CC BY
42
7/)П11 ВЕСТНИК _7/20ТТ_МГСУ
МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ ТЕПЛОВЫХ СЕТЕЙ
A METHOD OF CONSTRUCTION OF OPTIMAL STRUCTURE OF HEAT SUPPLY NETWORKS
B.H. Мелькумов, НС. Кузнецов, B.H. Кобелев
V.N. Melkumov, I.S. Kuznetsov, V.N. Kobelev
ВГАСУ
Рассмотрена задача оптимизации структуры тепловой сети, учитывающая расходы на строительство и планируемые доходы. Предложена формулировка задачи оптимизации на графах в виде задачи линейного программирования.
A problem of optimization of structure of heat supply network that takes into account construction expenses and planned gains has been considered. A formulation an optimization problem on graphs as a linear programming problem has been proposed.
Планирование структуры тепловых сетей представляет собой сложную задачу. Качество планирования напрямую влияет на прибыль, которую может получить компания, предоставляя услуги централизованного теплоснабжения своим потребителям [1,2]. Этап проектирования является решающим для построения высокоприбыльной тепловой сети. На этом этапе обычно известны потенциальные абоненты системы централизованного теплоснабжения с установленными или предварительно оцененными потребностями в тепле. Эти потребности могут быть представлены как дисконтированные будущие доходы. Потребители тепла и связи между ними образуют потенциальную сеть, по которой может идти прокладка теплопроводов от источников тепла к потребителям.
При планировании структуры тепловой сети необходимо, с одной стороны, из множества всех потенциальных потребителей тепла выбрать подмножество тех потребителей, которые будут приносить прибыль. С другой стороны, тепловая сеть должна соединять потребителей и источник тепла, и стоимость строительства сети должна быть минимальной. Таким образом, необходимо решить задачу, в которой нужно присоединить всех прибыльных потребителей к источнику тепла при минимизации стоимости строительства самой тепловой сети.
Этот процесс можно описать как задачу оптимизации на графах. Пусть есть ненаправленный граф G = (X, E), где X- множество вершин, а E - множество ребер. Пусть также некоторое подмножество вершин У с X соответствует потребителям тепла. Ребрам графа е е Е сопоставим некоторые неотрицательные величины. Этот граф представляет собой карту с возможными точками прокладки тепловой сети. Такой граф может быть получен на основе топографических условий местности, данных о планировке и застройке городских районов, размещении надземных и подземных инженерных сооружений и коммуникаций, свойств грунтов и т.д. [3, 4]. На рис. 1 приведен пример такого графа.
ВЕСТНИК 7/2011
Рис. 1. Граф, соответствующий потенциальной тепловой сети. Темные круги соответствуют потребители тепла, а окружности - прочим вершинам.
Ребра графа представляют собой участки тепловой сети, а вершины - это потенциальные потребители или тепловые камеры. Величины, сопоставленные ребрам графа, представляют собой затраты на строительство участков тепловой сети [5, 6].
Задача оптимизации может быть сформулирована следующим образом: найти связный подграф H = (XH, EH) графа G, который включает все вершины из Y с X и удовлетворяет следующему условию оптимальности:
C (H) = X C (e) ^ min, (1)
е^Ен
где XH с X, EH с E , C(e) - функция стоимости строительства участка тепловой се-
Каждое решение, полученное в этой задаче оптимизации, представляет собой граф. В этом графе отсутствуют циклы, поскольку исключение ребра графа из цикла позволит уменьшить целевую функцию C(H). Поэтому решением данной задачи является дерево вершин.
При проектировании структуры тепловых сетей в большинстве случаев приходится решать более сложную задачу. Присоединение труднодоступных потребителей или потребителей с крайне малым теплопотреблением не приведет к повышению общей прибыли. Поэтому задача выделения прибыльных потребителей из множества всех потенциальных потребителей тепла дополняется условием получения максимального дохода от всех выбранных потребителей тепла. Как уже было отмечено выше, обычно на этапе планирования для каждого потребителя теплопотребление известно или спрогнозировано.
Задача оптимизации в данном случае будет звучать следующим образом. Пусть дан ненаправленный граф G = (X, E), в котором некоторое подмножество вершин Y с X представляет собой множество доходных потребителей тепла. Ребрам e е E сопоставлены стоимости строительства участков тепловой сети. Каждой вершине y е Y сопоставим некоторую положительную величину, соответствующую дисконтированным будущим доходам, которые будут получены от потребителей тепла. Мы будем различать вершины графа, соответствующие потребителям, и прочие вершины, соответствующие, например, тепловым камерам. Определим вершины, соответствующие потребителям, как Y = {х е X | D(х) > ö}, где D(x) - функция дохода, получаемого от потребителя х. Вершинам, не соответствующим потребителям, сопоставим нулевую
7/)П11 ВЕСТНИК
_Z/2°ll_мгсу
доходность. Положим, что множество Y непустое. Необходимо отыскать подмножество множества вершин YH с Y, а также найти связный подграф H = (YH, EH) графа G, который включает все вершины из YH и удовлетворяет условию оптимальности. Целевая функция в этой задаче представляет собой прибыль, полученную от подключения потребителя к сети, то есть, разность дисконтированных будущих доходов, которые будут получены от потребителей, и расходов на строительство сети. Ее можно записать в следующем виде:
P(H) = D(H) - С(H) = X D(y) - X C(e) ^ max . (2)
yeYH e^EH
На основе данных, полученных в результате решения поставленной задачи, можно дать рекомендации о целесообразности подключения потребителей, вошедших в множество YH , к системе центрального теплоснабжения. Эти же данные можно использовать для вывода рекомендаций о строительстве локальных котельных для прочих потребителей.
Возможна еще одна формулировка целевой функции. Пусть Y - подмножество множества вершин Y графа G, соответствующее тем потребителям, которые не будут подключены к тепловой сети, но, в то же время, имеют положительную доходность. Тогда целевая функция будет иметь следующий вид:
M(H) = XD(y) + X С(e) ^ min. (3)
y^Y e^H
Таким образом, при такой формулировке ищется минимум суммы доходов всех потребителей, не подключенных к сети, и стоимости строительства тепловой сети.
Очевидно, что для решения задачи о планировании структуры тепловой сети необходимы дополнительные ограничения. Например, необходимо, чтобы тепловая сеть присоединялась к источнику тепла. Это условие может быть задано, например, введением в граф специальной вершины xs е X, соответствующей источнику тепла. Для этой вершины нужно установить очень высокую доходность, что позволит гарантировать включение этой вершины в решение. Этот метод можно также использовать для того, чтобы обеспечить присоединение к существующей инфраструктуре.
Поиск минимума суммы доходов всех потребителей, не подключенных к сети, и стоимости строительства тепловой сети является комбинаторной задачей. Для такой задачи возможно осуществить переход к задаче линейного программирования. В условие задачи необходимо добавить такие ограничения, чтобы при решении задачи линейного программирования можно было получить только допустимые решения. В случае графа этими ограничениями могут быть, например, условие отсутствия циклов в решении и условие связности получаемого графа. Оптимальность получаемого решения гарантируется тем, что решение задачи линейного программирования всегда достигают оптимума целевой функции при заданных ограничениях.
Итак, задаче оптимизации с целевой функцией (3) можно сопоставить задачу целочисленного линейного программирования. Сформулируем ее.
Пусть дан граф G = (X, E) - ненаправленный граф, вершинам и ребрам которого сопоставлены доходы, получаемые от потребителей, и стоимости строительства, соответственно. Обозначим доход, соответствующий вершине x е X, как dx , а стоимость, соответствующую ребру e е E , как ce. Пусть также Z с. X - набор вершин и пусть E(Z) с E - набор ребер, такой, что все ребра из E(Z) инцидентны вершинам из Z. Со-
вестник 7/2011
поставим каждому ребру е е Е вещественную переменную ае, а каждой вершине х е X - вещественную переменную Ьх. Эти переменные означают принадлежность каждой вершины и ребра решению. Введем следующие обозначения:
А(Е(7)) = X ае, (4)
ееЕ ( г)
В(7) = Х К . (5)
z zeZ
Определим многогранную область P:
A(E) = B( X) -1, (6)
A(E(Z)) < B(Z \{z}),z e Z,Z £ X (7)
0 < ae < 1, e e E (8)
0 < bx < 1, x e X (9)
Уравнение (6) налагает следующее ограничение: количество ребер, входящих в искомый граф, A(E), равно количеству ребер, необходимых для формирования остов-ного дерева соответствующего графа. Выше было установлено, что оптимальное решение является деревом, поэтому система неравенств (7) гарантирует, что в полученном решении не будет циклов.
Сама же задача формулируется следующим образом:
X Ceae + z dx (1 - bx) ^ min, (a, b) e P n(tf|E|, Z|X|). (10)
e^E xeX
При увеличении числа вершин графа число неравенств в системе (7) растет экспоненциально. При практических расчетах неравенств слишком много для прямого решения задачи (10). Поэтому возможно приближенное решение этой задачи с искусственно уменьшенным числом неравенств (7). Ниже приведена краткая формулировка одного из методов, применимых для решения поставленной задачи:
1. Производится решение задачи (10) со всеми ограничениями, за исключением ограничений (7);
2. Выявляются те ограничения, которые не выполняются при найденном решении;
3. Выявленные ограничения добавляются в формулировку задачи и учитываются на последующих итерациях;
4. Производится решение задачи с новыми ограничениями.
Результаты, полученные в результате решения рассмотренной задачи, позволяют определить экономическую целесообразность подключения потребителей к системе центрального теплоснабжения или целесообразность строительства локальных котельных.
Литература
1. Мелькумов В.Н. Прогнозирование параметров отказов элементов тепловых сетей методом авторегрессивного интегрированного скользящего среднего / В.Н. Мелькумов, С.Н. Кузнецов, Р.Н. Кузнецов, A.A. Горских // Научный вестник Воронеж. гос. арх.-строит. ун-та. Строительство и архитектура. - 2009. - № 4. - С. 28-32.
2. Мелькумов В.Н. Мониторинг надежности тепловых сетей / В.Н. Мелькумов, C.H. Кузнецов, К.А. Скляров, A.A. Горских // Научный вестник Воронеж. гос. арх.-строит. ун-та. Строительство и архитектура. - 2010. - № 1. - С. 52-58.
7/)п11 ВЕСТНИК _^/2ott_мгсу
3. Мелькумов В.Н. Комплексная многокритериальная оптимизациия размещения объектов сжиженного газа / В.Н. Мелькумов, Н.С. Котельников, B.C. Турбин // Вестник Тульского гос. ун-та. Серия: Энергетика. - 2002. - Вып. 72. - С. 112-118.
4. Мелькумов В.Н. Определение оптимального маршрута трассы газопровода на основе карт стоимости влияющих факторов / В.Н. Мелькумов, И.С. Кузнецов, Р.Н. Кузнецов // Научный вестник Воронеж. гос. арх.-строит. ун-та. Строительство и архитектура. - 2009. - № 1. - С. 21-27.
5. Мелькумов В.Н. Разработка метода определения оптимального маршрута прокладки газопровода на основе генетических алгоритмов / В.Н. Мелькумов, И.С. Кузнецов, Р.Н. Кузнецов // Приволжский научный журнал. - 2009. - № 3. - С. 69-74.
6. Кузнецов И.С. Поиск маршрута прокладки инженерных сетей с наименьшей стоимостью / И. С. Кузнецов, Р. Н. Кузнецов, А. А. Горских // Научный вестник ВГАСУ. Строительство и архитектура. - 2009. - № 4 (16). - С. 31-38.
Literature
1. Melkumov V.N. Forecasting of parameters of failure of heat supply networks using an autoregressive integrated moving average method / V.N. Melkumov, S.N. Kuznetsov, R.N. Kuznetsov, A.A. Gorskih // Nauchny Vestnik VGASU Stroitelstvo i arkhitektura. -2009. - №4. - P. 28-32.
2. Melkumov V.N. Monitoring the reliability of heat supply networks / V.N. Melkumov, S.N. Kuznetsov, K.A. Sklyarov, A.A. Gorskih // Nauchny Vestnik VGASU Stroitelstvo i arkhitektura. -2010. - №1. - P.52-58.
3. Melkumov V.N. Complex multicriterion optimization of placement of liquefied gas objects / V.N. Melkumov, N.S. Kotelnikov, V.S. Turbin // Tula state university bulletin. Series: Energetics. -2002. - Vol. 72. - P. 112-118.
4. Melkumov V.N. Laying an optimal gas pipeline route based on cost maps of influencing factors / V.N. Melkumov, I.S. Kuznetsov, R.N. Kuznetsov // Nauchny Vestnik VGASU Stroitelstvo i arkhitektura. -2008. - №1(13). - P.21-27.
5. Melkumov V.N. Development of a method of determining optimal gas pipeline route using genetic algorithms / V.N. Melkumov, I.S. Kuznetsov, R.N. Kuznetsov, A.A. Gorskih // Privolzhsky scientific journal. - 2009. - №3.- P. 69-74.
6. Kuznetsov I.S. Tracing least-cost engineering network routes / I.S. Kuznetsov, R.N. Kuznetsov, A.A. Gorskih // Nauchny Vestnik VGASU Stroitelstvo i arkhitektura. - 2009. - №4. - P.31-38.
Ключевые слова: тепловые сети, структура, оптимизация, графы, линейное программирование, доходы, расходы.
Keywords: heat supply networks, structure, optimization, graphs, linear programming, expenses, gains.
E-mail: [email protected]
Рецензент: д.т.н., профессор кафедры теплогазоснабжения и вентиляции Юго-Западного
университета В. С. Ежов
