Метод test-уравнений в исследовании устойчивости функционально-дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929 © В. В. Малыгина

МЕТОД TEST-УРАВНЕНИЙ В ИССЛЕДОВАНИИ УСТОЙЧИВОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Предлагается метод исследования устойчивости решений линейных скалярных функциионально-дифференци-альных уравнений. Семейству уравнений исследуемого класса ставится в соответствие 1вв1-уравнение, изучение свойств которого позволяет получить эффективное описание области устойчивости всех уравнений семейства.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение с последействием, экспоненциальная устойчивость, равномерная устойчивость.

Выбор метода при исследовании задачи устойчивости функционально-дифференциального уравнения (ФДУ) — это всегда выбор между общностью и точностью. Нет методов, которые обладали бы и тем, и другим качеством. Если метод дает точные и проверяемые условия устойчивости, то он применим к довольно узкому классу объектов: так, полное исследование нулей квазиполиномов дает критерий устойчивости — но только для автономных уравнений; описание спектра оператора монодромии — точный метод, но только для периодических уравнений. Можно привести еще ряд примеров конкретных классов уравнений, но таких классов весьма немного. Если же метод приложим к широкому классу объектов (таковы, например, метод функционалов Ляпунова-Красовского, теоремы Разумихина, Ш-метод Азбелева), то, применяя его, практически невозможно гарантировать точность получаемых признаков.

Рассмотрим следующий класс уравнений

П

Ж(£) + аож(£) акж(£ - гк(£)) = 0, I ^ 0, (1)

к= 1

где ак ^ 0, 0 ^ rj.it) ^ для всех к = 1, п.

Если в указанных границах функции запаздывания могут меняться произвольно, то поиск необходимых и достаточных признаков устойчивости следует признать делом безнадежным и сосредоточиться на достаточных признаках устойчивости. Но такие признаки бывают разной силы. Предпочтение, естественно, следует отдать тем, для которых удается показать существенность входящих в теоремы условий и неулучшаемость границ областей устойчивости.

То, что эта задача в принципе разрешима, показывает известный результат, полученный в 1951 г. в работе [1] А.Д. Мышкиса.

Пусть параметры уравнения Ж(£) = — аж(£ — г(£)) удовлетворяют условиям 0 ^ г(£) ^ и. Тогда, если 0 < аи < 3/2, то решение уравнения асимптотически устойчиво; если 0 ^ аи ^ 3/2, то решение уравнения устойчиво по Ляпунову.

В той же работе приведены примеры, показывающие точность ключевой постоянной 3/2: если аи = 3/2, то можно построить запаздывание, при котором решение уравнения не будет асимптотически устойчивым, а если аи = 3/2 + е (при любом сколь угодно малом е), то существует запаздывание, при котором решение уравнения неограниченно растет.

Класс уравнений, на котором была показана точность постоянной 3/2, имеет простую структуру, а поведение их решений было в некотором смысле «предельным»: возникала гипотеза, что устойчивость всех уравнений, удовлетворяющих условиям теоремы 1, можно гарантировать, изучив лишь одно из них.

Близкие идеи обнаружились в работе [2] японского математика Т. Лшеш1уа, который изучал устойчивость уравнений Ж(£) = аж(£) — Ьж(£ — г(£)), в предположении ограниченности запаздывания: 0 ^ г(£) ^ и. По заданным а, Ь, и он строил вспомогательное уравнение, устойчивость которого обеспечивала устойчивость рассматриваемого уравнения при любом запаздывании. Исследование вспомогательного уравнения в работе Т. Лшеш1уа проводилось компьютерными методами.

Развитие этих идей привело нас [3, 4] к методу test-уравнений, суть которого состоит в следующем.

Пусть в уравнении (1) фиксирован набор коэффициентов ао, ai,..., ап и границ запаздываний и 1, W2,..., un. Назовем семейством, (1) множество уравнений вида (1) при любых измеримых функциях Гк, удовлетворяющих заданным оценкам. Семейство уравнений называется устойчивым, если устойчивы все входящие в него уравнения. Поставим в соответствие семейству (1) автономное уравнение

n

y(t) + aoy(t) -^2 акy(t - ик) = 0, t> 0, (2)

к=1

дополненное начальными условиями y(£) = 1 при £ ^ 0. Уравнение (2) будем называть test-уравнением,.

Обозначим l = inf{t ^ 0 : y(t) > 0} первую точку минимума решения уравнения (2). Случай l = то не исключается; он соответствует ситуации, когда у монотонно убывает на полуоси.

Следующие теоремы сводят исследование устойчивости семейства (1) к исследованию конкретного свойства решения test-уравнения.

Теорема 1. Для экспоненциальной устойчивости уравнения (1) необходимо и достаточно выполнения одного из условий:

• 1 — Ж, ао < fc=i ak, 5^fc=1 akик < 1;

• l < TO, y(l) > -1.

Теорема 2. Для равномерной устойчивости уравнения (1) необходимо и достаточно выполнения одного из условий:

• l — ТО, ао ^ fc=1 ак> 5^fc=1 акик < 1;

• l < то, y(l) ^ -1.

Дальнейшее исследование свойств test-уравнений показало, что число l можно эффективно вычислить (или доказать, что l = то), а равенство y(l) = -1 переформулировать в терминах параметров исходной задачи, определив тем самым точную границу области устойчивости. При небольшом количестве параметров эту область можно интерпретировать как множество на плоскости или в пространстве.

Список литературы

1. Мышкис А.Д. О решениях линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка устойчивого типа с запаздывающим аргументом // Математический сборник. 1951. Т. 28. № 3. С. 641-658.

2. Amemiya T. On the delay-independent stability of a delayed differential equation of 1st order // J. Math. Anal. Appl. 1989. Vol. 142. № 1. P. 13-25.

3. Малыгина В.В. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений с последействием // Известия вузов. Математика. 1993. № 5. С. 72-85.

4. Малыгина В.В., Чудинов К.М. Об устойчивости знакоопределенных решений скалярных уравнений с несколькими запаздываниями // Вестник ПГТУ. Механика. Пермь, 2009. № 1. С. 28-45.

Поступила в редакцию 15.02.2012

V. V. Malygina

The test-equation method in investigation of stability of functional differential equations

A method is proposed for investigation of stability of solutions to linear scalar functional differential equations. A test equation is put into correspondence to a family of equations of a class being investigated. The study of properties of the test equation makes it possible to obtain an effective description of the stability regions of all equations of the family.

Keywords: differential equation with aftereffect, exponential stability, uniform stability.

Mathematical Subject Classifications: 34K20

Малыгина Вера Владимировна, к.ф.-м.н., доцент, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, 614990, Россия, г. Пермь, Комсомольский пр., 29. E-mail: [email protected]

Malygina Vera Vladimirovna, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Perm National Research Polytechnic University, Komsomolskii pr., 29, Perm, 614990, Russia