Метод синергетического синтеза системы управления колебаниями «Перевернутого маятника на подвижной тележке» Текст научной статьи по специальности «Математика»

Веселов Геннадий Евгеньевич

Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.

E-mail: [email protected].

3479GG, г. Таганрог, ул. Чехова, 2.

Тел.: 8863436G45G.

Факультет информационной безопасности; декан.

Никифоров Арсений Михайлович

E-mail: [email protected].

Тел.: 88634318G9G.

Кафедра синергетики и процессов управления; студент.

Veselov Gennady Evgen’evich

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.

E-mail: [email protected].

2, Chexova Street, Taganrog, 3479GG, Russia.

Phone: +7863436G45G.

College of Informational Security; Dean.

Nikiforov Arseniy Mixajlovich

E-mail: [email protected].

Phone: +78634318G9G.

The Department of Synergetics and Control; Student.

УДК б81.51

..

МЕТОД СИНЕРГЕТИЧЕСКОГО СИНТЕЗА СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

«

»

В докладе в полной нелинейной постановке решена известная своей сложностью проблема стабилизации «перевернутого маятника на подвижной тележке». Методом аналитического конструирования агрегированных регуляторов (АКАР) синтезированы законы управления движением тележки, обеспечивающие стабилизацию или автоколебания маятника с максимальным отклонением (± G,5n ) от верхнего неустойчивого положения. Рассматриваемая двухмассовая модель «жревернутый маятник на подвижной тележке» отражает поведение различных реальных механических систем - от ориентации космических аппаратов до поведения манипуляционных роботов и маятниковых транспортных систем. В литературе уделяется важное внимание проблеме управления такого рода механическими сис-, -де эффективного решения этой проблемы теории управления.

«Перевернутый маятник на подвижной тележке»; инвариантное многообразие; ; .

Al.A. Kolesnikov

METHOD OF SYNERGETICS SYNTHESIS OF “INVERTED PENDULUM ON MOBILE CART” OSCILLATION CONTROL SYSTEM

In the report we solve nonlinear complex problem of stabilization of “inverted pendulum on mobile cart". By using method of analytical design of aggregated regulators (ADAR) we have designed control laws for cart movement providing pendulum stabilization or self-oscillation with max.

11G

amplitude of ( +0,5ж ) from top unstable position. The explored double-mass model of “inverted pendulum on mobile cart" reflects behavior of various mechanical systems, including orientation of space vehicle and movement of manipulated robots and pendulum transport systems. Other authors attend problem of such mechanical systems control. This proves the essential applied significance for proposed in the report the effective solution of this problem of control theory.

Inverted pendulum on mobile cart; invariant manifold; synthesis; control law.

.

относится сложная проблема управления колебательными процессами в системах самой разнообразной природы. В зарубежной и российской научно-технической литературе публикуются десятки статей и многие монографии, а также проводятся крупные международные конференции и симпозиумы, посвященные проблеме изучения регулярных и хаотических колебаний [1-4] и др. Эта проблема стала одним из источников развития синергетики - науки о процессах самоорганизации в сложных системах. Некоторые российские авторы к одной из ветвей и даже предтечий синергетики относят известную горьковскую школу автоколебаний [4-7], развивающую традиции Л.И. Мандельштама и А.А. Андронова. В работах этой школы идеология теории нелинейных колебаний переносится на широкий круг физических явлений. Авторы сборника [8] отмечают: «В нашей стране школой Л.И. Мандельштама был создан междисциплинарный подход, развиваемый как теория колебаний. В рамках этой теории были разработаны основные меха, , широкое представление о различных типах организации в природе. И именно эти работы следовало бы назвать предшествующими новому подходу к теории качественных переходов - синергетике».

Поток публикаций по проблеме управления колебаниями непрерывно растет. Основное внимание продолжает уделяться колебательным системам маятникового .

проблема управления «перевернутым маятником» в верхнем неустойчивом со, «

». -менения того или иного метода управления. Первая из этих проблем в полной мере решена в работе [9]. В этом докладе решается проблема управления «перевер-

».

Более 30 лет в мировой литературе по теории нелинейных колебаний и системам управления рассматривается модель «перевернутого маятника на тележке» (inverted pendulum) [10-15]. Дело в том, что эта двухмассовая модель в определенной мере отражает разнообразные реальные механические системы - от ориентации космических аппаратов до поведения различных манипуляционных роботов и маятниковых, например транспортных, систем. Эта модель из-за своих отличительных динамических особенностей стала своего рода «пробным камнем», тестом на эффективность для методов теории управления - от классических линейных методов, опиравшихся в основном на ПИД-ре^ляторы, до современных методов, базирующихся на технологии FNN - Fuzzy Neural Networks с использованием некоторой комбинации нечеткого регулятора совместно с ПИД-регулятором [11-13]. Следует отметить, что в большинстве работ, за исключением [14, 15], рассматриваются линеаризованные модели перевернутого маятника и тележки, что, разумеется, существенно ограничивает динамические свойства соответствующих систем управления положением маятника и тележки. Так, максимальный угол отклонения маятника от вертикального неустойчивого положения обычно не превышал 20-30°.

1. Синтез законов управления. Возникает достаточно сложная задача управления полной нелинейной моделью «маятника на управляемой тележке» с

достижением предельно допустимых углов отклонения маятника от верхнего неустойчивого положения с учетом ограничений на положение тележки, величину управляющей силы и др. Для решения указанной задачи применим метод аналитического конструирования агрегированных регуляторов (АКАР) [16-18].

Рис. 1. Система «перевернутый Рис. 2. Кинематическая схема

маятник на тележке»

Рассмотрим перевернутый маятник, ось которого укреплена на тележке (рис. 1,2). Тележка приводится в движение силой Л (), являющейся управляющим воздействием системы. На основании анализа сил и перемещений можно получить нелинейную математическую модель системы:

) = х;

х2({ ) = Х4;

х3(г) = и; . (1)

/ \ 8 ■ 1 х4(г )= — бш( х2)-- С08( х2) • и.

Здесь Х1 = 5 - горизонтальное перемещение тележки; х2 = (р - угловое отклонение маятника от вертикального положения; х3 = 5 (г) , х4= ф(); т , Ь -масса маятника и расстояние между осью и центром тяжести; ] - момент инер-

т ^ тЬ

ции относительно центра тяжести; М - масса тележки; Ь =-------------------- - эффек-

тЬ

тивная длина маятника;

1 ' Л Л

mLg sin(2 Х2) т 2 • / ч ju — Dsx3----------—— + mLx4 sin(x2)

. (2)

u =---------------2-----x

mL cos (x2)

M + m----------, 2

L

Нелинейные дифференциальные уравнения (1), (2) описывают поведение системы «перевернутый маятник - управляемая тележка». Из этих уравнений следует, что одно и то же управление u (t) приложено к разным каналам системы,

разделенным динамическими звеньями. В линейной теории управления это приводит к проблеме минимально-ф^овости, что, как известно из условий общности положения принципа максимума, ограничивает управляемость системы. Именно это свойство явилось, на наш взгляд, причиной многолетних недостаточно успеш-

ных попыток решить задачу синтеза эффективных законов управления верхним положением маятника путем воздействия на положение тележки.

Возникает идея поиска такого нелинейного преобразования координат, кото-

х 2 -

дельного: — 0,5я < Х2 < 0,5^ и, кроме того, чтобы на положение каретки Х1

ограничений не накладывалось. Это исчерпывающим образом решает поставлен-

ную задачу управления системой «перевернутый маятник на тележке». Перейдем к рассмотрению такого преобразования координат.

Рассмотрим важную самостоятельную задачу выбора макропеременной. Введем некоторую макропеременную в следующем виде:

I//= х + ¥ (х2) + С |¥ (х2)Ж , (3)

продифференцировав которую дважды по времени, получим:

д¥

\}/ ( ) = Х,(г )+ — х2( ) + %¥ (х2 )

ох2

\ •• / \ F .2/ \ dF , Ъ¥ . , ,

¥(t) = xi (t) + -^~Тx2 (t) + -^Tx2 (t) ^ gX"X2 (t).

Подставив X (t) и X2(t) из (1) в )(t), найдем выражение

V(t ) =

l

l OF 1 g OF . Э2F ,2/ x rOF .

-p —cos x2 u + 77^ ........... '

L Ox2 L Ox

2 sin x2 + axF x2(t )+^ox^ x2(t).

Очевидно, чтобы избавиться ОТ функции COS X2 в первом члене этого вы,

dF _ р

Ox2

COS x2

Откуда следует искомая функция преобразования

F _-рln,

С учетом этого преобразования макропеременная (3) принимает вид

ж

ln

у/_ xi-pln Ц ^-XLJ-y J;

где у = -. Тогда, дифференцируя (4), получим

/ \ / \ px2(t)

\j/(t) _ X1 (t) +- 7ln

7Г

COS X

4 2

dt ,

(5),

• • / \ •• / \ P •• / \ P Х2 (t) / ^v2

y/(t ) = xl(t) + —-— x2(t) + —tgx2+ 2

У Х2

(t)

(4)

(5)

(б)

Подставим вторые производные координат хх( ) и х2 () в (6) из исходных урав-(1), . .

хх(г ) = и ; (7)

и

X2 (t) _ Lg7 sin X2 - L COS (X2 )u .

В результате, подставляя (7) и (8) в (6), имеем:

Pg^, , P X2 (t , У X2 (t)

f () = Bu + —— tgx2 + —tgx2 + ■

L

С08 х

2

С08 х

(В)

(9)

2

где в = 1 — р. Образуем теперь, согласно методу АКАР, функциональное урав-

L'

нение

f(t)+ af(t)+«/ = 0, « > 0, «2 > 0.

(10)

Подставив ) (9) в (10), найдем управление

pg px2 (t)

u =--------; tgx2-------tgx2

BL

Bcos x

-«/()-«/. (id

Bcosx2 B

B

В соответствии с методом АКАР, управление и (11) переводит систему (7), (8) на многообразия / = 0 (4) и /( )= 0 (5) из произвольных начальных условий. Движение координаты х2 на многообразиях / = /() = 0 описывается уравнениями (8), (11), т.е.

g • p g sin x2f+^77v sin x2f

+ r, t' x2f (t )tgx2f + ' x2f (t)-

у

2/ BL 2/

Ь ^ в(ь')2 ^ ВЬ

Для устойчивости решений уравнения (12) положим В = — Л < 0, тогда

Р8 = (1+Л)„ Р 1+ Л

Р = (Л + l)L',

b(l')2 лг

С учетом (1З) уравнение (12) принимает вид

T^g,

BL

Л

Х2/ (t) + a1 sin xf f + a,

где

+ a2(t Х?Х2/ + aзХ2f (t) = 0,

(L + Л)

g 11 + Л ) у

aL = ^Ц, a2 = ^^> aз = ^7 • 1 ЛГ Л ЛГ

(12)

(1З)

(14)

(15)

Уравнение (14) при а1 > 0, а2 > 0, а3 > 0 является асимптотически устойчивым относительно х2/ = 0, в диапазоне — 0,5^ < х2/ < 0,5^. В зависимости

от величин коэффициентов а1, а2, а3 уравнение (14) может иметь различный характер переходных процессов, на который наибольшее влияние оказывает коэффициент у (15).

Запишем закон управления (11), используя обозначения (13), в следующей :

= (1 + Л)8 (1 + Л)Ь" х\(г) у х2(г) а ./\ а

u = tgx2 +^Л---------------------~ tgx2 + ) + ЛЛ /, (1б)

Л Л cos x2 Л cos x Л Л

2

где

Ґп v 4

x

yji

ln t

п x2 w4-1

dt ,

(17)

2

f (t) = xL (t) + (l + Л) Х2 (t) - уіп

С08 х

2

tg

п x2

42

(ЇВ)

Используя выражения (1) и (2), на основе (16)-(18) запишем управление:

mLg sin (2x2)

2L

U = Dx - mLx4 sin x2 + L

2

mL cos x2 M + m - 2

v

L

x

x

С08 х-,

Х4 - g

tg Х2 +■

у

- +

С08 х

Х2 +

(l + Л)Г

С08 х

Х4 - уіп

2

tg

2

п x2

42

+

xL +(l + X)Lln

п xn

у

Jln

п xn

tg|7 - f

dt

(19)

В (12) следует выбрать такие а1, чтобы ) имела желаемый характер из-

менения. Так, при апериодическом процессе

а

TT

а

(20)

тогда

f(t )= Cit

-t I Ti

+ C2e

-t IT2

что обеспечивается соответствующим выбором Т и Т2 . При отличном от (20) выборе а1,а2 возникает затухающий колебательный переходной процесс.

2. Результаты моделирования. На рис. 3 и 4 приведены результаты моделирования (ах = О2 = 1) с законом управления (19) соответственно для подсистем маятника и тележки. На рис. 5 изображены графики переходных процессов для х10 = 0,5 , х20 = —0,5 .

Рис. 3. Фазовый портрет подсистемы тележки

Рис. 4. Фазовый портрет подсистемы .маятника

Вместо (10) можно использовать и другие уравнения, например, вида

)-|(1 -Ру2 ) + у = 0. (21)

Уравнение (21) является известным уравнением Ван-дер-Поля и описывает .

и = ■

= (Лк,^2 + Л.АИ + |(1 -^ ) )-г. (22)

Л Л -08 х2 Л -08 х2

-1

х2(і), х3(і), х4(і)

А

Д Х4(і)

V

хАі) /Х2(і)

V /

\3(і) і, в

0,6 1,2 1,8 2,1 3

Рг^с. 5. Переходные процессы

На рис. 6 и 7 изображены соответствующие фазовые портреты подсистем маятника и тележки с законом управления и (22). Моделирование производилось

с параметрами L = 0,1, Ь' = 0,1, М = 1, т = 0,1, £ = 9,8, = 100, у = 1,

Л = 1, Р = 2, £ = 0,5.

8,2

4,6

-2,6

-6,2

Х4, рад/с \

! \

\

\

І А

Ч 1

\ /

\ / /

\ / рад

1,6

0,8-

-0,8-

-1,

х3, м/с

Л V

А \\

{ 1 1

/ 1

\ у > /

\

х!, м

-1,6

-0,8

0,8

1,6

-1,6 -0,8

0,8 1,

Рис. 6. Фазовый портрет подсистемы маятника

Рис 7. Фазовый портрет подсистемы тележки

Заключение. Необходимо отметить, что законы управления ц(х1,..., х4), получаемые в результате применения синергетических методов синтеза, физически представляют собой моменты, развиваемые электрическим двигателем перемещения тележки. Зная ц(х1,..., х4), нетрудно определить соответствующие законы управления напряжением на входе двигателя. Для этого следует представить

/u{xlx4) так внутренние управления и затем на основе модели двигателя синтезировать соответствующие законы управления электроприводом тележки.

,

управления неустойчивой нелинейной двухмассовой системой «перевернутый маятник на подвижной тележке» впервые позволило исчерпывающим образом решить указанную задачу теории колебаний в полной нелинейной постановке.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Нелинейные проблемы теории колебаний и теории управления. Вибрационная механика. - СПб.: Наука, 2009.

2. Управление мехатронными вибрационными установками. - СПб.: Наука, 2001.

3. Анализ и управление нелинейными колебательными системами. - СПб.: Наука, 1998.

4. Неймарк ЮМ., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. - М.: Наука, 1987.

5. Андроное А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. - М.: Наука, 1981.

6. Рабинович Р.С., ТрубецковДМ. Введение в теорию колебаний и волн. - М.: Наука, 1992.

7. - . ., . . . -

лей// Нелинейные волны. Структуры и бифуркации / Под ред. А.В. Гапонова-Грехова и М.И. Рабиновича. - М.: Наука, 1987.

8. Валянский С.И., Илларионов С.В. Физические основы самоорганизации // Самоорганизация и наука: опыт философского осмысления: Сб. науч. тр. - М.: Институт философии РАН, 1994'.

9. . . .

// Известия РАН. Теория и системы управления. - 2009. - № 2.

10. КвакернакX., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. - М.: Мир, 1977.

11. Elgerol O.I. Control Systems Theoy, - N. Y.: McGraw-Hill, 1967.

12. Jang S., Araki M. Mathematical analysis of fuzzy control systems and on possibility of industrial applications // Trans. Soc. Instrum. and Contr. Eng. - 1990. - Vol. 26. - № 11.

13. Saito T., Togawa K. Controls of inverted pendulum: By the technique using the analog control elements // Res. Repts Nagaoka Techn. Coll. - 1991. - Vol. 27. - № 2.

14. Брусин BA. Глобальная стабилизация системы «обращенный маятник па тележке» при

// . -

нетика. - 1993. - № 3.

15. . .

// Известия РАН. Техническая кибернетика. - 1991. - № 4.

16. Колеси иков А А. Синергетическая теория управления. - М.: Энергоатомиздат, 1994.

17. . . .

системного синтеза. - М.: URSS, 2006.

18. . . : . - : Изд-во ТТИ ЮФУ, 2007.

Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор ВА. Терехов.

Колесников Александр Анатольевич

Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.

E-mail: [email protected].

347928, . , . , 2

.: 88634318090.

Кафедра синергетики и процессов управления; к.т.н., доцент.

Kolesnikov Alexsandr Anatol’evich

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.

E-mail: [email protected].

2, Checkhov Street, Taganrog, 347928, Russia.

Phone: +78634318090.

The Department of Synergetics and Control; Cand. of Eng. Sc.; Associate Professor.