CC BY
12
Метод переменной окрестности для задачи факторизации целых чисел в
сочетании с байесовским подходом
1 2 Ю.Ю.Огородников , А.П.Плёнкин
1 Институт математики и механики имени Н.Н.Красовского Уро РАН, Екатеринбург
2 Южный федеральный университет, г.Таганрог
Аннотация: В статье рассматривается приближённый алгоритм поиска решения задачи факторизации целых чисел путём сведения к оптимизационному варианту задачи выполнимости булевых формул, содержащей в каждом дизъюнкте ровно 3 литерала (МАХ-ЭБАТ). Для последней задачи строится непрерывный вещественнозначный функционал, глобальный минимум которого совпадает с решением МАХ-3БАТ. Показано использование метода простой итерации в сочетании с методом переменной окрестности и байесовским округлением. Изложено, что глобального минимума не всегда удаётся достигнуть из-за наличия на траектории поиска локальных экстремумов, однако точки, соответствующие локальным оптимумам, могут быть проанализированы на предмет совпадения отдельных компонент решения с точным. Приведены результаты численных экспериментов, которые показали, что разработанный гибридный метод определяет верно на 7% бит выполняющего набора больше чем предшествующие разработки авторов. Также представленный метод поиска задачи факторизации рассмотрен с позиции защищенности квантовых каналов связи в системах квантового распределения ключа. Описана типовая структура системы квантового распределения ключа. Ключевые слова: задача факторизации целых чисел, оптимизационный вариант задачи выполнимости булевых формул (МАХ-3БАТ), метод переменой окрестности, вещественнозначный функционал представления МАХ-3БАТ, квантовое распределение ключа.
Введение
Актуальной задачей для современных телекоммуникационных систем является вопрос обеспечения защищенности каналов связи. С появлением первых образцов квантовых компьютеров, надежность существующих криптографических алгоритмов приобретает вероятностный характер. Проблема надежности при шифровании сообщений сводится к проблеме распределения секретного ключа между корреспондентами. Эту проблему решает квантовая криптография, принципы которой реализуются в системах квантового распределения ключа (КРК). Уже созданы действующие коммерческие образцы систем квантового распределения ключа. Напомним, что система квантового распределения ключа состоит из двух станций,
которые соединены между собой волоконно-оптической линией связи. Распределение квантового ключа обеспечивается посредством кодирования фазового состояния фотона.
Разработки и исследования в данной области ведутся многими мировыми лабораториями, однако только несколько компаний реализуют готовую продукцию. Устойчивой работоспособностью при изменяющихся внешних условиях выделяются системы квантового распределения ключа с фазовым кодированием состояний фотонов [1-5]. Такие системы работают по схеме с автоматической компенсацией поляризационных искажений. В системах КРК применяются симметричные методы шифрования [6, 7]. Однако, в силу несовершенства систем квантовой связи, зачастую используются гибридные сочетания методов шифрования. Последнее показывает, что поиск новых методов и алгоритмов, направленных на усиление задач факторизации является актуальной задачей. Рассмотрим подробнее суть данной задачи и пути её решения.
Задача факторизации целых чисел (англ. Integer Factorization Problem, IFP) - одна из наиболее важных и интересных задач в дискретной математике [8]. Несмотря на то, что близкая ей задача проверки числа на простоту полиномиально разрешима [9], вычислительный статус IFP до сих пор не определён. Пользуясь этим обстоятельством, задача IFP активно используется в различных криптографических протоколах, самым распространённым из которых является алгоритм асимметричного шифрования RSA [10]. Современными методами (в частности, общим методом решета числового поля) удалось получить за полиномиальное время разложения чисел, содержащих в двоичной записи до 768 бит включительно [11]. Тем не менее, дальнейшее повышение размерности существенно повышает трудоёмкость операции декомпозиции составного числа. В связи с этим разрабатываются иные подходы к решению задачи
факторизации целых чисел. Одним из таких является сведение ИР к хорошо известной КР-трудной задаче 3-БЛТ. Приведём её формулировку.
Пусть дана булева формула, представленная в виде КНФ
1 £ * G {Q,l},yL = у,у1 = у
Задача заключается в следующем: можно ли назначить переменным y1v.., yn значения true и false так, чтобы формула (1) приняла значение true?
Алгоритм полиномиального сведения IFP к 3-SAT, основанный на представлении в терминах булевой алгебры операции умножения двух чисел "столбиком", описан в работах [12, 13]. Получаемый экземпляр 3-SAT содержит единственный выполняющий набор. Таким образом, если удастся найти заданный выполняющий набор, то решение исходной задачи IFP можно будет также восстановить. Более того, алгоритм сведения IFP к 3-SAT устроен так, что для каждого бита выполняющего набора известен его смысл в схеме кодирования операции умножения "столбиком". Получается, что отдельно можно выделить биты сомножителей, биты промежуточных сумм и биты переносов, и для исходной задачи IFP значимыми будут являться, вообще говоря, лишь биты сомножителей.
К сожалению, в настоящее время не известно полного (т.е. находящего выполняющий набор в любом случае) полиномиального алгоритма для задачи 3-SAT. Однако, в силу того что для задачи IFP важны лишь биты, отвечающие за сомножители, представляет интерес использование оптимизационного варианта 3-SAT, который носит название MAX-3SAT. Суть MAX-3SAT заключается в максимизации числа выполнимых дизъюнктов (или, что то же самое, минимизации числа невыполнимых).
где С,- - элементарные дизъюнкции вида
(1)
fV-.Vvf
:
Очевидно, что наилучшее решение МАХ-3БАТ (все дизъюнкты выполнены) является также решением для 3-БАТ. Таким образом, встаёт вопрос о поиске приближённого решения МАХ-3БАТ.
Для данных целей предлагается использовать непрерывную модель задачи 3-БАТ, которая носит название Цш8АТ7 [14]. Приведём её описание.
Пусть имеется непрерывная вещественнозначная гладкая функция Г(х):
F(х) = X P (х), (2)
i=1
xft если у содержится е Q где Р\Ы = = | (1 - я^асдв ^содержится в- Q-
1, иначе-
В работе [15] показано, что глобальный минимум данной функции соответствует искомому выполняющему набору.
Для нахождения глобального минимума дифференцируем функцию Г(х) по каждой переменной и приравняем каждую к нулю.
= о, (, = 1.Л) (3)
дх1
Рассмотрим систему (3). После дифференцирования функции по (2) по ьй переменной производные членов ^ = Пд=1дг*> не содержащих обращаются в 0, поэтому уравнения (3) могут быть представлены в виде
m
2Xi X Rj (х) - 2(1 - Xi) X Rj (х) = 0 (i = 1..n), (4)
j=1 j=1 y '
где Rj (x) = Pj (x) / х2, Rj (x) = Pj (x) /(1 - Xi )2 .
Применим к системе (4) метод простой итерации [14] (англ. Simple Iteration Method, SIM)
ф i (х)=xm=1 ~Rj ( x) / (j Rj ( X)+zm=1 R (х)+a) (5)
В формуле (5) a - коэффициент регуляризации, экспериментально установлен в 0.5.
будем использовать метод Зейделя ...x(nk}) с условием остановки max | x(k+1) - x(k} |< s .
К сожалению, метод простой итерации далеко не всегда находит глобальный минимум из-за наличия на траектории поиска локальных экстремумов. Тем не менее, можно попытаться преодолеть локальный экстремум. Для этого предлагается использовать метод переменных окрестностей (англ. Variable Neighborhood Search, VNS), предложеннный Младеновичем и Хансеным в 1997 году [16].
Главной идеей, лежащей в основе VNS, является то, что точка х1^', являющаяся экстремумом в некоторой окрестности, совершенно необязательно будет являться экстремумом в большей окрестности. В общей схеме метода предлагается использовать заранее заданный список окрестностей jVjCV] с (л;) ,.,с Л^г.тд.*с определённой структурой. При попадании в локальный экстремум следует начать перебор окрестностей до тех пор, пока в очередной окрестности Щ (д.) точка лс^' экстремумом являться не будет. После этого следует продолжить поиск.
В применении к задаче 3-SAT воспользуемся схемой построения окрестностей, предложенной в работах [16, 17] для задачи MAX-SAT.
Обозначим через iT0(f ) окрестность решения целочисленной точки i с координатами 1 и 0. Все точки ^ (г) получаются инвертированием одной
^ iV /
переменной, входящей в х (под инвертированием понимается изменение значения х{ на противоположное).
Точки окрестности ^(Ю получаются слиянием переменных, входящих в формулу (1), с помощью рандомизированного алгоритма. Так, если переменная ещё не просмотрена, то случайным образом выбирается другая непросмотренная переменная i,-, и создаётся новая переменная (в дальнейшем называемая кластером), состоящая из ^ и L. При этом если
происходит назначение кластеру I* значений 1 и 0, то это означает, что происходит назначение соответствующих значений 1 и 0 входящим в него переменным и lf-.
Таким образом окрестность состоит из точек, полученных
инвертированием кластеров, каждый из которых содержит 2 переменные. Дальнейшие окрестности = 2..kmitx получаются слиянием
кластеров, использованных в предыдущих окрестностях по
вышеописанной схеме. Если же кластеров нечётное количество, то один из новых сформированных кластеров будет содержать 3 кластера с предыдущей окрестности.
Данный процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнуто максимальное значение числа окрестностей kmax. В работе [17] рекомендовано выбирать kmax так, что число формируемых кластеров равняется 10% от размерности задачи. Так, если число переменных равняется 100, то получается 4 окрестности и kmax=3 (100 переменных в окрестности 50 в N^St}, 25 в №a£jQ и 13 в ЛГаС^З (в последнем случае число 12,5 округляется в большую сторону).
Опишем алгоритм поиска приближённого решения х для функции (2). Алгоритм 1. Метод простой итерации в сочетании с методом переменных окрестностей (SIM + VNS). Вход: Булева формула в виде 3-КНФ.
Шаг 1. Произвести переход от булевой формулы (1) к задаче минимизации непрерывного вещественнозначного функционала F(x) (2). Шаг 2. Задать структуру окрестностей Pft(0}ti — 1.. kmax. Шаг 3. Задать стартовое приближение зг*^ €
Шаг 4. Выполнять итерирование до попадания в локальный экстремум. Зафиксировать точку соответствующую локальному оптимуму
Шаг 5. Преобразовать л^ ' в точку с целочисленными координатами у® по
Шаг 6. Положить к=1.
Шаг 7. Выбрать точки и посчитать для
каждой из них значение Если Р) < то положить т:1^' = и
перейти к шагу 4. Если такой точки не нашлось, то положить к=к+1.
Шаг 8. Если к=ктах, то прекратить выполнение алгоритма и выдать ответ:
Выход. Приближённое решение х. Конец алгоритма 1.
К сожалению, даже с применением эвристики VNS метод простой итерации не находит точное решение, однако позволяет ближе подобраться к глобальному оптимуму. Кроме того, данный метод можно сочетать с разыми другими эвристиками.
Применим к методу SIM + VNS модифицированную схему округления с использованием формулы Байеса, описанную в статье [18]. Для этого введём два события iff и Я,1, заключающиеся в округлении в 0 и в 1 на 1-й итерации, соответствующей локальному экстремуму (после применения SIM+VNS), и положим F (iff) = 0.5 и = 0.5. Введём далее условные
вероятности F(A\ïf?} и Нетрудно показать, что и
равны Fi\y¡ = 0]) и F($y{* =1]) по построению (здесь и далее у* обозначает эталонное решение).
Полная вероятность события At вычисляется по хорошо известной
формуле PQa = + PCfíflPCA,|fífl.
Далее, вычисляются две апостериорные вероятности
J
, 0, ч P( H,0) P( А, | H,0) ,, ч P( H))P( A, | H,1) P(H,0 | A,) = v 1 ' v ' '—, P(H) | A) = ——, (6)
v ^ ^ p(A,) p(a )
и совершается округление вещественного вектора х, в целочисленный по формуле
^ = (7)
Округление по формуле (7) будем проводить в конце работы алгоритма 1. Полученный комбинированный метод назовём SIM+VNS+Bayesian (по задействованным в нём компонентам).
Исследуем статистически, насколько хорошо определяет SIM+VNS+Bayesian биты выполняющего набора. Для этого проведём серию экспериментов множестве экземпляров У7 = {i^.., размера d . Пусть у*£0 точное решение для экземпляра /, a j?£f} - приближение, полученное в результате выполнения алгоритма SIM+VNS+Bayesian. Введём функцию потерь L(y(i), y V)) =11| y(i) - y V) ||j. Тогда функционал качества примет вид
n
— 1 d , n L =-!l(y(Ij),y (I j)) (8)
d j=1
Аналогично, введём функции потерь
0 ~ * |{: y, (i) = 1 and y* (I) = 0}| , „ * : у, (i) = 0 and y* (i) = 1}|
l0(y(I),y (i)) = ул ' *-^^--, L\y(I),y (i)) =" ул ' *-угк> 11, и с их
|{:y* (i) = 0}| |{:y*(i) = 1}|
помощью определим функционалы качества l0 = — ¿l0( y(i,), y *(IJ)), и
d j =1
— 1 d , * -
l1 = —^l'(y(iv),y (i,)) для единичных и нулевых бит соответственно.
d j =1
Для оценки точности алгоритма будем использовать кросс-валидацию. Для этих целей будем использовать обучающую выборку размера n_ed=999 и контрольную выборку размера n_control=1 (сумма размеров контрольной и обучающей выборки равняется 1000 - именно столько экземпляров было использовано при тестировании).
Для упрощения дальнейшего изложения приведём в таблице 1 соотношение размерностей исходной задачи (размер факторизуемого числа, обозначен через к), числа переменных в эквивалентной 3-КНФ (обозначен п) и число дизъюнктов т в 3-КНФ.
Таблица №1
Размеры экземпляров задачи ШР
к 64 100 200 300 400 500 600 1024
п 5952 14700 59400 134100 238800 373500 538200 1569792
т 23424 58200 236400 534600 952800 1491002 2149200 6273026
В дальнейших таблицах будет представлен только параметр п.
Здесь и далее во всех экспериментах для всех вычисленных данных приведены нижние и верхние границы с уровнем доверия 90%. Оценка уровня доверия проводилась следующим образом: считались доли верно определённых нулевых и единичных бит на контрольной выборке, затем подобная операция проводилась для всех контрольных выборок (всего 1000 экземпляров), затем полученные данные сортировались по возрастанию, и находилось то значение, для которого 90% данных оказывались больше него.
В таблице 2 приведены данные по сравнению частот верно определённых бит алгоритмом 81М+УК8+Бауев1ап (БУБ) и методом простой итерации в сочетании с байесовским округлением, описанным в статье [18] (обозначения далее 81М+Бауев1ап и ББ).
Таблица 2
Сравнение частот верно определённых бит методами ББ и БУБ
п 1° Ь1 1
ББ БУБ ББ БУБ ББ БУБ
5952 (0.13;0.36) (0.09;0.28) (0.08;0.23) (0.05;0.19) (0.11;0.3) (0.07;0.24)
14700 (0.14;0.38) (0.11 ;0.34) (0.11;0.25) (0.09;0.21) (0.13;0.31) (0.1;0.27)
59400 (0.13;0.38) (0.09;0.33) (0.1;0.24) (0.06;0.19) (0.125;0.31) (0.08;0.25)
134100 (0.12;0.39) (0.07;0.33) (0.14;0.27) (0.11 ;0.22) (0.15;0.335) (0.09;0.28)
238800 (0.14;0.41) (0.1 ;0.36) (0.15;0.28) (0.08;0.23) (0.155;0.33) (0.06;0.3)
373500 (0.17;0.4) (0.12;0.25) (0.15;0.27) (0.09;0.22) (0.18;0.33) (0.11 ;0.23)
538200 (0.18;0.4) (0.13;0.29) (0.16;0.27) (0.19;0.33) (0.18;0.33) (0.15;0.31)
1569792 (0.17;0.4) (0.12;0.27) (0.16;0.27) (0.13;0.22) (0.17;0.32) (0.12;0.24)
Как может быть видно из содержимого таблицы 2, метод 81М+УК8+Бауев1ап превосходит 81М+Бауев1ап.
В таблице 3 приведено сравнение расстояний Хэмминга и времени вычисления двух рассматриваемых методов.
Таблица 3
Сравнение расстояний Хэмминга и времени выполнения методов 8Б и 8УБ
п Расстояние Хэмминга Время выполнения
8Б 8УБ 8Б (Икшт^Б) 8УБ (Икшт^Б)
5952 (654;1763) (562;1544) 3:43 8:25
14700 (1911 ;4502) (1686;4085) 8:15 22:07
59400 (7722;17998) (6975;16865) 15:35 48:36
134100 (17433;43448) (15706;41260) 42:15 1:32:13
238800 (35820;80833) (31705;75847) 59:16 2:30:05
373500 (59760;22694) (52306;104725) 1:12:47 3:44:56
538200 (96876;176798) (91605;172540) 1:48:02 4:50:05
1569792 (282562;511360) (273564;503104) 2:17:47 6:27:10
Как видно из данных таблицы 3, приближения, получаемые методом
81М+УК8+Бауев1ап в среднем оказываются ближе к точному, нежели определяемые 81М+Бауев1ап.
Таким образом можно говорить об эффективности описанного приближённого алгоритма поиска решения задачи факторизации целых чисел путём сведения к оптимизационному варианту задачи выполнимости булевых формул, содержащей в каждом дизъюнкте ровно 3 литерала (МАХ-38АТ). Показано, что для такой задачи строится непрерывный вещественнозначный фукционал, глобальный минимум которого совпадает с решением МАХ-38АТ. Приведено использование метода простой итерации в сочетании с методом переменной окрестности и байесовским округлением.
Видно, что глобального минимума не всегда удаётся достигнуть из-за наличия на траектории поиска локальных экстремумов, однако точки, соответствующие локальным оптимумам, могут быть проанализированы на предмет совпадения отдельных компонент решения с точным. Приведены результаты численных экспериментов, которые показали, что разработанный гибридный метод определяет верно на 7% бит выполняющего набора больше чем предшествующие разработки авторов. Рассмотрены вопросы применения алгоритма поиска задачи факторизации с позиции защищенности квантовых каналов связи в системах квантового распределения ключа. Показано, что разработанный метод может быть применен в системах квантовой связи для оценки защищенности последних.
Благодарности
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 17-32-50001\17 мол_нр.
Литература
1. Румянцев К.Е., Плёнкин А.П. Повышение эффективности алгоритма вхождения в синхронизм системы квантового распределения ключей. Известия ЮФУ. Технические науки. 2015. Т. 8, № 169. С. 6-19.
2. Румянцев К.Е., Плёнкин А.П. Синхронизация системы квантового распределения ключа в режиме однофотонной регистрации импульсов для повышения защищенности. Радиотехника. 2015. Т. №2. С. 125-134.
3. Pljonkin A., Rumyantsev K. Single-photon synchronization mode of quantum key distribution system. International Conference on Computational Techniques in Information and Communication Technologies (ICCTICT). India, New Delhi. 2016. pp. 531-534. DOI: 10.1109/ICCTICT.2016.7514637. WOS: 000389774600096. IDS: BG5UT.
4. Rumyantsev K. E.; Pljonkin A. P. Preliminary Stage Synchronization Algorithm of Auto-compensation Quantum Key Distribution System with an Unauthorized Access Security. International Conference on Electronics, Information, and Communications (ICEIC). 2016. Vietnam, Danang. pp. 1-4. DOI: 10.1109/ELINFOCOM.2016.7562955. WOS: 000389518100035. IDS: BG5KP.
5. Pljonkin A., Rumyantsev K. Quantum-cryptographic network. East-West Design & Test Symposium (EWDTS), 2016 IEEE. Electronic ISSN: 2472-761X. DOI: 10.1109/EWDTS.2016.7807623. ISBN: 978-150900693-9.
6. Плёнкин, А.П. Симметричное шифрование квантовыми ключами. Инженерный вестник Дона, 2016, №3. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2016/3705
7. Зикий, А.Н., Плёнкин, А.П. Смеситель дециметрового диапазона на комбинации линий передачи. Инженерный вестник Дона, 2016, №3. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2016/3701
8. Crandall, R.: Pomerance, C.: Prime Numbers: A Computational Perspective. Chapter 5: Exponential Factoring Algorithms. Springer-Verlag New York, 2nd edition (2005), pp. 2-6.
9. A Generalized Prime Factor FFT Algorithm for any ^ = sl\M Journal on Scientific and Statistical Computing, 13(3), 676-686 (1992).
10. RSA laboratories - The RSA Challenge Factoring FAQ. URL: emc.com/emc-plus/rsa-labs/historical/the-rsa-factoring-challenge-faq.htm.
11. The factorization, found using the Number Fiels Sieve (NFS). URL: documents.epfl.ch/users/l/le/lenstra/public/papers/rsa768.txt (date of access: 25.12.2017).
12. Дулькейт В.И. Сведение задач факторизации, дискретного логарифмирования и логарифмирования на эллиптической кривой к
решению ассоциированных задач «ВЫПОЛНИМОСТЬ». Компьютерная оптика. - 2010. - Т.34(1). - С. 118-123.
13.Дулькейт В.И., Файзуллин Р.Т., Хныкин И.Г. Непрерывные аппроксимации решения задачи «ВЫПОЛНИМОСТЬ» применительно к криптографическому анализу асимметричных шифров // Компьютерная оптика. - 2009. - Т. 33 (1). - С. 86-91.
14. Gu, J., Purdom, P.W., Franco, J., Wah, B.W.: Algorithms for the Satisfiability Problem. Cambridge University Press (1999), pp. - 12-53.
15. Mladenovic Nenad, Hansen Pierre (1997). "Variable neighborhood search". Computers and Operations Research. 24 (11), pp. - 1097-1100.
16. Bouhmala N. A Variable Neighborhood Walksat-Based Algorithm for MAX-SAT Problems. The Scientific World Journal, V. 2014, 11p., doi:10.1155/2014/798323.
17. Bouhmala N., Overgard K.I. Combining Genetic Algorithm with Variable Neighborhood Search for MAX-SAT. Innovative Computing, Optimization and Its Applications, pp.73-92. doi: 10.1007/978-3-319-66984-7_5.
18. Khachay M., Ogorodnikov Y. Combining Fixed-point Iteration Method and Bayesian Rounding for Approximation of Integer Factorization Problem // 2nd International Conference on Artificial Intelligence: Techniques and Applications (AITA 2017). September 17-18, 2017, Shenzhen, China, pp. 1-6.
Gratitude
The study was carried out with the financial support of the Russian Foundation for Basic Research in the framework of the scientific project No. 1732-50001 \ 17 mol_nr.
References
1. Rumjancev K.E., Pljonkin A.P. Izvestija JuFU. Tehnicheskie nauki. 2015. T. 8, № 169. pp. 6-19.
2. Rumjancev K.E., Pljonkin A.P. Radiotehnika. 2015. T. №2. pp. 125-134.
3. Pljonkin A., Rumyantsev K. Single-photon synchronization mode of quantum key distribution system. International Conference on Computational Techniques in Information and Communication Technologies (ICCTICT). India, New Delhi. 2016. pp. 531-534. DOI: 10.1109/ICCTICT.2016.7514637. WOS: 000389774600096. IDS: BG5UT.
4. Rumyantsev K. E.; Pljonkin A. P. Preliminary Stage Synchronization Algorithm of Auto-compensation Quantum Key Distribution System with an Unauthorized Access Security. International Conference on Electronics, Information, and Communications (ICEIC). 2016. Vietnam, Danang. pp. 1-4. DOI: 10.1109/ELINF0C0M.2016.7562955. WOS: 000389518100035. IDS: BG5KP.
5. Pljonkin A., Rumyantsev K. Quantum-cryptographic network. East-West Design & Test Symposium (EWDTS), 2016 IEEE. Electronic ISSN: 2472-761X. DOI: 10.1109/EWDTS.2016.7807623. ISBN: 978-150900693-9.
6. Pljonkin, A.P. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2016, №3. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2016/3705
7. Zikij, A.N., Pljonkin, A.P. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2016, №3. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2016/3701
8. Crandall, R., Pomerance, C.: Prime Numbers: A Computational Perspective. Chapter 5: Exponential Factoring Algorithms. Springer-Verlag New York, 2nd edition (2005). pp. 2-6.
9. A Generalized Prime Factor FFT Algorithm for anyw= SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, 13(3), pp. - 676-686 (1992).
10. RSA laboratories - The RSA Challenge Factoring FAQ. URL: emc.com/emc-plus/rsa-labs/historical/the-rsa-factoring-challenge-faq.htm.
11. The factorization, found using the Number Fiels Sieve (NFS). URL: documents.epfl.ch/users/l/le/lenstra/public/papers/rsa768.txt (date of access: 25.12.2017).
12. Dulkeyt V.I. Komp'juternaja optika. 2010. T.34 (1). рр. 118-123.
13. Dulkeyt V.I., Faizullin R.T., Khnykin I.G. Komp'juternaja optika. 2009. T. 33 (1). pp. 86-91.
14. Gu, J., Purdom, P.W., Franco, J., Wah, B.W.: Algorithms for the Satisfiability Problem. Cambridge University Press (1999), pp. 12-53.
15. Mladenovic Nenad, Hansen Pierre (1997). "Variable neighborhood search". Computers and Operations Research. 24 (11), pp. 1097-1100.
16. Bouhmala N. A Variable Neighborhood Walksat-Based Algorithm for MAX-SAT Problems. The Scientific World Journal, V. 2014, 11p., doi:10.1155/2014/798323.
17. Bouhmala N., Overgard K.I. Combining Genetic Algorithm with Variable Neighborhood Search for MAX-SAT. Innovative Computing, Optimization and Its Applications, pp.73-92. doi: 10.1007/978-3-319-66984-7_5.
18. Khachay M., Ogorodnikov Y. 2nd International Conference on Artificial Intelligence: Techniques and Applications (AITA 2017). September 17-18, 2017, Shenzhen, China, pp. 1-6.
