Метод оптимальной идентификации параметров линейного динамического объекта в условиях возмущения Текст научной статьи по специальности «Математика»

А

нализ и синтез систем управления

УДК 681.5.015

МЕТОД ОПТИМАЛЬНОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНОГО ДИНАМИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА В УСЛОВИЯХ ВОЗМУЩЕНИЯ1

C.B. Арановский, В.М. Бардов

Рассмотрена задача идентификации параметров линейного динамического объекта, когда измерению доступен только выходной сигнал и отсутствует априорная информация о действующих возмущениях или помехах. Предложена модификация известного метода идентификации с использованием фильтра состояний, позволяющая оптимально выбрать параметры фильтра, исходя из данных эксперимента. Дано сравнение предложенного метода с методом инструментальной переменной. Приведены результаты как численного моделирования объекта с известными истинными значениями параметров, так и результаты идентификации электропривода с многомассовой нагрузкой.

Ключевые слова: идентификация, оптимизация, метод фильтра состояний, электропривод с многомассовой нагрузкой.

ВВЕДЕНИЕ

Задача идентификации часто возникает в инженерной практике. Иногда идентифицируемая система достаточно сложна и некоторые ее параметры не рассчитываются при проектировке (вязкое трение, момент инерции и упругие свойства сложной многосоставной механической нагрузки). Возможно, что параметры готового изделия не совпадают с расчетными и требуется оперативно определить их значения и перенастроить систему. Или стоит задача настройки системы, которая была создана другим коллективом разработчиков, контакт с которыми утерян вместе с документацией на систему. Во всех этих случаях требуется по результатам эксперимента максимально точно определить значения коэффициентов системы, провести их идентификацию. Методы идентификации [1, 2] можно разделить на две большие группы — методы, функционирующие в реальном времени, и методы постобработки измерений. Первые из них широко применяются в задачах компенсации возмущений, в адаптивных системах [3—5]. Вторые предназна-

1 Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России», контракт 16.740.11.0666.

чены для оценки параметров системы на основе набора экспериментальных данных. Методы второй группы допускают большую вычислительную сложность алгоритмов, чем методы первой группы.

Особый интерес представляют методы, рассчитанные на применение в условиях помех и возмущений. Почти всегда в системе присутствуют шумы измерений, а сами объекты подвержены внешним возмущениям. Существует несколько подходов к решению задачи идентификации в условиях помех и возмущений: введение фильтров, включение возмущения в модель системы и идентификация расширенной модели или использование характеристик системы, инвариантных к конкретному виду возмущения [6]. Однако не всегда удается найти инвариантную к возмущению характеристику системы, не каждое возмущение можно описать конечномерной моделью и включить в описание объекта, а для наилучшего выбора параметров фильтра требуется априорная информация о характере помех и возмущений, которой почти никогда у разработчика нет.

В настоящей работе рассматривается подход, основанный на фильтрации измеряемых сигналов. Предложенный метод представляет собой модификацию метода фильтра состояний (State-Variable Filter, SVF-метод), ранее примененного авторами

для идентификации электропривода [7]. Основной результат заключается в разработке критерия качества идентификации и выборе настраиваемых параметров алгоритма, исходя из оптимизации этого критерия при отсутствии априорной информации о помехах и возмущении.

1. SVF-МЕТОД ИДЕНТИФИКАЦИИ

Одним из широко распространенных методов идентификации параметров объектов является метод, получивший в западной литературе название State-Variable Filter (SVF) [1, 8]. Как уже отмечалось, предлагаемый в работе подход представляет собой развитие указанного метода, поэтому изложим вкратце его содержание.

Рассматривается объект, описываемый выражением

Om , m -1 , ,

У(?) - n + m- 1Р 1 + . .. + blP + g(?) + o(?) =

n n - 1

P + an - iP + ... + a^ + ao

- b(p) a (P)

g(?) + u(?),

(1)

где р — оператор дифференцирования, у(?) и ¿(?) — известные выходной и входной сигналы, и(?) — помеха измерений или результат действия на объект

возмущений, Ъ. и а. — неизвестные параметры

* }

объекта, / = 0, 1, ..., т; у = 0, 1,..., п — 1, т и п полагаются известными, т < п. Ставится задача идентификации неизвестных параметров на основе измерений у(?) и ¿(?).

Введем в рассмотрение полиномы Др) = (р + X)" и с(р) = Др) - а(р) = С" — хрп- 1 +...+ ^р + С0, где X > 0 — настраиваемый параметр. Также введем в рассмотрение фильтр

W (p) -

Xn

Xn

(p+X)n f(p)

(2)

и дополнительные переменные уД?) = ^}(р)у(?) и ¿(?) = ^}(р)£(?); а так же обозначим иД?) = = а(р)Ж}(р)и(?).

Тогда выражение (1) можно переписать:

Др)у(?) = С(р)у(?) + Ъ(рЖ?) + а(р)и(?),

у(?) = ССР) у(?) + ^Ср) ¿(?) + а(Р) и(?),

у() Д(р)у() Д(р) ¿() Др)

Х"у(?) = С(р)у/?) + Ъ(р)£/?) + и/?). (3)

В силу выбранной структуры фильтра (2) производные сигналов уД?) и ¿(?) доступны измере-

нию вплоть до п-й. Тогда можно переписать выражение (3) в виде

Х"у(?) = С" - 1 у}"-^ (?) + С" - 2 у}"- 2) (?) + ... С1 уг (?) +

+ СоУ/?) + Ът¿р (?) + ът - 1 } 1) (?) + ... ¿1}(?) +

+ Ъо?/?) + и/?)

и получить линейную регрессионную модель

Xny(?) - XT(?)9 + uf(?),

(4)

где X(?) - [ yfn -^ (?)

yf (?)y/ ?) gfm) (?) ... ggf (?)f ?)]T ■

вектор измеряемых величин, 9 = [С" _ 1 ... С1С0Ът ... Ъ1Ъ0] — вектор неизвестных параметров. Очевидно, что при известном полиноме Д(р) вектор неизвестных параметров 9 полностью описывает исходный объект (1). Модель (4) хорошо известна в теории идентификации [1] и для нее разработано большое число методов, как действующих в реальном времени [9], так и предназначенных для постобработки данных экспериментов [1, 2]. Например, для обработки данных эксперимента, содержащего N отсчетов, можно сформировать вектор измерений У = [Х"у1(?)Х"у2(?)...Х"у^(?)]Т размерности N матрицу известных сигналов X размерности N х (т + п — 1), /-я строка которой содержит измеряемые величины, соответствующие /-му отсчету, и получить оценку неизвестных параметров в соответствии с методом наименьших квадратов:

9 - argmin((Y - X9)T(Y - X9)), (5)

9

9 - (xtx) 1xty.

(6)

2. ПОИСК ОПТИМАЛЬНОГО ПАРАМЕТРА

Роль входящего в SVF-метод фильтра (2) не исчерпывается только получением измеряемых производных сигналов уД?) и (?). В зависимости от выбора настраиваемого параметра Х, он может использоваться для фильтрации действующих на объект возмущений или помех, присутствующих в измеряемых сигналах, однако выбор подходящего значения параметра Х требует наличия априорной информации о характере возмущения. К сожалению, в инженерной практике подобная информация доступна разработчику крайне редко. Возникает задача провести наилучшую в некотором смысле идентификацию объекта, основываясь только на данных экспериментов и не обладая априорной информацией о свойствах возмущения или помехи. Для решения этой задачи предлагается ввести некоторый критерий качества идентификации и

найти такой параметр X, который обеспечивает этому критерию наилучшее значение.

Предположим, что нам доступны результаты эксперимента — значения сигналов y(t) и g(t) (естественно, что реальные данные эксперимента — это дискретные отсчеты, однако для простоты изложения будем оперировать непрерывными сигналами). Задавшись некоторым значением X* и

соответствующим фильтром Wf (p), мы можем

сформировать y* (p) = yf(t, X*) и g* (t) = gf(t, X*). Составив модель (4), мы можем найти оценку вектора неизвестных параметров, например, в соответствии с выражением (6):

в = в (X*).

(7)

Как было сказано ранее, вектор параметров (7) является оценкой параметров объекта (1). Зная вектор (7) и входной сигнал ^(0, можно вычислить выходной сигнал полученной модели у *т (/) = = X*) — реакцию объекта (1) с параметрами (7) на входной сигнал £(/). Тогда невязка выхода модели и реально измеренного

e m (t) = y(t) - y m (t).

(8)

Замечание. Отметим, что невязка (8) не совпадает с невязкой 7— ХЭ, входящей в выражение (5).

Матрица X включает в себя сигнал у* (/), т. е. содержит информацию о действовавших на объект помехах и возмущениях. А сигнал у* (/) показывает, как объект с полученными при идентификации (7) параметрами будет реагировать на задающие воздействие £(/) в отсутствие помех и возмущений.

Теперь можно сформировать критерий качества идентификации

J(X*, y(t), g(t)) = || em (t)||,

(9)

который показывает, насколько выход полученной при идентификации модели объекта будет совпадать с измеренным выходом реального объекта. Тогда задача идентификации может быть сформулирована как задача оптимизации

Xopt = argmin J(e*(X*), y(t), g(t)).

(10)

Традиционно при формировании задач оптимизации принято пользоваться квадратичной нормой. Однако, так как ввиду отсутствия информации о действующих помехах и возмущениях строгая аналитическая оптимизация критерия (9) невозможна, то нет необходимости в квадратичной норме [10]. Например, как показано в работе [11], в

ряде случаев первая норма в задачах оптимизации может давать лучшие результаты.

Как показала практика применения предлагаемого алгоритма, зависимость критерия (9) от параметра X может принимать и достаточно сложный вид, иметь несколько локальных экстремумов, среди которых требуется определить глобальный. Тогда для решения задачи оптимизации (10) могут применяться численные методы теории оптимизации, поисковые методы (генетические алгоритмы, имитация отжига и др. [12, 13]). Хорошо зарекомендовал себя следующий подход. В заведомо широком диапазоне осуществляется перебор значений X с некоторым шагом, для каждого из них вычисляется критерий (9), строится зависимость /(X). Затем значение X, при котором достигается минимальное значение критерия, используется как начальное условие для алгоритмов оптимизации, например, метода внутренней точки.

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ

Рассмотрим объект, описываемый выражением К

y(t) =

(Tjp + 1)(T2P + 1)

g(t) + K u(t),

где К = 34, Тх = 1/48, Т2 = 1/230, К = 5. Такая модель объекта широко распространена в инженерной практике. Например, ею может быть описан электропривод с одномассовой нагрузкой. Присутствующая в системе помеха измерений и(/) получена пропусканием гауссовского случайного сигнала с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией через формирующий фильтр с амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), представленной на рис. 1. Сигнал и(/) содержит в себе как частоту 30 Гц, лежащую между двумя со-

Рис. 1. АЧХ формирующего фильтра

Рис. 2. Стенд с двухмассовой нагрузкой Рис. 3. Реакция объекта на входное воздействие

прягающими частотами объекта, так и высокие относительно объекта частоты — 50 и 90 Гц. Отметим, что при идентификации параметров системы, априорные знания о характеристиках формирующего фильтра не используются.

В качестве задающего сигнала g(t) используется сигнал прямоугольный формы с амплитудой 1 и периодом 0,1 с. Для идентификации параметров объекта будем пользоваться двумя методами идентификации — предложенным в этой работе и реализованным в MATLAB Identification toolbox методом инструментальной переменной, iv4. Этот метод в настоящее время наиболее распространенный, и может рассматриваться как некоторый стандарт или эталон. Изложение содержания данного метода и его реализации в среде MATLAB выходят за рамки настоящей работы, однако могут быть легко найдены в соответствующей литературе [1] или в справочной системе среды MATLAB. В таблице представлены результаты идентификации параметров объекта. При использовании функции iv4 параметр «focus» был установлен в значение «simulation».

Из таблицы видно, что оценка коэффициента передачи K и постоянной времени Гр полученная

Результаты идентификации

Параметр Истинное значение Идентификация

Предложенный метод при X* = 5,722 iv4

K 34 33,99 34,25

1/48 1/48,03 1/50,69

T2 1/230 1/229,2 1/155,6

с помощью предложенного метода, незначительно лучше, чем с помощью функции гу4. Однако существенно выше точность определения постоянной времени Т2. Такая точность идентификации особенно важна при построении прецизионных систем управления, когда для обеспечения жестких требований к динамической точности слежения становится недопустимым пренебрежение даже малыми постоянными времени.

4. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕКТРОПРИВОДА С ДВУХМАССОВОЙ НАГРУЗКОЙ

Рассмотрим идентификацию параметров математической модели электропривода с двухмассовой нагрузкой. В качестве объекта идентификации выступает стенд, расположенный в лаборатории кафедры электротехники и прецизионных электромеханических систем, СПбГУ ИТМО. Стенд (рис. 2) включает в себя датчик угла и электропривод, аналогичные используемым в опорно-поворотных устройствах прецизионных оптических телескопов [14]. В качестве механической нагрузки используется специально разработанный механизм с двумя переменными массами и переменным коэффициентом жесткости.

Передаточная функция такой системы описывается выражением

Ь 2Р2 + Ь+ Ь о

4 3 2

p + a 3p + a 2p + a x p + a0

ее параметры зависят от моментов инерции первой и второй массы, коэффициента жесткости, коэффициента демпфирования и др. [15].

В качестве задающего сигнала, как и в примере § 3, используется сигнал прямоугольной формы. На рис. 3 представлен график реакции системы на входное воздействие. На увеличенном участке хорошо видны возникающие на фронте задающего воздействия колебания, обусловленные нежесткой связью между первой и второй массами.

Как и раньше, для идентификации будем пользоваться предложенным методом и методом инструментальной переменной. Однако для реального объекта неизвестны истинные значения параметров и нет возможности сравнить их с результатами идентификации. Вместо этого будем использовать реакцию полученных при идентификации моделей и сравнивать ее с реакцией реального объекта. На рис. 4 приведены результаты иденти-

Рис. 4. Сравнение реакций полученных при идентификации моделей и реального объекта: а — реакция на один период задающего сигнала; б — реакция на фронт задающего сигнала

Рис. 5. Зависимость критерия / от параметра 1 (квадратиком отмечен глобальный минимум)

фикации в сравнении с реакцией объекта при значении X* = 84,75. Видно, что при общей близости полученных результатов, модель, полученная предложенным в работе методом, гораздо точнее описывает возникающие в системе упругие колебания.

На рис. 5 в логарифмическом масштабе представлена зависимость критерия J от параметра X. Можно выделить несколько локальных экстремумов, в том числе близких по значению к глобальному, что существенно затрудняет решение задачи оптимизации. Так, методы, представленные в Matlab Optimization toolbox, смогли определить глобальный минимум, только если начальное значение было задано рядом с ним, в противном случае поиск завершался в одном из локальных экстремумов, что не давало требуемого качества идентификации.

Для иллюстрации важности процесса оптимизации величины X приведем результаты идентификации при значениях, отличающихся от оптимального X* = 84,75 и соответствующего ему значения

J * = 6,6-104. Из рис. 5 видно, что уменьшение параметра X относительно оптимального приводит к существенному росту критерия J. Действительно, при X = 40 значение критерия составляет

J = 4,5 • 1016, а полученная при идентификации модель неустойчива. С другой стороны, рис. 5 может создать впечатление, что достаточно взять заведомо большое значение X для получения удовлет-

ворительных результатов идентификации. Однако

это не так. Уже при X = 140 и / = 8,7-104 * 1,3/* полюса модели отличаются от полученных при X = X* почти в два раза, а среди нулей появляются положительные, что противоречит физической природе объекта. Таким образом, относительно небольшое отклонение параметра X, возможное при его априорном выборе, может привести к существенным различиям в результатах идентификации, в том числе и к качественным. Это подчеркивает важность процедуры оптимизации с помощью 8^-метода идентификации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложена модификация широко распространенного SVF-метода идентификации. Отмечено, что фильтр, предназначенный для получения измеряемых производных, может также использоваться для фильтрации неизвестных помех и возмущений. Введен критерий качества идентификации, основанный на близости реакции объекта и реакции полученной при идентификации модели. Предложено выбирать настраиваемый параметр алгоритма идентификации, исходя из оптимизации указанного критерия. Полученный алгоритм позволяет проводить идентификацию при отсутствии априорной информации о действующих помехах и возмущениях.

Предложенный метод сравнивался с классическим методом инструментальной переменной как при решении модельной задачи с известными истинными параметрами объекта, так и при идентификации передаточной функции электропривода с двухмассовой нагрузкой. Сравнение показало, что в обоих случаях предложенный метод позволяет точнее оценить «нюансы» объекта, такие как малая постоянная времени или форма собственных упругих колебаний.

Фильтр (2) представляет собой простейший случай фильтра с одним настраиваемым параметром. В то же время, для проведения идентификации может быть выбран любой устойчивый полином Др) и, соответственно, может быть получен фильтр с достаточно произвольными частотными характеристиками. В этом случае можно сформулировать задачу выбора оптимальной структуры фильтра и оптимизации вектора параметров, описывающих выбранный фильтр. При ее решении могут быть получены более точные оценки параметров идентифицируемого объекта.

ЛИТЕРАТУРА

1. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. - М.: Наука, 1991.

2. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского. — М.: Наука, 1987.

3. Арановский С.В., Бобцов А.А., Кремлев А.С. Компенсация конечномерного квазигармонического возмущения для нелинейного объекта // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2006. — № 4. — С. 14—21.

4. Арановский С.В., Бобцов А.А., Пыркин А.А. Адаптивный наблюдатель неизвестного синусоидального выходного возмущения для линейного объекта // Автоматика и телемеханика. — 2009. — № 11. — С. 108—116.

5. Никифоров В. О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. — СПб.: Наука, 2003. — 282 с.

6. Арановский С.В. Идентификация полюсов электромеханического объекта на основе сдвигов фаз // Информатика и системы управления. — 2011. — № 1. — С. 97—107.

7. Арановский С.В., Бардов В.М. Метод идентификации параметров системы двигатель-двухмассовый механизм по измерениям выходной переменной // Мехатроника, автоматизация, управление. — 2010. — № 5. — С. 15—18.

8. Ljung L. Perspectives on System Identification // Proc. 17th IFAC World Congress. Seoul, Korea, 2008. — P. 7172—7184.

9. Identification of frequency of biased harmonic signal / S. Ara-novskiy, et al. // European Journal of Control. — 2010. — N 4. — С. 129—139.

10. Филимонов Н.Б. Проблема качества процессов управления: смена оптимизационной парадигмы // Мехатроника, автоматизация, управление. — 2010. — № 12. — С. 2—9.

11. Поляк Б.Т. Методы l1 оптимизации в управлении и фильтрации // 3-я Мультиконференция по проблемам управления. — СПб., 2010. — С. 1—10.

12. Attia A.A., Horacek P. Adaptation of genetic algorithms for optimization problem solving. — Brno, 2001. — P. 36—41.

13. Martinez-Alfaro H. Using Simulated Annealing Algorithm to Solve the Optimal Control Problem // Simulated Annealing, Theory with Applications. — 2010. — P. 189—203.

14. Состояние и перспективы развития прецизионных электроприводов комплексов высокоточных наблюдений / В.Н. Васильев, В.С. Томасов, В.Д. Шаргородский, М.А. Садовников // Изв. вузов. Приборостроение. — 2008. — № 6.

15. Борцов Ю.А., Поляхов Н.Д., Путов В.В. Электромеханические системы с адаптивным и модальным управлением. — Л.: Энергоатомиздат, 1984. — 216 с.

Статья представлена к публикации членом редколлегии

В.Ю. Рутковским.

Арановский Станислав Владимирович — канд. техн. наук,

ст. науч. сотрудник, И [email protected],

Бардов Владимир Михайлович — аспирант,

Санкт-Петербургский государственный университет

информационных технологий, механики и оптики.