CC BY
29
А.Н. Жирабок, Д Н. Кучер
МЕТОД ПОВЫШЕНИЯ РОБАСТНОСТЙ ПРИ ДИАГНОСТИРОВАНИИ
К настоящему времени известно несколько методов построения диагностических наблюдателей для нелинейных динамических систем - на основе дифференциально-геометрического подхода, алгебры функций, логико-динамического подхода, а также ряд других. Два первых позволяют получить оптимальное решение задачи - минимальную размерность наблюдателя, но достаточно сложны в реализации, поскольку требуют проведения аналитических вычислений. В отличие от них логико-динамический подход не гарантируег минимальной размерности, но весьма прост в реализации, поскольку оперирует линейными методами
Одной из важнейшич задач, решаемых при диагностировании, является задача обеспечения нечувствительности или малой чувствительности (робастностй) к возмущениям, действующим на систему. Поскольку требование нечувствительности является весьма жестким и редко выполнимым на практике, было разработано несколько подходов к построению робастных средств диагностирования, на основе сингулярного разложения матриц, обобщенных собственных чисел, метода множителей Лагранжа. Эти подходы были разработаны и в полной мере применимы только в линейном случае, для нелинейных моделей приходится использовать линеаризацию, что не всегда приемлемо. Так как логико-динамический подход оперирует линейными методами, упомянутые подходы к обеспечению робастностй применимы к нему в полной мере. Настоящая работа решает задачу построения диагностических наблюдателей для нелинейных динамических систем, малочувствительных к возмущениям.
Модель объекта диагностируемой системы, которая рассматривается в логико-динамическом подходе, имеет следующий вид:
х(г +1) = + См(0 + ц)( у(0. и(/)) + + Хр(/), у(()г- #*(/).
где х е X с , и е11 с Кт , у еУ с: Я1 - векторы состояния, управления (входа) и выхода соответственно; Г , С и Н - матрицы соответствующих размерностей. Нелинейная составляющая \|/(л;(/),г*(Х)) имеет вид
Ц}(х(0,и(0) = С
Ч>2(Л2х(ОМО)
\\jr(Arx(tyu(t))_
»Г " г '
т.е. в системе имеется г различных нелинейностей Здесь С - постоянная матрица размера пхг: если C[ij]*0 , то в правую часть уравнения для /-й компоненты вектора состояния диагностируемой
системы входит нелинейность \\ij(AjX(t)yu(t)), С[/, у] — 0 в противном случае; у - произвольная (в
том числе, недифференцируемая) нелинейная функция; - множество матриц-строк. Член Lp(t)
описывает внешние возмущающие воздействия; поведение функции р(t) предполагается неизвестным. Член Kd{î) характеризует проявление дефектов в системе- при отсутствии дефектов d(t) - 0 ; при появлении дефекта dit) становится неизвестной функцией времени.
Напомним в обобщенной форме основные этапы решения задачи диагностирования на основе логико-динамического подхода, необходимые детали и пояснения содержатся в [1].
1. Преобразование исходной нелинейной системы к линейной путем удаления нелинейной составляющей.
2. Построение наблюдателя для полеченной линейной модели на основе известной процедуры [1,2] с рассматриваемым ниже дополнительным ограничением линейного характера, задаваемым матрицей А. Результатом этого этапа является матрица Ф размера к хп { к <п ), которая при отсутствии дефектов и возмущений связывает векторы и х* (/) равенством
Фх(0 = **(/).
На основе этого равенства и исходной модели строится наблюдатель, описываемый моделью
генерирующии невязку
(7 +1) = (0 + ОМ!) + гЦ) = Ку(г)-у*(/)
для некоторой матрицы Я. Здесь символом * помечены векторы и матрицы, аналогичные тем, которые входят в описание исходной модели. Матрицы С. Н и К, Я*. G* , J связаны между собой известным образом: - ^
FФ = F*Ф + JH, ' * ' (1)
КН = Я* Ф,
а*= фо.
3. Преобразование полученного линейного наблюдагеля в нелинейный путем добавления нелинейной составляющей с матрицей, определяемой соотношением
Ф Я
где А -
л! л1 ... А1].
Известно [1,2], что простой алгоритм решения задачи построения линейного наблюдателя получается, если он ищется в канонической форме Кронекера, когда
Л -
О 1 0 О 0 0 1-0
0 0 0 0
Я*=[1 0 0 ... О];'
при этом матрица 7ч имеет размер кхк матрица Я* - 1х£. В этом случае задача сводится к решению следующего уравнения:
, ' ч 1 1 •
на основе которого определяются минимальная размерность наблюдателя и описывающие его матрицы.
Повышение степени робастности возможно за счет отказа от канонической формы реализации наблюдателя путем перехода от вектора состояния А"* к новому вектору с помощью невырожденной
матрицы Ф*
х0 = Ф*х* = Ф*Фх.
Таким образом, переход от вектора сосюяния диагностируемой системы к новому вектору состояния наблюла геля описывается матрицей Ф0 = Ф*Ф . Нетрудно показать, что равенства, связывающие матрицы, которые описывают старый и новый наблюдатели, имеют следующий вид
в* Ф*0*. = Ф*/^1, Но = Я*Ф*1
(2)
Известно, чт о матрицы и А связаны соотношением
ф*Фп я
(3)
Матрица Я в этих преобразованиях не участвует, она остается неизменной, что вытекает из следующей цепочки равенств, в основе которой лежит соотношение ЯН - Я*Ф и равенства
Я0 = ЯдР*1 и Ф0 = Ф*Ф
ЯН = Я*Ф = Я*ФГФ*Ф = Я0Ф0 •
Первый и последний члены этой цепочки совпадают с равенством *ЯН = Я*Ф с точностью до обозначений матриц, расположенных в его правой части, что и доказывает неизменность матрицы Я.
Чтобы выяснить, как в этом случае преобразуется матрица У, запишем равенство умноженное слева на матрицу Ф*:
Ф*Ф/^ - Ф*ЛФ + Ф*./Я = Ф*КФ* 1Ф*Ф + •
С учетом равенства Ф0 - Ф#Ф и второго соотношения в (2) это дае1"
откуда ясно, что если положить
Ф0F = FQФ0+Ф*JH, J0 = Ф*/,
(4)
то предыдущее уравнение будет с точностью до обозначений матрии совпадать с уравнением (1)
Выбор наилучшего варианта для матрицы Ф* можно осуществить, используя следующие соображения. Поскольк> матрица, связывающая векторы состояния диагностируемой системы и нового наблюдателя, имеет вид Ф0 = Ф*Ф, вклад возмущений и дефектов в невязку будет теперь описываться
произведениями Ф^Ь = Ф*ФЛ и Ф0А' = Ф*.ФК соответственно. По этой причине для выбора матрицы Ф* на основе построенной по алгоритму матрицы Ф можно воспользоваться одним из рассмотренных выше подходов. В частности, по аналогии с [3] минимизация отношения
1ф*фа1г
т т
приводит к проблеме обобщенных собственных чисел матриц ФХ(Ф£) и
результате
решения этой задачи определяются к обобщенных собственных векторов w,. w2,..., wk, соответствующих первым обобщенным собственным числам, которые используются как строки матрицы Ф* , необходимой для определения матриц Fq, Hq, G0, J0 и Aq из соотношений (2)-(4).
Список литературы
ЦКирабок АН. Усолъцев С.А Линейные методы при диагностировании нелинейных систем // Автоматика и телемеханика. 2000. № 7 СЛ49-159.
2.Мироновский Л.А Функциональное диагностирование динамических систем. М.-СПб.: Изд-во МГУ-ГРИФ, 1998. 256 с.
3.Frank P. Fault diagnosis in dynamic systems using analytical and knowledge-based redundancy - A survey and some new results // Automatica. 1990. V. 26. P.459-474.
Е.Л. Гамаюнов, A.A. Коротенко, A.C. Гурии
s
^ СИСТЕМА МОНИТОРИНГА ВОДЫ
Мониторинг состояния водных ресурсов является актуальной проблемой. Человеческая деятельность оказывает отрицательное воздействие на водные ресурсы, и степень этого воздействия увеличивается с каждым годом. Одной из основных характеристик водных систем является концентрация и фотосинтетическая деятельность фитопланктона, на который воздействуют различные факторы окружающей среды, в том числе и деятельность человека. Следовательно, измерение этих характеристик можно использовать для контроля состояния водных экосистем.
Для оценки количества и деятельности фитопланктона широко используются метод индуцированной флуоресценции хлорофилла [1]. Этот метод обладает высокой чувствительностью, и позволяют выполнять измерение флуоресценции фитопланктона в естественной среде обитания. В естественных условиях интенсивность флуоресценции хлорофилла является характерным показателем концентрации фитопланктона. Измерение яркости флуоресцентного свечения позволяет вычислить концентрацию фитопланктона при фотосинтезе, поэтому этот метод позволяет оперативно оценить состояние водной экосистемы в естественных условиях.
Для выполнения исследования океана методом индуцированной флуоресценции в Институте автоматики и процессов управления (ИАПУ) ДВО РАН разработан измеритель флуоресценции [2], успешно прошедший испытания в нескольких экспедициях 2007-2008 годов [3]. Следующим этапом развития устройства является система мониторинга воды, структурная схема которой показана на рисунке 1.
