Метод расчета напряжений около ослаблений в массиве пород Текст научной статьи по специальности «Энергетика и рациональное природопользование»

Исходя из этого условия подбором устанавливается разделение уступа на поду ступы. Расчеты показали, что для отработки по рассматриваемой схеме вскрыши мощностью 30 ми залежи мощностью 3 м при принятых размерах исходных элементов ^ = 2 м, ав = 450, a = 2 м) высота подуступа, отрабатываемого верхним черпанием, обеспечивающая образование предотвала, должна составлять 18 м.

Драглайн, располагаясь на верхней площадке нижнего подуступа, за счет отработки верхнего подуступа образует предотвал. Затем драглайн перемещается на предотвал и отрабатывает нижним черпанием с перемещением в отвал переэкскавируемую часть предотвала и нижний вскрышной подуступ. С этой же позиции он может экскавировать полезное ископаемое с погрузкой в транспортные средства. Расчетные значения других элементов технологической схемы составляют: Н0 = 37,5 м, Но1 = 22,5 м, Шв =20 м, Но2 = 7,5 м, Шп = 17,5 м, Б = 50 м, Sп = 310 м2, $п.н = 70 м2. Ширина площадки между откосами верхнего и нижнего подус-

тупов, на которой производится погрузка автосамосвалов, зависит от расстояния, на которое происходит смещение драглайна в сторону откоса верхнего подуступа при его отработке.

Таким образом, параметры выемочнопогрузочного драглайна типа ЭШ 11.70 П с прицельной погрузкой открывают широкие возможности для его применения в разнообразных условиях эксплуатации. Дополнительное повышение высоты уступов достигается путем отработки их с разделением на подусту-пы. При этом в транспортных схемах целесообразно максимально использовать эффект нижнего черпания. В комбинированных технологических схемах с перевалкой вскрыши в выработанное пространство и погрузкой полезного ископаемого в транспортные средства высота нижнего подуступа может составлять 0,4-0,5 максимальной глубины черпания драглайна и дальнейшее увеличение мощности вскрыши следует производить за счет использования верхнего черпания.

— Коротко об авторах ----------------------------------------------------------------------------

Самородов Юрий Петрович - профессор, доктор технических наук, ННЦ ГП - Институт горного дела им. A.A. Скочинского.

Шендеров Авраам Исаакович - действительный член АГН, кандидат технических наук, зав. лабораторией, ННЦ ГП - Институт горного дела им. A.A. Скочинского.

Баулин Анатолий Васильевич - инженер, АО "Эльзауголь".

Сушенкова Светлана Александровна - инженер, ННЦ ГП - Институт горного дела им. A.A. Скочинского.

------------------------------------------ © В.Е. Миренков, В.А. Шутов,

2004

УДК 622.831+539.3

В.Е. Миренков, В.А. Шутов

МЕТОД РАСЧЕТА НАПРЯЖЕНИЙ ОКОЛО ОСЛАБЛЕНИЙ В МАССИВЕ ПОРОД

Семинар № 13

ТГ аличие численных методов расчета сооружений еще не может служить достаточным основанием для суждения о поведении массива пород с выработками. Только

описание конструкций, допускающее теоретический анализ, может служить для выявления качественно новых возможностей деформиро-

вания, согласующихся с натурными наблюдениями.

Проблема деформирования с учетом три-бофатики на всевозможных контактах в неоднородностях пород, активизирующихся при ведении горных работ, что вызывает циклические подвижки окрестности выработки за счет случайного разрушения в каком-либо месте массива около ослабления, является первоочередной в механике горных пород. Такая ситуация аналогична испытанию образца на растяжение - первоначальный участок на диаграмме СТ ~ е устойчивый, но с появлением остаточных деформаций происходит переход на неустойчивый (колебательный) режим, приводящий к разделению образца на части.

Обратные задачи, в которых часть величин, определяемых в прямых, заранее задается, например, равнопрочность контура выработки -главная возможность создания принципиально новых технологий с позиций механики горных пород. Формулировка их реализуема, если есть уравнения, описывающие процесс и допускающие строгий анализ его изменения.

Математическому моделированию напряженно-деформированного состояния около выработки посвящено много работ [1, 2], основное содержание которых демонстрировало скорее успехи математики, нежели удовлетворяло потребность в уточнении закономерностей деформирования массива пород с выработками. Совокупность предположений на процесс деформирования зачастую превосходит произвол, допускаемый упругой моделью, и приводит к их несовместности, что выражается в бесконечно больших напряжениях и образовании изломов (разрывность деформаций) на гладкой части границы [3].

Рассмотрим плоскость с отверстием в виде произвольного выпуклого п-угольника, по контуру которого заданы произвольные нормальные и касательные напряжения и (или) смещения. Продолжая каждую из сторон п-угольника до

бесконечности, вы- _____________________

делим п полуплос- ' ^ //

костей. На участке .■— _ _ -Г

к-ой полуплоскости

Рис. 1. Эпюры нормальных смещений контура выработки

(k = 1,2,.. ,,n), совпадающей с k-ой стороной многоугольника, действуют заданные напряжения Г!° т° , а на остальных участках границы по-

uyb 1 xyk

луплоскости - возникшие в результате деформирования рассматриваемой плоскости искомые напряжения p± ,q± («±» относятся соответственно к положительным и отрицательным значениям абсциссы xk локальной системы координат xk, yk, связанной с серединой данной стороны длиной 2ak).

Допустим, что функции p± q± известны.

Тогда напряженное состояние в k-ой полуплоскости определяется выражениями

axk, °yk, Xxyk (1)

выписываемыми согласно [4]. Переходя последовательно от полуплоскости (k) к полуплоскости (k+1), будем получать цепочку

соотношений

Pk = ^ x,k+i sm2 a k+i + О y,k+i cos2 а м +

+ Txy,k+1 sin2« k+1,

qk = [°x,k+i -CTy,k+i]sin2ak+i +

+^xy,t*1 C0s2«i+1 ,

Pk+1 = ,k sin2 k C0s2 «М +

+ T xy,ksin2« k+1, (2)

qk+1 = [ayk “axk]sin2ak+1 + ^xy,kC0s2«k+1,

причем

( ± ± ° ° ) ax,k+1(pk+1, qk+1, ax,k+1, 1 xy,k+1) 5

/ ± ± ° ° \

Gxn,k (pk, qk, Gyk, Xxy,k) ,

Pn+1 = РГ, qn+1 = qr.

Таким образом, выписывая последовательно решение для каждой полуплоскости и, вычисляя при этом напряженное состояние (1), после подстановки в (2), получим систему 4n интегральных уравнений, связывающую искомые

Pk,qk (k = 1,2,.,n) и заданные граничные

функции ст°^ т^. Знание p* ,q* полностью

решает задачу определения напряженно-деформированного состояния в плоскости с отверстием.

Не уменьшая общности, рассмотрим случай выработки с контуром квадратного поперечного сечения (ak= 1, k = 1, 2, 3, 4) в гидростатическом

-2 -

■\ -2v3| ч^-2 -1

\ \

0 1 \^2_ 1 ч0

-4 -3-2-1 0 1 2

б) о-

-3

Ж4 ©

( 1 2 3 j У -2 )

1 -1

важно использовать всю информацию о характерных особенностях решения. Исследуем поведение напряжений СТу = р(х) и X = д(х)

для х > 1, исходя из системы (4).

Интегрирование этих уравнений по х от 1 до & определяет

|р(х)ёх = -0О, |д(х)ёх = -а0

1 1 (5)

Переходя к пределу при х ^ 1 и, оценивая интегралы, входящие в систему (4), получим

р(1) - -р(1) -- II-1-+-Ц^)* % % .11 - +1 - -11

' 2

-3

-2

1

-1 0 Рис. 2

исходном поле напряжений нетронутого массива пород, т.е.

2

’q(1) + ip(1) --q(1) =^°-

КПП

a y =а0 = const,

<y = о

(3)

Отсюда следует, что ограниченное решение системы (4) при х —^ 1 дает

р(1) = °о, а(!) = о, (6)

где а0- напряжение в точке нетронутого массива, совпадающее с центром будущей выработки.

В развернутом виде уравнения (2) могут быть записаны в виде

при условии,что

t^q(t)dt = -1 [1 - tVo ' (7)

>t2 -1

2

4

(t +1)2

(t -1)2

[(t + 1)2 + (x -1)2]2 [(t-1)2 + (X -1)2]2

(t+1)3

(t - 1)3

1 [[(t +1)2 + (x -1)2]2 [(t -1)2 + (x -1)2]

2 2q„(x -1) , (4)

p(t)dt -

q(t)dt=

= —atctg

q(x) +

2(x -1)

x -1 л[4 + (x -1)2]

2(x -1) 7i t +1

t -1

[(t +1)2 + (x -1)2]2 [(t -1)2 + (x -1)2]2 ^p(t)dt 4

(t + 1)2

(t -1)2

[(t +1)2 + (x -1)2]2 [(t -1)2 + (x -1)2]2

q(t)dt =

4CTo

ге[4 + (х -1)2]

Система (4) по определению р(х) и q(x) решает задачу нахождения напряженно-

деформированного состояния во всех четырех полуплоскостях, выделенных около квадратного отверстия, и впервые допускает аналитическое исследование поведения напряжений при стремлении к угловым точкам контура.

Поскольку предполагается численная реализация системы интегральных уравнений (4), т.е. получение приближенного решения, то очень

Выполнение (7) предполагает перемену знака q(x) на луче x > 1.

На рис. 1 приведены нормальные компоненты смещений контура выработки, отвечающие представлению о бесконечных напряжениях в упругой задаче [1, 2]. Все известные решения с бесконечными напряжениями в угловых точках не учитывают того, что материал одной стороны отверстия не может проникнуть через материал соседней в окрестности углов, где необходимо учитывать контактное взаимодействие, т.е. решать дополнительно контактную задачу. Эта последняя является нелинейной, так как неизвестная граница контакта (задача Герца) ищется в процессе решения.

Таким образом, в строгой постановке исходная задача нелинейная. Будем исходить из существования зоны контакта величиной А, своего рода погранслой.

Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:

- область контакта, обычно не учитываемая, достаточно малая и может рассматриваться как погранслой толщиной Д<<1, обеспечивающий

5

4

3

непрерывность напряжений всюду (необходимое условие для упругой задачи);

- решение системы (4) вне некоторой окрестности х=1, любым из известных методов дает достаточно хорошее приближение и может использоваться для оценки А;

- качественное поведение р(х) и q(x) определяется дополнительно условиями (5)-(7);

- угловая точка х = 1 в процессе деформирования сместится в точку х = 1 - А = Ь, т.е.

У(1) = и(1) = -Д. (8)

На рис. 2 приведены поля напряжений ^

и т для а = 10 как решение системы (4). При

разбиении области счета [1; 10] на конечное число участков, с серединами которых связаны значения р постоянные в пределах участка к. Система интегральных уравнений сведена ,таким образом, к системе алгебраических.

Аппроксимируем поведение р(х) и q(x) в пределах участка [Ь; 1] следующими функциями

ах + Р, Ь < х < 1

- ах + Р, -1 < х < -Ь

(х - Ь)(1 - х), Ь < х < 1 (9)

(х + Ь)(1 + х), -1 < х < -Ь где А - подлежащая определению постоянная,

Ро +Оо а Ро + ^0 +А

а У =

т = А •

Р-

-, Ро = Р(1) ’

д д

а результаты, приведенные на рис. 2, для у = 0, х > 1 -

р(х) = % q(x) = % qo = q(1). (10)

х х

Как следует из (9), (10), данное представление зависит от параметров

Po,qo, А,А, (11)

подлежащих определению из четырех уравнений (5), (7) и (8).

Для реализации (8) воспользуемся уравнениями, связывающими граничные значения компонент напряжений и смещений, приведенными в [3], т.е.

к-1

~4^

и(х) = х |ауёх +

4яц

У(х)|тах-к +1

4ц

^и*, (|2)

- - х

где к, Ц - упругие характеристики материала. Оценку параметров (11) из (12) лучше прово-

дить, исходя из второго уравнения, учитывая только часть, даваемую касательными напряжениями на участке [Ь, 1], ответственную за смещения (8). В этих предположениях получаем

24р,Д .

А = -

(13)

(к- 1)(3Ь -1)

Подставляя (9), (10) в (5), приходим к оценкам

баоЬ

р0 ~-------0— ~~3а0’

0 2 + ЗА 0

1бцД

(14)

(к- 1)(3Ь -1)

Условие (7) позволяет получить

(15)

Л, 1^-1) ^

для случая = 10 МПа, К = 2 (рис. 2) окон-

’О

чательно получаем оценки

!-4сто

т(х = Ь + -) Я 1,5ао'

ро к 3сто, qo :

Сюда можно добавить, полагая

ц = 105 МПа, Д* 0,023.

Результат действия касательных напряжений проявляется по-разному для различных типов пород и характера их залегания, вызывая или высыпание пород из зоны Ь < х < 1. Или стреляние в случае, например, прочных гранитов.

Таким образом, сформулирован метод определения ограниченного всюду решения для напряжений в окрестности выработок, контур которых содержит угловые точки, в нелинейной постановке. Величина переходной области (по-гранслоя) зависит от модуля Юнга материала, увеличиваясь с уменьшением его.

Поскольку решение построено для безразмерной геометрии выработки со стороной, равной двум, то для реальной геометрии величина А для пластичных материалов будет характеризовать величину отжима пород в выработку. Последнее существенно для очистных выработок. Все сказанное остается в силе, если Ь = 1 +Д, т.е. искомое решение относить к не-деформированному состоянию.

q

0

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Михлин С.Г. О напряжениях в породе над угольным пластом. - Изв. АН СССР, ОТН, 1942, №7-8, с.13-28.

2. Баренблатт Г.И., Христианович С.А. Об обрушении кровли при горных выработках. - Изв. АН СССР, ОТН, 1955, №11, с.73-86.

3. Курленя М.В., Миренков В.Е., Шутов В.А. Основы математического моделирования разрушения. - Новосибирск: Изд. СО РАН. 1998.- 168с.

4. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука. 1966.708 с.

_ Коротко об авторах ----------------------------

Миренков В.Е., Шутов В.А. — Институт горного дела СО РАН.

1. Михлин С.Г. О напряжениях в породе над угольным пластом. - Изв. АН СССР, ОТН, 1942, №7-8, с.13-28.

2. Баренблатт Г.И., Христианович С.А. Об обрушении кровли при горных выработках. - Изв. АН СССР, ОТН, 1955, №11, с.73-86.

3. Курленя М.В., Миренков В.Е., Шутов В.А. Основы математического моделирования разрушения. - Новосибирск: Изд. СО РАН. 1998.- 168с.

4. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука. 1966.708с.