Метод вейвлет-Галеркина решения интегральных уравнений Фредгольма в двумерных областях Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2006. №9(49).

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

УДК 519.62

МЕТОД ВЕЙВЛЕТ-ГАЛЕРКИНА РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА В ДВУМЕРНЫХ ОБЛАСТЯХ

© 2006 И.А. Блатов^ Е.А. Алашеева2

Математическое моделирование задач электродинамики приводит к необходимости решения интегральных уравнений с неизвестной функцией двух переменных. Дискретизация таких уравнений стандартными численными методами приводит к СЛАУ с плотной матрицей, порядок которой неприемлемо велик. В настоящей статье предлагается подход с использованием сплай-новых вейвлет. Показано, что большинство элементов матрицы СЛАУ очень малы по абсолютной величине, т.е. матрица псевдоразреженная [1]. Это свойство позволяет аппроксимировать её разреженной матрицей и, применяя разреженные технологии [2], значительно ускорить процесс вычислений и снизить требования к оперативной памяти компьютера. Аналогичные проблемы для одномерных задач антенного моделирования изучались в [5].

1. Построение сплайновых вейвлет на прямоугольнике

Пусть О = [а, Ь] X [с, й] — произвольный прямоугольник, т — натуральное число и по —такое целое число, что 2”0 < 2т - 1 < 2”0+1. Рассмотрим семейство Ах = = {АХп, п = п0, п0 + 1,...} разбиений отрезка [а,Ь] АХп : а = х^ < х^ < ... < Х2, = = Ь с постоянным шагом Н = НХп = (Ь - а)/2п и семейство Ау = {АУп, п = щ, щ + + 1,...} разбиений отрезка [о,^ АУп : с = у0 < у1 < ... < у2„ = й с постоянным шагом Н = НУп = (й - с)/2п. Получим сетку линий А = Ах X Ау. На каждом из разбиений Ах, Ау рассмотрим [3] пространство сплайнов степени т - 1 дефекта 1 ^Хп = 5(Ахп,т-1д) и Ьуп = 5(АУп,т-1д) соответственно. Тогда для каждого к ^ п0 пространство 5 (Ахьт-1д) можно представить в виде прямой суммы Ьхк = Ьх Ф ИХпо Ф... Ф ИХк-1, где через ИХп обозначено ортогональное дополнение пространства ЬХп до пространства ЬХп+1. Искомый вейвлет-базис будем строить как объединение базиса в ЬХпо и всех базисов в пространствах ИХп, щ ^ п ^ к - 1. Аналогично для пространства 5(АУк т-11) будем рассматривать представление ЬУк = Ьуп Ф ИУп Ф... Ф

ИУ-!. ’ ’ п0 п0

1 Блатов Игорь Анатольевич ([email protected]), кафедра дифференциальных уравнений и теории управления Самарского государственного университета, 443011, Россия, г.Самара, ул.Акад. Павлова, 1.

2Алашеева Елена Александровна ([email protected]), кафедра высшей математики Поволжской государственной академии телекоммуникаций и информатики, 443090, Россия, г. Самара, Московское шоссе, 77.

Вначале построим базис в WXn. Зафиксируем n ^ no. В случае необходимости будем считать, что разбиение AXn продолжено с тем же шагом на всю числовую ось узлами хП, -то < i < +то. Пусть [3] Yin(x) — полуортогональный сплайновый вейвлет m-го порядка. Известно [3], что suppyin = (xn-1, xn+21m_рyin(x) е WXn, Yin(x) = = ¥o,no(2n-noх - i(b - a)/2no-1) и yin(x) — функция с минимальной длиной носителя, удовлетворяющая этим свойствам.

Носители функций Yin, 0 ^ i ^ 2n-1 - 2m + 1 целиком содержатся в [a,b] и они образуют группу базисных функций WXn. Однако, dim WXn = 2n-1, т.е. до базиса в WXn не хватает 2(m - 1) функций. Построим недостающие вейвлет-функции. Для этого рассмотрим функции yin(x) при -2m + 2 ^ i ^ 2n-1 - 1 на расширенном разбиении AXn. Через yin(x) обозначим нормализованный B-сплайн степени m - 1 на разбиении AXn с носителем (xn, xn+m) [3]. Первую группу из m - 1 недостающих базисных функций будем искать в виде

где скалярное произведение понимается в смысле L2[a,Ь]. Подставляя (1.1) в (1.2), получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для определения ау. Матрица этой системы невырождена, так как в противном случае существовало бы нетривиальное решение соответствующей однородной системы, что означало бы, что функция 2-т-2т+2 ауУ],п является ненулевой вейвлет-функцией на разбиении АХп с носителем (хп-1,хпт1_2), что невозможно [3]. Решая систему ( 1.2), получаем, что функция ( 1.1) является искомой, так как ортогональность к В-сплайнам фк,п(х) при к ^ 0 имеет место в силу ортогональности им всех вейвлет из линейной комбинации 1.1, а при -т + 1 ^ ^ -1 в силу условий ( 1.2). Следующие

т - 1 базисных функций определим в виде:

линейно независимы, так как предположение противного вновь приводит нас к существованию ненулевой вейвлет-функции с носителем, содержащим менее 2т-1 частичных интервалов. Их число совпадает с размерностью ИХп. Значит, функции ( 1.3) образуют базис ИХп.

{фг>0, m + 1 ^ i ^ 2no - !}• Объединяя эту совокупность с наборами функций

строится базис в 5 (АУі, т - 1,1) .

Он будет представлять собой объединение совокупности В-сплайнов {ф;Л0, т + + 1 ^ і ^ 2”° - 1}, образующей базис в Ьх^, с наборами функций уіп(х), -т + 1 ^ і ^ ^ -1,2”-1 - 2т + 2 ^ і ^ 2”-1 - т, уіп(х), 0 ^ і ^ 2”-1 - 2т + 1, базисом ^Уп. Базис в пространстве Ьп = ЬХп хЬуп образуют тензорные произведения [3] базисных функций

-m

(1-1)

j=-2m+2

из условий

(pin(x), ф^^)) = 0, t = -m + 1, -m + 2,..., -1,

(L2)

Функции

Tip-in(x), -m + 1 ^ i ^ -1, 2n 1 - 2m + 2 ^ i ^ 2n 1

p-in(x), 0 ^ i ^ 2”-і - 2m + 1,

m,

(1^З)

Наконец, базис в LXno образует совокупность B-сплайнов

( О) при no ^ n ^ t - 1 , получаем искомый базис в S(AXt, m - 1,1) • Аналогично

2. Метод вейвлет-Галеркина для интегральных уравнений. Постановка задачи

В дальнейшем константы, не зависящие от разбиений АХп ,АУп , (возможно, различные!) будем обозначать одним символом C. Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма второго рода ^ гЬ

K(х,у, и, v)J(u, v)dudv + J(x,у) = f(x,у) (2.1)

с заданной функцией f (x, у) и неизвестной функцией u(x, у) . Предположим, что ядро удовлетворяет оценкам

д1К^, у, u, у)

дxll дуІ2 диІ3 дvl4

< С— 1 1 = 1і+12 + 13+ и. (2.2)

(^(х - и)2 + (у - у)2 + а2)

Рассмотрим метод Бубнова-Галеркина на базе построенных вейвлет-функций. Решение уравнения будем искать в виде:

2”о -1 2”о -1 к-п0 2по+5-1-т

*^(х>у) ^ ^гі/Фг',по(х)Ф/,п0(у) + I Е 2 ^г/5фг',по(х)^/,по+5 (у)+

і,/=-т+1 і=-т+1 5=1 /=-т+1

2по -1 к-по 2по+^-1 -т

+ Ф]дф ],по(у)Чі,по+д(х)+ (2.3)

/=-т+1 q=1 і=-т+1

к-по к-по 2по+^ -т 2по+5-1 -т + ^ijsq'^i,nо+q(x))^/,по+5

(у)

5=1 q=1 і=-т+1 /=-т+1

из условий:

рЬ рЬ рЬ рЬ

І І І I К(х, у, и, v)J(u, v)фr,n0(x)фtn0(y)dxdydudv+

^а и а ^а и а

ПЬ

1(х, y)фr,nо(x)фt,nо(y)dxdy =

ПЬ

/(х, y)фr,nо(x)фt,nо(y)dxdy,

-т + 1 < г, ї < 2по - 1;

ЬЬЬЬ

І І І I К^, у, и, v)J(u, v)фr,n0(x)Vг,n0(y)dxdydudv+

аааа

ПЬ

J(x, y)фr,nо(x)Vг,nо(y)dxdy =

Ь пЬ

/(x, y)фr,nо(x)Vг,nо(y)dxdy, -т + 1 < г < 2по - 1,

аа

-т + 1 ^ ї ^ 2п-1 - т, п0 + 1 ^ п ^ к;

ЬЬЬЬ

І І І I К(^ у, и, v)J(u, v)Vr,n0(x)фг,n0(y)dxdydudv+

аааа

-Ь гЬ

+ J(x, y)Уr,nо(x)Фt,nо(У)dxdy =

Кг,

аа

■b r-b r-b r-b

f(x, y)^r,n0(x)^t,n0(y)dxdy, -m + 1 < t < 2no - 1,

-m + 1 ^ r ^ 2n-1 - m, n0 + 1 ^ n ^ k;

K(x, y, u, v)J(u, v)^r,no(x)^t,no(y)dxdydMdv+

-b /-b

J(x, y)Vr,no(x)Vt,no(y)dxdy =

-b rb

+

f (x, y)Vr,no(x)Vt,no(y)dxdy,

^a -Ja

-m + 1 ^ r, t ^ 2n-1 - m, no + 1 ^ n ^ k (2.4)

Из общей теории проекционных методов [4] и аппроксимационных свойств пространств сплайнов [5] вытекает

Теорема 1. Пусть уравнение (2.1) имеет единственное решение при любой непрерывной f (x, y). Тогда найдется такой номер ko > no, что для любого k > ko система (2.4) имеет единственное решение и справедливы оценки погрешности

l|u(x, y) - Uk(x, y)||c([a,b]xM]) < C inrf Hu(x, y) - v(x, y)||c([a,b]x[c,d]}-

v€Ln

Совокупность условий ( 2.4) представляет собой СЛАУ с квадратной матрицей:

A11 A11 A21 A11 A11 A12 A21 A12 A11 ^1k-no+1 A21 rt1k-no+1 CS -H CS -H 1 A12A1 . A12 ^1k-no +1 A22 1k-no +1 Alk-no+1 \ ' ' A1k-no+1 A 2k-no+ 1 ' * A1k-no+1

Ak-no+11 A11 A11 A21 a k-no+11 A12 A11 A22 Ak-no+11 ' A1k-no+1 A11 2k-no+1 k-no+12 A11 A 12 A21 Ak-no+12 A1k-no+1 A12 2k-no+1 Дk-no+1k-no+1 ■ ' A1k-no+1 Alk-no+1 ' * 2k-no+1

Ak-no+11 A21 k-no+11 A22 Ak-no+11 ' 2k-no+1 k-no+12 A21 Ak-no+12 2k-no+1 Ak-no+1k-no+1 ' ' A2k-no+1

Ak-no+11 v ^k-no+11 Ak-no+11 k-no+12 Ak-no+11 k-no+1k-no+1 Ak-no+12 ^k-no+11 Ak-no+12 k-no+1k-no+1 Ak-no+1 k-no+1 k-no+1k-no+1 '

Получим оценки элементов матрицы этой СЛАУ и докажем, что она псевдораз-реженная [1]. Пусть

= {-а%]},1 < Р, Ч,г, 5 < ^ - по + 1,

АЦ = {аЩ1}, т + 1 < I, ], г,/ < 2п0 - 1,

АРР = {аЩР}, 2П0+Р-2 < I, ], г, / < 2П0+Р-1 - 1,

^Ь г-Ь рЬ рЬ

аРЧ5 =111 I К(х,у, и, у)^Р*-(и, у)у?1(х, у)йхйуйийу+

ijrf

rf ■b rb

V? (х, у)^(х, у)йхйу.

)а ^ а

Рассмотрим только те элементы матрицы, носители вейвлет которых не пересекаются. Слагаемое

bb

aa

у данных элементов равно нулю.

Vfj(x, y)Y?f(x, y)dxdy

Теорема 2. Справедливы оценки

lapf <

1 4rf 1

Ci2-4p + 2-4s)

(p2(suppyfj, yf + a2)

Г2-2?,

где р(А, В) — евклидово расстояние между множествами А, В на плоскости. Доказательство. Рассмотрим функцию

g(x, y) =

И

\J \J su

K(x, y, u, v)yPjiu, v)dudv■

suppyi.

Пусть x € [xi+14, xq], y € [yf+14, ytj]. Пусть p = q, s = t. Если p Ф q, s Ф t, то следует выбрать max(p, q) и max(s, t). В силу аппроксимационных свойств сплайнов [5] и оценок (2.2) найдется такая функция N(x, y) € Ln, что

jg(x, y) - Nix, y)j <

c(V2~2p + 2~2s)4

<

<

( V(r - i)222P + (/ - j)222s + a2)

C (2-4p + 2-4s) c(2-4p + 2-4s)

(ir - i)222p + if - j)222s + a2)2 (p2isuppVpI, Vqf) + a2)2'

Теперь оценим:

Lpqts| = 1 ijrf 1

bbb

K (x, y, u, v)yPjtiu, v)^r^ix, y)dxdydudv

ЛІ I K (x, y, u, v)yPjiu, v)dudv

suppyqrf \\J \JsuppyP

C(2-4p + 2-4s)

yqfdxdy

<

<

Я

sup

^p2(suppypI, y?f) + a2) J

C(2-4p + 2-4s)

yqrfdxdy =

r2-2?.

(p2(suppvPj, Vq^) + a2)

Из полученных оценок следует, что при больших значениях почти все элементы матрицы малы по абсолютной величине, т.е. матрица псевдоразреженная [1]. Ниже для модельной задачи K(x, y, u, v) = 1, f(x, y) = x приведена таблица:

no = 2, к = 4

b

£ 10“2 10“3 10“4 10“5 ю-6

N(e) 345 4761 7221 54213 83521

Ще) N 0.004 0.06 0.08 0.6 1

Литература

[1] Блатов, И.А. Об алгебрах операторов с псевдоразреженными матрицами и их приложениях / И.А. Блатов // Сибирский мат. журнал. - 1996. - Т. 37. - №1. -С. 36-59.

[2] Писсанецки, С. Технология разреженных матриц / С.Писсанецки. - М.: Мир, 1988. - 412 с.

[3] Чуи, К. Введение в вейвлеты / К.Чуи. - М.: Мир, 2001. - 412 с.

[4] Электродинамические методы анализа тонкопроволочных антенн / А.Л. Бузов [и др.]. - М.: Радио и связь, 2000.

[5] Блатов, И.А. Применение сплайновых вейвлет-функций к численному моделированию тонкопроволочных антенн / И.А. Блатов, А.С. Пименов, В.В.Юдин // Инфокоммуникационные технологии. - Т. 1. — №4. - 2003.

[6] Завьялов, Ю.С. Методы сплайн-функций / Ю.С. Завьялов, Б.И. Квасов, В.Л. Мирошниченко. - М.: Наука, 1980.

Поступила в редакцию 31/X/2006; в окончательном варианте — 31/X/2006.

THE WAVELET-GALERKIN METHOD FOR A FREDGOLM INTEGRAL EQUATION IN TWO-DIMENSIONAL DOMAINS

© 2006 I.A. Blatovf E.A. Alasheeva4

Mathematical modelling of electrodynamic problems leads to necessity of a integral equations solution with unknown function of two variables. The discre-atization of such equations by the standard numerical methods gives systems of simple equations with dense matrix of unacceptable large order. In the paper an approach of spline wavelet usage is proposed. It is shown that majority of matrix elements of systems of simple equations is very small on an absolute value, i.e. matrix is pseudo-air-break. This property allows to approximate it by an air-break matrix and, applying air-break process technique, considerably speed up process of evaluations and to lower the requirements to a random access memory of a computer.

Поступила в редакцию 31/X/2006; в окончательном варианте — 31/X/2006.

3Blatov Igor Anatolevich (blatovassu.samara.ru), Dept. of Differential Equations and Theory of Control, Samara State University, Samara, 443011, Russia.

4Alasheeva Elena Aleksandrovna (alasheevaSmail.ru), Dept. of Higher Mathematics, Povolzh-skaya State Academy of Telecommunications and Computer Science, Samara, 443090, Russia.