CC BY
36
УДК 658.52.011.56
из матрицы X перестановки л (0,1) -матрицу
МЕТОД ПОИСКА ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ОДНОГО ОБОБЩЕНИЯ ЗАДАЧИ О НАЗНАЧЕНИЯХ
ПАНИШЕВ А.В., КОСТИКОВА М.В., СКРИПИНА И.В._________________________
Доказывается, что на множестве всех подматриц порядка mi, порождаемых квадратной таблицей порядка m с целыми неотрицательными числами, находится подматрица, содержащая диагональ с наименшей суммой входящих в нее элементов.
Заданы квадратная матрица м порядка m с целыми неотрицательными числами и целое число mi < m. За полиномиальное время минимизируется сумма из mi элементов, образующих поддиагональ в м .
Вычислительная схема, предложенная в [1, 2] для решения ряда обобщений известной задачи о назначениях, позволяет расширить их перечень задачей в следующей постановке.
Рассмотрим квадратную матрицу [Yij]m порядка m и две строго возрастающие последовательности (ii,i2,...,is,im1) и (ji,j2,-,jt,jm1), m1 < m, одна из которых содержит номера строк is є{1,2,...,m}, а другая - номера столбцов jt є {1,2, ...,m} матрицы [Tij]m . Квадратная матрица порядка mi, (s, t)- м элементом которой является Yisjt, s = 1, mi , t = 1, mi, называется квадратной подматрицей матрицы [Yij]m .
Пусть X = [xij]m — матрица перестановки
v _ [ул ~ v.. J1,если і = is & J = л[Ь];
[Vij ]m , в которой vij |0, в остальных случаях.
Например, для [Yijb и перестановки л = (2,4,3,1,5)
матрица подстановки X =
01000 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 10000 0 0 0 0 1
опреде-
ляет диагональ П = (yi2, у24, Y33, Y41, Y55). Пусть mi = 3 , is = 2,4,5 ; л[іД = 4,1,5 .
Т°гда ni - (у24, У4l, У55)
Л1 =
245 4 1 5
и
v =
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0.
0 0 0 0 1
Сформулируем исследуемую задачу следующим образом.
Пусть [у ij]m — квадратная матрица порядка m с целыми неотрицательными числами уij; Y = [vij]m
m
— (0,1) -матрица, в которой Vi = Z Vij = 1v 0 ,
j=i
m mm
Vj = zVij =1V0 , ZZnj = mi , 0 < m1 < m ;
i=1 i=1j=1
X = [xij]m — матрица перестановки л = (л[1],.„,л[ш]);
л = (л[1],..., л[ш]): xin[i] -1, i = 1,m, xij - 0
во всех остальных случаях. Матрица X перестановки л, связанная с матрицей [Yij]m , Yij — неотрица-
mm
тельное целое, величиной S(л) = 2 ZxijYij опреде-
i=1j=1
ляет допустимое решение задачи о назначениях, которое представим последовательностью П = (Yi^[i],..., Ymn[m]). Последовательность п называется диагональю матрицы [Yij]m , соответствующей перестановке л.
В диагонали п mi элементов образуют поддиагональ Пі = (YІ1Л[І1],..., УisЛ[is],..., ^im1 n[im1]) и следовательно, квадратную подматрицу[Yisn[is]]mi матрицы [уij]m . Элементы подматрицы расположены в строках ii,і2, —,is, —, imi и в столбцах л[Іі],л[Ї2],...,я[ц ],...,^[im1] .
Обозначим Щ = (л[ц], л[І2], ..., л[іД,..., л^ ]). Для матрицы [Yisn[is]]mi и её поддиагонали Пі образуем
^1 — подмножество из mi компонент перестановки л, называемое допустимым решением. Обозначим
mm
S( л1) = EEVijYij i=ij=i
Требуется на множестве P всех допустимых решений ^1 с л , |лі | = mi найти такое решение л* , что
S(^i) = minS(^i) /і)
л1єР • ' '
Если mi = m, то поставленная задача является задачей о назначениях, решение которой находят с помощью целого ряда хорошо известных эффективных алгоритмов [3].
Следует заметить, что mi наименьших элементов оптимального решения задачи о назначениях, вообще говоря, не обеспечивают минимум S^i). Этот факт объясняется тем, что множество р, содержащее л*, строго включает в себя область допустимых решений задачи о назначениях. Действительно, каждая из m! диагоналей п матрицы
РИ, 2001, № 3
71
[Уij]m , представляющая допустимое решение задачи о назначениях, порождает cm1 поддиагоналей П, задающих допустимые решения задачи нахождения минимума S(tci) . Отсюда следует, что об* |р| _ (m!)2
ласть поиска л* содержит \р - mi!(m_mi)i поддиагоналей Пі, порождаемых матрицей [Yij ]m .
Задачу отыскания S( л*) можно отнести к классу экстремальных проблем на графах. Матрице [уij]m поставим в соответствие полный двудольный граф G = (I, J, U), здесь I = {i|l < i < m} и J = {j 11 < j < m} — множества вершин, а U — множество всех таких рёбер (i, j), что і є і, j є J . Каждое ребро имеет вес yij. Выберем в графе G mi рёбер так, что никакие два из них не имеют общих вершин. Тогда совокупность выбранных рёбер в графе G = (I, J, U) определяет допустимое решение Пі, а сумма их весов — значение целевого функционала S(^i) задачи. На множестве всех наборов из mi рёбер, в которых никакие два ребра не имеют общих вершин, требуется найти набор П* с наименьшей суммой весов входящих в него рёбер S(tc*) .
При решении поставленной задачи вычислительная схема, предложенная в [ 1], приобретает целый ряд особенностей. В основном они касаются организации данных в виде прямоугольных подматриц
исходной матрицы [уij]m .
Как и в [1], начальным этапом нахождения л* является построение допустимого решения задачи о назначениях л0 = (л0[1],..., ^0[m]) и диагонали П0 = (Уя0 [1],..., Уя0 [m]) матрицы [Yij]m , которая соответствует Л0 .
Допустимое решение Л0 построим в результате следующих действий.
51. [Yij ]m — исходная матрица задачи нахождения л*; l = 1.
52. В матрице [уij]m найти минимальный элемент y^0[l] , исключить строку и столбец, где находится элемент Ул0 [l] , положить l = l + 1 .
53. Если l > m , то конец, иначе перейти к S2.
Из матрицы [у ij]m образуем последовательность подматриц Г1 = [Уя0[1]] Г1>...> Гm1 , где Tj -
квадратная подматрица порядка j, получаемая из [Уij]m удалением m-l строк и столбцов, на пересечении которых расположены элементы Уя0[1+1]’...’ Y^0[m] .
Выделим свойство диагонали
П0 _ (Ул0[1], ..., Y^0[m1], Y^0[m1+1],-., Y^0[m]) ,
которое позволяет при построении оптимального решения л* исключить из рассмотрения ряд элементов матрицы [уij]m . Для этого рассмотрим квадратную подматрицу г матрицы [уij]m порядка m - m1, полученную из [уij ]m удалением тех строк и столбцов, на пересечении которых расположены элементы Уя0[1],..., Yn0[m1] .
Дальнейшие действия по нахождению л* будем рассматривать в предположении, что все элементы подматрицы Г m1 расположены в левом верхнем углу матрицы [уij]m , а строки и столбцы Г^ занумерованы числами 1,2, ...,m1. Соответственно строки и столбцы матрицы г имеют номера m1 +1, m1 + 2,..., m . Такое расположение строк и столбцов подматриц ГШ1 и г можно всегда получить перестановкой строк или столбцов исходной матрицы
[Yij]m .
Размещение элементов Уя0[1],-., Y^0[m1] в верхнем левом углу матрицы [уij]m выполним, например, с помощью таких шагов.
S01. [Yij]m — исходная матрица задачи нахождения минимума (1); (Yя0[l],..., Yn0[m1]) - поддиагональ, состоящая из m1 первых элементов последовательности П0 = (Уя0[1],..., Y^0[m1], Y^0[m1 +1],..., Y^0[m]) , l = 1 .
S02 . Пока l < m1, вставить на 1-е место столбец, содержащий элемент Уя0[1] , а затем на это же место строку, содержащую Уя0[1] , l = l +1.
Очевидно, что перестановка строк и столбцов не меняет условий поставленной задачи и поэтому не нарушает общности рассуждений.
Утверждение 1. Существует поддиагональ П*, соответствующая оптимальному решению л* задачи, которая не содержит элементов из подматрицы г .
Доказательство. Рассмотрим оптимальное решение ^0 задачи о назначениях с матрицей стоимостей Tm1 . Ясно, что S(tc*) < S(k0) . Из способа построения
П0 _ (Уя0[1],..., Y^0[m1], Y^0[m1 +1],..., Y^0[m])
следует, что наибольший элемент у® поддиагонали п0 , соответствующей решению ^0 , удовлетворяет неравенству у0 < yn0[m1]. В то же время элемент Y^0[m1] не больше минимального элемента в подматрице г . Утверждение 1 доказано.
Из доказанного утверждения вытекает, что компоненты искомого решения л* нужно выбирать среди тех элементов матрицы [уij]m , которые не принадлежат подматрице Г . Оптимальное решение л0 задачи о назначениях с матрицей стоимостей Г m1
РИ, 2001, № 3
72
представляет собой допустимое решение поставленной задачи, связанное со всеми дальнейшими
действиями по построению поддиагонали П* .
Приведенные рассуждения позволяют разбить матрицу [Tijlm на четыре блока. Верхний левый блок является подматрицей Гmj , для которой можно найти все последовательности П0 . Нижний правый блок представляет собой подматрицу Г с номерами строк mj +1, mj + 2,m и такими же номерами столбцов. Левый нижний и правый верхний блоки являются в общем случае прямоугольными матрицами Г1 и Г2 размерности (m-mj) х mj и mj х (m - mj) соответственно. Все элементы диагонали П* будем находить в объединении непересекающихся блоков , Г1 и Г2.
Обозначим Г прямоугольную подматрицу матрицы [уij ]m из m строк и mj столбцов с номерами 1, 2,..., mj, полученную в результате объединения непересекающихся блоков Г^ и Г1. Рассмотрим транспонированную по отношению к таблице Г j матрицу Г]1" = [уji]mjxm , для которой положим
Г1, если выбран элемент у ji, yji [О, else.
Определим минимум
mj m
EEyjiT ji (2)
j=1i=!
m
при ограничениях £ yji _ 1, j = !,m! ;
i=1
mj ___ m! m
E yji =i v 0, i = 1,m; yji = mj.
j=i j=1i=1
Для нахождения последовательности, доставляющей минимум (2), нужно решить задачу о назначениях, в которой матрица стоимостей получена из
таблицы [уji]mjxm добавлением к ней снизу m-mj строк, содержащих одни нули. Применяя к такой матрице схему построения всех оптимальных назначений, описанную в [2], можно найти множество всех оптимальных решений n0j задачи (1), определённых на подматрице Г матрицы [yij]m . Следует отметить, что в каждом решении n0j значение У ji ji из таблицы Г^ присваивается элементу у ij матрицы Г j. При этом если m - mj < mj, то очевидно, что П0! содержит элементы из Tmj и Г1 или только из rmj .
Оптимальное решение задачи (2) следует рассматривать как новое, не менее точное допустимое решение, чем поддиагональ П0 .
Пусть Г2 - прямоугольная подматрица матрицы [Уij]m из mj строк с номерами С 2, ...,mj и из mj столбцов, образованная объединением непересекающихся блоков Tmj и г2 . Для полученной матрицы Г2 = [Уij ]m1 xm положим
(j, если выбран элемент yij, yij [0, else.
Минимизируем
mj m
EEyyYij (3)
i=1j=1
при ограничениях
m _____ mj ___ m! m
Eyij = M = j,mj;Eyij =1v0,j =i,m; EEyij = m1 j=1 i =1 i~1j~1
Множество всех решений, доставляющих минимум (3), находится с помощью той же вычислительной схемы, которая минимизирует (2) на матрице, полученной добавлением к Г2 = [yjj]mj xm снизу m - mj строк с одними нулями.
Утверждение 2. Если каждое решение n0j, содержит только элементы из блока , то искомая подди-
агональ п* не содержит элементов в блоке Г .
Доказательство. Для каждой последовательности П°! = (УШ, у2j2,..., уmjjmj), полученной в результате решения задачи (2), справедливы соотноШеНия. УЩ < Уijj , У2j2 <^ij2 , . .’ ym1jmj < yijm1 , i = m1 + j, m . Нарушение хотя бы одного из соотношений приводит к появлению последовательности
П°! = (У1д, У 2д,-., У tjk,..., У mjjmj) , где эЛемеНт Уtjk ^Уkjk , t e{mj + 1,...,m}, k є{1,2,...,m1}. Если Уtjk <Уkjk , то последовательностьП01 не минимизирует (2). Если уtjk =Уkjk , то поддиагональп° содержит элемент, не принадлежащий блоку Г mj, что противоречит условиям утверждения. Отсюда следует S(л*) < S(tc01) . Утверждение 2 доказано.
Изложенный результат в значительной мере упрощает процесс нахождения л*, если решениями задачи (2) являются только последовательности, все элементы которых содержатся в блоке Г mj . В этом случае каждая искомая поддиагональ П* содержит элементы из матрицы Г 2 = [уij]mjxm , и поиск оптимального решения (1) сводится к решению задачи в постановке (3).
Рассмотрим, как строится оптимальное решение * „0
л*, когда в поддиагонали П°1 содержатся элементы
из Г m1 и Г1 .
Оказывается, что и в этом случае на завершающем этапе решения задачи (1) вызывается процедура, минимизирующая (3) на прямоугольной матрице
РИ, 2001, № 3
73
Г2 размерности mj х m , полученной из Г2 = [Уijlmixm . Преобразование матрицы Г2 в матрицу Г2 выполняется заменой в Гmj определённых значений У ij на значения элементов П0і, принадлежащих блоку Г1.
Покажем, какие элементы матрицы Г 2 меняют свои значения. Пусть ц і элементов поддиагонали П 0 і принадлежат блоку Гmj , а остальные ц 2 = m і - ц і элементов П 0 і содержатся в блоке Г 1. Тогда ц 2 строк и столбцов блока Г m! образуют подматрицу порядка ц 2, не содержащую элементов П 0 і. Каждый элемент столбца s полученной подматрицы заменим значением уts є П0і, t є^і +1 ,ml + 2,...,m}, s є { і , 2,...^і} блока гі • Преобразованный блок Г m і и подматрица г 2 образуют подматрицу Г 2 , представляющую исходные данные задачи (3). Такое преобразование выполняется для каждого оптимального решения задачи (2). Метод, предложенный в (2) для нахождения всех оптимальных решений задачи (3), реализуется столько раз, сколько построено поддиагоналей П 0 і на этапе решения задачи (2). В результате получим одну или несколько поддиагоналей П 02, содержащих только элементы Г 2 • Если в П 02 оказались (k,s) — элементы, k є{ 1 ,2,...,m1 }, s є{ 1 ,2,...,m1 } , со значениями уts є П 01, t є {m1 +1 , m1 + 2, ...,m}, то в каждом таком элементе первый индекс k заменяется на индекс строки t элемента (t, s), принадлежащего блоку Г1.
Если m1 < m - m1, то возможен случай, когда оптимальные решения задачи (2) представлены последовательностями, состоящими или только из элементов блока Г m1, или только из элементов блока Г1.
Утверждение 3. Пусть последовательность П0і из элементов блока Гm1 и последовательность П0 из элементов блока Г1 доставляют минимум целевой функции (2). Тогда у is = у ts, у is є П0і, у ts є П0,, і є { 1 ,2,..., m1 } , t є {m 1 + 1,m1 + 2,...,m}, s = 1,m1 .
Доказательство. Если yis <yts, у^ єП0і, уts є П01, и S(л01) = S(л01), то в матрице Г1 найдётся столбец p , p є {1,2,..., m1}, содержащий такие элементы уkp Є П01, k e{1,2,...,m1}, уrp є П01, r є {m1 +1, m1 + 2,..., m}, что У rp < У kp . Тогда существует последовательно)сть п0і, в которой содержатся элемент у є П01 и все элементы П01 за исключением уkp є П11. Отсюда следует, что
S(rn01) < S(rn01) = S(rn01), и тогда П0і и П01 не
являются оптимальными решениями задачи (2). Установлено противоречие в случае уis ф у ts, уis є П01, уts є П01. Утверждение 3 доказано.
Изложенные соображения позволяют перейти к описанию алгоритма решения задачи (1) и обоснованию его корректности. Алгоритм включает следующие действия.
1. [У ij ]m — исходная матрица задачи минимизации (1); m1 — число компонент в оптимальном решении л* задачи минимизации (1).
2. Выполнить действия S1-S3 по построению последовательностиЛ0 = (л0[1],...,п0[m]) и соответствующей ей диагонали П0 = (уЛ0[ц,...,y„0[m]) матрицы [Уij]m .
3. Перемещением строк или столбцов матрицы [уij ]m расположить элементы Уя0[1],-., У^^і] в её левом верхнем углу и образовать блоки Г m1, г , Г, Г 2.
4. Объединив непересекающиеся блоки Гm1 и гі , получить прямоугольную таблицу Г і, затем матрицу гТ = [Уji]m1Xm .
5. Найти множество всех оптимальных решений задачи (2).
6. Объединением непересекающихся блоков Г m1 и Г2 получить подматрицу Г 2 . Если оптимальные решения П01 не содержат элементов из блока Г , то найти оптимальные решения задачи (3) для исходных данных, представленных подматрицей Г 2 ; перейти к пункту 8.
7. Для каждого оптимального решения П0і, содержащего ц2 элементов блока Г1, 1 < ц2 ^ m1, преобразовать подматрицу Г 2 в подматрицу Г 2 и найти все решения, доставляющие минимум (3), для входных данных, представленных таблицей
Г 0 .
8. Получены решения, минимизирующие целевой функционал (1).
Утверждение 4. Алгоритм строит за полиномиальное время решение, доставляющее минимум функции S( л1).
Доказательство. В результате действий на шаге 3 образуется блок г , элементы которого исключаются из рассмотрения на основании утверждения 1. Обращаясь к постановке задачи (1) в терминах двудольных графов, находим, что рассмотрению подлежит остовный подграф полного двудольного графа G = (I, J, U), построенный из G удалением всех рёбер (i, j), m1 < i < m, m1 < j < m (рис. 1,а). Прямоугольной таблице Г і, полученной на шаге 4 в результате объединения блоков Г щ и Г1, поставим во взаимнооднозначное соответствие подграф G1 = (I,Jb U1) графа G, где J1 = {j|1 < j < mj, U1 -множество всех таких рёбер (i, j), что 1 < i < m .
74
РИ, 2001, № 3
J 1 2 3 4 5 6 J 1 2 3
Gl = (I, Ji, Ui)
1 1 2 3 4 5 6 1 1
mi = 3
а б
J 1 2 3 4 5 6
G2 = (I1,J, U2):
112 3
в
Рис. 1.
J 1 2 3
о
J 1 2 3 4 5 6
ООО
/К А А
11Л = Y22 = Ї32 Yi2J2 =У 23 =Ї33
I 1 2 3 4 5 6 I 1 2 3
G1 = (I,J1,U1)
а б
J 1 2 3 4 5 6 J 1 2 3 4 5 _6
X ft Я Я ft,
Y 23 Y І2І2
Y 53 Л/23 -Y І2І2
I 1 2 3 4 5 6
г
Рассмотрим полный двудольный подграф Gm1 = (I,Jb Um1) графа G, I1 = {i|1 ^ 1 ^ m1} . Если оптимальное решение задачи (2) П01 не содержит элементов из блока Г, то его можно представить как совершенное паросочетание двудольного подграфа Gm1 = (I1, J1, Um1). В случае, когда все оптимальные решения П01 являются совершенными паросочетаниями Gm1 = (I1, J1, Um1), очевидно, что для минимизации S(^1) достаточно решить задачу (3) для таблицы Г 2. Таблице Г 2 соответствует подграф G2 = (I1, J, U2) графа G, где U2 - множество рёбер (1, j), таких что 1 < 1 < m1, 1 < j < m (рис. 1,в). Таким образом, доказана корректность действий алгоритма, выполняемых на шаге 6. Рассмотрим случай, когда оптимальное решение П01 содержит ц2 элементов блока Г, 1 < р 2 - m1. Это значит, что оно представлено паросочетанием подграфа G1 = (I, J1, U1), содержащим р2 рёбер (i, j), і є {m1 +1, ...,m}, j є J1 и Ц1 рёбер (1, j), 1 є I1, j є J1, щ + ц2 = m (рис.2,а). Вершина j1 ребра (І1, j1), І1 є {m1 +1,..., m}, j1 є J1, входящего в паросочетание, является насыщеной. Она насыщена для любого ребра (IJ1), 1 є I1, не принадлежащего паросочетанию подграфа G1 = (I, J1, U1), но входящего в совершенное паросочетание подграфа Gm1. Каждому такому ребру в блоке Гm соответствует элемент уlj1 г П01. Если положить Уlj1 =Уi1j1 и для подграфа Gm1 построить совершенное паросочетание П m1 с ребрами, принадлежащими паросочетанию П01, то ясно, что П m1 также является решением задачи (2) (рис. 2,б). Таким образом, в преобразованном блоке Г m1 содержатся все диагонали с минимальной суммой элемен -тов, принадлежащих таблице Г1. Следовательно, в этом случае можно исключить из рассмотрения блок Г1, а решения, доставляющие минимум SC^), определять для входных данных в виде таблицы Г2 (рис. 2,в,г).
Рис. 2
Оценим сверху время работы алгоритма минимизации S(^1). Оно зависит прежде всего от числа операций, требуемых для построения оптимальных решений задач (2) и (3). С помощью вычислительной схемы, предложенной в [2], задача (2) решается за время 0(Nmaxm4), здесь Nmax - наибольшее число оптимальных локальных решений, представляющих поддиагонали матрицы исходных данных. Если в результате работы вычислительной схемы все полученные решения не содержат элементов из блока Г1, то, чтобы найти минимум S^), требуется столько же времени на решение задачи (3).
Пусть задача (2) имеет Q оптимальных решений П01, каждое из которых содержит элементы из блока Г1. В этом случае алгоритм требует Q преобразований матрицы Г2 в матрицу Г0 и Q обращениий к вычислительной схеме для решения задачи (3). Таким образом, задача (1) эффективно разрешима за время О((1 + Q)Nmaxm4). Утверждение 4 доказано.
Рассмотрим пример. Пусть
[Yij]6
1 \ j 1 2 3 4 5 6
1 9 3 1 7 7 1
2 3 9 7 7 9 9
3 1 10 3 7 9 1
4 8 7 9 3 6 6
5 9 7 8 1 3 1
6 1 9 1 1 6 10
m1 = 4.
С помощью шагов S1- S3 построим диагональ П0 , соответствующую допустимомурешению ло задачи о назначениях для матрицы [у ij]6. В результате получим
S(To) = 28, По = (Y13> Y3Ь Y54> Y45> Y22> Y66);
Y13 =Y 31 =Y 54 = 1 Y 45 = 6 Y 22 = 9> Y 66 = 10.
РИ, 2001, № 3
75
Выполним шаги S01-S02 с тем, чтобы первые четыре элемента П о разместились в верхнем левом углу исходной матрицы. Шаг 3 алгоритма нахождения минимума S(^i) завершается формированием матрицы:
(У31, Y13, Y46, У55), доставляющее минимум функционалу (2). Ему соответствует в таблице Гі поддиагональ
П°1 = (У13, У 31, У 64, У 55), Y13 =У 31 =У 64 = 1, У 55 = 3, ;
Гі =
Г
о _ 2 -
i \ j 3 1 4 5
1 1 9 1 7
3 3 1 7 9
5 8 9 1 3
4 9 8 3 6
2 7 3 7 7
6 1 1 1 6
i \ j 3 1 4 5 2 6
1 1 9 1 7 3 1
3 3 1 7 9 10 1
5 8 9 1 3 7 1
4 9 8 1 6 7 6
Поддиагональ П°1 содержит элемент у64 = 1, который принадлежит блоку Г1. Поэтому элемент (4,4) блока Г 4 можно рассматривать как подматрицу, не содержащую элементов из П°1. Заменим значение у 44 = 3 на у 44 = 1 и сформируем таблицу Г 0 .
Таблица Г 2 содержит единственное оптимальное решение (у 13, у 31, у 56, у 44) задачи (3), где у 44 = 1.
Заменив у 44 на у64 = 1, получим оптимальное решение П* = (у13,у31,у56,у64) задачи (1), для которого S(л*) = 1 +1 +1 +1 = 4 . Квадратная подматрица матрицы [у ij]6 с диагональю п* имеет вид
*
Г1 =
i \ j 1 3 4 6
1 9 1 7 6
3 1 3 7 1
5 9 8 1 1
6 1 1 1 10
Литература: 1. Панишев А.В., Подоляка О.А., Скакалина Е.В. Эффективный алгоритм распараллеливания работ на не идентичных машинах / / Авиационно-космическая техника и технология: Сборник научных трудов. Вып. 13. Харьков: Государственный аэрокосмический университет “ХАИ”,1999. С. 136 — 146. 2. Панишев А.В., Скрипина И.В., Скакалина Е.В. Эффективное построение оптимальных решений в задаче о назначении транспортного типа // Автомобильный транспорт: Сборник научных трудов. Вып. 4. Харьков: ХГАД-ТУ, 2000. С. 63 -65. 3. Свами М, Тхуласираман К. Графы, сети и алгоритмы. М.: Мир, 1984, 454 с.
Поступила в редколлегию 23.03.2001
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Евдокимов А.Г.
Панишев Анатолий Васильевич, д-р техн. наук, профессор кафедры информатики ХГАДТУ. Научные интересы: математическое моделирование, теория расписаний и ее применение. Адрес: Украина, 61002, Харьков, ул. Петровского, 25, тел. 10-77-53.
Костикова Марина Владимировна, канд. техн. наук, доцент кафедры информатики ХГАДТУ. Научные интересы: математическое моделирование, теория расписаний и ее применение. Адрес: Украина, 61002, Харьков, ул. Петровского, 25, тел. 10-77-53.
Скрипина Ирина Валентиновна, старший преподаватель кафедры информатики ХГАДТУ. Научные интересы: математическое моделирование, теория расписаний и ее применение. Адрес: Украина, 61002, Харьков, ул. Петровского, 25, тел. 10-77-53.
РИ, 2001, № 3
76
