CC BY
29
Затучный Д.А.
МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМИЗИРОВАННОГО РАБОЧЕГО СОЗВЕЗДИЯ ПО КРИТЕРИЯМ НАДЁЖНОСТИ С УЧЁТОМ ДВУХ СПОСОБОВ КОНТРОЛЯ ЦЕЛОСТНОСТИ
В данной статье делается попытка разработать, сформулировать и обосновать общий подход к построению оптимального рабочего созвездия из навигационных космических аппаратов. В процессе исследования учитывается два вида ошибок относительно двух признаков контроля целостности радионавигационного поля. Вводится функционал ошибки, относительно которого строится оптимальное рабочее созвездие.
Введение.
Одним из способов, которым достигается повышение точности местоопределения в приёмоиндикаторах СРНС, является выбор оптимального рабочего созвездия (сочетания находящихся в пределах видимости НКА), обеспечивающего наименьший геометрический фактор. С целью выбора такого рабочего созвездия производится перебор возможных сочетаний НКА и вычисление геометрического фактора для каждого сочетания. Этот расчёт должен производиться довольно часто, так как в результате взаимного перемещения ВС и НКА рабочая конфигурация системы постоянно изменяется, в результате чего рабочее созвездие перестаёт быть оптимальным, более того, в случае захода одного НКА за горизонт, местоопределение в заданном режиме может стать невозможным. Поэтому большое значение имеет сокращение объёма вычислений, необходимых для выбора оптимального рабочего созвездия. Этот объём определяется количеством сочетаний НКА, которые необходимо перебрать. К примеру, если в пределах видимости выше предельного угла возвышения находятся 8 НКА, то перебор включает в себя 210 вариантов.
2. Контроль целостности радионавигационного поля
В системах спутниковой навигации контроль целостности радио-навигационного поля осуществляется посредством:
1) непрерывного автономного самоконтроля работы основных бортовых подсистем НКА, влияющих на качество излучаемых радиосигналов;
2) внешнего контроля сигналов НКА с помощью аппаратуры контроля навигационного поля (АКНП), входящей в состав наземного комплекса управления (НКУ).
В первом случае формируется признак исправности Вп . Его нулевое значение соответствует состоянию "
исправен". Этот признак передаётся в составе оперативной (эфемеридной) информации с дискретностью 30 с; при этом максимальная задержка от момента обнаружения неисправности до передачи этого признака не превышает 1 мин.
Во втором случае формируется признак Си , характеризующий состояние всех НКА СРНС на момент закладки неоперативной информации (альманаха орбит и фаз); при этом признак Сп =0 соответствует непригодности для использования п -го НКА, а С =1 указывает на его пригодность. Дискретность передачи признаков в навигационных сообщениях Си составляет 2,5 мин. Эти признаки появляются в составе альманаха не позднее, чем через 16 ч после появления неисправности.
Пригодность использования для навигационных определений сигнала конкретного п -го НКА имеет место
только в случае одновременного выполнения условий Вп =0 и Сп = 1 , которое проверяется в навигационной
аппаратуре потребителя.
Указанная процедура контроля целостности дополняется контролем целостности системы, осуществляемым наземными контрольными станциями, например, дифференциальных подсистем, а также контролем непосредственно в потребительской аппаратуре и в навигационном комплексе подвижного объекта.
Таким образом, исходя из вышеизложенного, можно сделать вывод, что совокупность условий, которые можно обозначить набором символов (01) означает пригодность использования для навигационных определений сигнала 1-го НКА , 1=1,...,п , а любое из условий записываемое в виде (10), (11), (00) означает непригод-
ность использования для навигационных определений сигнала этого НКА.
Обозначим вероятность "неисправности" 1-го НКА по признаку Вп через /. , а по признаку Сп через 1 .
Вычислим теперь по отдельности вероятности возникновения условий (10),(11), (00), т.е. условий, означающих неисправность 1-го НКА. Предполагается, что значения обоих признаков появляются независимо друг от друга.
9(10) = 1,1/ ,
9(11) = 1/(1 —I,) ,
9(00) = (1 -1[)/,. .
Поскольку эти события несовместны, то вероятность неисправности ,— го НКА можно вычислить по формуле суммы вероятностей несовместных событий:
9 = 9(10) + 9(11) + 9(00) = I,1', +(1 — Ь) +(1—I/ X = I/ +1 —, (1)
Представляется интересным заметить, что максимальное значение величина 0 принимает в случае, если
I/ = 1.
г Г т£1
Действительно, если д;<£; , то д =--------,
т{
где т < т .
Тогда (1) перепишется в виде:
9 = 1[ +1 — Й = — +1 — —1 = —(т + т1 — т11) , (2) т т тх
Если 1 1 , то
д = /[ +/, —/[/,. = 2/, - /,.2 = А. (2ш, - ш,/,.) , (3)
Так как /. ^ 0 (предполагается, что отказ НКА событие маловероятное) и, учитывая, что ш < , получа-
ем, что значение д в выражении (3) больше значения д в выражении (2).
Представляется естественным сделать следующий вывод: при выборе рабочего созвездия, ^стоящего из
четырёх НКА следует помимо учёта геометрического фактора выбирать спутники с наименьшей величиной д , формула вычисления которой приведена выше.
В случае работы по всем видимым НКА встаёт вопрос о надёжности всей СРНС, состоящей из этих спутников.
Напишем формулу функции надёжности (т.е. вероятности того, что СРНС выполнит навигационную задачу) для системы типа 4 из 5 - система находится в работоспособном состоянии, если в этом состоянии находятся хотя бы 4 из 5 её НКА.
Обозначим р= 1 — д;. , где д. - вероятность неисправности /-го НКА.
Тогда
Р = Р1Р2Р3Р4 Р5 + Р1Р2 Р3Р4* + Р1Р2 Рз94 Р5 +
+ЛР293Р4Р5 + Р1Ч2Р3Р4Р5 + Ч1Р2Р3Р4Р5 ■
Таблица Вероятность отказа СРНС
Номер НКА Ш Вероятность неисправности НКА по признаку Bi (б± ) Вероятность неисправности НКА по признаку С ^ ) Вероятность неисправности ^го НКА Вероятность отказа СРНС ^=1^)
1 2-10—4 1-10—4 2,9998 -10—4
2 1 -10'4 1-10—4 1,9999 -10—4
3 9-10—5 1,5 -10—4 2,3999 -10—4 б = 4,495 -10—7
4 1-10—4 2 -10—4 2,9998 -10—4
5 9,9 -10—5 1,2 -10—4 2,1899 -10—4
3. Метод построения оптимизированного рабочего созвездия При оценке состояния НКА могут возникать следующие ошибки:
1) НКА признан неисправным, хотя он выполняет свои навигационные функции (обозначим её вероятность еу для признака Ву и е/ для признака С. );
2) НКА признан исправным, хотя он не выполняет свои навигационные функции (обозначим её вероятность
д( для признака £. и ё/ для признака С. ).
Оценка состояния каждого НКА принимает следующие значения:
а) относительно признака В. :
X =0 - спутник признан исправным,
X = 1 - путник признан неисправным;
б) относительно признака Су :
у = 0 - спутник признан неисправным, у =1 - отутник признан исправным.
Так как считается, что пригодность использования для навигационных определений сигнала конкретного п — го НКА имеет место только в случае одновременного выполнения условия Вп =0 и С = 1 , и , учитывая, что ошибки определения состояния спутника по каждому из признаков происходят независимо друг от друга, имеем:
P (НКА исправен при условии, что его состояние определено как неисправное)
= Р(В, = 0,С, = 1 / X = 1, у, = 0) + Р(В/ = 0, С/ = 1 / X/ = 1, у, = 1) + +Р(В, = 0, С, = 1 / X, = 0, у, = 0) = ее! + е (1 — е') + (1 — е К-
Аналогично определим ошибку другого рода:
P (НКА неисправен при условии, что его состояние определено как исправное) = +ё(1 — К) + ё/(1 — е) .
Введём обозначения:
е1,2,, = ее' + е (1 — е!) +(1 — е )е', ё1,2,, = +ё (1 — е!') +ё/(1 — е) .
Обозначим Р - вероятность исправности спутника, при условии, что его состояние определено неверно.
Тогда Р, = е1,2,, = 1 ё1,2,, .
Введём функцию:
/(х,, у) =1, если х, = ° у,- =1,
/(Х, у,-) = 0 в других случаях.
^стояние всего рабочего созвездия обозначим символом Ф , где Ф = 1 (рабочее созвездие находится в работоспособном состоянии) или Ф = 0 (рабочее созвездие не выполняет свои функции ) . Рассмотрим состоя-
ние рабочего созвездия как функцию Ф(в,С), где (.В, С) = ((В1,С1)5(В2,С2),...,(Вя ,С„)) - вектор состояния рабо-
чего созвездия размерности п - числа НКА в системе.
Далее введём понятия пути и сечения.
Путём называется набор НКА, для которого выполнено следующее условие : если для каждого НКА этого
набора сформирован набор признаков В. = 0, С-= 1 , то состояние всего рабочего созвездия Ф (В,С) = 1 независимо от состояния других НКА, входящих в эту систему . Аналогично сечением называется набор НКА, для которого выполнено следующее условие: если для каждого НКА этого набора сформирован набор один из наборов признаков:
(В = 1, с, = 0),(В = 1,с = 1),(В = о, с, = 0), то состояние всего рабочего созвездия Ф (В,С) = 0 независимо от состояния других НКА рабочего созвездия.
Далее определим понятия минимального пути и минимального сечения как минимального набора НКА обеспечивающего или нарушающего соответственно нормальное функционирование системы. Предполагается, что все НКА, входящие в рабочее созвездие работают независимо друг от друга. Поэтому
п
Р(В, С) = П р/(В ’С') (1 - р, )1-/(В ’С') ,
/=1
где Р(В,С) -вероятность того, что рабочее созвездие состоит из НКА, для которых выполнен вектор состояния (В,С). Функция надёжности Л( р) для всего рабочего созвездия ( то есть вероятность того, что система находится в состоянии Ф (В,С) = 1 ) описывается формулой:
п
Я(р) = ЕФ(В,С) = £ Р(В, С)Ф(В, С) = £ Пр/(В‘'°‘)(1 - Р)1-*(В‘'°‘) (4)
X,У X,У:Ф (X,/) =1 / =1
где ЕФ (В, С) - это математическое ожидание состояния рабочего созвездия.
Отсюда вероятности ошибок и 6 2 5для всего рабочего созвездия, составленного из п НКА находятся
следующим образом:
е1,2,в = ^(^1,2,1,^1,2,2,...,^1,2,п ) = ^( р|, р2, ■■■, рп) = п
= £ П Р|*(Х/,У/ )(1 - р/ )1-*(Х/,У/) =
X,У :Ф (X,/) =1 I =1 п
= £ П*1, 2, /'(X/, У/ )(1 "*1 , 2, /)1-' ^ У) (5)
X ,У :Ф (X,/) =1 / =1
1 - 61, 2, 5 = ^(1 - 61, 2, 1 1 - 61, 2, 2 , 1 - 61, 2, п ) = ^( р1 р2,рп ) = п
= £ Пр*(Х/,У/)(1 - р)1-*(Х/,У/) = (6)
X :Ф (X) =1 / =1
п
== £ П (1 -61 , 2, ,■) *(^ У/ )б1 , 2, Л *(^ У')
X :Ф (X )=1 / =1
Далее рассмотрим только асимптотический случай. В этом случае ошибки ^2и 62 / можно записать в виде:
£1,2,г = Ь 'е (7)
61,2,/ = Ь ' 6 , (8)
где ti,^ - некоторые положительные константы, £ — 0,6 —— 0.
Это очевидно выполняется, так как предполагается, что каждый НКА, аппаратура контроля и наземный комплекс управления представляют из себя достаточно высоконадёжную систему с малой вероятностью ошибок.
Учитывая (5) - (8), ^ 25 и 6125 можно переписать следующим образом:
£>1,2,5 = С)еа + С,еа+1 +... + с1+1 (9)
612,, = С'?5Д + С'?8Д+1 +... + С';-Д+16п (10)
Далее определим величины а и Д и константы С1,, С/ .
Величины а и Д определим следующим образом:
Пусть т -вес минимального пути из НКА, входящих в рабочее созвездие, то есть количество НКА, входящих в этот минимальный путь, т - вес минимального сечения рабочего созвездия, то есть количество НКА, входящих в это минимальное сечение.
Вводятся обозначения:
- множество всех минимальных путей, составленных из НКА
входящих в рабочее созвездие,
- множество всех минимальных сечений рабочего созвездия.
Тогда
а = тп т ,
N ■
Д= ттт.
Nmm
Первые две константы в разложении е и 6 для случая ^ ^ = 1 для любого
I-го НКА можно определить следующим образом:
С = ^тт а* ,
С5 = -(п - а,) + N(а5 + 1) ,
С = Nmiп Д ,
С? = -(п - Д) + N(Д + 1) ,
где
Nmin а - общее количество минимальных путей рабочего созвездия, состоящих из а НКА ,
^п Р, - общее количество минимальных сечений рабочего созвездия, состоящих из Д НКА.
N (а, +1) - общее количество всех путей рабочего созвездия, состоящих из а +1 НКА.
N(Р, +1) - общее количество всех сечений рабочего созвездия, состоящих из +1 НКА.
Введём обозначение функционала и запишем его формулу, учитывая (9), (10):
^(е,6) = е1,2,5 + 61,2,, = 1 + ^(е1,2,1, е1,2,2 ,.. .,е1,2,п ) --Щ - 61,2,1,1 - 61,2,2 , ...,1 - 61,2,п ) =
=с1еа, +...+с;-а+еи + с1!6р, +...+с[п-р’+6п (11)
Представляется естественным сделать вывод, что решение данной задачи заключается в нахождении такого рабочего созвездия, для которого сумма обоих ошибок будет минимальна, то есть решение задачи заключается в нахождении тт Р (е,6) .
При этом естественно предполагается, что любое рабочее созвездие принадлежит к классу структур, которые удовлетворяют следующим условиям:
1) Ф( f (В!,С!) = 1, f (В2,С2) = 1,..., f (Вп, Сп) = 1) = 1, то есть, если все НКА нормально функционируют, то и рабочее созвездие в целом функционирует нормально.
2) Ф(0,0, ...,0) = 0 , то есть, если все НКА рабочего созвездия отказали, то и рабочее созвездие в целом отказало.
3) Ф(В,С) > Ф(В1 ,С') при условии, что / (В, С) > / ВС), то есть нормальное функционирование любого НКА не может служить помехой для нормального функционирования рабочего созвездия в целом.
