Метод усреднения в задаче математического моделирования экструзии композитного материала Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер Л. Вып. 16.2012

УДК 539.376

МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ В ЗАДАЧЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКСТРУЗИИ КОМПОЗИТНОГО МАТЕРИАЛА

Н, А. Беляева7 Е, А. Прянишникова

Представлено решение задачи о выдавливании сжимаемого композитного материла из цилиндрической камеры в направляющий калибр под действием плунжера пресса через формующую матрицу с применением метода усреднения.

Ключевые слова: экструзия, сжимаемый композит, реологические уравнения, метод усреднения.

1. Введение

Работа является продолжением [1] — [7] исследований композитных сжимаемых структурированных материалов в процессах плунжерной экструзии, проводимых на кафедре математического моделирования и кибернетики Сыктывкарского государственного университета. Так в работах [1] — [4] рассматриваются математические модели изотермической экструзии вязкоуигугого композитного структурированного материала, в [5] — [7] представлена модель неизотермичекой экструзии.В работе [7] анализируется влияние ультразвуковой волны на процесс уплотнения материала. В настоящей работе рассматривается двумерная постановка задачи с учетом трения материала о стенки камеры и формующей матрицы — переходной зоны между камерой и калибром.

2. Постановка задачи

Рассмотрим математическую модель плунжерной экструзии композитного сжимаемого материала с учетом переходной зоны между камерой в калибром - формирующей матрицы (рис. 1): движение экструди-руемого материала происходит в трех областях — камера (I), формующая матрица (II) и направляющий калибр (III).

Н. А., Прянишникова Е. А., 2012.

Рис. 1: Модель экструдера

Такой процесс описывается системой уравнений относительно плотности материла, р, скорости движения тензора, напряжений П, температуры Т и степени структурирования среды а:

^ + div(p?) = 0, (1)

p(^-^+div(U) = 0, (2)

П = (^р + (с - ^ divtf)^ I + 2/хГ, (3)

pe (j^- + ?Vt) - dw(XVT) + alk7 (4)

—^ ' grada = DAa + íp(u, 7). (5)

С/V

Соотношения (1), (2) уравнения неразрывности и движения, соот-В6ТСТВ6ННО, (3) дифференциальное уравнение состояния (обобщенная модель Ньютона), здесь Г тензор скоростей деформации, I — единич-

.. г 1

нын тензор, /у. — сдвиговая вязкость экструдируемои среды, £; = -// —

вторая (объемная) вязкость, П — {с7{j,i,j — {r,(p,z}}. Соотношение (4) - уравнение переноса тепла, (5) - диффузионно-кинетическое уравнение относительно степени структурирования материала.

Предполагается, что заготовка осесимметрична, т.е. функции, описывающие поведение материала, не заисят от угла поворота (р: р = p(r,z,t), V = (Vr(r,z,t), У9(г, z,t),Vz(r, z,t)), = aij(r,z,t), тангенциальные напряжения тГ1р и tvz положим равными нулю, тогда угловая компонента скорости V^ = О, Т = T(r, z,t), a = a(r, z, t).

Предположим, что радиальная компонента скорости Vr равна нулю.

В рамках принятых допущений рассмотрим решение уравнений (1) — (3) системы (1) — (5), запишем их в проекциях на оси координат:

дР . dp dVz (

дсггг дтГг _^

дг dz '

дтгг ^ d(7zz ^ rrz _q

дг dz г 7

-о ££1л

Trz — Z/i ,

(7)

(8) (9)

— <7rr

2 \ ÔV

Г dz ?

(10)

L 4 \ <)\ :

(и)

с начальными и граничными условиями:

Р

t=о

= Po,Vi

0, <7Г

t=о

t=0

—

t=о

= о, azz

t=о

0) Trz

t=о

0,(12)

тг.

r=R±

Tfr,V:

— о д±

u? о

r=Ri OZ

z=H(t)

= 0.

(13)

3. Метод усреднения

Для решения поставленной задачи применим метод усреднения по радиусу [8] к реологическим соотношениям Ньютона (9) —(11). Среднее значение функции /(г) будем находить по правилу:

Дг)= ^ / г/(гМг-

1 I)

Усредним соотношение (9):

тгх — 2р

дУ^ дг

здесь тгх— среднее значение по радиусу функции тгх. Преобразуем правую часть полученного равенства:

¿ц — ¿и, • , дг иг

дг Щ У дг

_ 2_ [ од\

О

О

Согласно граничным условиям г2\

2Т/

2

О

07 тогда

_ = -2

о

2 гУ?(1г

Найдем среднее значение радиуса г:

|?1

--А [ 2л - 2_(г1Вл\ - 2-

г ~ д? у г ~ я? V з о ) ~ щ' з ~ з ь

тогда

ш/

дг г

2Г

ЗГ

2 3

Преобразованное таким образом соотношение (9) зшшшбтся & виде.

Среднее значение касательного напряжения тгя найдем из второго соотношения в (13): поскольку функция, усредненная по раду псу. ее значение от г не зависит, а значит,

— Тгг

г=Я,1

т/г

Система уравнений, определяющих напряженно-деформированное состояние экструдируемого материала примет вид:

др дртг дУг

тгг + К + р^г = О,

оъ ох ог

догг ^ дтГ!; _^

дг дг '

дтгг дстгг тг% _^

дг дг г 7

--г. Р т т

т" = ~6т» ____(2^

дУ дг

, 1 \дУг

о77 — ! 4 + -р,

дг

начальные и граничные условия:

Р

<=о

= РО, V;

<=о

= 0,

(7 г

¿=0

- 0,

Г Г, -

— 0, (722 — 0, ттг

<=0 <=о

-о,

<=0

т/г

др

дг

2=Я(<)

0.

Из соотношения (17) выразим среднее значение скорости:

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20) (21)

(22)

Из соотношений (15)—(16) на основании среднего значения скорости найдем угловую, радиальную и осевую компоненты напряжения; используя уравнение (14), определим плотность экструдируемого материала.

4. Некоторые результаты численного эксперимента

Численное решение задачи выполнено с использованием программы, разработанной в среде С odeG ear Studio. Ниже представлены некоторые результаты численного эксперимента для начального линейного распределения плотности

Po(z) =ро + {рш ~ Pa) На рисунках 2 4 представлена динамика изменения усредненных

Рис. 2: Распределение усредненной плотности р = p(z,t) в камере; i(c) : 1(1,09), 2(1,39), 3(1,69), 4(1,98), 5(2,18)

плотности, скорости и напряжения в камере и матрице, представленные варианты счета показывают монотонный характер поведения функций, описывающих течение материала.

Значения параметров задачи: — 0,2 м, П2 — 0.04 м, радиусы камеры и калибра, соответственно, р\ = 1500 кг/'м3, р0 = 0.5 кг/м3 на-Ч&ЛЬНОС ЗН&ЧбНИб ПЛОТНОСТИ На отверстии ? Ртгь ~~

0.7 кг/м — начальное

значение плотности на плунжере ? — 10' Па. - с вязкость несжимаемой основы материала, т/у = 10' Па. Время выдавливания составляет 2,43 с.

Рис. 3: Распределение усредненной скорости V- = V-(z, t) в камере; условия на рис.2

Рис. 4: Распределение усредненной осевой компоненты напряжения ахх = а .¿.¿{г, ¿) в камере; условия на рис.2

Литература

1. Беляева H.A. Математические модели деформируемых структурированных материалов. Монография. — Сыктывкар: Издательство СыктГУ, 2008. — 116 с.

2. Беляева Н. А. Влияние характерных времен на режимы твердофазной экструзии // Весгпп. Сыктывкарского ун-та. Сер. 1. Вып. 9. 2009. С. 46-53.

3. Беляева Н. А., Спиридонов А» В. Уравнение движения в одномерной модели экструзии // Вестн. Сыктывкарского ун-та. Сер. 1. Вып. 10. 2009. С. 91-96.

4. Беляева Н. А. Влияние характерных времен на режимы твердофазной экструзии // Весгпп. Сыктывкарского ун-та. Сер. 1. Вып. 9. 2009. С. 46-53.

5. Беляева Н. А., Прянишникова Е. А, Структурирование в неизотермической модели экструзии композитного материала // Веетп. Сыктывкарского ун-та. Сер. 1. Вып. 12. 2010. С. 97-108.

6. Беляева Н. А., Прянишникова Е. А. Математическое моделирование в задачах экструзии // Вестп. Сыктывкарского ун-та. Сер. 1. Вып. 15. - 2012. - С. 31-44.

7- Беляева Н, А., Прянишникова Е, А. Структурная математическая модель экструзии пористого вязкоупругого композитного материала на основе обобщенной модели Максвелла с учетом влияния звуковой волны. - Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам РФ, Реестр программ для ЭВМ. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2011660240.'—29 февраля 2012 г.

8. Худяев С, И. Пороговые явления в нелинейных уравнениях. Монография. — М: Физматлит, 2003. — 272 с.

Summary

Belyaeva N. A., Pryanishnikova Е. A. The averaging ixi с t li о d m

the problem of mathematical modeling of composite extrusion

The solution of the problem of compressible composite extrusion to material, of a cylindrical chamber in the guide under the gauge plunger press through a matrix using the method of averaging. Keywords: extruzion, compressible composite, reological equations, the method of averaging.

Сыктывкарский государственный университет, Поступила 20-12-2012