P. 341-358.
Агафонов С. А. Динамическая устойчивость стержня с нелинейной внутренней вязкостью под действием следящей силы / С. А. Агафонов, Д. В. Георгиевский // Докл. РАН. 2004. - Т. 396. - № 3. - С. 339-342. Каменков Г. В. Избранные труды. Т.1. Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика / Г. В. Каменков -М. : Наука, 1971. - 256 с.
Хазин Л. Г. Устойчивость критических положений равновесия / Хазин Л. Г., Шноль Э. Э. - Пущино : Центр биол. иссл. АН СССР, 1985. - 216 с.
Одержано 29.09.2010
Агафонов С.О., Костюшко И.А., Швидка С.П. До питання про стійкість циркулярної системи під дією дисипативних сил
В роботі дослуджується стійкість циркулярної системи під дією дисипативних сил. У критичному випадку двох пар чисто уявних коренів знайдено в термінах системи умову асимптотичної стійкості. Розглянуто також резонанс четвертого порядку.
Ключові слова: циркулярна система, стійкість, дисипативні сили, критичний випадок, резонанс.
Аgafonov S., Kostyushko I., Shvidkaya S. To the problem of circulatory system stability under the dissipative forces action
Stability of the circulatory system under the dissipative forces action is analyses. At the critical case two pair of the pure imaginary roots in the terms of the asymptotic stability system terms the asymptotic stability condition is found. The resonance of the fourth order is expertized as well.
Key words: circulatory system, stability, dissipative forces, critical case, resonance.
УДК 621.914.1
С. Ф. Лякун
Казенное предприятие «Научно-производственный комплекс «Искра», г. Запорожье
МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ТРЕХГРАННЫХ УГЛОВ ПРИ РАЗРАБОТКЕ УПРАВЛЯЮЩИХ ПРОГРАММ ДЛЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ДЕТАЛЕЙ НА СТАНКАХ С ЧПУ
4
Описывается перерасчет через литейные уклоны плоских углов в трехгранных углах, необходимый при разработке управляющих программ для станков с числовым программным управлением при обработке трехгранных углов. Описывается дедуктивный метод определения углов, образованных при пересечении двухгранных углов плоскостью обработки.
Ключевые слова: трехгранный угол, плоский угол, двугранный угол, литейный уклон, метод математической дедукции, плоскость обработки.
При разработке управляющих программ для стан- исходные параметры плоские углы (ПУ) ТГУ Но в
ков с числовым программным управлением (ЧПУ) на чертежах на детали с ТГУ часто плоские углы не зада-
обработку трехгранных углов (ТГУ) используются как ны, а заданы линейные углы (ЛУ) двугранных углов
© С. Ф. Лякун, 2011
11S
(ДУ). Причем, ЛУ могут быть Ф 90°. Например, в прес-сформе закладываются литейные уклоны 1°...5 ° , и ЛУ ТГУ будут 91 ° .95 ° . ЛУ могут быть и больше 95 ° Для начала выведем формулу (необходимую в дальнейшем как образец) для вычисления угла, образованного при пересечении двугранного угла плоскостью обработки (рис. 1, фрагмент рис. 2).
В
Е
I
I j
\ I
\ I/
\ I/
О
Рис. 1.
В
Рис. 2.
Дано: Pj , Р2, углы Z ОКЕ = Z ОRF = Z Е№ = 90 °
Необходимо вычислить угол КФЕ {КФБ} на плоскости обработки Р{М}.
Здесь и далее фасонные скобки {....} применены
для сокращения повторений. Например, выражение с фасонными скобками, которое приведено выше, надо читать как два выражения:
1) Необходимо вычислить угол КО Е на плоскости обработки Р.
2) Необходимо вычислить угол КOFна плоскости обработки М.
Принимаем О К=1
Из ДOКЕ{ДКF} следует:
1) KE{т= ОК1мР1{1мР2}=1 tgp,{tgp2} = =tgp,{tgp2}= BF{BE};
_ _ OK 1
2) OF{OE} = cos p2 {cos p1) = cos p2 {cos p1}’
3) Из ДOBF{ ДOBE } следует
BF f BE 1 №«= OF 1OE|.
Подставим в эту формулу значение OF{ OE}, вычисленное в пункте 2, получим:
tgX1^X2}= BF 1BE} = BF{BE} cos P2 {cos P1},
cos P2 {cos P1}
где Х1 = 2y1 - 90 °; Х2 = 2y2 - 90 ° (рис. 2).
Можно написать общую формулу:
tg (2 Yj,2 - 90 °) = tgPj,2 cos P2,j (1 a)
Вычисление или проверка плоских углов (ПУ) ТГУ могут быть осуществлены также методом математической дедукции [1].
«Дедукция наряду с синтезом, анализом, индукцией и аналогией, является одним из научных методов исследований» [1].
На рис. 2 изображен ТГУ ОАВС в изометрии, в котором вершина обозначена т. О, ребра - О А, О В, ФС, плоские углы (ПУ) ВО А = 2y2 ВО С = 2ур АО С = = 2у [2, 3]. ’
Через стороны ПУ проходят плоскости граней ТГУ -ВО А, ВО С, АО С. Грань АО С, расположенная на плоскости Q, является основанием, перпендикулярным оси шпинделя и параллельным плоскости, на которой установлена деталь с ТГУ.
Двугранные углы ТГУ МАOQ, РСОQ и МВОР измеряются линейными углами (соответственно а1, а 2) и углом между плоскостями Ми Р, который при аь =а 2 =90° (стороны ЛУ перпендикулярны ребру) равен 2y.
Плоскости Р, М, Q (плоскости обработки) получают обработкой детали. Плоскость обработки Р{М, Q},
ISSN 1607-6SS5 Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні №1, 2011
119
пересекая ДУ МАOQ{РСOQ, МВОР}, образовывает угол 2у1{2 У2 ,2 у}.
Литейные уклоны вычислим следующим образом:
1) Для грани ВО А ( плоскость М) Р1 = а1 - 90 °=
Z КОЕ
2) Для грани ВО С ( плоскость Р) Р2 = а2 - 90 °= ^ КОЕ.
Будем рассматривать уклоны Р1 и Р2 (наклоны плоскостей М и Р) в пределах от 0 ° до 90 °.
Через стороны линейных углов СОЕ и АОЕ проведем взаимноперпендикулярные плоскости 1 и 2 соответственно. Это положение плоскостей 1 и 2 с наклоном 0° будем считать точкой 1 для дедукции.
Наклоним каждую плоскость 1 и 2 , вращая вокруг прямых ОС и ОА соответственно, лежащих на плоскости Q основания, до совмещения с плоскостью Q . Это положение считаем как наклон 90 °- точка 2 для дедукции. Значение литейных уклонов Х, в зависимости от наклона от точки 1 дедукции к точке 2 дедукции, можно рассматривать как произведение /(Р) (функции от литейного уклона в) на коэффициент к, который меняется от к = 1 в точке 1 дедукции до к = 0 в точке 2 дедукции.
Значение к в точках дедукции совпадает со значением косинусов соответствующих углов в точках дедукции
к 1= собР2; к2 = собР1. (1 б)
При наклоне 0° литейные уклоны Р1 и Р2 не изменятся.
Р1= к1 ./(Р,), где к1= 1= собР2 (Р2 = 0 °),
Р2= к2/ (Р2), где к2= 1= собР1 (Р=0 °).
При наклоне на угол 90 ° литейные уклоны изменятся, будут равны 0 °
Р1,2 = к1,2 / (Р1,2), где к1,2 = 0 = собР2,1 (Р2д = 90 °).
Литейные уклоны Р и плоские углы у выразим через соотношение катетов 0^2у, 1§Р) в треугольнике, построенном на сторонах углов 2у и р
1ё(2у1,2 - 90 °) = гяР12 собР2д (1)
Сравним и убедимся, что формулы (1) и ранее выведенная (1 а) одинаковые (области определения также одинаковые).
В результате приведенных выше расчетов, при наклоне на угол р = 0 °.. .90 °, плоские углы ТГУ будут:
2у1 = аг^ ^Р1 собР2) + 90 °; (2)
2у2 = аг^ ^Р2 собР1) + 90 °. (3)
Формулы (2) и (3) справедливы когда плоский угол АО С прямой, т.е. 2у = 90 °.
Если 2 у ^ 90 ° , то в формуле (2) перевычислить:
В формуле (3) перевычислить:
gPi
Pi = acrtg
sin 2^
где 2y = [0 °...90 °...180 °] = const,
функция P12 - литейный уклон перевычисленный, аргумент P'i2 - литейный уклон до перевычисления, заданный в чертеже, а (Р'12 + 90 °) - это линейный угол двугранного угла.
Если плоскости М и Р вращать вокруг неподвижной линии OК, изменяя угол 2у = 0 °.. .180 °, то при любом значении литейного уклона (а112 - 90°) (углы При 2у = 0 °, точки А и С сольются по одну сторону от точки O, а точки Е и F сольются в бесконечности по другую сторону от точки O , и все эти точки будут лежать на одной прямой.
При 2у = 180 °, точки А, Е и C, F будут лежать на
одной прямой по разные стороны от точки O .
В итоге нами получены три точки для дедукции с координатами:
№ точки п/п 1 2 3
аргумент 0 ° 90 ° 8 О °
функция р1>2 9 О ° Р'1,2 9 О °
Этим точкам соответствуют формулы (4) и (5), где коэффициент
к = - 1
(см. 1 б).
i2y v '
Р2 = acrtg
tgP2
sin 2y
(4)
Они аналогичны (1 a).
Только (4) и (5) решены относительно tgP12 , и синус угла равен косинусу дополнительного угла (sin2y= = cos(90 ° - 2у)), а аргументом является 2у.
Т.е. можно написать tgP' = tgP cos (90 ° - 2у) и сравнить с (1 а) или (1).
Убедимся, что (4) и (5) определены на всем интервале аргумента 0 °...180 °, а не только в точках дедукции. Формулы (4) и (5) аналогичны зависимости (1 а) и (1). Они определены на отрезке ^в, где р = 0.. ,90п, где n-натуральный ряд.
Наш интервал 0.180 ° принадлежит множеству 0°.. .90 ° п, т.е. таким образом мы убедились, что множество 0 °.. .180 ° принадлежит множеству 0 °.90°-п (при п = 2).
Но можно сделать вывод и методом дедукции.
По аналогии с [2] (дедукция, пример о Сократе), отрезок (0 ° .90 °п) является областью определения формулы (1) (большая посылка). Значения (элементы) (0 °; 90 ° и 180 °) определены для формул (4) и (5), и эти формулы могут быть получены из (1) (малая посылка).
Вывод: (4) и (5) определены на отрезке 0 °.180 °.
Если в дроби формул (4) и (5) знаменатель стре-
Перечень ссылок
1. Толковый словарь математических терминов / [О. В. Ман-туров, Ю. К. Солнцев, Ю. И. Соркин и др.] ; под ред. проф. В. А. Диткина. - М. : Просвещение, 196З. - 98 c.
2. Бронштейн И. Н. Справочник по математике / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. - М., 1964. - 170 c.
3. Справочник по элементарной математике / [ред. П. Ф. Филь-чаков]. - К. : Наукова думка, 1972. - З28 с.
Одержано 29.04.2010 Після доробки 20.10.2010
Лякун С.Ф. Метод обчислення тригранних кутів при розробці керуючих програм для механічної обробки деталей на верстатах з ЧПК
Описується перерахунок через ливарні ухили плоских кутів у тригранних кутах, необхідний при розробці керуючих програм для верстатів з числовим програмним керуванням при обробці тригранних кутів. Описується дедуктивний метод визначення кутів, утворених при перетинанні двогранних кутів площиною обробки.
Ключові слова: тригранний кут, плоский кут, двогранний кут, ливарний ухил, метод математичної дедукції, площину обробки.
Lyakun S. The method of trihedral angles calculating at control programs development for machining of parts on the numerical-controlled machine tools
The recalculation of plane angles in trihedral angles through pattern tapers is described, being required for development of control programs for the NC machine tools when machining the trihedral angles. The deductive method is described to determine the angles formed at intersection of dihedral angles by a plane of machining.
Key words: trihedral angle, flat angle, dihedral angle, cast slope, method of mathematical deduction, the plane processing.
мится к 0, то дробь стремится к бесконечности, а арктангенс этой дроби стремится к 90 °.
Описанный метод расчета на практике может быть применен для разработки управляющих программ для станков с ЧПУ при изготовлении волноводов РЛС и прессформ.
УДК 539.3
Д-р техн. наук А. Д. Шамровский, Л. Н. Егармина Государственная инженерная академия, г. Запорожье
ВЫВОД УТОЧНЕННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ИЗГИБА БАЛКИ ПРИ ПОМОЩИ АСИМПТОТИКОГРУППОВОГО АНАЛИЗА УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
При помощи метода асимптотико-группового анализа из трехмерных динамических уравнений теории упругости получены уточненные одномерные динамические уравнения изгиба балки, более точные, чем известные. В частности найденные уравнения описывают распространение двух типов волн, причем фронты этих волн движутся с теми же скоростями, как у продольных и поперечных волн в трехмерной упругой среде. Отметим, что классические уравнения изгиба балки имеют параболический тип, т.е. не описывают фронтов волн, а уравнения типа Тимошенко задают скорости фронтов волн, не совпадающие со скоростями фронтов в трехмерной среде.
Ключевые слова: асимптотико-групповой анализ, уточненные динамические уравнения изгиба стержня, деформация, изгибающий момент, перерезывающая сила, продольные волны, поперечные волны.
В работе [1] изложена процедура получения уточненных динамических уравнений обобщенного плоского напряженного состояния и изгиба пластины на основе трехмерных уравнений теории упругости при помощи метода асимптотико-группового анализа. При этом реализовано, так называемое, минимальное уп-
рощение трехмерных уравнений, приводящее к двумерным уравнениям. В данной работе рассматривается более сильное упрощение трехмерных уравнений, которое, в результате совмещения двух минимальных упрощений приводит к уточненным одномерным уравнениям изгиба балки. Таким образом, получаются
© А. Д. Шамровский, Л. Н. Егармина, 2011
ISSN 1607-6SS5 Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні №1, 2011
