CC BY
17
УДК 519.65
Е.А. Ум,нов, А.Е. Ум,нов
Московский физико-технический институт (государственный университет)
Метод параметрической линеаризации, использующий штрафные функции со всюду обратимой производной для решения пар двойственных задач
В статье рассматривается подход, базирующийся на методе гладких штрафных функций, предназначенный для решения двойственной пары задач линейного параметрического программирования. Приводится описание реализации вычислительной процедуры в виде двухуровневой схемы параметризации и набора иллюстративных задач.
Ключевые слова: математическое программирование, двухуровневая оптимизация, метод штрафных функций, двойственная пара задач линейного программирования.
Одним из основных затруднений, возникающих в практике решения задач нелинейного программирования, является проблема высокой размерности. Эта проблема, с которой пришлось столкнуться уже пользователям первых поколений ЭВМ, не утратила своей актуальности и сегодня, несмотря на внушительный рост доступных вычислительных ресурсов. Предложенные до настоящего времени методы преодоления данного затруднения основаны, как правило, на использовании особенностей постановки исходной задачи математического программирования, допускающих применение схем декомпозиции, распараллеливания вычислений и т. п. При этом возникают специфические проблемы, также требующие как теоретического анализа, так и разработки методов их практического разрешения (см., например, [1]).
В данной работе исследуется один из возможных вариантов декомпозиционной схемы — метода параметрической линеаризации, описанной в общем виде в [2], идея которой заключается в следующем.
Если исходная задача математического программирования такова, что из множества ее переменных можно выделить сравнительно небольшое подмножество переменных, при фиксации значений которых (то есть при их превращении в параметры) задача оказывается линейной относительно остальных переменных, то исходная задача декомпозируется на две: высокоразмерную линейную задачу нижнего уровня и нелинейную, но малоразмерную задачу верхнего уровня. При этом для решения первой задачи оказывается возможным использование высокоэффективных алгоритмов, в то время как решение второй задачи осложняется зависимостью ее условий от решений первой, получаемых для различных значений переменных, превращенных в параметры.
Приведем описание процедуры параметрической линеаризации. Пусть х € Еп, и € Ек и ||х|| = = 1166 • • • £п||т, ||и|| = ... Vк ||т, а исходная
задача математического программирования имеет
вид:
максимизировать по х и и функцию Р (х,и) при условиях
х ^ о, и € О С Ек,
~ 1) /г(х,и) ^ 0 V% = [1,т],
которая в координатной форме записывается так: х, и
П
Р (х,и) =$3 а3 (и)£3
3=1
при условиях £3 ^ 0 V^ = [1,п], и € О, (2)
п
/г(х, и) = -вг(и) + ^ 0.13(и)£ ^ 0 V% = [1,т]. 3=1 и
максимизировать по {£1, £2, . . . , £п}:
п
Р(х,и) =53 а3£3,
3=1
при условиях £3 ^ 0 V^ = [1,п], (3)
п
1г(х, и) = -вг + ^ агз£3 ^ 0 V% =[1,т].
3=1
Это — задача нижнего уровня, она линейна по переменным £ь£2£п. Пусть ее решение х*(и), тогда задача верхнего уровня запишется так:
п
максимизировать по и Р(х* (и), и) = ^ а3 (и)£*(и)
3 = 1
при условии и € О.
х* (и)
вие этой задачи, может в значительной степени осложнить процедуру решения. Действительно, пусть начальное приближение к ее решению есть и0, а последующее определяется для каждого шага г стандартным итерационным соотношением
иь+1 = иь + (Нть, г = 0,1, 2,..., (4)
где — локальное улучшающее Р(х*(и),и) направление в Ек, а рь — величина шага по этому направлению. Тогда, например, в результате
«неудачного» выбора величины шага может оказаться, что задача (3) несовместна для иь+1, то
х* (и)
чае может оказаться, что задача (3) совместна, но имеет неограниченный целевой функционал или же неединственное решение. То есть зависимость х* ( и) и € О
Но даже, если она и определена, то в силу неоднозначности может не быть функциональной.
и
х* ( и)
тически всегда оказывается «негладкой», что делает невозможным использование тейлоровских аппроксимаций для поиска локально улучшающих Р(х*(и),и) направлений.
В [3,4] был предложен подход, в котором отмеченные (за исключением одного) затруднения удается единообразно преодолеть при помощи использования метода гладких штрафных функций [5,8].
х* (и)
статочно гладкими вектор-функциями х(г,и), которые являются точкой максимума вспомогательной функции
т
Ар(т,х,и) = Р(х,и) -^2Р (т, (х, и)) (5)
г=1
ти
Иначе говоря, х(т,и) = а^шах Ар(т,х,и).
X
Потребуем дополнительно, чтобы штрафные функции Р(т, в) были непрерывны вместе со своими производными до второго порядка включительно для всех в и любых т > 0, а также удовлетворяли условиям1:
и, кроме того,
дР
причем
Иш Р(т, в) =
Т ——+ 0
дР
т— < 0 и дв
0,
+го,
д 2Р
дв2
в > 0, в < 0
> 0,
то есть зависит только от Последнее условие (как показано в [8]) гарантирует дифференцируемость функции х(т, и) по т при т ^ +0, х(т, и)
условия стационарности вспомогательной функции
gradx Ар(т, х(т, и), и) = о.
(6)
х(т, и)
ность и достаточная гладкость обеспечиваются свойствами вспомогательной функции (5), в первую очередь применимостью теоремы о неявных функциях [6] к условию (6). А предельное соотношение
Ип1о Ар(т, х(т, и), и) = Р(х* (и), и)
и х* (и)
ляет использовать схему (4) для приближенного решения задачи верхнего уровня.
Вместе с тем данный подход не позволяет построить сглаженную аппроксимацию зависимости
х* (и)
задачи (3) на допустимом множестве ее аргументов, поскольку при этом уравнение (6) не имеет решений. Преодолеть это затруднение оказывается возможным, использовав в качестве сглаживающей аппроксимации зависимость, получаемую при решении методом гладких штрафных функций пары двойственных задач нижнего уровня: задачи (3) и двойственной ей задачи, имеющей вид:
минимизировать по Л € Ет с координатами {А1,
т
А2, ... , Ат} функци Ю С(Л, и) =52 вгАг
г=1
при условиях
Аг ^ 0 V% = [1,т], т
§3(х, и) = -&3 + ^2 аг3Аг > 0 V3 = [1,и].
г=1
Л* (и)
и
функции этой задачи
п
Аа(т, Л, и) = С(х,и) +^2 Р (т,9э (Л,и)) (8)
3=1
будет справедливо предельное соотношение Иш Аа(т, Л(т,и),и) = С(Л*(и),и),
Т — + 0
где Л(т, и) = а^шт Ад(т, Л, и), а также выполнено л
условие стационарности
gradл Ал(т, Л(т, и), и) = о.
(9)
Следует отметить, что достаточно часто используемые Р(т, 5) = при 5 ^ 0 или «внешние» штрафные функции,
ряют.
Кроме того, в случае однозначной разрешимости задач (3) и (7) будут иметь место равенства
Иш х(т,и) = х*(и) и Иш Л(т,и) = Л*(и).
т—+0 т—+0
Однако, в случае, когда задачи (3) и (7) несовместны, имеют неединственное решение или же решение, неограниченное в допустимой области, оказывается возможным получать сглаженные ап-
х* (и) Л* (и)
построения некоторой специальной системы уравнений. Как будет показано ниже, такая система позволяет одновременно находить аппроксимации независимо от того, являются задачи (3) и (7) регулярными или нет и без использования какой-либо схемы регуляризации.
Рассматриваемый подход основан на справедливых для задач (3) и (7) соотношениях
Ит тту (т, -Мх(т,и))) = -А*(и) V% =
Т—+0 д}г
в вычислительной практике «барьерные» штрафные функции с , для которых Р(т, 5) = 0 при 5 ^ 0, этим условиям не удовлетво-
Т—+0 т3(Л(т и))) = -£*(и) V3 = [1,п]
в случае, когда их решения существуют и единственны [7]. В этом подходе предлагается вместо сглаживающих аппроксимаций х(т, и) и Л(т, и) использовать аппроксимации х(т,и) и Л(т,и) такие, что
Иш х(т,и) = х*(и),
Т — + 0
Иш Л(т, и) = Л* (и)
Т — + 0
Ш (т, -/г(х(т,и))) = -Аг(и) V% = [1,т],
дР (10)
-Щ-. (т,д3(Л(т,и))) = —£3(и) V 3 = [1,п
V т € (0, Т) для некоторого фиксированного Т > 0. д2 Р
Поскольку -д^г > 0 V в и V т > 0, то функция
— -?) 110 в строго монотонна и потому [6] имеет обратную, которую обозначим как Q(т, в). Это позволяет записать систему (10) в ином, более удобном для использования, виде:
—1г(х(т, и)) = Q(т, Аi) V% = [1, т],
93 (Л(т,и)) = Q(т,£j) V 3 = [1,п\-
Или, окончательно,
и соответственно Aj
fji(u) — Ё aij(u)A = Q(^Ai) Vi = [1,m],
j=l
(И)
а3 (и) — ^2 а%3 (и)Аг = —Q(т,£j) V3 = [1,п•].
г=1
Прежде чем обсуждать свойства системы (11), проиллюстрируем специфику ее решений при фик-ит
задач следующего вида.
Пример 1. Прямая задача: максимизировать в Е2 функцию Р = 2£1 +3£2 при условиях £1 ^ 0 £2 ^ 0 и
£1 + 2£2 < 6,
2£1 + £2 < 6.
Двойственная задача: минимизировать в Е2
функцию О = 6А1 + 6А2 при условиях А1 ^ 0 А2 ^ > 0 и
А1 + 2А2 ^ 2,
2А1 + А2 ^ 3. П
Легко видеть, что обе эти задачи имеют единственные решения
£* = 2, £* = 2, Р * = 10
3 ,
Aj
3 ,
Gj = 1О.
В качестве штрафной функции используем предложенную в [8] P(т, s) = Т exp(— S); удовлетворяющую всем сформулированным выше условиям и для которой Q(t, s) = —т ln s. Тогда вспомогательные функции двойственной пары задач примера 1 будут
Ар(т,^1,&) =2^1 + 3& —
( £1 + 2& — 6 ' ( 2£i + £2 — 6'
— т exp ------------ — т exp
Ad(т, A1, A2) = 6A1 + 6A2 +
( 2 — A1 — 2A2 \ (3 — 2A1 — A2
+ т exp ------------------- + т exp
а их условия стационарности (6) и (9) соответственно
2 — exp ^(1 + Т2 - ^ — 2 exp (2f 1 + Ь - 6' = 0,
3 — 2 exp + 2f 2 - ^ — exp 1 +Ъ - ^ = 0
(12)
б — exp(( - Літ- 2Л^ — 2 exp (3 - 2Л - Л^
б — 2 exp
2- Лі- 2Л;
exp
3 - 2Лі - Л;
= 0.
(13)
Наконец, система уравнений (11) будет иметь вид
б — A_ — 2A + т ln Al =0, б — 2£l — A + т ln A2 = 0,
2 — Al — 2A2 — т ln ^1 = 0,
3 — 2Al — A2 — т ln ^2 = 0.
(14)
Приведем решения как систем (12) - (13), так и системы (14), полученные при помощи программного средства МаШСАБ для значения параметра т = 0. 01 татов таблице 1.
Результаты, приведенные в таблице 1, демонстрируют, во-первых, факт близости полученных оценок к точному решению (что обусловлено использованием метода гладких штрафных функций в качестве базового алгоритма), и, во-вторых, несовпадение оценок {х(т,и); Л(т,и)} и {х(т,и); Л(т, и) } т
конечно малым.
Таблица 1
4
1
О
6 І2 F Al A2 G
Система (12) 1.99172 2.00558 10.00017
Система (13) 1.33102 0.33103 9.97229
Система (14) 1.99168 2.00559 10.00013 1.33099 0.33106 9.97230
Исследуем теперь свойства системы (11). В первую очередь, естественно, возникает вопрос о содержательном смысле условий (11), ответ на который дают нижеследующие теоремы.
Рассмотрим функцию и(т,х, Л, и), заданную ти Еп Ет
ходятся по формуле
п
и^ x, Л,и) = ^ (а3 (и)£3 + Н(т,£3^ +
3=1
т пт
+ (вг(и)Аг — Я(т,Аг)) — аг3 (и)£3 Аг, (15)
і=1
3=1 і=1
где Я(т,в) = / Q(т,t) Л, а ||£1£2 ...£п||т И
а
||А1А2 ...А^^ — соответственно координатные
х € Еп Л € Ет х(т, и) Л(т, и)
{х(т, и), Л(т, и)} вектор функции и(т,х, Л, и) в Еп х Ет. □
Доказательство. Дифференцируя функцию (15) по £ь £2, •••, £п и Аь А2, ..., Ат, получаем ди т
— = а3 (и) — ^ аг3 (и)Аг + Q(т,£j ) v 3 =
г=1
ди п
— = вг(и) — ^2 аг3(и)£ — Q(т, Аг) V % = [1, т],
3=1
что в силу соотношений (11) дает
ди
— (х(т,и), Л(т,и))=0 V3 = [1,п], д£3
ди -
—— (х(т, и), Л(т, и)) =0 V% = [1,т]. дАг
х( т, и) Л(т, и)
ния системы (11), то {х(т,и), Л(т, и)} — седловая и(т, х, Л, и) Еп х Ет □
Доказательство. Рассмотрим зависимость и(т, х, Л, и) х
т, Л и
д2и = дЦ ... ={1 ]
д£3д£к д£3 3 3 [ ,П
(где 3 — символ Кронекера), что означает диа-
и(т, х, Л, и)
х
Покажем, что эта матрица отрицательно определенная. Действительно, значения ее главных миноров вида
д2и д2Ц . д2и
д£2 -£х-£2 д£г д
д2и д2и д2и
д&д£,1 д^2 д& д£к
det
д2и
д2и
д£кд£і д£,кд& '' '
определяются по формулам к
д2и
д&
У к = [ 1 ,п]
ГТ У к = [ 1 ,п].
3=1
Числа
д^ отрицательные, так как в силу связи
между производными взаимно обратных функций д2 Р
[6] и условия > 0:
дЯ
38
д2Р
< 0.
де2
Таким образом, все миноры нечетного порядка отрицательны, четного — положительны, и, согласно критерию Сильвестра, матрица Гессе функции и(т, х, Л, и) по компонентам х отрицательно определена, а сама функции и(т, х, Л, и) по компо-х
Аналогично доказывается, что функция и(т, х, Л, и) по компонентам Л имеет минимум т, х и
ти
{х(т,и), Л(т, и)} является седловой для функции и(т, х, Л, и) в Еп х Ет.
Лемма 1. Для любого фиксированного в > 0 Иш Я(т, в) = 0 □
т ——+0
Доказательство. Поскольку ддрР = Ф ^а
функция Ф ^^ имеет монотонную обратную, то вид зависимости Q(т, в) определяется соотношениями
в = ^ ^^ = Ф_1(в) ^ Q(т, в) = т ■ Ф-1(в),
в
что в сочетании с условием Я(т,в) = / Q(т,t) А
а
доказывает лемму.
в>
> 0:
Ііт и(т,х, Л,и) = Ь(х, Л, и),
Т — + 0
где Ь(х, Л, и) — функция Лагранжа задачи (3). □ Доказательство. Функция Лагранжа задачи (3) имеет вид
пт п
Ь(х, Л, и) ^ ] а3 £3 — ^ ] Аг( —рг + ^ ] а3 £3) ,
3=1 і=1
3=1
Ь(х, Л,и) 'У ] а3£3 + ^ ] вгАг 'У ] ^ ] аг3£3 Аг•
3 = 1 г=1 г=1 3=1
Теперь очевидно, что применение леммы 1 к формуле (15) позволяет сделать заключение о справедливости утверждения данной теоремы.
Теорема 4. В случае регулярности (существования и единственности) решения пары двойственных задач (3) - (7) справедливы соотношения
Иш -(т,и) = х*(и), Иш Л(т,и) = Л*(и),
Т — + 0 Т — + 0
1
Таблица 2
т 0.1 0.02 0.003 0.001 0.0005 0.0001
а = £2 0.536192 0.506999 0.501041 0.500347 0.500173 0.500035
А1 2.062326 2.013585 2.002073 2.000693 2.000346 2.000069
х(т, и) Л( т, и)
и
Доказательство. Функция Лагранжа задачи (3) в регулярном случае при фиксиро-и
{х*(и), Л* (и)}. Функция и(т,х, Л, и) всегда имеет единственную седловую точку при фиксирован-т, и
лучаем, что для регулярной исходной задачи (3): Иш х(т,и) = х*(и), Иш Л(т, и) = Л*(и).
Т — + 0 Т — + 0
Рассмотрим теперь нерегулярную задачу (3). В этом случае возможны: неединственность решения задачи (3), несовместность задачи (3) и неограниченность целевой функции задачи (3) в ее допустимой области. Продемонстрируем особенности применения рассматриваемой схемы для этих случаев, сравнивая решения системы (11) с результатами, получаемыми из уравнений (6) и (9).
Пример 2 (случай неединственности).
Прямая задача: максимизировать в Е2 функцию Г = 2£1 + 2£2 при условиях £1 ^ 0 £2 ^ 0 и £1 + + £2 ^ 1
Е1
функцию О = А1 при условиях А1 ^ 0 А1 ^ 2, А1 ^ 2. □
Легко видеть, что прямая задача имеет решение: £* = г, £* = 1 — г, г е [0,1^ г * = 2, оно неединственное, в то время как двойственная пе-
А* = 2 О* = 2 Рассмотрим вначале схему, использующую вспомогательные функции (5) и (8). Они соответственно будут иметь вид
Ар(т,£1,£2) = 2£1 + 2^2 - т ехр Ла(т,\1) = А1 +2т ехр
£1 + 6 - 1
2- А-,
а их условия стационарности (6) и (9) соответственно
2 - ехр ( £1 +12 - 1
2 - ехр ( £і + £2 - 1
и 1 — 2ехр
2- Аі
0,
0.
Второе условие просто дает А1 = 2 + т \п2, в то время как первая система очевидно имеет нее-
динственное решение и требует соответствующей регуляризации.
Наконец, система уравнений (11) будет иметь вид
1 — -1 — -2 + т 1п А1 =0,
2 — А1 — т 1п £1 =0,
2 — А1 — т 1п £2 =0.
Заметим, что при любом т > 0 она имеет решение £]_ = £2 = ехР (Т^^^Де А1 — корень уравнения
(2 — А1 \ -
1 — 2 ехр ( --- ) + т 1п А1 =0,
имеющего единственное решение. Наконец, отметим, что полученные в данном примере решения системы (11) удовлетворяют предельным соотношениям А1 ^ 2 и £]_ = -2 ^ 2 при т ^ +0. Результаты численных расчетов приведены в таблице 2.
Основное различие результатов использования условий (6) - (9) и системы (11) состоит в том, что в последнем случае решение оказывается единственным V т > 0 благодаря свойствам функции (15), в которой слагаемые, зависящие от Е(т, в), играют роль регуляризирующей компоненты.
Пример 3 (случай неограниченности целевой функции). Прямая задача: максимизировать в Е2 функцию Г = 2£1 при условиях £1 ^ 0 £2 ^ 0 и £1 — £2 ^ 1.
Е1
функцию О = А1 при услови ях А1 ^ 0 А1 ^ 2,
□
Первая из этих задач совместна, но значение ее целевой функции неограничено в допустимой области. Двойственная задача в этом примере несовместна.
Сначала рассмотрим схему, основанную на использовании вспомогательных функций (5) и (8). В данном примере они будут иметь вид
Ар(т,£1 ,£2) = 2$1 - техр
£1 - £2 - 1
Ла(т,А1) = А1 + т ехр ^2 тА1^ + т ехр ^,
а их условия стационарности (6) и (9) соответственно
2 - ехр | £і - І2 - 1
ехр | £і - І2 - М = 0
0
и 1 — ехр | | + ехр | | =0.
V т ) \т)
Второе условие имеет асимптотическое решение Ах ^ ^и т ^ +0, в то время как первая система очевидно несовместна, что означает неприменимость схемы (5) - (8) для решения данной задачи.
Рассмотрим теперь систему уравнений (11), она будет иметь вид
1 — £1 + Ь + Т 1п Ах =0,
2 — Ai — т ln £ 1 = 0, Ai — т ln £2 = 0.
Она имеет решения C 1 = exp = exp ( ^ где A1 — корень уравнения
2 - Ai
1 — ехр ^^ + ехр ^^ + т 1п А1 =0,
имеющего единственное решение при любом т > 0.
В заключение отметим, что полученные в данном примере решения системы (11) удовлетворяют предельным соотношениям Ах ^ 1 И а — Ь ^ 1
при т ^ +0, хотя пределы Иш £1 и Иш £2 не сут ——+0 т ——+0
ществуют. Результаты численных расчетов приведены в таблице 3.
Пример 4 (случай несовместности).
Прямая задача: максимизировать в Е2 функцию Е = £1 + 3£2 при условиях £1 ^ 0 £2 ^ 0 и
а — а < з,
—£1 + Ь < —4.
Двойственная задача: минимизировать в Е2
функцию О = 3Ах — 4А2 при условиях Ах ^ 0 А2 ^ ^ 0 и
Ai — A2 > 1, —Ai + A2 ^ 3.
Легко видеть, что обе приведенные задачи несовместные, при этом условия стационарности (6) и (9) вспомогательных функций
АР(т,£1,Ь)= £1 + 3£2
т ехр
£i — £2 — 3
т ехр
—£i + £2 +4
Ad(T, Ai, A2) = 3Ai — 4A2 +
1 — Ai + A^\ (3 + Ai — A2
+ т exp ----------------- + т exp
очевидно противоречивые:
1 — exp ( f 1 — f 2 — 3 ) + exp( —fi +/2 + 4
3 + exp[ f 1 — f2 - 3
— ехр
3 — exp ^1 - ^ + A^ + exp ^ —4 + exp ( 1 - Ai + — exp
—f 1 + f 2 +4
3 + Ai — Л2 т
3 + Ai — A2 \ =0
□
поэтому стандартный вариант метода штрафных функций в данном примере не может быть использован.
Как альтернативу рассмотрим систему уравнений (11), она будет иметь вид
з — £1 + £2 + т 1п А^ = 0,
—4 + £1 — £2 + т 1пА2 = 0,
1 — А1 + А2 — т 1п £1 =0,
3 + А1 — А2 — т 1п £2 = 0.
Заметим, что эта система имеет решения V т ^ ^ +0, удовлетворяющие легко проверяемому
следствию 1п = 41п А1А2. Однако, как и в примере 3, пределы Иш £1, Иш £2, Иш А1 и Иш А2
т—+0 т—+0 т —+0 т—+0
не существуют. Результаты численных расчетов с допустимой погрешностью 10-7 приведены в таблице 4.
Таблица 3
т
0
т 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
5.7996196 7.8969374 12.683928 28.535267 148.91394 22026.966
4.8333558 6.9138386 11.695904 27.536873 147.91407 22025.966
Ai 0.9453246 0.9667625 0.9836955 0.9946578 0.9993263 0.9999977
Таблица 4
т 1.0 0.75 0.5 0.25 0.15
Ci 9.1243426 16.132626 56.328286 2982.7001 61743.938
5.9837900 12.839029 52.921156 2979.2170 61743.588
Ai 1.1509095 1.4791425 2.2575066 6.9058856 27.536084
A2 2.3618554 2.5647752 3.2731050 7.9060316 28.536084
ln A1A2 .1 5 1 О 1 00 — 1.1 ■ 10-7 —2.0 ■ 10~8 5 5 1 О 1 00 7.9 ■ 10~9
1П (A1A2)4
Приведенные примеры вполне наглядно демонстрируют практическую эффективность схемы, основанной на решении системы (11) как альтернативы метода (5) - (8). В заключение также отметим, что метод гладких штрафных функций является принципиально приближенным, что не является существенным недостатком, для значений вектора параметров и, значительно отличающихся от решения задачи верхнего уровня. Однако в ином случае следует предусмотреть использование процедур, позволяющих находить точные решения при ненулевых т (например, описанных в [9]), или же применить экстраполяционные процедуры типа [10], основанные на тейлоровской аппроксимации вида
Таблица 5
Переменная Єї Є2 Ai A2
Приближ. значение 1.9916772 2.005591 1.3309903 0.3310599
Вектор {Ax АЛ} _Q.8146i454 0.554041 _Q.237bQ52 _Q.22369Q8
Уточнен, значение 1.9998237 2.0000506 1.3333654 0.3332968
5. Карманов В.Г. Математическое программирование. - М.: Наука, 1975.
6. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1. - М.: Высшая школа, 1981.
7. Fiacco A.V., McCormick G.P. Nonlinear Programming: Sequential Unconstrained Minimization Techniques. - N.Y.: John Wiley and Sons, 1968.
8. Умное A.E. Метод штрафных функций в задачах большой размерности // ЖВМ и МФ. -1975. - Т. 15, № 6. - С. 1399-1411.
9. Еремин И.И. Авторские результаты по проблематике математического программирования // Тр. ИММ Уо РАН. - Т. 14, № 2. - Екатеринбург, 2008. - С. 58-65.
10. Умное А.Е. Многошаговая линейная экстраполяция в методе штрафных функций // ЖВМ и МФ. - 1974. - Т. 14, № 6.
- М.: МФТИ, 2008. - С. 99-112. Поступила в редакцию 20.01.2011
Литература
1. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. - М.: Наука, 1982.
2. Умное Е.А. Метод параметрической линеаризации в задачах дискретного оптимального управления // Тр. ПСА РАН. - М., 2005. - Т. 17(1).
- С. 56-66.
3. Умное Е.А., Умное А.Е., Чекарев Д.А. Параметрический двухуровневый метод решения задач оптимального управления со смешанными ограничениями // Моделирование процессов управления: сб. науч. тр. / Моск. физ.-техн. инт. - М.: МФТИ, 2004. - С. 132-140.
4. Маркоецее Д.А., Умное А.Е., Умное Е.А. Об одной квазиклассической схеме решения задач математического программирования // Современные проблемы фундаментальной и прикладной математики: сб. науч. тр. / Моск. физ.-техн. ин-т.
х* « х(т) — тАх,
Л* « Л(т) — тАЛ,
где компоненты векторов Ах, АЛ находятся из системы линейных уравнений
т д2и Л\ , V д2и Лї _ д2и
^ дкдк ААі + ^ дйд\р _ — дГдх:,
г=1 у з = 1 ^ у у
р _ [1,ш],
т д2Ц дл , V д2Ц _ д2и
д\д£ч АЛі + = д& д^ч А« _ дгд£ч,
д _ [!,п].
Результат использования экстраполирующей процедуры для примера 1 при т _ 0.01, приведен в таблице 5.
