CC BY
24
УДК 531.36 Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2004, вып. 1 (№ 1)
А. Н. Квитко
МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ПРОГРАММНЫХ ДВИЖЕНИЙ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ*
1. Введение. В [1] предложен алгоритм, построения управляющей функции, при которой решение линейной и квазилинейной системы дифференциальных уравнений переходит из начального состояния в сколь угодно малую окрестность заданного конечного состояния. Ниже решается аналогичная задача для нелинейной управляемой системы.
Объектом исследования является управляемая система
х = /(х, и, г), (1-1)
где
х = (х\...,хп)*,х е Еп; и =(и1,...,иг)*,и е Ег,г < п,Ь е [0,1]. (1.2)
/ е С3(Еп х Ег х Е1; Еп), / = (/1,..., /п)*,
\\х\\ <С1, ||и|| <С2. (1.3)
Пусть заданы состояния
х(0) = 0, и(0) = 0, х(1) = х1; х1 = (х1,...,хп)*, \\х1\ < С1. (1.4)
Задача. Найти функции х(г) е С 1[0,1), и(Ь) е С 1[0,1), удовлетворяющие системе (1.1) и условиям (1.3) так, чтобы были выполнены соотношения
х
(0) = 0, и(0) = 0, х(г) ^ х1 при г ^ 1 (1.5)
2. Решение задачи. Выберем и1 е Ег; и1 = (и1,..., иЦ)*, \\и1 \ < С2. Используя свойства (1.2) систему (1.1) можно записать в виде
хг = /г(ж1,мь 1) + ^(х3 - х[)+
3 = 1
' д/г
+ -и{) + Е[(х,и,г) + Е^(х,и,г), г = 1,..., п. (2.1)
3=1
* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант №01-01-00319). © А. Н. Квитко, 2004
Здесь
1 п п д2 *г
3 = 1 к=1
1 п г д 2 р г
+ 2 Е Е о^д^1) {хк ~} {у' " )+
к=13=1
2г
3 — и3 )(ик — и к
1 Т Т д 2 * г
+ 2 ЕЕ -"!)+ (2-2)
3=1 к=1
1 д2р . _ 3 .... _
3=1
3=1
1 д2 Р г дР
щ = Г(хиии 1) + -^ (г,¿) -1)2 + ^ «ь 1) (* - !)•
Имеем
ж = Ж1 + вг(х — х{), и = «1 + вг(и — М1), £ = 1 + вг(г — 1); (2-3)
в. е (0, 1), ' =1,---,П,
уху <С1, \\й\\ < С2, I < 1-
Будем искать решение поставленной задачи в виде
хг (г) = аг(г)+х\, ' =1,---,п, (2-4)
и3 (г) = Ь3 (г) + и{, э = 1,---,г- (2-5)
После подстановки соотношений (2.4), (2.5) в систему (2.2) получим систему, которую запишем в векторном виде:
а = Ра + QЬ + Е1 (а, Ь, г) + Я2(а, Ь, г) (2.6)
дР
Р = {Р;}, Р] =1), = 1,. .., п; ■ . дрг
<3 = {<?}}, = (ж1,мь 1), г = 1, ...,п; = 1,. .., г;
1 = (R1, - - - ,К1 ) , К2 = (^2, - - - ,К2 ) , а = (а1,- - - ,ап)*, Ь =(Ь1,.. . ,ЬГ )* -Условия (1.3), (1.4), (2.4) дают
\\а(г) + х1\\ <С1, \\Ь(г)+и1\\ <С2, г е [0,1); (2 - 7)
а(0) = —х1, Ь(0) = —и1 - (2 - 8)
Сделаем преобразование переменной г по формуле
1 - г = е-ат; г € [0, (2.9) где а > 0 подлежит определению. Тогда система (2.6) и условие (2.7), (2.8) примут вид с1с
— = ае-°тРс + ае~атС]с1 + аНг (с, т)е~ат + аН2 (с, т)е~ат; (2.10) ат
с(т) = а(г(т)), а(т) = Ь(г(т)), т € [о, (2.11)
с(0) = —х1, а(0) = —и 1, (2.12)
IIс(т) + х1у <С1, ||а(г) + и1П < с2. (2.13)
Введем новую управляющую функцию у(т), связанную с а(т) уравнением
= у = (У1,...,Уг), V е Нг. (2.14)
ат
Рассмотрим систему
ас
— = ае-°тРс + ае-°тд« + аД^с, т)е~ат + аД2(с, т)е~ат, (2.15)
ат
р= О §) , 0 = (О ) , с = (с,а)*,
п+гхп+г \Егхг/п+тхг
где Ог, г = 1, 2, 3 — матрицы с нулевыми элементами соответственно размерностей [г х п], [гхг], [пхг], Егхг —единичная матрица размерности [гхг], Д1 = (Д*, 0,..., 0)П+Гх 1,
Д2 = (R**, 0, . . .,0)П+гх1.
Система (2.15) получена в результате присоединения системы (2.14) к системе (2.10). Ограничения (2.13) будут выполнены при
||с - с(0)|| <Сз, Сз = шт(СьС2). (2.16)
Наряду с (2.15) рассмотрим систему
ас
— = ае-атРс+ае-а^у. (2.17)
ат
Будем искать функцию у(т) так, чтобы обеспечить экспоненциальную устойчивость системе (2.17). Пусть цг, г = 1,...,г — г-ый столбец матрицы 0. Построим матрицу
5 = {С1, ..., Р к^-1д1, ...,дг,..., Ркг-1дг }. (2.18)
Здесь кг, г = 1,...,г — максимальное количество столбцов вида с, РЯг,..., Р^-19г, г = 1,...,г таких, что векторы С1, Р91, ..., Рк1 -1С1, ..., С, ..., Ркг-1Сг линейно независимы. Если ранг матрицы (2.18) равен п + г, то преобразование
с = §у (2.19)
приводит систему (2.17) к виду
^ = аВ^РВе-^у + аБ^Ое-^у. (2.20)
ат
Согласно [2] матрицы S 1РБ и Б 1Q имеют вид
5-1QБ = |ё2, ёз,...,ёк1 ,дк1,..., ёкг-г+2, ..., ёкг ,ёкг },
ёг = (0,..., 1,..., 0)*+гх1,
где 1 стоит на г-м месте,
- _ / 0 кг- 1 0 кг-1 ^
ёкч = (-дк1 ,...,-дк1 ,...,-Зк^ ,...,—Зki , 0,...,0)п+гх1;
к1-1 кг-1
ркгёг = -Едк 1 Pjё1-,...,-¿2кPjёг, г = 1,...,г. (2.21)
¿=0 j=0
В (2.21) д¿1, 3 = 0,...,к1 — 1,...,дк., 3 = 0,...,кг — 1 являются коэффициентами разложения вектора Ркёг по векторам
Pjёl, 3 =0,...,к1 — 1,...,^ёг, 3 =0,...,кг — 1,
г — 1
Б-1Q = {ё 1, ёк1+1,..., ёкг+1,..., ё„+1}, V = ^ кг.
г=1
Рассмотрим задачу стабилизации системы вида , к.
"к. г —кг —кг=~\ — ат , —к. — ат г ■ л /о оо\
= {е2%...,екг.,дк,}ае у^ + е^ае V , 1 = 1, .. ., г, (2.22)
У к. = (ук. ,...,ук. )к.Х1 , ёк = (0,...,1,...,0)кгХЬ
где 1 — стоит на г-м месте.
= / 0 кг — 1 \ * /1 г\*
9к. = (—90. ,...,—9к1 ) к.Х1 , V = {'»,...,У) .
Система (2.21) в скалярной форме запишется так:
ki __„ —ат| „,„ — ат
¿Т
—ад0.е-а1 Ук. + ае V"
¿У2
ат 1 1 ат
= «е 9^~а9^е У^
¿Т
,1 к.-1 ¿Т
¿Ук. —ат к г — 1 к г — 1 —ат кг
— = ае Ук1 - °-9к1 е Ук1
ат 2 2 ат
ае атУ 2 — ад 2е атУ
(2.23)
Пусть ук. = ак*ф. Используя последнее уравнение системы (2.23) и индуктивный переход, будем иметь
уЧ. = ак* ф,
ук-1 = а к*-1еат ф(1) + д^а^ ф,
у к-2 = ак *-2е2ат ф(2) + (а к*-1е2ат + а к* -1еат дк'-1)ф(1) + дц:-2а к* ф,
(2.24)
у1* = ае( к-1)ат ф( к-1) + г к—2(т )ф( к*-2) + ... + г1(т )ф(1) + а к* д1. ф.
Если продифференцировать последнее равенство (2.23), то из первого уравнения системы (2.23) получим
ф( к*] + £ к-1(т )ф( к*-1) + ...+ £о(т )ф = е-к*ат V, г = 1,...,г. (2.25)
В (2.24) г к*—2 (т),..., Г1(т) являются линейными комбинациями экспонент с показателями не больше (кг — 1)ат. В (2.25) £к*-1(т), ..., £о(т) — линейные комбинации экспонент с показателями не больше нуля. Пусть
-г = е-к*ат у, г = 1,...,г. (2.26)
Положим
*
V = Е(£ к— (т) — Vк— )ф( к-3), г = 1,...,г, (2.27)
3=1
где ик; з = 1,...,кг выбраны так, чтобы корни уравнения
Ак* + ик -1\к*-1 + ... + ио = 0, г = 1,...,г, Ак.,..., Ак удовлетворяли условиям
Акц = Ак*, г = з, Ак* < —(2кг + 1)а — 1, (2.28)
3 = 1,...,кг, г = 1,...,г.
Используя (2.19), (2.23), (2.26), (2.27), получим
у' = е к*ат 6кг Т-1§-с, (2.29)
где = (£^_1(т)-г//ц_1,..., £0(т)-щ), Т^ — матрица равенства (2.24), т. е. у^ = Тк/ф, ф = ..., ф)*, Б^1 — матрица, состоящая из соответствующих ^¿-строк матрицы
§-1. Если подставить (2.29) в правую часть системы (2.17), то для ее решения с(т) с начальными данными
с0 = с(0) = (—х1, —п1)* (2.30)
имеет место оценка
\\с(т)\\ < Ыо\\со\\е-Хт, А > 1. (2.31)
Рассмотрим систему (2.15), замкнутую управлением (2.29), предположив дополнительно, что ее решения удовлетворяют ограничениям (2.16). Ее можно представить в виде
de
— =А(т)с + ад1(с,т) + ад2(с,т), (2.32)
ат
где
А(т) = ae-aT P + ae-aT QekaT Sk T-1S-1, e kaT Sk T-1S-1 = (ekiaT Sk1 T-S-,..., ekr aT Skr T-S-)*,
gi(с, т) = e-aTRi(c, т), g2(с, т) = e-aTК2(с,т). Условия (1.2), (2.2), (2.16) гарантируют существование констант L > 0, T > 0 таких,
что
\Ыс,т)\\<L\\cII2, \\д2(с,т)|| < Tie-aT. (2.33)
Рассмотрим систему
^=А(т)с+ад1(с,т). (2.34)
Пусть ф(т), ф(0) = E — фундаментальная матрица системы (2.17), замкнутой управлением (2.29). На основании (2.31)
\\ф(т)\\<Ke-XT, т е [0, Л> 1, (2.35)
где K — постоянная величина, вообще говоря, зависящая от Л и а. Решение системы
(2.34) с начальными данными (2.30) и удовлетворяющее ограничению (2.16) примет вид
T
с(т) = ф(т)со + J ф(т)ф-1 (t)agi(o, t)dt. (2.36)
о
Заменим неравенство (2.16) более жестким
\\с(т)\\ <Сз -\\со\\ = Li. (2.37) Из (2.33), (2.35), (2.36), (2.37) следует
T
\\с(т)\\ < Ke-XT\\со\\ +J e-X(T-t)aL2K\\с(г)\\сМ, L2 = LL\. (2.38)
о
Откуда в соответствии с [3] имеем
\\с(т)\\<Ke-»T\\со\\, ( = Л - aL2K. (2.39)
Предположим, что
( = Л - aL2K> 0. (2.40)
Пусть для констант K, L2, a имеет место неравенство (2.40). Тогда все решения системы (2.34) с начальными данными (2.30) такие, что выполнены условия
(K + 1)\\со\ <Сз, (2.41)
стремятся к нулю при т ^ то. Причем их нормы удовлетворяют экспоненциальной оценке (2.39).
Замечание. Нетрудно видеть, что ранг матрицы $ будет равен п + г, если ранг матрицы
^ = (д,рд,...,рп-1д)[пхп+г] (2.42)
равен п.
Из экспоненциальной устойчивости системы (2.34) согласно [4] следует существование в области (2.41) положительно определенной функции V(с, т) такой, что
^\\с\\2 < V(с,т) < ^\\с\\2,
¿V ¿т
(2.34) < —з\\с\\2, (2.43)
\\gradgV\\ <^4\с\\.
Здесь , У2, уз — известные положительные постоянные. С другой стороны,
ЗУ ¿т
¿V
(2'32) - ^
(2.34) + a(gradV5,g2(с,т)). (2.44)
Выберем е > 0 так, чтобы шар радиуса е с центром в начале координат содержался
в области (2.41). Для этого достаточно положить
5 < <2 45>
Зафиксируем числа Л, 6:
Х = и1\\е\\2, 5<х[^\\е ||. (2.46)
V ^
Очевидно, что
V (с, т) <Л Ус: \\с\\ <6. (2.47)
Используя (2.43), (2.44), найдем Т > 0 так, чтобы
(2.32) < —з\\с\\2 + ае-атТмЦсЦ Ус,т : 6 < \\с\\ < е,т > Т. (2.48)
ЗУ ¿т
Решение системы (2.32) с начальными данными (2.30) при условии, что оно находится в области (2.13), примет вид
т
с(т) = Ф(т)со + У аф(т)ф-1 (г)[01 (с,г) +д2(с,г)]Л. (2.49)
' аф(т )ф 1
о
Будем выбирать Со из области
т
\\Ф(Т)(со + 1 ф-1(г)а[д1(с,г) + д2(с,г)Щ\\ <6. (2.50)
о
Очевидно, (2.50) будет иметь место при
Ki(||co|| + aK2T) <S,
(2.51)
где
Ki = ||ф(Т)||, K2 = max ||ф-1(*)ЫМ) + д2(М))||, = {c,t\ ЦсЦ<е, t e [0,T]}.
В силу (2.46)—(2.50) траектории с(т) с начальными данными, удовлетворяющими (2.51), не покинут области ||с|| < е. Из (2.44), (2.48) следует
V(с(т), т) ^ 0 при т ^ ж.
В свою очередь, (2.43) гарантирует
с(т) ^ 0 при т ^ ж.
Если подставить (2.9) в (2.49), то согласно выводу уравнений (2.1), (2.15), (2.32), (2.34), правомерность которых гарантируется выполнением условий (2.51), (2.41), (2.40), (2.37), (2.16), (2.13), (2.7), (1.3), (1.2) получим решение поставленной задачи. На основании изложенного справедлива теорема.
Теорема. Пусть для величин Ci, C2, а, векторов xi, ui, константы K и правой части системы (2.1) выполнены условия (2.40), (2.51), а также пусть матрица (2.42) имеет ранг п. Тогда существует решение поставленной задачи, которое сводится к решению задачи Коши для системы (2.15) замкнутой управлением (2.29) с начальными данными (2.30) и последующему переходу к исходной независимой переменной t по формуле (2.9).
Summary
Kvitko A.N. The method of constructing the program motion for nonliner nonstationary system. The algorithm for transferring nonlinear system of differential equations from one initial state to a fixed final state is suggested.
Литература
1. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М., 1975.
2. Калман З., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М., 1971.
3. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. М., 1967.
4. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М., 1959.
Статья поступила в редакцию 3 декабря 2002 г.
