CC BY
105
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том XXVIII
1997
№3-4
УДК 532.526.011.55
МЕТОД РАСЧЕТА КОЭФФИЦИЕНТОВ ПОВЕРХНОСТНОГО ТРЕНИЯ В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ ПРИ БОЛЬШИХ СВЕРХЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ И НИЗКИХ ЗНАЧЕНИЯХ ТЕМПЕРАТУРНОГО ФАКТОРА
Разработан метод расчета интегральных характеристик турбулентного пограничного слоя, основанный на предположении о степенном законе распределения скорости, с учетом зависимости параметра турбулентности от числа Маха, числа Рейнольдса и температурного фактора при отсутствии градиента давления.
1. В инженерных расчетах интегральных характеристик турбулентного пограничного слоя наиболее широкое применение получили две модели турбулентности. Одна из них исходит из гипотезы Прандтля, согласно которой турбулентные напряжения выражаются зависимостью
где путь перемешивания / в пристенной области пограничного слоя прямо пропорционален расстоянию у от стенки
а вторая модель, развитая в последние годы, основана на использовании балансных уравнений пульсационных величин. В последнем случае уравнения Рейнольдса замыкаются или с помощью дополнительных дифференциальных уравнений (например, уравнений для полной кинетической энергии турбулентности, касательных напряжений Рейнольдса, эффективной турбулентной вязкости), или с помощью эмпирических соотношений. Использование дополнительных дифференци-
Е. У. Репик
тт = -рм'у' = р/2
(1)
1 = ку,
(2)
альных уравнений хотя и позволило расширить класс решаемых задач, что способствовало большей общности и универсальности полуэмпи-рических теорий, но не привело к повышению точности определения инте1ральных параметров пограничного слоя.
В настоящее время большое внимание уделяется развитию численных методов решения уравнений Навье — Стокса при числах Ле > Явкр. Однако такие решения пока не только не дали практически
важных результатов, но и до сих пор нет убедительных доказательств применимости уравнений Навье — Стокса к описанию турбулентных потоков.
Простота интегральных полуэмпирических методов расчета турбулентного пограничного слоя первого типа и наиболее высокая их точность в условиях потока газа с умеренными сверхзвуковыми скоростями делают эти методы весьма заманчивыми для дальнейшего их усовершенствования и развития на случай расчета более сложных течений, в частности, для расчета гиперзвукового неизотермического течения газа, расчет которого в настоящее время не удовлетворяет практическим требованиям. Так, например, проведенное в [1] сравнение опытных данных по определению значений коэффициентов поверхностного трения Cf, полученных в [2] при М * 20 и температурном факторе Т„/Т0*0,2, со значениями Cf, рассчитанными по наиболее точным методам расчета, показало, что погрешность определения су по методу Ван-Дриста II [3] составляет 37%, по методу
Соммера — Шорта [4] — 70% и по методу Сполдинга и Чи [5] — 125%.
Анализ показывает, что высокая погрешность расчета обусловлена главным образом недооценкой влияния теплообмена (температурного фактора) на значение поверхностного трения при больших сверхзвуковых числах М. Это несоответствие опытных данных с расчетными значениями Cf обусловлено в первую очередь тем, что допущения и предположения, которые обычно принимаются при построении полуэмпирических теорий, при гиперзвуковых скоростях потока уже не являются физически обоснованными. Ниже приводятся результаты этого анализа, на основании которого делается попытка усовершенствовать интегральный метод расчета Cf с учетом экспериментально установленных особенностей развития гиперзвукового пограничного слоя.
2. Полуэмпирические интегральные теории турбулентного пограничного слоя, как правило, исходят из расчетной схемы Прандтля, согласно которой пограничный слой разбивается на две области: одна из которых находится в непосредственной близости от обтекаемой поверхности (стенки) и называется вязким подслоем, а другая включает внешнюю турбулентную часть пограничного слоя и носит название турбулентного ядра.
Решение обычно строится следующим рбразом:
а) задается распределение скорости и температуры по толщине пограничного слоя. Наиболее широкое распространение получили теории, основанные на логарифмическом профиле скоростей
£. = Л + В\оё^-, (3)
и* V
где и* = / р, поскольку принято считать, что логарифмический
профиль не зависит от числа Рейнольдса и является универсальным. Эта группа теорий основывается на использовании формулы (1), связывающей напряжение трения с градиентом скорости. Для сжимаемого газа логарифмический профиль впервые был применен Карманом [6], Франклем и Войшелем [7] и Ван-Дристом [8].
Значительно реже используется степенной закон распределения скорости
У
(4)
впервые предложенный Блязиусом для стабилизированного турбулентного течения в круглой трубе. Использование степенного закона для описания профиля скоростей в турбулентном пограничном слое не получило распространения из-за зависимости показателя степени п от числа Рейнольдса.
Для связи между температурой и скоростью в пограничном слое используется интеграл Крокко
Т* - Т и
1----1^ _и_ (5)
Tq ~ Tw Ux или несколько видоизмененное его выражение
гг и1 гг
1 Tf w тт
т - т ~ ТГ’
J е JW 00
учитывающее отличие числа Прандтля от единицы;
б) из условия сопряжения на границе вязкого подслоя профилей скорости в турбулентном ядре пограничного слоя и в вязком подслое находится «закон сопротивления», определяющий зависимость напряжения трения от толщины пограничного слоя 1 = /(Re§);
в) при известном распределении температуры и скорости по толщине пограничного слоя определяются толщина потери импульса и зависимость т = /(Re );
г) интегрируя уравнение импульсов, можно найти зависимость x = /(Rex), т.е. распределение напряжения трения вдоль обтекаемой
поверхности.
При этом делаются следующие допущения:
— Вид формулы (1) Прандтля в сжимаемом газе остается таким же, как и в несжимамой жидкости. Сжимаемость не влияет на закон изменения длины пути смешения с расстоянием от стенки, а значение
8i
константы турбулентности к в сжимаемом газе принимается равным ее значению в несжимаемой жидкости (к = 0,4). Переменной является только плотность р, которая изменяется в зависимости от условий потока.
— Напряжение трения постоянно по толщине пограничного слоя
при этом вязкостным трением ц------в турбулентном ядре пограничного
слоя пренебрешется.
— Закон изменения толщины вязкого подслоя 8П в сжимаемом газе, от которого во многом зависит закон сопротивления, определяется при условии, что значение параметра турбулентности а является величиной постоянной и равной значению, принимаемому в несжимаемой ЖИДКОСТИ, если ПЛОТНОСТЬ Р И ВЯЗКОСТЬ (Д. определять исходя из соответствующим образом выбранного закона их осреднения по толщине вязкого подслоя, т. е.
Такой метод учета влияния сжимаемости носит название «условной» или «определяющей» температуры.
В выборе этого закона осреднения и заключается основное различие между существующими теоретическими решениями.
Так, в работах [8] и [9] значения рср и цср принимаются равными их значениям на обтекаемой стенке, т. е.
В работе [10] значения рср и |icp определяются как средние по толщине подслоя:
Более сложный закон осреднения принимается в работе [11], где
т = xw = const
(6)
М’ср
(7)
Иср
находится по средней по теплосодержанию температуре:
х_ я_
а рср находится как средняя по расходу плотность:
РсрСГср5п =
О
Все эти законы осреднения для рср и цср выбраны произвольно исходя из чисто умозрительных соображений и далеко не очевидных, что и следует из плохого согласования значений а, рассчитанных по [8] —[11] с имеющимися в литературе опытными данными.
Эти допущения существенно упрощают теоретические решения, и они вполне приемлемы для решения практических задач в случае течения несжимаемой жидкости и газовых потоков с небольшими сверхзвуковыми скоростями.
Рассмотрим вопрос о применимости этих допущений при построении полуэмпирических теорий турбулентного пограничного слоя в условиях неизотермического потока газа с большими сверхзвуковыми скоростями. Для этой цели проведем анализ опытных данных (полученных как автором, так и другими исследователями), которые позволяют судить не только об интегральных характеристиках пограничного слоя, но и выявить структурные особенности потока в пограничном слое.
Известно, что формула (1) Прандтля дает завышенное значение напряжения трения тт даже в условиях течения несжимаемой жидкости. Согласно (1) вблизи стенки, в вязком подслое турбулентного пограничного слоя тт ~у2.
Однако измерения среднеквадратичных значений продольной и поперечной пульсаций скорости в вязком подслое (рис. 1) показывают, что тт является величиной третьего или четвертого порядка малости по у, т. е.
Учитывая это, Ван-Дрист [3] предложил для длины пути смешения вблизи стенки вместо I = ку записать
где N — демпфирующий множитель, уменьшающий путь смешения из-за влияния вязкости, равный
Однако с ростом числа М эффективность этй поправки сводится к нулю. Это видно из рис. 2, где приведено сравнение длины пути смешения вблизи обтекаемой стенки, рассчитанной по гипотезе Прандтля и на основании опытных профилей скорости в случае несжимаемой жидкости, и в сжимаемом пограничном слое при М = 6.
I = N -ку,
20 ищу/0
Рис. 1. Распределение продольной и поперечной пульсаций скорости в вязком подслое турбулентного пограничного слоя
Рис. 2. Сравнение длины пути смешения вблизи обтекаемой стенки, рассчитанной по гипотезе Прандтля и на основании опытных профилей скорости в пограничном слое при М»0 и М — 6:
1 — из опытного профиля; 2— I = 0,4у;
3 — граница вязкого подслоя
Опытные кривые длины пути смешения определялись с использованием формулы
С//2
,2. <ИР/ипУ10у
(р /и»)/4у
(8)
При выводе формулы (8) в качестве исходного применялось соотношение
т = ц^ + р/2(5|7 / ду)2 ду
(9)
Если в несжимаемом пограничном слое опытное распределение длины пути смешения вблизи стенки только несколько занижено по сравнению с / = ку, то при М = 6 почти во всей области вязкого подслоя значение / близко к нулю.
Этому способствуют следующие особенности турбулентного пограничного слоя при больших сверхзвуковых числах М.
— Резкое уменьшение размера области перехода (промежуточного слоя) от вязкого подслоя к турбулентному ядру слоя по сравнению с несжимаемым пограничным слоем.
— Значительное увеличение относительной толщины вязкого подслоя с ростом числа М.
Как следует из рис. 3, область перехода от вязкого подслоя к турбулентному ядру в пограничном слое несжимаемой жидкости начинается при у1/* / V*, * 5 и кончается при уи* / V*, * 60. При М = 6
этот переход начинается значительно позже и соответствует уЛ* / Ууу * 10, а кончается раньше при у11. / V*, «20. При М > 9 промежуточный слой полностью вырождается и переход от подслоя к турбулентному ядру носит резкий характер.
Это уменьшение протяженности промежуточного слоя с увеличением числа М набегающего потока можно связать с уменьшением температуры в пограничном слое и соответствующим уменьшением вязкости газа.
На рис. 4 приведены опытные значения относительной толщины вязкого подслоя при разных числах М и числах Рейнольдса, вычисленных по толщине потери импульса в пограничном слое, Яе**. Как видно, при М = 9 значение 5П может составлять 20—30% от полной толщины пограничного слоя, а при М = 15,2 примерно 75% от слоя [12], при этом темп нарастания относительной толщины вязкого подслоя увеличивается с ростом числа М.
Рис. 3. Распределение скорости в области лерехода от вязкого подслоя к турбулентному ядру пограничного слоя в несжимаемом потоке и при больших сверхзвуковых числах М:
1 —
и_ и»
5,5
2 —
5,75 1ов уи„
и.
Рис. 4. Зависимость относительной толщины вязкого подслоя от числа Рейнольдса при разных числах М
Таким образом, исходя из вышеизложенного, можно сделать следующее заключение. В пограничном слое несжимаемой жидкости относительная толщина вязкого подслоя мала (5П /5 = 0,02-5-0,03), при
этом имеет место весьма протяженная область перехода от подслоя к турбулентному ядру пограничного слоя. В этом случае допущение / = ку не вносит существенной погрешности в расчет интегральных характеристик пограничного слоя. В сжимаемом пограничном слое при больших сверхзвуковых скоростях потока использование физически необоснованной гипотезы Прандтля может привести к существенным ошибкам.
На рис. 5 и рис. 6 приведено сравнение опытного распределения скорости в турбулентном поіраничном слое с логарифмическим профилем в несжимаемом потоке и с профилем скорости, рассчитанным по методу [8] для сжимаемого газа:
Рис. 5. Сравнение степенного и логарифмического закона распределения скорости с опытными данными в несжимаемом пограничном слое
Ф
. ( и
агсвш! т
т-
Ц*
их
= 5,751вуї/* / у-ц, +5,3,
где
„2
т = •
ае -1
!м2
1 +
Рис. 6. Сравнение опытного распределения скорости с логарифмическим профилем [8] при М = 2
и• =4ъГ7
Как видно, во внешней области пограничного слоя при у / б > 0,2 опытное распределение скорости отклоняется от логарифмического закона как в несжимаемом, так и в сжимаемом потоке. С ростом числа М это отклонение становится все больше и больше. При М = 9,1 логарифмический закон не соответствует опытным точкам почти по всей толщине слоя (рис. 7). Есть все основания полагать, что при гиперзву-ковых скоростях потока формула (1) Прандтля, на основании которой получен логарифмический закон распределения скоростей в турбулентном пограничном слое, непригодна.
Не подтверждается также опытом допущение (6) о постоянстве касательного напряжения трения по толщине пограничного слоя. Опыты
и/и*
15
10
5
О
/Іогарифмическт профиль
ч и _ у и* а-ояыты \23\
%-_5“ М-9,1 Х'-ШО
----------------------'* 1 1 1 1
1 » « * « '
70е
ЯГ
л?-'
Рис. 7. Сравнение опытного распределения скорости с ло- '
гарифмическим и степенным законом при М = 9,1
[13] показали, что значение т изменяется поперек слоя по линейному закону
— = 1-у/8.
На обтекаемой стенке при у = 0 имеем т = т*, а на внешней границе пограничного слоя при у = 8 значение х = 0.
Однако оценка показывает, что это допущение не вносит существенной погрешности в расчет интегральных характеристик пограничного слоя. Это следует из выражения для толщины потери импульса, записанного в виде
"-1
Ри
р«Д«
1-
и_
и.
оо у
эи
ду
-1
(Ю.
Здесь производная д11 / ду, которая определяет напряжение трения, умножается на величину (1-1/ / их)- На внешней границе пограничного СЛОЯ при у -> 00, где допущение (6) является наиболее грубым, отношение (I/ /£/„)-> 1. Отсюда следует, что, принимая х = х„, мы не
вносим заметной погрешности в определение 5**.
Что же касается допущений относительно определения толщины вязкого подслоя, то в этом случае возникают вопросы, на которые пока нет ясного ответа.
Соотношение (7) для несжимаемой жидкости было получено Карманом на основании П-теоремы теории размерностей в предположении, что толщина вязкого подслоя зависит только от физических параметров жидкости — плотности и вязкости и от напряжения трения на стенке
8П =/(р, ц,^).
Однако неясно, можно ли считать в случае сжимаемого газа параметр турбулентности аср в соотношении (7) величиной универсаль-
ной и не зависящей от числа М и условий теплообмена, при этом отсутствуют физически обоснованные рекомендации по выбору закона осреднения плотности и вязкости по толщине вязкого подслоя.
Ответы на этот вопрос можно получить только в результате накопления необходимых опытных данных по непосредственному из-
т
мерению толщины вязкого подслоя при разных числах Ле, Ми ».
Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы.
— Расчетная схема турбулентного пограничного слоя при ги-перзвуковых скоростях потока может быть принята двухслойной, поскольку промежуточная область между подслоем и турбулентным ядром с ростом числа М вырождается и имеет место резкий переход от подслоя к турбулентному ядру. В этом случае граница вязкого подслоя определяется как «точка» пересечения профиля скорости в подслое с профилем скорости в турбулентном ядре пограничного слоя.
— Использование логарифмического закона распределения скоростей в турбулентном пограничном слое, так же как и основополагающей формулы (1) Прандтля с гипотезой (2), при гиперзвуковых скоростях потока не оправдано.
— Необходим поиск более доказательных способов определения толщины вязкого подслоя с использованием имеющихся в литературе опытных данных, поскольку указанные выше методы осреднения р и ц не являются физически обоснованными и носят чисто умозрительный характер.
3. Степенные законы распределения скорости имеют преимущество перед логарифмическими, поскольку они описывают опытный профиль не только в турбулентном ядре пограничного слоя, но и во внешней его области. С учетом этого рассмотрим метод расчета коэффициентов поверхностного трения в сжимаемом газе, в основу которого положен степенной закон распределения скорости (4).
Зависимость показателя степени п в формуле (4) от параметров потока весьма затрудняет использование степенного закона в инженерной расчетной практике. Опыты показывают, что даже в несжимаемой жидкости значение и меняется в зависимости от числа Рейнольдса в широких пределах. В сжимаемом газе к этому добавляется еще зависимость п от числа М и условий теплообмена.
В большинстве работ, в которых используется степенной закон (4), показатель и принимается постоянным и равным 7 (см., например,
[14], [15]). Отметим работу [16], в которой показатель и зависит от числа Рейнольдса. Однако в этой работе, нарвду со степенным законом распределения скорости, используется также формула (1) Прандтля и гипотеза / = ку. При выводе закона сопротивления вместо традицион-
ного параметра турбулентности а в [16] вводится новая постоянная г', равная
При этом предполагается, что г' не зависит от условий течения. Это обстоятельство существенно ослабило те преимущества, которые имеет степенной закон перед логарифмическим. Пмрешность степенного метода [16] ари расчете су в условиях больших сверхзвуковых чисел М
оказалась даже более высокой, чем погрешность логарифмического метода [3]. _
Поскольку зависимость п = /(Яе, М, Т„) не может быть получена аналитическим путем, то ее следует искать только из опыта. Однако в настоящее время нет достаточного количества опытных данных, полученных в широком диапазоне изменения параметров потока, что исключает возможность рекомендовать необходимые эмпирические соотношения. Сложность опытного определения этой зависимости заключается в том, что практически нельзя выделить влияние на показатель п каждого из трех параметров потока в отдельности. Однако задачу можно сильно упростить, если вместо трех отдельных параметров Яе, М и Ту, использовать в качестве основной независимой переменной один обобщающий их параметр, а именно число Рейнольдса, вычисленное по толщине потери импульса Re** = (£78**)/у*,. Такая замена
становится возможной, поскольку толщина потери импульса 5** падает с ростом числа М и растет с уменьшением 7^.
На рис. 8 представлены опытные значения показателя степени п, полученные как в несжимаемой жидкости, так и в сжимаемом газе, при разных числах М и Г№, в зависимости от числа Ле *. Как видно, опытные точки вне зависимости от М и могут быть описаны одним соотношением 8 .
г, . У-(ди /ду) + Е(дЦ / ду)
y.(dU / ду)
= const.
п = 2,35(log Re** -1). (10)
6
□□
1,0
Рис. 8. Зависимость показателя степени п в степенном законе распределения скорости от числа
Переход от значений Re** „ Ux
Рейнольдса:
несжимаемая жидкость: ^ — опыты автора;
к значениям Rex = — осу-
v«
+ —Shultz — Gnmow; □ — Ross; & — Klebanoff; сжимаемая жидкость: О — опыты автора; • — Lobb,
Persh; А — Hill; 0 — Wilson
ществляется с использованием интегрального соотношения импульсов
Ср =■
25
2Яе
11ег
(П)
и соотношений (26) и (28), приведенных ниже. Результаты численного решения (11) можно представить в виде интерполяционной формулы
82,6
■ 1овКех - 0,015М -1,915 +1,15Т*
Г„0’033(М + ЮО)
-1,197^ +0,13Т;2(Г„ +27^).
(12)
При М = 0 и = 1 (13)
1оё Ле** * 0,821оё Кех -1,565; п = 1,9(1оё Яех- 3,1). (14)
Из формулы (10) следует, что при постоянном числе Яех с ростом числа М значение п падает и растет с уменьшением 7^. Так, при
Иех = 107 и Ту, = 1 в несжимаемой жидкости показатель степени п = 7,6
(Не** = 16 -103), а при М = 10 значение и = 5,8 (Ле** = 2800).
Сравнение степенного закона распределения скорости (4) с использованием формулы (10) с опытными данными представлено на рис; 5, 7. Как видно, при всех числах М опытные точки хорошо описываются степенным профилем по всей толщине пограничного слоя.
Рис. 9. Сравнение опытного распределения скорости со степенным законом при М = 6
Отметим также, что в вязком подслое турбулентного пограничного слоя при всех режимах течения, в том числе и при больших сверхзву-ковых-числах М (рис. 9), остается справедливым закон влияния стенки:
Ц_ и.
уи*
т. е. имеет место линеиное распределение скорости
и
ит
= >75 п-
Тогда напряжение трения на обтекаемой стенке можно записать в виде
'дЦ'
<дуК
= И»
и*
С учетом (4)
Р Л
(ип/иЛ1-”^-
___________Цоо .
Ле8 = Р”*7”8. ц«,
Принимая степенную зависимость коэффициента вязкости от температуры
_м_
ИсО
Т
, ю = 0,76,
(17)
получаем
с/=2
Л-и
Т
\л<о У
(18)
Выразим относительную скорость 1/п [ XIк на границе вязкого подслоя через параметр турбулентности а, при этом плотность р и вязкость ц отнесем к температуре обтекаемой стенки*:
Тогда имеем
*1 =
Ил Л
и+1
\0>+1
Ле*
(19)
и-2<о-1
«+1
2/(и+1)
Ле
(20)
8
2 РЛ8тт 2 Рп^п5п
'Использование значения а =---------и-Л- вместо а = ■"....."■■■" обусловлено тем,
*м> ”
•по при экспериментальном определении параметра турбулентности более удобным является отнесение физических свойств газа к условиям на обтекаемой стенке, а не к условиям на границе вязкого подслоя. ,
и-2ш-1
СГ =2(а1)1+п\
(ХЛ *+1
I
Ле 8/8
2
и+1
(21)
где
Г* 1 + !!_1м27^
Показатель степени и определяется по формуле (10).
В случае несжимаемой жидкости при Гв = Г^иа^=а^ имеем:
с/,
н =2(а^)
1-и
1+и
^Г1
(22)
1-Л
С/н = 2(ан )1+Л
1
где
8 (и + 1)(л + 2)
и Лея =
Ле 8/8 (1 + и)( 2 + и)
2
и+1
(23)
_ • *
Ке .
Интегрируя уравнение импульсов с использованием соотношения
получаем
где
Тогда
Ц_-г(уЕ1
и. [у
1/и
5„=Я
да
(и + 3)(и + 2)
-{—1 = «„ ” * л+ 1,45;
X,
И+1 „
-----г 2и
и+3 „---------
С я+3,
т = --
и + 3
с/н
= 2
(и + 3)(« + 2)С”
и+3
Ле/+3.
(24)
Значение среднего коэффициента поверхностного трения определяется по формуле
Ср
41'
о
. п + 3 Стах =-----------Сг.
} п л-\ 1
п +1
При п = 7 формулы (22)—(24) переходят в хорошо известные соотношения, полученные при постоянном значении а = 12:
с/н =0,0471ЦГ1/4; с/н =0,026 Яе**'1/4; с/н = 0,06Яе“1/5.
Влияние сжимаемости на коэффициент поверхностного трения может быть определено из (21)—(24) как
И-2й>-1
1—и "
С \ [ ч |Ч] 1+и 1 1
^С/н , Яе5 К] 1 + ае -2 *М2 Т
И+1
(25)
при Лее = Яе5^ и
и-2ш~1
(сг У 1-и 1+и 1 1 и+1 5** /5
ст Яе** к] 1 + ае -2 *М2 т ЛУ! [(.“/•У
2
и+1
(26)
_ ** «О
при ке = кен .
Для определения безразмерной толщины потери импульса в сжимаемом газе
-I:
1-
и_ и,
Л{у/Ъ)
можно предложить полученную в [17] интерполяционную формулу
»+1„
ги + гЛм2'40
и
(и + 1)(л + 2)
1 +
[1-0,45(1-7^))
1 +
36 “ 1 ■* ш'У
——М"4
(27)
При оценке влияния сжимаемости в случае 11ех = Яе^ можно
воспользоваться следующими простыми соображениями. Запишем коэффициент поверхностного трения в сжимаемом газе в виде
С/=С/н
( \ сг~!
{ \ С*
ЧС/н Уие
А2
ср =—-у-11е"+3
( \ Ср_
л
Яе.
Решив приведенные уравнения относительно х, будем иметь
X =
ЦоО 1» + 1
V
25
а2
( \ Ср_ Ср
V
Яе»
и+3
л+1
и.
А-
ч
1с/н
'Яе,
и+3
2
Далее, приравняв правые части этих выражений, после простых преобразований получим
м+1
V з
Г ч / \ с/
СГ \ -/н ) чС/н у
(28)
Яе
Для расчета поверхностного трения по формулам (25) и (26) необходимо знание конкретных значений относительною параметра турбулентности а№ /ан, определение которых, как уже указывалось выше, является одной из наиболее сложных задач теории турбулентного пограничного слоя. ‘
Допущение об универсальности параметра турбулентности не подтверждается опытом. Даже в условиях несжимаемого, потока значения ан, по опытным данным, разных авторов, изменяются от 10 до 12,5. По данным Никурадзе, ан =11,5. Это расхождение в значениях ан в несжимаемом пограничном слое обусловлено зависимостью параметра турбулентности а от числа Рейнольдса, что и следует из рис. 10.
Рис. 10. Зависимость параметра турбулентности от числа Рейнольдса в пограничном слое несжимаемой жидкости:
□ — течение в канале (Ьаи/ег); А — течение в, трубе ...
(КИпшкке); А — течение в пограничном слое '
(ЮеЬапоЛ); О — течение в пограничном слое (опыты ‘
авггора)
Опытные точки, приведенные на рис. 10, описываются зависимостью
а2 = 49,з(1оёКе**- 1)
(29)
а2н = 39,5(logRe*-3,04).
(ЗО)
Сравнение расчетных значений сун с их опытными значениями в
широком диапазоне изменения чисел Рейнольдса показывает, что учет изменения параметра турбулентности ан и показателя степени п в степенном законе распределения скорости от числа Рейнольдса обеспечивает получение правильных значений сун с помощью единой формулы
при всех числах Кех вплоть до значения Кех, равного 109 (см. рис. 11, а).
Это не имеет места, если расчетная формула получена при условии ан = const и п = const. В этом случае для практических расчетов обычно предлагается несколько разных формул, каждая из которых справедлива в своем узком диапазоне изменения чисел Rex.
Для случая сжимаемого газа нет достаточного количества опытных данных, чтобы получить необходимые эмпирические соотношения, определяющие влияние сжимаемости на значения параметра турбулентности. Физически обоснованный аналитический выбор «определяющей» температуры также не представляется возможным. Однако задача может значительно упроститься, если за основу принять какой-нибудь наиболее ясный с физической точки зрения и вместе с тем сравнительно простой вид осреднения р и (I, а конечный результат скоррелировать с помощью имеющихся отдельных наиболее надежных опытных значений параметра а в сжимаемом газе.
С 1 I I I fill! І і— -І- І і I t I I 1 . і « і I _L _LJ 1 J-L 1 - I I I I 1 1
10s 2 5 10s 2 5 107 2 5 70s Re^U^x/O
Опыты []8\
Тш * 0,4-5 • Re**=2000
Теория Ван-Дриста [J]
Формула. (26) і________і________і-------1
\
8,8 9,2 9,6
Рис. 11. Сравнение расчетных значений местного коэффициента поверхностного трения с их опытными значениями в зависимости от числа Рейнольдса
(о) и числа М (б)
В качестве такого простого вида осреднения примем выражение
и„/иа
* # І II
(31)
У— I и „
О
_ 1 Unfx Т (и)
Un/U„ J тх
где Т / Тх — распределение температуры по толщине* вязкого подслоя, определяемое по интегралу Крокко: '
. .. И . .
т = т„+{те-тл~-{те-тл\^,
записанному с учетом неполноты восстановления температуры на поверхности пластины, где равновесная температура
Тогда после интегрирования (31) получим Т
J г
‘ср _ Tw_ 71
1_1£п
2 U„
1 ( , 8Є - 1 ,,2 + Х 1 + —Г—ГМ “ 212 е
£и
1 ЄЄ - 1 , .7
_—— гМ; 3 2 е
Ut
и,
(32)
«О/
Решение системы уравнений (18), (26), (27) и (32) с учетом ра-
1+0)
Ґ Т Л"
Jcp
венств а2р = а2
2 Рср^п^п а„ где а^р = -ій---—, и -І
при со = 0,76 по-
Н-ср аН V J
казывает, что значения aw / aH практически не зависят от числа Рейнольдса, хотя относительный коэффициент поверхностного трения Cf / с fH является функцией от Rex. Из сравнения расчетных значений
aw / (хн с отдельными опытными значениями параметра турбулентности, полученными в сжимаемом газе, следует, что предлагаемый вид осреднения для Рср и цср по толщине вязкого подслоя согласуется с^ опытными данными только при Tw = 0,6. При Tw < 0,6 опытные значения aw/a.„ располагаются несколько ниже расчетной кривой, а при Tw >0,6 — выше расчетной кривой (рис. 12). Для того чтобы расчетные значения aw /ан совпали с опытными во всем
Рис. 12. Сравнение расчетных значений рассматриваемом диапазоне Tw при параметра турбулентности с опытными ; .,
данными в сжимаемом пограничном сверхзвуковых числах М, введем В ПО-слое: следний член уравнения (32) коэффи-
-------с учетом поправки (33);--без
учета поправки
* = (1,75-1,257;).
(33)
Тогда уравнение (32) запишем в виде
Т’с'р /Тк=т„/т«
Мі '*-! + 2 1 + —
гМ1
^ йг
3 2 в
или при ее = 1,4 и г = 0,9
Ъ / Г. - Г. / 7-„(. - !£) +1(1 + 0,18М^ -
-0,075(і,4 - 7^)м2[ ~-
\2
'00 у
Значения а№ / ан, рассчитанные с учетом “«,/<*. поправки_ на влияние температурного фактора 7^ = 7^ / 7о к соотношению (32), и приведены на рис. 13. Кривые, рассчитанные с учетом формулы (34), могут быть аппроксимированы формулами 16
0,89
сс«
1 +
0,1
(м* +1)
Ме+4’ при Ту/ > 0,3
(35) V
(34)
Рис. 13. Зависимость относительных значений параметра турбулентности от числа М и Т,
И
= 0,927^-°’35 (1 + 0,2Ы-1 )~0,065 ПрИ 0,1 < ТУ <0,3. (36)
ан
Из формулы (26) следует, что с уменьшением Ту, относительный коэффициент поверхностного трения растет. Однако при этом растет также отношение а„ /ан, что ослабляет влияние Ту, на Cf / сун. От-
те Ван-Дриста [3], мы заметно завышаем влияние 7^ на коэффициент поверхностного трения, что и показывает сравнение теории Ван-Дриста с опытными данными (см. рис. 11, б).
4. Проведем оценку эффективности предлагаемого метода расчета коэффициента поверхностного трения при сверхзвуковых и гиперзву-ковых числах М потока для степенного закона распределения скорости. При этом особое внимание будем уделять течению в пограничном слое с низкими значениями температурного фактора Ту,.
Рис. 14. Распределение преобразованных опытных значений местного коэффициента поверхностного трения, полученных в сжимаемом потоке, относительно кривой, описы-
а — течение с теплообменом; 6 — адиабатическое течение. АД — [25], [32], [28]; О — [27], [29]; □ — [26];
На рис. 14 приведено сравнение расчетных значений су с опытными данными, полученными в условиях обтекания плоской пластины. Сравнительный анализ проводится с использованием большого массива опытных точек (около 400), полученных разными исследователями и собранных в работе [1]. Поскольку опытные данные получены в разных условиях течения газа, что затрудняет сравнение результатов расчета с опытом, то был применен так называемый «метод обобщения опытных данных», который позволяет совместно рассматривать опытные точки, полученные при разных значениях чисел Ле, М и Г№. Сущность этого «метода обобщения» заключается в преобразовании с помощью рассматриваемого расчетного метода опытных значений су, полученных в сжимаемом газе, к значениям поверхностного трения, соответствующим условиям течения несжимаемой жидкости. В этом случае метод расчета оценивается с точки зрения, насколько хорошо преобразованные с помощью расчетного метода опытные значения трения описываются формулами для расчета трения в несжимаемой
Метод [/]
Настоящий метод расчета
Течение с теплообменом
' "I I______l_L.il 1111
J___I__1-.1-Ш1|
1-1.1 1-111.1_____________|..................................I I ,1,1 1Ш|
Адиабатическое течение
Ю'
10
т
I I I
I I 1 ч 1
10*
вающей зависимость су = /
для несжимаемой жидкости:
- [30], [4]; V - [1]
жидкости. Опытные и преобразованные значения коэффициентов поверхностного трения, а также числа Рейнольдса связаны соотношениями
(37)
Здесь <у,Ие и Cf,Rв* — преобразованные и опытные значения коэффициентов поверхностного трения и чисел Рейнольдса соответственно. Функции Ру и для предлагаемого метода расчета запишем в виде ; ,
2(1-»)
и-2и-1
_1_
ои
л+1
1 1 1 + 0,2М2 т„
1
и+1
8
V ун
2
и+1
\0,76
1 + 0,2М*
где 5**/5, а*, / ан и п определяются соответственно по формулам (27), (35), (36), (10). '
В качестве формулы для расчета поверхностного трения сун в несжимаемой жидкости была использована формула Сполдинга и Чи [5]:
= (и*)2 / 6 + [(1 - 2 / ае^+)еаег/+ + 2 / ееи+ + 1,0 - (ее^+) / 6 -
(38)
-(ае£7+)3 / 12 - (ае?/+)4 / 40 + (эе£7+)5 / 180 ае£ при ае = 0,4; £ = 12; =(2/с/)°’5.
Формула (38) была выбрана, поскольку хорошо согласуется с широко известной эмпирической формулой Кармана — Шенхера [19] и признана Стэндфордской конференцией 1956 г. как эталон.
Для учета зависимости вязкости от температуры использовалась приближенная формула (17), что оправдывается слабым влиянием вязкости на зависимость су = /(Ые**).
Результаты сравнительного анализа для теплоизолированной и охлаждаемой пластины представлены раздельно. Это позволяет более четко оценить влияние теплообмена на значение су . Для оценки эффективности рассматриваемых методов расчета определялась их среднеквадратичная погрешность как для адиабатического течения, так и для течения с теплообменом:
ЕМ
ст =
N
• 100%,
Асу =
с/э ~С/Р с/р
с/
_где суэ и сур — экспериментальное и расчетное значения коэффициента поверхностного трения соответственно.
Представленное на рис. 14 распределение опытных данных, преобразованных с помощью предлагаемого расчетного метода, относительно кривой, рассчитанной по формуле (38), относится как к случаю адиабатического течения (М = 0,5 - 5,8; 7^ = 1), так и к случаю течения с теплообменом (М = 6 -12,9; = 0,15 - 0,5). Как видно, предлагае-
мый метод расчета дает равномерное распределение опытных точек со среднеквадратичной ошибкой, равной 9%. Здесь же приведено сравнение опытных данных с широко известным методом [5], который считается одним из лучших в зарубежной расчетной практике. Как видно из табл. 1, если для адиабатического течения газа метод [5] лишь незначительно уступает предлагаемому методу, то в случае течения с теплообменом расчетные значения [5] существенно расходятся с опытными.
Таблица 1
Среднеквадратичная ошибка о, %
Расчетный метод Адиабатическое течение Течение с теплообменом
= 1; М = 0,5 + 5,8 7^ = 0,15 + 0,5;
М = 6 + 12,9
Метод [5] 8,8 26,3
Настоящий метод 8,7 9,6
Проведем также сравнение расчетных и опытных значений Су при М» 20 и 7^ и 0,2, полученных в турбулентном пограничном слое на стенке аэродинамической трубы [2]. Результаты этого сравнения (см. табл. 2) указывают на возможность использования данного метода расчета и в этих экстремальных условиях течения. Видно, что погрешность предлагаемого метода существенно ниже, чем у метода [5].
Отметим, что предлагаемый метод расчета может быть применим и в случае обтекания тел произвольной формы, если для учета продольного градиента давления использовать приближенный способ, предложенный в [34].
Опыты [2] Погрешность расчетного • метода
Me То, К Г W V i®5 • * Re Метод [5] Настоящий метод
19,56 1658 0,1856 55,0 2380 117,5 0,3
19,57 1632 0,1848 50,76 2605 105 -4,2
19,64 1592 0,1945 42,6 4015 89 -7,0
19,66 1655 0,1862 47,8 3660 109 1,8
19,65 1632 0,1966 45,0 4030 100,5 1,9
19,74 1600 0,1974 46,5 4840 116,5 8,0
19,76 1632 0,1994 50,2 4790 134 16,2
20,02 1600 0,2087 47,66 5340 132 14,8
20,08 1590 0,2019 48,10 5310 134 16,5
ЛИТЕРАТУРА
1. Репик Е. У., Романов В. Н. Оценка эффективности расчетных методов определения коэффициентов турбулентного поверхностного трения при сверхзвуковых и гиперзвуковых числах//Труды ЦАГИ.— 1980. Вып. 2084.
2. Н а г we у W., Clark F. Measurements of skin friction on the wall of a hypeisonic nozzle//AIAA J.— 1972. Vol. 10, N 9.
3. Van-Driest E. The turbulent boundary layer with variable Prandtl number//C6.: 50 Jahre Grenzshicht foishung Braunscweig.— 1955; Aero. Eng. Review.— 1956. Vol. 15, N 10.
4. Sommer S., Short B. Free-flight measurements of skin friction of turbulent boundary layer with high rates of heat transfer at hight supeisonic speeds//J. Aero. Sci.— 1956. Vol. 23, N 6.
5. Spalding D., Cki S. The drag of a compressible turbulent boundary layer on a smooth flat plate with and without heat transfer//! of Fluid Mech.— 1964, N 18.
6. Von Karman Th. Turbulent and skin friction//J. Aero. Sci.— 1934. Vol. 1, N 1.
7. Франкль Ф. И., Войшель В. В. Трение в турбулентном пограничном слое около пластины в плоскопараллельном потоке сжимаемого газа при больших скоросгях//Труды ЦАГИ.— 1937. Вып. 321.
8. В а н - Д р и с т Е. Турбулентный пограничный слой в сжимаемых жидкостях//Сб.: Механика.— 1952. Вып. 1.
9. Wilson R. Turt>ulent boundary layer characteristics at supersonic speeds-theory and experiment//.!. Aero. Sci.— 1950. Vol. 17, N 9.
10. Воротников П. П., Солодкин E. E. Турбулентный пограничный слой в сжимаемом газе при отсутствии продольного градиента дав-ления//Труды ЦАГИ.— 1960. Вып. 789.
11. Калихман Л. Е. Турбулентный пограничный слой на плоской пластине, обтекаемой газом.—М.: Оборонгиз.— 1954.
12. Hill F. Hypeisonic research//C6.: IX Congres International de Mecanique Appliquee.— 1957. Vol. 11.
13. Klebanoff P. Characteristics of turbulence in a boundary layer with zero pressure gradient//NACA Rep.— 1955, N 1247.
14. Белянин H. М. Метод расчета турбулентного пограничного слоя в сжимаемом газе при Рг * 1//Труды института им. П. И. Баранова.— 1962, № 324.
15. Eckert H. Characteristic of the tuibulent boundary layer on a plate in compressible flow measurements of friction in pipes//J. Aero. Sci.— 1950. Vol. 17, N 9.
16. Persh J. A theoretical investigation of turbulent boundary layer flow with heat transfer at supersonic and hypeisonic speeds//C6.: Proceedings of the Fourth Midwestern Conference on Fluid Mechanics.— Lafayette, Sept. 1955.
17. Репик E. У., Соседко Ю. П. Безразмерные характеристики сжимаемого турбулентного пограничного слоя//Труды ЦАГИ.— 1961. Вып. 831.
18. Н il 1 F. Turbulent boundary layer. Measurement at Mach numbers from 8 to 10//The Physics of Fluids.— 1959. Vol. 2, N 6.
19. Шлиxtинг Г. Теория пограничного слоя,— М.: Изд. иностр. лит-ры.—1956.
20. Р е п и к Е. У. Исследование внутренней структуры турбулентного пограничного слоя//Труды ЦАГИ.— 1965. Вып. 972.
21. Laufer J. Investigation of tuibulent flow in a two-dimensional channel//NASA TR-1053.— 1951.
22. Fenter F. Analysis and direct measurement of the skin friction of uniformly rough surfaces at supersonic speeds//New York, J. Aero Sci. Preprint.— 1958, N 837.
23. H ill F. Boundary layer measurement in hypersonic ilow//J. Aerospace Sci.- 1956. Vol. 23, N 1.
24. Lobb K., Winkler E., Persh J. Experimental Investigation of turbulent boundaiy layer in hypersonic flow//J. Aero. Sci.— 1955. Vol. 22, N 1.
25. Monaghan R. The measurement of heat transfer and skin friction of supersonic speeds//ARCCP.— 1959, N 139, 140.
26. Кутателадзе С. С., Леонтьев А. И. Турбулентный пограничный слой сжимаемого газа.—Новосибирск, СО АН СССР.— 1962.
27. С о 1 е s D. Measurement of tuibulent friction on a smooth flat plate in supersonic flow//J. Aero. Sci.— 1954. Vol. 21, N 7.
28. Korkegi R. Transition studies and skin friction measurement on an insulated flat plate at a Mach number of 5.8//J. Aero. Sci.— 1956. Vol. 23, N 2.
29. Hopkins E., Keener E., Dwyer H. Tuibulent skin friction and boundary layer profiles measurement on nonadiabatic flat plates at hypeisonic Mach number//AIAA J.— 1971. Paper. N 71-167.
30. Cary A., Bertram H. Engineering prediction of turbulent skin friction and heat transfer in high-speed flow//NASA 'I7'r-D7507.— 1974.
31. Cope W. The measurement of skin friction in a tuibulent boundaiy layer at a Mach number of 2,5, including the effect of shock-wave//Proceeding of the Royal society of London, series A.— 1952. Vol. 215, N 1120.
32. Monaghan R., Johnson J., Mech A. The measurement of heat transfer and skin friction at supersonic speeds. Part II. Boundaiy layer measurements on flat plate at M = 2,5 and zero heat transfer//ARCCP., N 64.— 1952.
33. Keener E., Hopkins E. Use of preston tubes for measuring hypersonic tuibulent skin friction//AIAA Pap.— 1969, N 69-345.
34. P e п и к E. У. Приближенный расчет поверхностного трения в турбулентном пограничном слое сжимаемой жидкости при наличии градиента давления//Технические отчеты ЦАГИ.— 1960, № 167.
Рукопись поступила 25/III1996 г.
