Метод оценивания переходных процессов асинхронных электрических машин Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 517.9:531.36

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 3

МЕТОД ОЦЕНИВАНИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ АСИНХРОННЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН*

Г. А. Леонов1, А. М. Зарецкий2, Е. П. Соловьева3

1. С.-Петербургский государственный университет,

д-р физ.-мат. наук, профессор, чл.-корр. РАН, [email protected]

2. С.-Петербургский государственный университет, University of Jyväskylä (Финляндия) науч. сотр., [email protected]

3. С.-Петербургский государственный университет, University of Jyväskylä (Финляндия) науч. сотр., [email protected]

1. Введение. В настоящее время асинхронные двигатели являются наиболее распространенными электрическими двигателями переменного тока, а также наиболее крупными потребителями электрической энергии. Благодаря простоте конструкции и высокой надежности в работе асинхронные двигатели используются в большинстве современных электроприводов (например, в прокатных станах, металлорежущих станках, конвейерах, экскаваторах, буровых установках, мельницах). При их эксплуатации возникает ряд прикладных задач, связанных с изменением режимов работы двигателя и параметров эксплуатации. К таким задачам, прежде всего, относятся задача регулирования скорости вращения асинхронного двигателя и задача о предельной нагрузке. На практике возможны два способа регулирования скорости вращения: плавное (требуется в электропоездах, подъемных устройствах) и ступенчатое (применяется в металлообрабатывающих станках, прокатных станах, мельницах, многих промышленных электроприводах). В данной работе рассмотрено ступенчатое регулирование скорости вращения ротора двигателя и ступенчатое изменение момента внешней нагрузки, что приводит к задаче оценивания переходных процессов асинхронных электрических машин.

Обмотки роторов асинхронных электрических машин имеют достаточно сложную для их математического описания конфигурацию. В настоящей работе проведено их описание и анализ динамики роторов при естественном, на наш взгляд, упрощении модели [1-4]. Мы примем, что магнитное поле, создаваемое обмотками статора, является постоянным по величине и вращается с постоянной угловой скоростью. Это предположение восходит к классическим идеям Н. Теслы и Г. Феррариса [5, 6] и позволяет достаточно полно описать соответствующие электромеханические модели асинхронных двигателей.

Исследование переходных процессов асинхронных машин приводит к рассмотрению дифференциальных уравнений, к которым применяется некоторая модификация метода нелокального сведения [3, 7-9].

2. Электромеханические и математические модели асинхронных двигателей. Основными конструктивными элементами асинхронных электрических машин являются неподвижный статор и вращающийся ротор. На статоре расположена

* Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ, РФФИ, СПбГУ (Россия), Академии наук Финляндии, Faculty of Information Technology, University of Jyväskylä (Finland).

(gl Г.А.Леонов, А. М. Зарецкий, Е.П.Соловьева, 2013

обмотка, которая при подключении к сети переменного тока создает вращающееся магнитное поле.

В зависимости от устройства обмоток ротора асинхронные электрические машины делятся на два типа: с фазным ротором (рис. 1, а) и с короткозамкнутым ротором (рис. 1, б). Обмотка короткозамкнутого ротора выполнена в виде «беличьей клетки», состоящей из п стержней и замыкающих их на торцах колец. В пазы фазного ротора укладывается трехфазная обмотка, представляющая собой три катушки. Каждая катушка сделана из нескольких витков изолированного провода. Концы катушек соединяются в звезду, а начала присоединяются к контактным кольцам. С помощью этих колец и наложенных на них щеток цепь обмотки ротора может быть либо ко-роткозамкнута, либо соединена с внешними устройствами, например, с реостатом, с дросселями, обмотками других электрических машин.

а б

Рис. 1. Роторы асинхронных двигателей: а — фазный; б — короткозамкнутый.

Предположим, что магнитное поле, создаваемое обмоткой статора, является постоянным по величине и вращается с постоянной угловой скоростью П1 по часовой стрелке. Введем равномерно вращающуюся систему координат, жестко связанную с вектором магнитной индукции В, и будем рассматривать движение роторов в этой системе координат. Примем, что положительное направление оси вращения ротора совпадает с направлением вращения вектора магнитной индукции.

Движение ротора асинхронного двигателя в выбранной системе координат описывается уравнением вращения твердого тела относительно неподвижной оси:

Ув = Мет - М;,

где в — механический угол поворота ротора; У — момент инерции ротора относительно вала; Мет — электромагнитный момент; М; — момент внешней нагрузки. Всюду далее будем считать момент внешней нагрузки постоянным по величине.

Рассмотрим вначале асинхронный двигатель с фазным ротором, в цепь обмотки которого включен реостат (рис. 2). В данном случае электромагнитный момент создается электромагнитными силами (рис. 3, а), которые возникают в результате взаимодействия катушек с токами и вращающегося магнитного поля согласно закону электромагнитных сил. Величина электромагнитной силы в катушке определяется законом Ампера:

^ = ¡Вг,

где I — длина стороны катушки, В — амплитудное значение вектора магнитной индукции, г —ток, протекающий в катушке.

Рис. 2. Конструктивная схема фазного ротора с трехфазной обмоткой и реостатом: 1 — щетки, 2 — контактные кольца, 3 — внешние активные сопротивления (реостат).

Рис.3. Геометрия фазного ротора. а — направления электромагнитных сил; б — проекция силы

Определим вращающий момент, создаваемый электромагнитными силами Fk ,k = 1,..., 6. Проекции сил Fipr и F2pr (рис. 3, б), действующих на катушку с током i 1, рассчитываются по формулам

Fipr = lBi \ cos /3 = lBi \ cos — в — a Fopr = IBii cos (J^ - 0 + aJ .

Следовательно, учитывая количество витков в катушке и положительное направление оси вращения ротора, получим, что создаваемый вращающий электромагнитный момент, действующий на катушку с током ii, имеет вид

Mi = п (l0Flpr + loF2pr) = nl0lB [cos - в - aj + cos - в + a)^ = = 21qI cos a nB cos — в j = nSB cos — в

Здесь n — количество витков в каждой катушке; 1о —длина радиус-вектора; а — угол

между радиус-вектором, направленным к катушке с током ¿i, и плоскостью катушки; S = 2lol cos а — площадь одного витка катушки; ¿i —ток в первой катушке.

Аналогично определяются вращающие электромагнитные моменты, действующие на катушки с токами ¿2, ¿3. Таким образом, получим

Мк = nSB cos (f ~ (в + ^ з 1)?Г)) ik, k = 1,2,3. (1)

Здесь ¿k —ток в k-й катушке. Следовательно,

Mem = Mi + M2 + M3.

Под действием электромагнитного момента ротор начинает вращаться с частотой П2. Направление вращения ротора совпадает с направлением вращения магнитного поля.

Определим токи, протекающие в каждой из катушек. Для этого рассмотрим схему электрической цепи обмотки фазного ротора, изображенную на рис. 4, которая эквивалентна схеме, изображенной на рис. 2.

Рис. 4- Эквивалентная схема электрической цепи обмотки фазного ротора.

Используя первый закон Кирхгофа для узла с номером 1, получим следующее соотношение для токов:

il = -Í2 - Í3. (2)

Используя второй закон Кирхгофа и выбрав положительное направление обхода контура по часовой стрелке, получим дифференциальные уравнения для замкнутых контуров цепи обмотки фазного ротора:

L(i 1 - ¿2) + (R + r)(ii - Í2) = £1 - £2,

(3 )

L(i2 - ¿3) + (R + r)(i2 - i3) = £2 - £3,

где R, L — активное и индуктивное сопротивления каждой катушки; r — регулируемое внешнее активное сопротивление, подводимое к контактным кольцам фазного ротора; £k — ЭДС, индуцируемая в k-й катушке вращающимся магнитным полем.

Согласно закону электромагнитной индукции ЭДС, возникающая в первой движущейся в магнитном поле катушке, рассчитывается по формуле

£1 = £1 + £2 = IBvi sin Zi + IBV2 sin Z2,

Рис.5. Геометрия фазного ротора. а — направления скоростей и ЭДС; б — определение угла .

где VI, «2 —скорости катушки относительно магнитного поля, направления которых показаны на рис. 5, а; Съ С2 —углы между вектором скорости и вектором индукции магнитного поля. Угол £1 определен на рис. 5, б. Таким образом, с учетом количества витков ЭДС в первой катушке равна

е1 = — пБЫод 8ш(0 + а) — пБ110в вт(в — а) = = — 2пВ11[)в соэ а эш в = —пВБв соэ — .

Аналогично получены выражения для ЭДС в оставшихся катушках:

г< д Л д 2(А' — 1)7Г £к = — пЬВ сов ( — — 0----

к = 1, 2, 3.

Подставим выражение для тока ¿1 (2) в первое уравнение (3) и вычтем второе уравнение (3); получим

п 2п

-гы2 - 3( Д + г) ¿2 = зпБВ сое ( - - в - у

Используя последнее уравнение и (3), получаем

Ы1 + (Д + г) н = -пБВ соэ - в) 0,

(п 2п

Ы2 + (Д + г) '¡2 = —пБВ сое I - - 0 - у

I п 4п

Ы3 + (Д + г) «з = -пБВ соэ ( - - 0 - —

(4)

Система дифференциальных уравнений (4) описывает токи ¿1, ¿2, ¿3, протекающие в обмотке фазного ротора.

(6)

Таким образом, система дифференциальных уравнений

J6 = nBS (н cos - 0) + «2 COS - в - + г3 cos (J - в - ] - Ми

Lh + (R + r)h = —nBSd cos - ,

i n 2n

L«2 + (Д + r)«2 = —nBS6 cos i - - 6» - —

( П 4П \

Li3 + (i? + r)i3 = -пВБв cos i - - 0- у J

описывает динамику асинхронного двигателя с фазным ротором, в цепь обмотки которого включен реостат.

После невырожденного преобразования координат

s = tf, Z = ii + i3 - i2,

ж = "Ti^sB ^8111,9 + S14 ~J + гзsm I ~

2 L (. a , f 2n N . i 4n

У = In COS + «2 COS It? - — I + «3 COS I $--—

система (5) может быть преобразована к следующему виду:

tf = s, s = ay + y,

X = — cx + ys, (7)

y = —cy — xs — s,

z = —cz,

где

3(nSB)2 M Д + r

а = 7 = T' c= — <8>

Переменные x, y, z определяют электрические величины в обмотке фазного ротора; переменная s определяет скольжение ротора. Скольжение используется для сравнения частоты вращения ротора нагруженной асинхронной электрической машины с частотой вращения магнитного поля:

s = ni — П2.

Следовательно, остановка ротора асинхронного двигателя происходит при s = ni. В случае s > ni ротор начинает вращаться в обратную сторону. Это означает, что момент нагрузки превосходит электромагнитный момент, создаваемый двигателем. Таким образом, скольжение в рабочем режиме не должно превосходить скорости вращения магнитного поля:

so < ni, so =

с(а — \Jа? — y2 )

2y

Заметим, что если в цепь обмотки фазного ротора включены дроссели, то поведение асинхронного двигателя описывается такой же системой дифференциальных уравнений (7) с параметрами

3 (пБ'В)2 2.7(1, + /)'

7 =

М

У'

я

ь + /'

(9)

где / — регулируемое внешнее индуктивное сопротивление, подводимое к контактным кольцам фазного ротора.

Отметим, что первое и последнее уравнения системы (7) могут быть проинтегрированы независимо от остальной системы и не влияют на ее устойчивость, следовательно, далее будем рассматривать систему дифференциальных уравнений третьего порядка:

в = ау + 7, х = —сх + ув, У = —су — хв — в.

(10)

Рассмотрим конструктивную схему ротора с обмоткой типа «беличья клетка», состоящей из п стержней и замыкающих их на торцах колец (рис. 6).

Рис. 6. Конструктивная схема ротора с обмоткой «беличья клетка». Направления электромагнитных сил, действующих на стержни.

Определим уравнение движения данного ротора относительно вращающегося магнитного поля. Величина электромагнитной силы в к-м стержне, направление которой указано на рис. 6, и вращающий момент, действующий на к-й стержень, с учетом положительного направления оси вращения ротора рассчитываются соответственно по формулам

Як = В/о гк, к = 1,...,п, (11)

2кп

ВI /о соэ ( в -|--I ги,

п

(12)

а=

с=

г л—1

Рис. 7. Конструктивная схема ротора с обмоткой типа «беличья клетка». Направления скоростей стержней и направление ЭДС в стержнях.

где ik —сила тока в k-м стержне. Таким образом, уравнение движения ротора типа «беличья клетка» относительно вращающегося магнитного поля имеет вид

" / 2kn \ je = I0IBJ2cos (9+——) ~Mi- (13)

k=i ^ n '

Индуцируемая ЭДС в стержнях клетки, направление которой показано на рис. 7,

е = v B l0 sin а, (14)

где B — амплитудное значение вектора магнитной индукции, v — скорость, а — угол между вектором магнитной индукции и вектором скорости, lo —длина стержня. Направление ЭДС в стрежне изменится на противоположное, когда изменится знак sin а. Для k-го стержня

п 2кп

а = 7Г +-+

2 n

где в — угол между вектором магнитной индукции и радиус-вектором, направленным к n стержню. С учетом положительного направления оси вращения ротора скорость рассчитывается по формуле

v = —l в.

Здесь l — расстояние от центра до k-го стержня (длина радиус-вектора). Следовательно, формула для расчета ЭДС k-го стержня (14) примет вид

ек = -В 1 lo sin ( ——--1- в ) в = -В 1 lo eos ( —--1- в ) в. (15)

2 n n

Перейдем от рис. 1,б к рис. 8, где изображена схема электрической цепи «беличьей клетки». Она имеет 2 n узлов.

Рис. 8. Схема электрической цепи «беличьей клетки» с условными направлениями токов.

Используя первый закон Кирхгофа для узлов 1, 2, ...,п, получим следующие соотношения для токов:

¿1 = ¿1,2 + ¿1,п, ¿2 + ¿1,2 = ¿2,3,

¿к + ¿к — 1 ,к = ¿к,к + 1,

к = 2,..., п — 1,

(16)

¿п— 1 + ¿п—2,п— 1 ¿п—1,п ¿п—1,п + ¿п + ¿1,п

Здесь ¿к обозначает ток, условно втекающий (вытекающий) в узел к (из узла к'), а токи, условно протекающие от к к к +1 узлу, обозначаются ¿к,к+1. Надо отметить, что все направления токов, изображенные на рис. 8, являются условными. Если направление тока было выбрано неверно, то при разрешении системы значение тока будет отрицательным.

Выразим ¿1 из соотношений (16) через ¿к:

¿1 = —¿2 + ¿2,3 + ¿1,п = —¿2 — ¿3 + ¿3,4 + ¿1 ■

п—1

— У^ ¿к + ¿п—1,п + ¿1,п = — ¿к. к=2

п

¿к

к=2

(17)

Используя второй закон Кирхгофа и выбрав положительное направление обхода контура по часовой стрелке, получим дифференциальные уравнения для замкнутых контуров цепи «беличьей клетки»:

Ь^1 — ¿2) + — ¿2) = /о/Б Ь^2 — ¿3) + Д^2 — ¿3) = /о/Б

2п 4п

- соэ ( 6» н--+ соэ 6» н--

пп

1 л 4п N / 6п V

- соэ ( 0 н--+ сое 0 н--

пп

(18)

Ь(¿n—1 — ¿п) + ^¿п—1 — ¿п) = /о/Б

„ 2(п — 1)п\ / 2пп

0 + —-— + соэ 0 н--

пп

— СОВ

где /, /о — радиус и длина «беличьей клетки» соответственно; в — угол между радиус-вектором, направленным к стержню с током ¿п, и вектором магнитной индукции В. Подставим выражение для тока ¿1 (17) в первое уравнение (18) и получим

Ь ¿к - «2

V к=2

¿2^ +Д ^-

У- ¿2 = /о/В

к=2 )

I П 2п\ Л 4п - соэ ( в н--+ соэ [в н--

п V п

(в. (19)

Далее из уравнения (19) будем последовательно вычитать последнее уравнение (18), дважды предпоследнее и т.д. Следовательно, на последнем (п — 2) шаге получим

— пЬ«2 — пД«2 = /о/В

, Л 2п\ /

- соэ ( 6» Н--+ соэ 6» Н--] +

пп

/44 п /

+(п - 2) соэ ( 6» + — ) - У^ соэ [ ¿> +

^ п ' к=3 ^

2Ьг\

п

4П\ ^^ ( 2кП = п/0Ш сое) в + — \ в - УВ^сов (в +-

п ) к=1 п

в. (20)

Таким образом, имеем

4П

Ы2 + Д «2 = —1о1В соэ ( 0 н--

(21)

Используя (21) и (18), получаем систему дифференциальных уравнений (22), описывающую токи в стержнях короткозамкнутого ротора:

Ык + Д ¿к = —/о/В сое в +

п

к = 1,....

(22)

Система дифференциальных уравнений (22), (13) является системой уравнений асинхронного двигателя с ротором типа «беличья клетка».

Преобразуем полученную систему (22), (13) к более удобному для дальнейшего исследования виду. Для этого введем дополнительное предположение: п = 4т. Это предложение оправдано, так как обычно количество стержней, используемых в современных короткозамкнутых роторах, кратно четырем. Введем в рассмотрение следующее преобразование координат:

в ^ -в, в = в,

2 Ь

п/о/В

к=1

у = -

¿с°8

2Ь

п/о/В \ п )

к=1

т

2к= г{к+])тоап - 1к, к = 2, ...,п-1

п

п.

■1 = -т

Покажем, что это преобразование координат невырожденное. Введем обозначения: в = -2L/(nl0lB),

/и \

' ¡з £ cos (в - гк Х

fc=i

-/? Е sin (в-^)г

«fc

fc=i

V

/

/ я ■ la 2*Л r ■ (о 1ъ{к-т)\ . ( 2ттк\ . ( 2тт(к+ш)\ . \

/ /3sm 0- — ... /3 sin 0---- ... /3 sin в-—— ... /3 sin 0---- ... /3sm(0) \

D =

в cos 0-

и

2п N

в cos 0-

2тт(к —m)

в cos 0-

и 2nk

в cos 0-

27r(fc+m)

вcos(0)

\

l-tg(^)

/

Преобразование координат (23) является невырожденным, если якобиан не равен нулю:

/—1 0 0\ det М = det I 0 —1 0 I = det В = 0. \ а 0 В)

Покажем, что определитель матрицы В не зависит от 0. Разложим определитель матрицы В по элементам первой строки:

det D = ^¿(-l)^1 sin f в - — ) D1

i=i ^ n

где В1 —дополнительный минор к элементу (1, ¿) матрицы В. Далее разложим каждый дополнительный минор В1 по элементам первой строки:

det D = f3j2(~l)i+1 sin (в - D\ =

/З2 sin ( 0 - —

i=i

2ni

j=i

n /

+ ("l)fccos (0-— \D

(24)

Очевидно, что для дополнительных миноров Di'2 выполнено следующее свой-

ство:

Введем обозначения:

Di'2 = Di'2,

A- • = Di'2 A- • = - Di'2

A«.« = 0,

V« = j.

Vi > j, Vi < j, i.

(25)

а

0

и

и

и

o

i

i

o

Следовательно, выражение (24) может быть записано следующим образом

det Б = в2 (-1)т 81п ' в -

р=1 4 '

¿=1 j=1

в!

¿=1 j=l

п

2п(« - ¿)

к=2

п

¿ + j = к, о < ¿, ^ < п

¿=1 5 = 1

А,.

; • ( 2п(« - ^)

п

(26)

Не трудно показать, что

Следовательно, получим

Е ^ =

¿ + j = к, о < ¿, ^ < п

2 п п

^ = у '81п (—- я)

¿=1 j=1

Отсюда следует, что определитель матрицы Б не зависит от в. Таким образом, определитель матрицы М является константой, зависящей только от параметра п. Численный анализ в МЛТЬЛБ показал, что det Б = 4в2 при п = 4, det Б = 241.137в2 при п = 8, det Б = 3.4•1°5в2 при п = 12, det Б = 2.8•1°9в2 при п = 16, det Б = 8.244°13в2 при п = 2°, det Б = 6.02 • 1°18в2 при п = 24, det Б = 9.42 • 1°23в2 при п = 28, det Б = 2.8 • 1°29в2 при п = 32. Процедуру расчета det Б можно продолжить, однако в основном количество стержней в короткозамкнутом роторе не превышает 32 штук. Таким образом, невырожденность замены переменных (23) в случае п < 32 доказана.

Далее, используя уравнения для токов (22), получаем

2 Ь ^

1Й 2кЛп-

соэ | 0--| 0гк —

, /о/В / 2кп\ н—сой й--

Ь V п

п

2Ь "Г 2кп\

- > эш \ 0--

пЫВ ^ \ п )

Д

Д 1 п ——ж + ув--эш ( 29

п к=1

4ЬЛ п

Д

--Тх +

Jи

п

п

2 Ь

~ п101В ^

к=1

/о/В + соэ ( 6>

п

2кп\ п

2 Ь п/о/В

Е<

к=1

2Ьг\

п

Д

~Тгк +

Д 2 ^ —у — же-->

к=1

СОЙ

2кп\ • Д

--Н =--II — т.я —

п

= ~ЬУ

в

в

в

^¿к

= £

¿=—т

Я. /0/Б / 2[(к + з )mod п]п

г{к+])тоАп Н--СОЭ | 0 -

/о/Б 2кп

н—сой й--

ьп

п

я

-Тгк +

Я /о/Б •

~ьгк + —в

со^ 0 —

2([к + з )mod п]п

т

/п \ Л 2кп\\ Я - с^ - соэ 6»--11=--

п

I I = ~Тгк-

пь

Тогда система (22), (13) может быть преобразована к следующему виду:

0 = в,

в = ау + 7,

х

—сх + ув,

у = —су — хв — в,

^к = —с^к,

к = 2,

(27)

где

п{101В)2 2Л

1

М

У'

я ь'

(28)

В полученной системе (27) переменные х, у, ^к определяют электрические величины в стержнях ротора, переменная в определяет скольжение ротора. Заметим, что в последней системе дифференциальных уравнений п — 2 последних уравнения могут быть проинтегрированы независимо от остальной системы и не влияют на ее устойчивость. Оставшиеся уравнения, кроме первого, не зависят от 0, следовательно, далее, как и в случае фазного ротора, будем рассматривать систему дифференциальных уравнений третьего порядка (10).

Таким образом, система дифференциальных уравнений (10) описывает динамику асинхронных двигателей с короткозамкнутым и фазным ротором. Данная система при условии 0 < 7 < а/2 имеет два состояния равновесия и не имеет состояний равновесия (ее стационарное множество пусто) при условии 7 > а/2.

Состояние равновесия

(а - а2 - 472 ^ ^7

7

У = —, а

7в

(29)

является асимптотически устойчивым. Оно соответствует статически устойчивому установившемуся режиму работы асинхронного двигателя с ротором типа «беличья клетка» и с фазным ротором. Это значит, что при весьма малом кратковременном изменении внешних сил (при весьма малом кратковременном возмущении установившегося режима) двигатель вернется в установившийся режим. Назовем такой режим работы рабочим.

Состояние равновесия

(а + ^а2 - 472 ) ^7

у=

7в

(30) 59

п

п

а

с

в

в =

неустойчиво. Оно соответствует статически неустойчивому режиму работы двигателя, т. е. при сколь угодно малом возмущении двигатель не вернется в установившийся ранее режим. Назовем такой режим физически нереализуемым.

При 7 = 0 система (10) имеет единственное асимптотически устойчивое состояние равновесия (х = 0, у = 0, в = 0), соответствующее рабочему режиму асинхронного двигателя на холостом ходу.

Заметим, что величина в определяется из

7 =

с2 + в

2 '

Функция

^(в) =

(31)

с2 + в2

называется статической механической характеристикой асинхронной электрической машины с короткозамкнутым и фазным роторами. Она представлена на рис. 9 для широкого диапазона скольжения, включающего все возможные режимы асинхронной электрической машины.

т- = (асзжв2 +с2)

а /о

7 ей с. / ' -

/ 1

/1 ' Г 1 1

5о с Б

-ю

-6

-2

0

ю

Рис. 9. Статическая механическая характеристика асинхронной электрической машины с короткозамкнутым и фазным роторами.

Статическая механическая характеристика у>(в) позволяет описать поведение системы (10) при изменении параметра нагрузки 7 или скольжения в, определить области устойчивости и отметить критические значения этих параметров [10, 11]. Рабочие режимы асинхронного двигателя соответствуют восходящему участку статической механической характеристики (в € (0, с)). Физически нереализуемые режимы соответствуют нисходящему участку статической механической характеристики (в > с).

При неизменной скорости вращения магнитного поля «1 скорость вращения асинхронного двигателя «2 = « — в (или скольжение в) определяется при заданном моменте внешней нагрузки М; видом статической механической характеристики двигателя. Действительно, поскольку установившийся рабочий режим двигателя характеризуется равенством у>(в) = 7, в зависимости от вида статической механической характеристики двигатель будет работать при том или ином скольжении.

Выражение (31) как функция скольжения в показывает, что видоизменить статическую механическую характеристику асинхронных двигателей с фазным и ко-

роткозамкнутым роторами, а следовательно, и регулировать их скорость вращения можно путем изменения параметров а и с. Рассмотрим принципиальные возможности в отношении регулирования этих параметров.

Из выражений (8), (9), (28) следует, что параметр а можно регулировать, изменяя амплитудное значение вектора магнитной индукции В посредством изменения величины напряжения, питающего статор двигателя. Данный способ регулирования скорости вращения применяется как для асинхронных двигателей с короткозамкну-тым ротором, так и для асинхронных двигателей с фазным ротором.

Асинхронный двигатель с фазным ротором имеет больше возможностей для регулирования скорости вращения за счет включения в цепь ротора внешних устройств. При помощи реостата, вводимого в цепь фазного ротора, изменяют активное сопротивление, вследствие чего изменяется параметр с системы (10). Заметим, выражение (8) показывает, что максимум статической механической характеристики асинхронной электрической машины не зависит от величины активного сопротивления цепи обмотки ротора. Вместе с тем, скольжение вт = с, при котором достигается максимум, пропорционально активному сопротивлению. Поэтому для увеличенных значений активного сопротивления максимум статической механической характеристики асинхронной электрической машины перемещается в сторону больших скольжений, не изменяясь по величине (рис. 10). Таким образом, увеличение активного сопротивления цепи фазного ротора дает увеличение скольжения вт, что расширяет диапазон регулирования скорости вращения. Однако данный тип регулирования скорости вращения связан с выделением в цепи ротора двигателя значительной электрической мощности, большая часть которой теряется в реостате.

В цепь фазного ротора вместо реостата можно включить дроссель, который изменяет индуктивное сопротивление. Тогда из выражения (9) следует, что одновременно изменятся параметры а и с системы (10). Иногда вместо реостата к контактным кольцам фазного двигателя присоединяют обмотки других электрических машин [10, 11]. В этом случае влияние вспомогательной машины будет распространяться также одновременно на параметры а и с.

Другой способ регулирования скорости вращения асинхронных двигателей основан на изменении скорости вращения магнитного поля и\. Данный способ требует

а/2 ш.

..... 3

л Зт15т2 3тЗ Б

п

Л

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

Э

Рис. 10. Статическая механическая характеристика асинхронной электрической машины с фазным ротором при различных внешних активных сопротивлениях в цепи ротора: 1 — г = 0; 2 — г = Я; 3 — г = 3Я.

применения источников питания с регулируемой частотой, и поэтому этот способ регулирования целесообразно использовать только для групп двигателей, например, для регулирования двигателей мощных прокатных станов [10, 12]. Далее будет рассмотрен только первый способ регулирования скорости вращения — регулирование скольжения двигателя s при постоянной частоте вращения магнитного поля.

3. Метод оценивания переходных процессов. При эксплуатации асинхронных двигателей в результате изменения параметров системы могут возникать переходные процессы, например, вследствие изменения внешней нагрузки на валу ротора, изменения напряжения в сети [13]. Задача изучения переходных процессов в асинхронных двигателях связана с определением областей притяжения устойчивых состояний равновесия систем, описывающих динамику асинхронных двигателей.

При переходных процессах происходит переход из одного режима работы в другой. Предположим, что асинхронный двигатель, который описывается системой дифференциальных уравнений (10) с параметрами a = a*,c = c*,7 = 7*, работает в рабочем режиме. Данному режиму соответствует асимптотически устойчивое состояние равновесия системы s = s*, x = x*, y = y*, определяемое по формуле (29). Пусть в некоторый момент времени происходит изменение параметров работы асинхронного двигателя. Следовательно, параметры системы (10) изменяются с a = a*, c = c*, y = 7* на a = ao, c = co, 7 = 70. Далее для краткости опустим индекс 0 у параметров системы. Необходимо определить, при каких условиях после переходного процесса двигатель втянется в новый рабочий режим. Математическая постановка задачи следующая: найти условия, при которых решение системы (10) с начальными данными s = s*, x = x*, y = y* находилось бы в области притяжения устойчивого состояния равновесия so, xo, yo, т. е. должны быть выполнены соотношения

lim s(t) = so,

t—

lim x(t) = xo, (32)

lim y(t) = yo.

t—

Значения so, xo, yo определяются аналогично значениям s*, x*, y* по формулам (29), где вместо индексов * стоят индексы 0.

Следующая теорема позволяет оценить переходные процессы, возникающие в асинхронных двигателях, и является модификацией метода нелокального сведения [1, 2, 7, 8]. Введем обозначения

с(а + л/а2 - 472)

S1 = -,

27

V'(s) = — — s2 + as — cry, c

Г = 2 max

Ae(o,c)

A c-A-

4c2 (c - A)

1/2

Теорема 1. Пусть 7 < 2c2, s* < si и для решения уравнения

F(w)F'(w) = —rF(w) - ^(w)

(33)

2

7

с начальными данными F(si) =0 выполнено условие

^(в*) > У(ау* + 7)2 + (ах* + . (34)

Тогда решение системы дифференциальных уравнений (10) с начальными данными в = в*, ж = ж*, у = у* удовлетворяет соотношениям (32). Доказательство. Замена переменных

Т

гу = ау + 7, 2 = —ж--в

ас

приводит систему (10) к виду

s = п,

п= .. , _ .,.(s) (35)

1 7

z = —cz--sr/--г/

a ac

и переводит начальные данные s = s*, x = x*, y = y* системы (10) в начальные данные 5 = 5*, ry = ay* +7, z = —ж* — ^s* системы (35).

При условии 0 < y < a/2 стационарное множество системы (35) состоит из двух точек: асимптотически устойчивой (s = so, n = 0, z = 0) и неустойчивой (s = si, n = 0, z = 0). Тогда для новой системы (35) соотношения (32) примут следующий вид:

lim s(t) = s0, lim n(t) = 0, lim z(t) = 0. (36)

t—+ ^ t—+ ^ t—+ ^

Покажем, что любое ограниченное решение системы (35) стремится к состоянию равновесия. Рассмотрим функцию

s

1 2

а2 1 [

V(s, г], z) = —z1 + —г/2 + / ip(s)ds

для которой на решениях системы (35) при условии 7 < 2c2 выполнено неравенство V(s, Г], z) = —ca2z2--—r/z — er]2 = — + л/caz^ — ^c — ^ ??2 < 0- (37)

Пусть x(t) = (s(t),n(t),z(t)) —ограниченное при t > 0 решение системы (35). Тогда функция V(s(t),n(t),z(t)) тоже ограничена при t > 0. Из (37) следует, что функция V(s(t),n(t),z(t)) не возрастает по t при t > 0. Следовательно, существует конечный предел

lim V(s(t),n(t),z(t)) = const.

t—^

Из ограниченности траектории x(t) следует, что множество Q ее ^-предельных точек не пусто. Пусть £ — некоторая ^-предельная точка. Тогда в силу инвариантности Q траектория, выпущенная из точки £, при всех t расположена в Q. Поэтому при всех t £ R

V (s(t,£),n(t,£),z(t,£)) = const.

Используя оценку (37), получим тождества n(t, С) = 0 и z(t, С) = 0. Из (35) и (37) получим, что s(t, С) = 0. Следовательно, s(t, С) = const и множество Q является подмножеством стационарного множества системы (35).

Таким образом, любое ограниченное решение системы (10) стремится к некоторому состоянию равновесия.

Далее, в силу (34) для решения F(w) уравнения (33) возможны два случая:

1) либо существует такое число S2, что для F(w) выполнены

2) либо выполнено Введём функцию

F(S2) = F(si) = 0, S2 < min s*, so F(s) > 0, Vs e (s2,si);

F(s) > 0, Vs e (-то, s1).

a2 1 1

W{s^z) = \z2+i-r12-i-F2{s).

Для неё на решениях системы (35) имеет место соотношение

= —а]2 - —щ - со2г2 - ^'(вШвЪ - ф(з)г1 + Ха2г2 + Лгу2 - ЛЯ(в)2 < с

,,2

" (С " Л " 4с2(С-А)) ^ " XF{S)2 " (i?,(s)i?(s) + =

7

4с2 (с - Л)

2 \ 1/2

= <0. (38)

Из соотношения (38) в первом случае следует ограниченность и положительная инвариантность множества

П = < о, в е (в2,«1]}.

Во втором случае из соотношений (38) и (37) следует ограниченность и положительная инвариантность множества

П* = П П2,

где

= (^) < 0, в е (-То,в1]},

П2 = (V(*,п,г) < С}.

Значение константы С определяется из соотношения

1 / 1\2 _

8

С > max | ^ - (а - л/а2 - 472)2 + J ф(s)ds, 0

(39)

2

Из условия (34) следует

IV (в*, ау* + 7, —ж* —— ) < 0. V ас/

Таким образом, точки (в*, ау* + 7, —ж* — 7/(ас)) и (во, 0, 0) принадлежат П и П1. Из условия (39) следует, что П2 также содержит эти точки. Отсюда, из ограниченности и положительной инвариантности множеств П и П* и из включений

(в*, ау* + 7, —ж* —— ) € О, (во, 0,0) € О,

/ 7аС/ (40)

( в*, ау* + 7, —ж*--) ё 0„ (во, 0,0) е О»,

ас

следует выполнение соотношений (36), которые эквиваленты соотношениям (32). □

4. Задача о предельной нагрузке. Рассмотрим задачу о предельной нагрузке [2, 14-19] для системы дифференциальных уравнений (10), которая описывает асинхронные двигатели с короткозамкнутым и фазным роторами. Данная задача возникает во время эксплуатации асинхронных двигателей при внезапном изменении момента нагрузки на валу, например, когда двигатель используется в приводе металлорежущего станка или в приводе буровой установки. Наброс нагрузки может быть продолжительным и кратковременным. В обоих случаях возникает проблема расчета допустимой нагрузки, при которой двигатель в результате переходного процесса перейдет к новому устойчивому режиму работы.

Как было показано выше, синхронному холостому (т. е. при отсутствии нагрузки 7 = 0) режиму работы двигателя соответствует стационарное решение в = ж = у = 0 системы (10). Далее в некоторый момент времени £ = т происходит мгновенный наброс нагрузки 7 > 0. Необходимо определить предельно допустимый наброс нагрузки, при котором асинхронный двигатель втянется в новый рабочий режим. Другими словами, найти условия, при которых для решения системы (10) с начальными данными в = ж = у = 0 выполняются соотношения (32).

Следующее следствие из теоремы 1 позволяет оценить значение максимального единовременного наброса нагрузки на асинхронный двигатель, работающий на холостом ходу.

Следствие 1. [3, 20] Пусть 7 < 2с2 и для решения уравнения

^ Н^'Н = —г^ н —

с начальными данными ^(в1) =0 выполнено условие

^(0) > 7. (41)

Тогда для решения системы дифференциальных уравнений (10) с начальными данными в = ж = у = 0 выполняются соотношения (32).

Доказательство. Условие (41) эквивалентно условию (34) теоремы 1 в случае в* — ж^ — у^ = 0. Неравенство в1 > в* =0 очевидно выполнено. Таким образом, все условия теоремы 1 выполнены. Следовательно, по теореме 1 получим, что решение системы (10) с начальными данными в* = ж* = у* = 0 удовлетворяет соотношениям (32). □

Используя следствие 1, получим аналитическую оценку предельно допустимых нагрузок на асинхронные двигатели с короткозамкнутым и фазным роторами. Следствие 2. [3] Если 5с2 > 2а и выполнено

7 < -а,

1 ~ 4 '

тогда наброс нагрузки 7 является допустимым.

5. Задача регулирования скорости вращения асинхронного двигателя. Рассмотрим задачу регулирования скорости вращения асинхронного двигателя. Предположим, что рабочему режиму асинхронного двигателя под нагрузкой (7 > 0) соответствует устойчивое состояние равновесия системы (10) с параметрами а = а*, с = с*: в = в*, у = у*, х = х*, определяемое по формуле (29). Далее в некоторый момент времени т необходимо изменить скорость вращения асинхронного двигателя. Для этого изменяют величину напряжения, питающего статор, либо в случае асинхронного двигателя с фазным ротором в цепи ротора изменяют добавочное активное сопротивление на г = г* или добавочное индуктивное сопротивление на I = I*. Следовательно, параметры системы (10) изменятся с а = а*, с = с* на а = ао, с = со (далее также для краткости опустим индекс 0). При этом возникает переходный процесс, связанный с изменением токов в цепях и скольжения. Рабочий режим работы двигателя изменится на в = во, х = хо, у = уо. В данном случае задача регулирования скорости вращения асинхронного двигателя с фазным ротором ставится следующим образом: найти, при каких значениях питающего напряжения, добавочного активного сопротивления или добавочного индуктивного сопротивления после переходного процесса асинхронный двигатель затянется в новый рабочий режим. Математическая постановка задачи регулирования скорости вращения асинхронного двигателя с фазным ротором при фиксированной нагрузке следующая: найти условия, при которых решение системы (10) с начальными данными в = в*, у = у*, х = х* находилось бы в области притяжения стационарного решения системы, т. е. должны быть выполнены соотношения (32).

Сначала рассмотрим регулирование скорости вращения посредством внешнего индуктивного сопротивления, т. е. когда а* = а, с* = с. Введем обозначения

ас

Ра = -, Рс= —•

ас

Следствие 3. Пусть 7 < 2с2, в* < вх, во < «4 и для решения уравнения

я И^'н = -гя н -

с начальными данными Я(вх) =0 выполнено условие

F(s*) > ^72(1 - Ра)2 + \ (а " ^а2-4р272)2 (l " • (42)

Тогда решение системы (10) с начальными данными s = s*, y = y*, x = x* удовлетворяет соотношениям (32).

Доказательство этого следствия проводится аналогично доказательству следствия 1.

2

Следствие 3 из теоремы 1 позволяет оценить диапазон регулирования параметров ра и рс .В случае, когда изменяется только параметр рс (при регулировании путем добавочного активного сопротивления: а* = а, с* = с), формула (42) принимает следующий вид:

2^(в*) >

1 -

1

Рс

(а - л/а2 - 472^

(43)

В случае изменения только параметра ра (при регулировании путем изменения напряжения, питающего статор двигателя: а* = а, с* = с) формула (42) примет вид

РЫ > —11 - Ра\\]а1 - а^/%2 - 4/э272.

(44)

Используя следствие 3, находим диапазоны регулирования параметров ра и рс. Следствие 4. Если 7 < 2с2, во < « и выполнены неравенства

2 с тах Ае(0,с)

л с-л-

72

Рс > 1 —

4с2 (с — Л) у/а2 - 472

1/2

> 7,

(45)

(46)

то Рс является допустимым регулированием.

Доказательство. В [21] получена оценка для решения ^(а):

^(а) > Г(в1 — а), а € [0,в1).

Поэтому из соотношения

4Г2(в1 — в*)2 > (а-^а2- 472) 1 - —

(47)

следует выполнение условия (43) и, следовательно, Рс является допустимым регулированием.

Покажем, что условия (45) и (46) влекут выполнение условия (47). Для этого используем равенство с, = ^-с и получим

4Г2(в1 — в*)2 =4Г2

с(а + у/^4^2) ¿с(а - у/а2 - 472)

27

27

Г2 —

72

1--а — \/ а2 — 472) +2 У а2 — 472

2 с2

+ Г2 —

7 2

4 ~ ^ ~ ^^ " 472) ^а2 " 472 + 4(а2 - 72)

(48)

Отсюда легко показать, что если выполнены соотношения

Г2-г ( 1 - —

- л/а2 - 472 ) > (а - л/а2 - 472

2/1-1 Рс

2

2

2

2

с

с

2

2

7

Р

с

(а2 - 472) > - (а - л/а2 - 472) л/а2 - 472,

то выполнено и (47). Последние два условия эквивалентны условиям (45) и (46) соответственно. Таким образом, следствие доказано. □

Следствие 5. Пусть с < в!, во < П1 и выполнено следующие неравенство

7 < min <i 2с2; —;

- -1

2' 2р/ А/2 /

Тогда ра является допустимым регулированием.

Доказательство. В [21] получена оценка для решения Я (а):

F(а) > Г(в1 - а), а G [0, si).

Но тогда

F2(s*) > r2[si - s,]2 =Г2

с(а+ л/ а2 — 472 ) с (а — л/ а? — 4ра

27

сГ

2YPa

Pa а - а

- а + v7«2 -472 + л/а2 -4ра

>

2YPa / сГ

V27Pa

^(1 - Pa)2 >

> ^а2( 1 - ра)2 > ¿(1 - Ра)2 (а2 - а^а2-4р272) •

2P

Таким образом, выполнено условие (44). Значит ра является допустимым регулированием. □

2

2

Y

2

2

2

2

Y

а

Литература

1. Леонов Г. А. Фазовая синхронизация. Теория и приложение // Автоматика и телемеханика. 2006. № 10. С. 47-85.

2. Леонов Г. А., Кондратьева Н. В. Анализ устойчивости электрических машин переменного тока. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2009. 259 с.

3. Леонов Г. А., Соловьева Е. П. Метод нелокального сведения в анализе устойчивости дифференциальных уравнений асинхронных машин // Доклады Академии Наук. 2012. Т. 444. №4. С. 362-366.

4. Леонов Г. А., Зарецкий А. М. Асимптотическое поведение решений дифференциальных уравнений синхронных машин // Доклады Академии Наук. 2012. Т. 445. №4. С. 386-389.

5. Tesla N. Electro-Magnetic Motor. Patent, 1894. N524, 426.

6. Ferraris G. Rotazioni elettrodinamiche prodotte per mezzo di correnti alternate //II Nuovo Cimento. 1888. Vol. 23. P. 246-263.

7. Леонов Г. А. Метод нелокального сведения в теории абсолютной устойчивости нелинейных систем 1 // Автоматика и телемеханика. 1984. №2. С. 45-53.

8. Leonov G. A., Reitmann V., Smirnova V. B. Non-Local Methods for Pendulum-Like Feedback Systems. Stuttgart; Leipzig: Teubner VerlagsgesellSchaft, 1992. 242 p.

9. Yakubovich V. A., Leonov G. A., Gelig A. Kh. Stability of Stationary Sets in Control Systems with Discontinuous Nonlinearities. Singapore: World Scientific, 2004. 334 p.

10. Важнов А. И. Электрические машины. Л.: Энергия, 1969. 768 с.

11. Иванов-Смоленский А. В. Электрические машины. М.: Энергия, 1980. 928 с.

12. Вольдек А. И. Электрические машины. Л.: Энергия, 1978. 832 с.

13. Веников В. А. Переходные электромеханические процессы в электрических системах. М.: Высш. шк., 1985. 536 с.

14. Annett F. A. Electrical Machinery: a Practical Study Course on Installation, Operation and Maintenance. New York: McGraw-Hill, 1950. 431 p.

15. Янко-Триницкий А. А. Новый метод анализа работы синхронных двигателей при резкопеременных нагрузках. М.: Госэнергоиздат, 1958. 102 с.

16. Haque M. H. Further developments of the equal-area criterion for multimachine power systems // Electric Power Systems Research, 1995. Vol. 33, N 3. P. 175-183.

17. Leonov G. A. Discontinuous load rating problem for induction motors // Technische Mechanik. 2004. Bd 24. Heft 3-4. P. 271-276.

18. Леонов Г. А., Зарецкий А. М. Глобальная устойчивость и колебания динамических систем, описывающих синхронные электрические машины // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2012. Сер. 1. Вып. 4. С. 18-27.

19. Glover J. D., Sarma M. S., Overbye T. J. Power system analysis and design. Stamford: Cengage Learning, 2008. 608 p.

20. Леонов Г. А., Соловьева Е. П. О специальном типе устойчивости дифференциальных уравнений асинхронных машин с ротором «двойная беличья клетка» // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2012. Сер. 1. Вып. 3. С. 44-52.

21. Барбашин Е. А., Табуева В. А. Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством. М.: Наука, 1969. 299 с.

Статья поступила в редакцию 28 марта 2013 г.