CC BY
39
Силовые линии электрического тока распределяются наиболее равномерно по всей поверхности обрабатываемой детали, обращенной к катоду, когда ширина плоского электрода в три и более раз больше наружного диаметра детали, что ведет к равномерной обработке поверхности. При других рассматриваемых случаях - равномерность обработки не достигается из-за возникновения краевых эффектов.
Результаты численного моделирования подтверждают технологические возможности метода ЭХП с БПЭ по обработке полых цилиндрических деталей.
Мспользование численного моделирования электростатических полей в МЭЗ в условиях ЭХП позволяет существенно сократить время и затраты при разработке новых технологических процессов.
Библиографический список
1. Воробей, В. В. Теоретические основы проектирования технологических процессов ракетных двигателей. Технология производства жидкостных ракетных двигателей / В. В. Воробей, В. Е. Логинов. М. : Дрофа, 2007.
2. Мороз, И. И. Биполярный метод электрохимической обработки и некоторые его технологические возможности // И. И. Мороз, В. Ф. Орлов, Б. И. Чугунов // Электронная обработка материалов. 1982. N° 6. С. 19-23.
3. Экслер, Л. И. Классификация параметров шероховатости / Л. И. Экслер // Технологические методы повышения качества поверхности деталей машин : сб. ст. Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1978. С. 140-147.
4. Вдовенко, В. Г Эффективность электрохимической обработки деталей : моногр. / В. Г. Вдовенко. Красноярск : Изд-во Краснояр. гос. ун -та, 1991.
5. Monk, P. A finite element method for approximating the time-harmonic Maxwell equations / P. Monk // Numer. Math. 1992. Vol. 63. P. 243-261.
6. COSMOS Advanced Modules. Part 2 ESTAR / Low Frequency Electromagnetic Analysis. 1996.
7. Пат. Российская Федерация, 7C25F3/16. Способ электрохимического полирования / Шестаков И. Я., Бабкина Л. А. № 2229543 ; заявл. 15.07.2002 ; опубл. 27.05.2004, Бюл. № 15. Приоритет от 15.07.2002.
8. Мурашев, Д. А. Математическое моделирование электрических полей в системах с биполярным электродом : автореф. дисс. ... канд. физ.-мат. наук / Д. А. Мурашов. Саратов : Саратов. гос. техн. ун-т, 2006.
9. Шестаков, И. Я. О возможностях электрохимического полирования / И. Я. Шестаков, Л. А. Бабкина, А. Н. Жмурко // Решетневские чтения : материалы VII Всерос. научн.-практ. конф. ; Сиб. гос. аэрокосм. ун-т. Красноярск, 2003.
L. A. Babkina, I. Y a. Shestakov, A. S. Kvasov
NUMERICAL MODELING BY TWO-DIMENSIONAL ELECTROSTATIC FIELDS AT ELECTROCHEMICAL POLISHING
Modeling problem of the two-dimensional electrostatic field at electrochemical polish is considered. Comparative analysis of results of numerical modeling is executed in the programs COSMOS/M and Maple.
Keywords: numerical modeling, electrostatic field, electrochemical polish.
УДК 519.876
И. М. Митасов, А. Н. Завьялкин
МЕТОД ПРОЕКТИРОВАНИЯ В ЗАДАЧЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ МНОГОФАКТОРНОЙ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ
Задача определения значений параметров многофакторной регрессионной модели обычно решается методом наименьших квадратов (НК) и сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. Эта система может быть вырожденной в силу зависимости векторов значений факторов. Вырожденность приводит к срыву вычислительного процесса. Предлагается метод определения параметров на основе проектирования вектора значений моделируемого показателя на линейное пространство независимых векторов значений факторов.
Ключевые слова: метод, факторы, модель, выборка, проектирование.
В задачах многофакторного регрессионного анализа обычно в рамках одной вычислительной процедуры рассматривается множество многофакторных регрессионных моделей, среди которых выбирается оптимальная в смысле некоторого критерия. При этом решается множество систем линейных алгебраических уравнений. Не-
которые из этих систем имеют вырожденную матрицу, что приводит к срыву вычислительного процесса.
Необходимость решения систем уравнений с квадратной матрицей является следствием необходимого условия минимума целевой функции метода НК. Фундаментальная интерпретация метода НК состоит в том, что оп-
Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева
тимальное решение представляет собой проекцию вектора значений моделируемого показателя на линейное пространство векторов значений факторов. Эта проекция всегда существует и единственна, в отличие от решения системы линейных алгебраических уравнений.
В работе предлагается метод вычисления проекции на основе известного метода ортогонализации Грамма-Шмидта, который позволяет построить максимальное количество ортогональных векторов из заданной системы векторов значений факторов и вычислить проекцию вектора значений моделируемого показателя на линейное пространство полученных ортогональных векторов. Параметры модели вычисляются из решения системы линейных алгебраических уравнений с невырожденной матрицей.
Линейная многофакторная модель регрессионного анализа имеет следующий вид:
у = (А,Х) + с , (1)
где у - моделируемый скалярный показатель; А - вектор параметров модели; Х- вектор факторов; с - скалярный параметр модели.
Построение модели (1) заключается в определении значений параметров А, с на основе выборки Vследую-щего вида:
V = {у, Xі; і = 1Гт), (2)
где т - количество наблюдений значений характеристику, X.
В силу выражения (1) возникает следующая система уравнений, связывающая значения показателя у и факторов {х]; ] =1, и} :
7 = У а]Х] + сЕ, (3)
і=1
где п - количество факторов; 7 - вектор значений показателя у; X - вектор значений 1-го фактора; Е - вектор с компонентами {еі = 1; і = 1, т} .
В системе (3) количество уравнений т >> п + 1, система обычно не имеет решения и поэтому, согласно методу НК, рассматривается следующая оптимизационная задача:
т ( п V
£(Аопт, сопт) = тіп У У аХ + С - уі . (4)
А, с і і
і=1 V і=1 0
Решением задачи (4) является ортогональная проекция 7опт вектора 7 на линейное пространство векторов {Е, X}. Компоненты вектора 7опт определяются следующим образом
у
і ,опт \ ' --,оп^ і . опт
7 С£ *Л- • I О
і і
і=1
опт опт ■і ,с
Требуется вычислить а° статистических данных.
Решение задачи. Рассматривается система векторов Е Х„ Х2, ..., X .. Метод Грамма-Шмидта позволяет из этой системы векторов получить систему ортогональных векторов {2;у = 1, п} по следующим формулам:
21 = Е,
X. ,,2,)
2і = х,-1 -У ,і-1 [2,
1 і-1 £ {I,, 2,) 1
і = 2, п* ; п* < п +1.
(5)
Значение п определяется в процессе построения системы векторов {2}. Если при вычислении вектора 2к получается нулевой вектор, то вектор Хк-1 исключается из рассмотрения и вместо него рассматривается вектор Хк. При этом общее количество ортогональных векторов уменьшается на единицу.
Вектор 2к признается нулевым, если выполнено следующее условие:
У
где є > 0 - малая величина, например, є = 10-6.
Метод Грамма-Шмидта позволяет следующее:
1. Получить ортогональную систему векторов
21,2 2,..., 2п., п < п +1. Вектор Е всегда входит в эту систему в качестве исходного вектора.
2. Определить подсистему линейно независимых векторов {Е, х н, X і2,х ]- }, на основе которых строится система ортогональных векторов { 2Х,22, ..., 2 . } по формулам (5).
Система ортогональных векторов {2} определяет линейное пространство размерности п*. Вектор 7опт является проекцией вектора 7 на это линейное пространство и может быть представлен в виде следующего разложения по ортогональному базису:
7 опт =
= У ЬА
(6)
і=1
Вектор 7 всегда можно представить в виде следующей суммы:
7 = 7опт + 7 *,
где вектор 7 ортогонален линейному пространству образованному системой векторов {2.}.
Тогда коэффициенты Ь. в формуле (6) выражаются через заданный вектор 7 по формулам
Ь} = 72) / (21, 2), і = 'У . (7)
Подставляя формулу (7) в (6), для вычисления ортогональной проекции получаем следующее
7 опт =
= У 72і
і=Л 2 і , 2і
Для вычисления оптимальных значений параметров А, с рассмотрим систему линейно независимых векторов {E, х 1х, хl2 ,.^ х]ш }. Эти векторы принадлежат линейному пространству 2, образованному векторами
21,2 2,..., 2п*, вектор 7опт є 2 . Тогда следующая система уравнений всегда имеет единственное решение
на основе выборки V
п*-1
сЕ + У а
<х, = 7о
]к ]
(8)
где параметры аі ї{а^ ; к = 1, п - і} равны нулю. Система уравнений (8) определяет оптимальные значения параметров А, с, ее решение можно найти, например, методом Гаусса.
Результаты решения модельной задачи. Рассмотренный алгоритм решения задачи реализован [1] в виде программы на языке программирования общего назначения С++ВиіИег 6.0.
Рассматривалась следующая модельная задача:
і=1
f1> f l Л
1 3
1 _ E _ , X 2 _
1 5
,-l
fl> f 1Л f 4 Л
1 0 б
, X 4 _ , Г _
1 4 б 7
,10 v-2 0 v 1 0
X3 _
В результате расчетов в соответствии с изложенным алгоритмом получены следующие результаты (табл. 1, 2):
Таблица І
Количество и номера независимых факторов
Количество факторов Номера факторов
3 1 | 2 | 4
Ортогональные векторы Z, Z, Z
Zl Z2 Z3
1 -1 0,9
1 1 -2,4
1 3 1,3
1 -3 0,2
Г ОПТ ______
5,933 735 7,2б5 0б0 v 1,4б3 855 ,
Таблица 2
Значение вектора 7опт - проекции вектора 7 на линейное пространство ортогональных векторов 2, 2, 23
( 3,337 349 'ї
Значение вектора параметров модели (1)
( с 'ї ( 2,310 241 'ї 1,207 831 0
ч-0,180 723у
Полученное решение совпадает с решением нормальной системы уравнений сформированной на основе векторов {Е, X, х3}.
Таким образом, в работе предложен и обоснован алгоритм вычисления параметров многофакторной регрессионной модели методом проектирования вектора значений показателя на пространство линейно независимых векторов значений факторов. Этот алгоритм не приводит к срыву вычислительного процесса в отличие от обычного решения системы нормальных уравнений.
Также рассмотрены результаты применения программной реализации алгоритма на модельной задаче.
Библиографический список
1. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. М. : Наука, 1977.
2. Демидович, Б. П. Основы вычислительной математики / Б. П. Демидович, И. А. Марон. М. : Наука, 1966.
3. Митасов, И. М. Автоматизированная система вычисления параметров линейной многофакторной регрессионной модели методом проектирования / И. М. Мита-сов, А. Н. Завьялкин. М. : ОФАП. Свидетельство N° 11400 от 12.09.2008.
I. M. Mitasov, A. N. Zavyalkin
PROJECTING METHOD IN PROBLEM OF PARAMETERS CALCULATING OF REGRESSIVE MULTIFACTOR-MODEL
The problem of the parameters values determination of the regressive multifactor-model is usually solved by the method of the least squares (LS) and it comes to solve the system of the linear algebra-equations. This system may be degenerative due to the dependence of the factors values vectors . The degeneration leads to fall of the calculating process. In this work there is suggested a methodfor the definition ofparameters on the basis ofprojecting a vector of the values of the index simulated on a linear space of the independent vectors of the factors values.
Keywords: method, factors, model, sample, projecting.
