Метод стабилизации для решения параметрической многокритериальной задачи равновесного программирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.626:519.853.6

Ф.П. Васильев, Л.А. Артемьева2, А.С. Антипин3

МЕТОД СТАБИЛИЗАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ РАВНОВЕСНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

В статье рассматривается многокритериальная задача равновесного программирования, заключающая в себе как частный случай задачу математического программирования, многокритериальную задачу поиска точки Парето, задачу минимизации с равновесным выбором допустимого множества и др. Предполагается, что входные данные задачи известны приближенно. В статье предлагается метод регуляризации задачи, являющийся обобщением метода стабилизации А.Н. Тихонова, но при этом имеется в виду, что рассматриваемая задача, вообще говоря, неустойчива к возмущениям входных данных. Указываются условия согласования параметров метода с погрешностью входных данных. Исследуется сходимость метода.

Ключевые слова: многокритериальное равновесное программирование, функция Тихонова, регуляризация, неустойчивая задача, седло, нормальное решение.

1. Постановка задачи. Пусть И'(, — заданное множество из евклидова пространства /•,'"''; вектор-функции /(ад) = (/^ад),/2(ад),...,/™2 (ад)), g{w) = (g1(w),g2(w),... ,gm3(w)) определены на Wq и принимают конечные значения; переменные А = (А1, А2,..., А™2) € Е™2, р = (р1,^2,... ,ртоз) €

то

£ Етз; Ti, Т2 — квадратные матрицы размера т2 х т2, тоз х тоз соответственно; (а, = X) —

г= 1

(то

X) (°г)2

г= 1

а € /•-'"'; Е™ = {а € Е'п : а ^ 0} — положительный гиперортант в !•'.'".

Рассмотрим задачу [1, 2]: найти точки ад* € Wo, А* € Е™2, р* € E™s, такие, что

ад* € Argmin{{A *J(w))E™2 \ g(w) < Т2р*, ад G WQ}, (1)

{А - А*, /(ад*) - TiA*) < О VA € -Е1™2, (2)

VpGi?™3. (3)

В (1) через Argmin{...} обозначено множество решений задачи минимизации

(А*, /(ад))_б™2 inf, ад G W = {ад G W0 : g(w) < Т2р*}. (4)

Задачи вида (1)-(3) имеют широкую сферу приложений [1-6] и возникают при исследовании моделей экономического равновесия, моделей согласования дефицита ресурсов, моделей автоматизации проектирования и др. Матрицы Ti, Т2 в задаче (1)-(3) играют роль параметров [1, 2], и, выбирая их различным образом, мы получим, в частности, задачу математического программирования (m2 = 1, Т\ = 1, Т2 = 0), задачу равновесного многокритериального программирования по Парето (m2 > 1, Т\ = /То2, Т2 = 0), задачу минимизации с равновесным выбором допустимого множества (m2 = 1, Ti = 1, Т2 = /Тоз)- В [1, 2] для решения задачи (1)-(3) были предложены и исследованы на сходимость два варианта экстрапроксимального метода в предположении, что входные данные задачи известны точно. Однако на практике входные данные, как правило, задаются с погрешностью. В этих условиях с помощью методов, разработанных для решения задачи (1)-(3) с точными данными, не всегда можно получить удовлетворительные приближения для решения этой задачи даже при сколь угодно малых погрешностях в задании входных данных, так как задача (1)-(3) может оказаться неустойчивой. Об

1 Факультет ВМиК МГУ, проф., д.ф.-м.н.

2 Факультет ВМиК МГУ, студ., e-mail: artemieva.LudaQgmail.com.

3 ВЦ РАН, гл. н.с., проф., д.ф.-м.н., e-mail: asantipQyandex.ru.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 09-01-00388, научной программы "Развитие научного потенциала высшей школ", проект № 2.1.1714, по программе поддержки ведущих научных школ, НШ-5073.2008.1.

i. j ¿J

— норма вектора

этом свидетельствуют известные примеры для простейших задач линейного программирования [7]. Для надежного определения решения неустойчивых задач с требуемой точностью нужно применять специальные методы, называемые методами регуляризации [7-10]. В настоящей работе предлагается и исследуется один из таких методов, который является обобщением метода стабилизации А.Н. Тихонова [8].

Всюду ниже будем предполагать, что выполнены следующие условия.

1. Множество Wq из /•,'"'' выпукло, замкнуто, ограничено.

2. Матрицы Ti, Т2 симметричны, положительно полуопределены.

3. Компоненты fl(w), г = 1,...и gl(w), г = 1,... ,тз, вектор-функции f(w), g(w) выпуклы, непрерывны на Wq.

4. Функция

C(w,X,p) = (xj(w)-^T1X^ + (p,g(w)-^T2py w g Wq, (Х,р) g л0 = Е^ х (5)

которую будем называть функцией Лагранжа задачи (1)-(3), имеет седловую точку s* = (ад*, А * ,р*) g g Wq х Aq в смысле выполнения неравенств

£(«;*, А,р) sC £(w*,X*,p*) < £(w,X*,p*) VwGf0, V(A,p) g A0. (6)

Множество седловых точек функции (5) будем далее обозначать через S*.

5. Вместо точных функций /(го), g(w) известны их приближения f$(w), gs(w), такие, что

\fs(w) ^ f(w)\Em2 ^S(l + \w\Emi), \gs(w) ^g{w)\Ems < 5(1 + \w\Eni) VwGWo, (7)

где 8 > 0 — параметр погрешности, причем компоненты /¿(го), i = l,...,m2, g\{w), г = 1,...,тз, функций /г(го), g$(w) выпуклы и непрерывны на Wq.

2. Описание метода стабилизации. По аналогии с (5) образуем приближенную функцию Лагранжа:

£s(w,X,p) = (x,fs(w) - ^TiA^ + (p,gs(w) - \T2pJ , w g WQ, (X,p) g A0. (8)

Из (5), (7), (8) следует

|£Дад,А,рЬ£(ад,А,р)К5(1 + Н)(|А| + Ь|) VweWo, (X,p) g A0. (9)

Далее, с помощью функций (8), (9) составим точную функцию Тихонова

t(w, Х,р) = £(w, Х,р) + а(|го|2 — |А|2 — |р2|), w g Wq, (Х,р) g А0, (10)

и ее приближение

¿¿(го, Х,р) = £$(w, Х,р) + а(|го|2 — |А|2 — |р|2), w G Wq, (Х,р) G А0, (11)

где а > 0 — параметр регуляризации. Из (9)—(11) следует

|гДад,А,р)^г(ад,А,р)К5(1 + И)(|А| + И), w^Wq, (A,p)gA0. (12)

Определим множество

Ss = {и = (w,X,p) : w&Wq, (Х,р) g Aq = E™2 x , ts(w,X,p) sC inf ts(z, X,p) + e(l + |A|2 + \p\2),

zew0

ts(w,X,p) ^ sup tj(w,/j,,v) — e(l + |го|2)}, (13) (ti,v)eA0

где б > 0 — параметр метода.

В качестве приближенного решения задачи (1)-(3) при каждом 8 > 0 будем брать какую-либо точку us = (w$,Xs,ps) g Sg, считая, что параметры а, е зависят от 8, т.е. а = а(<5), е = е(6). Метод стабилизации формально описан. Осталось согласовать параметры а(8), е(8) метода с погрешностью 8 > 0 так, чтобы при 8 0 точки us = (ws, Xs,ps) g Ss сходились к множеству U* решений задачи (1)-(3). Справедлива

Теорема. Пусть выполнены условия 1-5, параметры а(<5), е(6) таковы, что

ос(5) > 0, е(<5) >0 V<5 > 0; lim a(S) = lim e(<5) = 0, sup * ^ < 1. (14)

ä-fO ä-fO ¿>o a(o)

Тогда множество U* решений задачи (l)-(3) непусто, множество S$, определенное согласно (13), также непусто при всех 8 > 0 и при любом выборе точки и$ = (w$, \$,р$) € Sg справедливо равенство

lim p(us,U*) = 0, р(и$,и*) = inf — v||, \\и\\ = (\w\2Emi + |Л|дТО2 + \р\2Ет3 (15)

<5—Ц-0 v£U*

Если кроме перечисленных условий имеет место

lim Щ±* = 0, (16)

¿-¡•о а(<5)

то наряду с (15) справедливо равенство

lim — s* || = 0, (17)

где s* = (ад*, Л*,р*) € <S*, ||s*|| = inf ||s|| (такую точку s* будем называть нормальной седловой

s£S„

точкой). Пределы (15), (17) равномерны относительно выбора функций /¿(ад), gs(w) из (7) и выбора точки и$ из S$.

3. Свойства седловых точек. Для доказательства теоремы нам понадобится несколько вспомогательных утверждений.

Лемма 1. Пусть выполнены условия 1-5, пусть и* = (ад*, А * ,р*) — седло вая точка функции (5) в смысле (6). Тогда и* —решение задачи (1)-(3).

Доказательство. Полагая в левом неравенстве (6) сначала р = р*, затем А = А*, получим

A,/(W*)biiA^ VA^O, (18)

p,g(w*) - \т2р^ <: (p*,g(w*) - \т2р^ Vp ^ 0. (19)

Неравенство (18) означает, что вогнутая дифференцируемая функция

¥>i(A) = (^/M^TA

на множестве Е™2 достигает своего максимума в точке А = А*. Для этого, как известно [10], необходимо и достаточно, чтобы

<¥>i(A*),A-A*) = {/(ад*) А*) sC 0 VA G (20)

Аналогично неравенство (19) означает, что вогнутая дифференцируемая функция

¥>2(р) = (p,g{w*) - ^т2р

на множестве Е™3 достигает своего максимума в точке р = р*, что равносильно вариационному неравенству

<¥>2(Р*)5Р-Р*> = №*)- Т2р*,р^р*} ^0 VpGl?™3. (21)

Кроме того, полагая в (20), (21) А = 0, А = 2А*, р = 0, р = 2р* и устремляя А —> +оо, р —> +оо, получим соотношения

{\*,f(w*)-T1\*) = 0, /Ю-Т!А* о,

(p*,g(w*) - Т2р*) = 0, 5(ад*) - Т2р* < 0. (22)

9 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 4

Из правого неравенства (6) следует

(А*,/(ад*)> + (P\g(w*)) < (X*J(w)) + (p*,g(w)) 4w G W0.

В частности, это неравенство остается справедливым для всех ад G W = {ад G Wq : g(w) ^ T2p*}, откуда с учетом (22) получим

(А*, / W> < (A*J(w)) + <p*,g(w)-g(w*)) = (A*, f(w)) + (p*,g(w) ^T2p*) sC (A*J(w)) 4w G W. (23)

Это значит, что точка ад* — решение задачи (4). Из (20), (21), (23) заключаем, что любая седловая

точка и* функции (5) является решением задачи (1)-(3).

Лемма 2. Пусть выполнены условия 14. Тогда множество S* седловых точек функции (5)

выпукло, замкнуто и существует единственная седловая точка s* G <S*, определяемая условием

llsJI = inf |Ы|. ses*

Доказательство. Согласно условию 4, S* ф 0. Как известно (см., например, [10]), множество представимо в виде 5* = W* х А*, где W* — множество решений задачи

x(w) = sup C(w,X,p) ^ inf, ад G Wq, (A ,p)eAo

A* — множество решений двойственной к ней задачи

ф(Х,р) = inf C(w, Х,р) ^ sup, (Х,р) G Л0.

we WQ

Так как функция x(w) выпукла на выпуклом множестве Wq, ф(Х,р) вогнута на выпуклом множестве Л0, то множества И .. Л* выпуклы и, следовательно, выпукло декартово произведение W* х Л* = S*. Нетрудно убедиться, что S* — замкнутое множество. В самом деле, пусть последовательность Sk = (wk, Xk,pk) G S*, k = 1, 2,..., sk s. Тогда

£(wk, A,p) < £(wk, Xk,pk) < C(w, Xk,pk) Уад G Wq, (X,p) G Л0, к = 1,2,....

Отсюда, пользуясь непрерывностью функции C(w,X,p), при к ^ оо получим, что s G <S*, т.е. множество S* замкнуто. Сильновыпуклая функция ||s||2 = \w\2Emi + |А|^т2 + \р\2Ет3 на выпуклом замкнутом множестве 5* достигает своей нижней грани в единственной точке s* G S* [10].

Лемма 3. Пусть выполнены условия 1-5. Тогда функция t$(w,X,p) (11) при любых а > 0 обладает седловой точкой на множестве Wq х Aq в смысле (5).

Доказательство проводится так же, как и аналогичное утверждение в [3], поэтому здесь мы наметим лишь схему доказательства. Функция t$(w,X,p) сильновогнута по (А,р) на выпуклом замкнутом множестве Л0, поэтому эта функция при каждом ад G Wq достигает своей верхней грани на Л0 в единственной точке (As(w),p$(w)) G Л0, причем функции А(ад), p(w) переменной ад непрерывны на Wq. Тогда функция t$(w, X$(w),ps(w)) = sup t$(w,X,p) переменной ад G Wq выпукла и непре-

(А,р)ел0

рывна на выпуклом компакте Wq и достигает своей нижней грани на Wq хотя бы в одной точке ад^. Нетрудно убедиться, что точка s g = (wg,X $,р$), Х$ = Xs(w$), р$ = p$(w$), будет седловой точкой функции t$(w,X,p). Так как функция t$(w,X,p) сильновыпукла по переменной ад G W, сильновогнута по совокупности (А,р) G Aq, то у этой функции седловая точка единственна.

4. Доказательство теоремы. Сначала убедимся, что множество S$ Ф 0 V5 > 0. С этой целью заметим, что из выпуклости и замкнутости множеств Wq, Aq, из сильной выпуклости функции t$(w, X,р) по переменной ад G Wq при каждом фиксированном (А,р) G Л0, сильной вогнутости по (А,р) G Л0 при

каждом фиксированном ад G Wq следует, что величины inf t$(w,X,p), sup t$(w,X,p), входящие в

™ew0 (А,р)еЛо

определение (13) множества S$, конечны. Отсюда, пользуясь определениями конечной нижней и верхней граней, заключаем, что седловые точки функции t$(w,X,p) (лемма 3) принадлежат S$, каково бы ни было число б > 0 в (13). Таким образом, S$ Ф% V5 > 0. Далее, множество U* решений задачи (1)-(3) также непусто, так как множество 5* седловых точек функции (5) непусто (условие 4) и С U* (лемма 1).

Возьмем любую точку щ = (w$, X$,р$) G Sg и нормальную седловую точку s* = (ад*, Х*,р*) С 5* С С Ut (лемма 2). Пользуясь соотношениями (6), (10), (12), (13), получим следующие две цепочки неравенств:

ts(ws,Xs,ps) < inf ts(z,Xs,ps) + e(5)(l + |Aä|2 + \ps\2) < ts(w*, Xs,ps) + e(5)(l + |Aä|2 + \ps\2) < zew0

2 2 2 2 2 < ¿(ад*,Ай,Рй) + 5(1 + |ад*|)(|Ай| + |рй|) + б(5)(1 + |Ай| + \ps\ )=£(«;*, Aä,pä)+ -|Aä| -|i>al) +

+ 5(1 + K|)(|Aä| + |рг|) + б(5)(1 + |Aä|2 + \Pä\2) < C{w*,X*,p*) + a(5)(K|2 - |Aä|2 - \pä\2) +

+ 5(1 + K|)(|Aä| + |рг|) + б(5)(1 + |Aä|2 + \Pä\2), 5 > 0;

ts(ws,Xs,ps) Js sup ts(ws,ß,u) - e(5)(l + |wä|2) ^ ts(ws,X*,p*) - e(5)(l + |wä|2) ^

(ß,p)E.\0

z t(ws,X\p*) - 5(1 + Ы)(|А*| + |p*|) - б(5)(1 + Ы2) = C(wä,X*,p*) + а(5)(Ы2 - |A*|2 - |p*|2)-- 5(1 + Ы)(|А*| + |p*|) - e(5)(l + \wä\2) Z C(w„X*,p*) + а(5)(К|2 - |A*|2 - |p*|2)-

- 5(1 + Ы)(|А*| + |p*|) - fi(5)(l + |wa|2), 5 > 0.

Взяв крайние звенья этих цепочек неравенств, получим

C{w*,X*,p*) + а(5)(Ы2 - |А*|2 - |р*|2) - 5(1 + Ы)(|А*| + |р*|) - б(5)(1 + K|2) < tä(wä,Xä,pä) < < C{w*,X*,p*) + а(5)(К|2 - |Aä|2 - \pä\2) + 5(1 + K|)(|Aä| + Ы) + б(5)(1 + |Aä|2 + \pä\2), 5 > О,

или

(а(5) - б(5))(К|2 + |А,|2 + |р,|2) < а(5)(К|2 + |А*|2 + |р*|2) + 5(1 + К|)(|А,| + |рг|) +

+ 5(1 + |гог|)(|А*| + |р*|) + 2е(<5), 5 > 0. (24)

Далее воспользуемся элементарным неравенством

(а + Ь)(с+ d) < а2 + Ъ2 + с2 + d2 Va, b, с, d G R

и получим

5(1 + К|)(|АЙ| + |рг|) < 5(1 + К|2 + |АЙ|2 + Ы2), 5(1 + |гой|)(|А*| + |р*|) < 5(1 + К|2 + |А*|2 + |р*|2). Подставим эти оценки в (24). Будем иметь

(а(5) - 6(5) - 5)(Ы2 + |АЙ|2 + Ы2) < (а(5) + 5)(К|2 + |А*|2 + |р*|2) + 25 + 2е(5), 5 > О,

или

1 + _J_

1Ы|2 = Kl2 + |A,|2 + Nl2 < —7§щ(К|2 + |A12 + |P*|2) + 1 5 > 0. (25)

1 a(ö) 1 a(ö)

При выполнении условий (14) из (25) следует, что семейство точек

Щ = (ws, Xö,ps) G Ss, 5 > 0, (26)

ограничено:

||цд||2 = + |Ад|2 + \pä\2 < R d= 2(К|2 + |A*|2 + \p*\2 + l)(l - sup (e(<5). j" ^ Y 5 > 0.

\ <5>0 \ a(5) ) )

По теореме Больцано-Вейерштрасса семейство (26) при 5 —> +0 имеет хотя бы одну предельную точку. Пусть и' = (w',X',p') — одна из таких точек. Тогда существует последовательность uSk = ^äk'Pök) е Siki к = 1,2,..., такая, что lim Цг^ — = 0. Из включения щк G Sg к следует

к—>оо

wäk G Wo, Xsk ^ 0, päk Z 0, (27)

thiwhiXhiPh) < jnf täk(z,Xh,päk) + fi(5fc)(l + |AäJ2 + |päJ2) <

г GW о

< + + lAd2 + NJ2) <

< £&k{w,Xik,Pik) + a(Sk)(\'w\2 - |AäJ2 - Ipsk\2) + fi(5fc)(l + |AäJ2 + |päk\2) Vw G W0, (28) tSk(wäk,Xsk,Pök) > Cäk(wäk,X,p) + a(5fc)(\wäk\2 - |A|2 - |p|2) + e(<5fc)(l + |wäJ2) V(A,p) G A0. (29)

Учитывая, что щк и', к = 1,2,..., множества Wq, Л0 замкнуты, функции C(w,X,p) (5), t(w,X,p) (10) непрерывны по совокупности своих аргументов, выполнены условия (14), lim tgk(wgk, Xgk,pgk) =

к—>оо

= C(w',X',p') в силу (8)—(12), из (27)-(29) при к ^ оо получаем, что и' = (w',X',p') G S* — седловая точка функции (5). Так как и' — произвольная предельная точка семейства (26), то lim p(ug, S*) = 0.

Отсюда и из неравенства p(ug,U*) ^ p(ug,St), вытекающего из включения С U* (лемма 1), следует равенство (15).

Если еще справедливо равенство (16), то из (25) при <5 = <5^ —> 0 получим

||и'||2 = \w'f + |а'|2 + |р'|2 < к|2 + |а*|2 + \р*\2 = ||s*||2 . (30)

Однако s* — нормальная седловая точка функции (5) и по доказанному и' G <5*, поэтому ||s*||2 ^ ||«'||2-Отсюда и из (30) следует ||«'||2 = ||s*||2- В силу единственности нормальной седловой точки (лемма 2) это возможно, только если и' = s*. Это значит, что семейство (26) при 5 ^ 0 имеет единственную предельную точку s*, что равносильно (17). Теорема доказана.

5. Вычислительные аспекты. Изложенный метод стабилизации предполагает, что при любом фиксированном 8 > 0 мы умеем находить точку щ = (wg, Аg,pg) из множества Sg, определенного согласно (13). Убедимся, что поиск такой точки сводится к уже известным задачам вычислительной математики, для решения которых разработаны численные методы. Прежде всего заметим, что множество Sg нам изначально не задано, так как в конструкции (13) содержатся некоторые (-приближения

неизвестных величин £i(A,р) = inf tg(w,X,p), £2(«О = sup tg(w,X,p) = — inf (—tg(w,X,p)).

wew0 (\,p)e.\0 (А,р)ел0

Это означает, что для их решения предварительно нужно решить две задачи минимизации:

tg(w,X,p) ^ inf, w G Wq (здесь фиксированы параметры (А,р) G Л0), (31)

—tg(w,X,p) inf, (А,р) € Л0 (здесь фиксирован параметр w € Wo). (32)

Для решения задач (31), (32) можно использовать известные методы минимизации (см., например, [Ю]), принимая во внимание свойства функции tg(w,X,p) (гладкость, выпуклость, линейность, монотонность и т.п.). В частности, нетрудно заметить, что целевая функция в задаче (32) является сильновогнутой квадратичной функцией на множестве Л0 простой структуры, и здесь можно применять методы квадратичного программирования [10]. На задачи (31), (32) нужно смотреть как на задачи минимизации первого типа [8-10]. После того как определены параметры множества Sg, для поиска точки ug = (wg,Xg,pg) G Sg нужно решить систему

w&Wq, (Х,р) G Л0, tg(w, Х,р) < Ci(A,p) + е(<5)(1 + |А|2 + |р|2),

tg(w, X,р) ^ Сг(ад) - е(5)(1 + |ад|2),

пользуясь подходящими методами численного анализа.

Описанный выше метод стабилизации определяет регуляризирующий оператор [8-10], который каждому набору входных данных fg, gg и параметров а(<5), е(6) ставит в соответствие точку ug G Sg, которая, согласно теореме, обладает свойствами (15), (17). Следует заметить, что выбор параметров а(<5), е(6) допускает широкий произвол и является тонким делом, влияет на скорость сходимости метода, на его точность.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Антипин A.C. Многокритериальное равновесное программирование: экстрапроксимальные методы // ЖВМиМФ. 2007. 47. № 12. С. 1998-2013.

2. Антипин А. С. Многокритериальное равновесное программирование // Труды XIV байкальской школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения". Т. 1. Математическое программирование. Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2008. С. 22-47.

3. Васин A.A., Морозов В.В. Теория игр и модели математической экономики. М.: МАКС Пресс, 2005.

4. Подиновский В. В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Физ-матлит, 2007.

5. Васин A.A., Краснощекое П.С., Морозов В.В. Исследование операций. М.: Издательский центр "Академия", 2008.

6. Краснощекое П. С., Морозов В. В., Попов Н. М. Оптимизация в автоматизированном проектировании. М.: МАКС Пресс, 2008.

7. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование. М.: Факториал Пресс, 2008.

8. Тихонов А.Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.

9. Тихонов А.Н., Леонов A.C., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука, 1995. 10. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002.

Поступила в редакцию 14.02.09

УДК 519.67

П.А. Воронин1

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЙ ПОДХОД К РАСЧЕТУ ИНФОРМАЦИОННЫХ МНОЖЕСТВ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИЧЕСКОГО ПОИСКА

Предложен новый метод расчета информационных множеств в задачах динамического поиска. Представление множеств основано на аппарате полей расстояний, а операции над ними — на вычислении геодезических расстояний при помощи нахождения вязкостного решения уравнения Гамильтона-Якоби. Описанный метод применяется для решения поисковых задач на поверхностях в трехмерном пространстве.

Ключевые слова: динамический поиск, поля расстояний, геодезические расстояния.

1. Введение. Существует большое число постановок задач поиска, мотивированных различными практическими задачами. Все они так или иначе формализуют задачу получения неизвестной информации об искомом объекте. Например, в монографии [1] задача поиска — это дифференциальная игра с неполной информацией, а в работе [2] авторы исследуют игры поиска на графах.

Отдельный большой класс представляют собой задачи поиска объектов на заданном множестве. Воспользуемся классификацией из статьи [3] и напомним основные понятия.

Областью поиска чаще всего является подмножество некоторого пространства, не обязательно связное и ограниченное и, вообще говоря, изменяющееся во времени.

Объекты поиска, статичные или подвижные, лежат в области поиска. Для простоты их можно считать точечными. В различных задачах объекты поиска могут способствовать нахождению, не препятствовать ему или же деятельно сопротивляться.

Ищущие объекты — это подвижные точки, в задачу которых входит отыскание такого обхода области поиска, при котором будут обнаружены все объекты поиска или же будет доказано, что ни одного искомого объекта в заданной области не было.

Из возможных условий обнаружения наиболее распространены: а) попадание искомого объекта на линию прямой видимости одного из ищущих (подобные задачи рассматриваются в областях сложной топологии, например на плоскости с вырезами [3]); б) приближение одного из ищущих к искомому на заданное расстояние (определение расстояния зависит от задачи: это может быть стандартное евклидово расстояние на плоскости, геодезическое расстояние на поверхности и т.д.).

В зависимости от задачи поведение искомых объектов может быть разным. Объекты могут быть неподвижными или перемещающимися, причем движение может быть детерминированным (принадлежать какому-то классу [4]), стохастическим [5] или уклоняющимся (когда объект активно препятствует нахождению [6]). Могут отличаться и информационные возможности объектов (их осведомленность о выбранной стратегии и параметрах движения противодействующей стороны). Мы будем рассматривать случай, когда искомые объекты активно уклоняются от ищущих, местоположение, скорость и стратегия движения которых в каждый момент времени им известны, в то время как ищущие знают только максимальную скорость уклоняющихся. Ищущим необходимо выбрать такую стратегию поведения, которая бы гарантировала нахождение искомых объектов вне зависимости от их действий. Эту

1 Факультет ВМиК МГУ, асп., e-mail: pavel.voroninQgmail.com.