CC BY
16
Время
Рис. 2. Прогнозируемая модель развития энергетики [4]
практическим выбором и оптимальной моделью решения. Энергетическая политика, обусловленная вопросами безопасности, а также вопро-
сами изменения климата, занимается разработками энергетических стратегий и играет главную роль в выборе направления развития энергетики.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Прогноз развития мировой энергетики до 2030 г. [Текст] / ВР.— 2011 г.
2. Solarstorm tragende Säule im zukünftigen Energiemix [Электрон. ресурс].— http://www.solarwirtschaft. de/,accessed: 31/05/2012
3. Аренс, М. Энергетические технологии-2050 [Текст] / М. Аренс, М. Витшель, К. Дётч, В. Кревитт [и др.].— 2011 г.
4. Wiejermars, R. / R. Wiejermars [et al.].— Energy Strategy Reviews.— 2012. Vol. 1, № 5.
УДК 621.313
И.З. Богуславский, В.Г. Иванов, В.С. Рогачевский, С.Е. Турусов
МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ МДС ОБМОТКИ СТАТОРА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭКСПЛУАТАЦИОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЧАСТОТНО-РЕГУЛИРУЕМЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
Формулировка задачи
В практике создания современных частотно-регулируемых двигателей, например вентильных, предназначенных для различных отраслей промышленности, возникают проблемы иссле-
дования их эксплуатационных характеристик (момент на валу, предел устойчивости, КПД и др.), которые определяются в основном величиной МДС и полем обмотки статора. Одна из проблем, требующих решения, — определение
этой МДС и поля в общем случае, а именно в несимметричных режимах, причем когда токи в фазах обмотки изменяются во времени с периодом Тврм по произвольному (не только гармоническому [1, 2]) закону, а обмотка выполнена с дробным числом Q пазов на полюс и фазу, так что ширина ее фазных зон может быть неодинаковой. В одной из конструкций двигателя возможен, например, следующий режим изменения во времени токов в обмотке статора:
в промежуток времени At0 = tx — t0 мгновенные значения токов в фазах A, B и С обмотки равны соответственно iA = 100 % = const, iB = = 100 % = const, iC = 0;
в промежуток времени Ati = t2 — ti при повороте ротора двигателя на угол Y1 = ю^ = п/3 —
- iA = 0, iB = 100 % = const, iC = 100 % = const;
в промежуток времени At2 = t3 — t2 при повороте ротора двигателя на угол Т2 = ю^ = 2п/3 —
— iA = 100 % = const, iB = 0, iC = 100 % = const;
при повороте ротора двигателя на угол = = ю% = 2п (в промежуток времени At6 = t7 — t6) мгновенные значения токов в фазах A, B и С совпадают со значениями токов при t = 0.
Таким образом, период изменения этих токов во времени равен Тврм = 2п эл. гр., причем в течение этого периода токи изменяются не по гармоническому закону. Возможны и иные режимы с аналогичным изменением во времени токов в фазах. Изменение во времени токов iA, iB, iC по произвольному (не только гармоническому) закону с периодом Тврм приводит к тому, что МДС обмотки тоже изменяется во времени по произвольному негармоническому закону с тем же периодом.
Отметим особенности современных трехфазных обмоток: они выполняются шестизон-ными, весьма часто — с дробным числом Q; для машины с числом полюсов, равным p, число этих зон равно 6p. Рассмотрим для определенности шесть фазных зон такой обмотки, считая p = 1. Обозначим ширину первой из этих шести зон (зона фазы A) как bA; соответственно, обозначения для остальных зон — bC-, bB, bA,; bC; bB-. Для такой обмотки МДС (функция тока статора) [2, 3] изменяется на границе между каждыми двумя соседними фазными зонами скачком. Например, при движении по периферии статора (вдоль координаты x) от фазной зоны шириной bA (по ней протекает ток iA) в сторону
фазной зоны шириной Ьс - (по ней протекает ток (— /с)) функция тока [2, 3] изменяется на границе между этими зонами скачком от величины 1А до величины (¡А — /С). При обходе в этом направлении всех шести фазных зон мы получаем, что функция тока — ступенчатая; ее пространственный период в общем случае — для обмоток с дробным числом О на полюс и фазу [1] — равен Тпр = та^раст, где £раст — диаметр расточки статора.
Ширина каждой из этих шести зон обмотки может быть неодинаковой. Обозначим угол, занимаемый такой фазной зоной шириной ЬА, как
ДаА = 2пЬА/ Тпр эл. рад. (1)
Аналогично записываются и выражения для углов ас-, ав, ав-, ас; ав остальных фазных зон. С учетом (1) углы, занимаемые фазными зонами обмотки, имеют такой вид:
ДаА = п/3 ± ДрА; Дас- = п/3 ± Дрс-; Дав = п/3 ± Дрв; ДаА = п/3 ± ДрА-; (2) Дас = п/3 ± Дрс; Дав- = п/3 ± Рв-.
Здесь ДрА, Дрс,, ..., Дрв- — дополнительные углы, расширяющие (или сужающие) фазные зоны обмотки. Знаки при них (±) должны быть выбраны так, чтобы удовлетворялось условие
±ДРа ± ДРс- ± ДРв ± ДРа- ±
± ДРс ± ДРв - = 0. (3)
Метод расчета МДС обмотки статора при произвольном питании ее фазных зон, изложенный ниже, справедлив при произвольных значениях дополнительных углов ДрА, ДрС ..., Дрв с учетом этого условия.
Отметим, что обычно в практике проектирования обмотки статора эти дополнительные углы принимают равными следующему:
ДРА = - ДРс -, ДРв = - ДРА- , ДРс = - ДРв'. (4)
Запишем расчетные выражения для положения границ между фазными зонами по периферии статора (считая от фазной зоны А):
аА = ДаА; ас - = ДаА + Дас-; ав = ДаА + Дас - + Дав; а а' = ДаА + Дас - + Дав + Да а-;
aC = AaA + AaC - + AaB + Да А + Да А + AaC;
кА
КС'
a'
А'
C
aB
= AaA + AaC - + AaB + Aa A + + AaC + AaB'.
(5)
Таким образом, поле трехфазной обмотки и ее МДС изменяются вдоль расточки статора в виде ступенчатой функции тока с периодом Тпр, а во времени — по произвольному закону с периодом Tврм.
Определение МДС реакции якоря машин переменного тока в режиме симметричной нагрузки в варианте, когда ширина фазных зон обмотки одинакова [1—3], является лишь частным случаем проблемы определения МДС реакции якоря этих машин. Возможны несколько путей ее решения с учетом указанных особенностей конструкции машин и режимов их работы.
Предварительно примем, что для частотно-регулируемых двигателей, используемых в промышленности, отношение зазора 5 к периоду Тпр обычно менее 0,0125; при таких значениях 5/Тпр коэффициент затухания [5] поля в зазоре равен &зат » 1 для гармоник порядка т < 11, так что это поле имеет практически только радиальную составляющую.
Метод решения в частном случае
Рассмотрим сначала метод решения при условии, что режим работы двигателя — несимметричный, а ширина фазных зон обмотки статора — одинаковая (частный случай проблемы).
Исходные данные. Заданными предполагаются:
а) токи в фазах
А = 1Аеоз (ю^ + Фа); 1в = 1^05 (ю^ + фв);
1С = 1с ео8(ю^ + фс). (6)
Здесь 1А, 1в, 1С — амплитуды токов; фА, фв, фс — их фазовые углы, причем для несимметричных режимов машины
1а * 1в *1с ; 1Фа - Фв I* 1Фв - Фс I; (7)
ю — круговая частота сети;
б) трехфазная шестизонная обмотка статора с равными по ширине фазными зонами аА= = ас- = ав = аА- = ас = Дав- = п/3. Отметим, что излагаемый далее метод может быть реализован и для анализа несимметричных режимов
двигателя с обмоткой статора, у которой ширина фазных зон неодинакова согласно (2) и (3). Однако его реализация для такой конструкции обмотки вызывает дополнительные сложности. Определим МДС такой обмотки. Метод состоит из следующих этапов: представления тока в каждой фазе в виде ряда гармоник порядка к;
приведения каждой гармоники порядка к несимметричных токов iÁ, iB, iC к трем системам симметричных составляющих того же порядка к;
определения гармоник МДС порядка к для каждой системы.
Временные гармоники тока. Фазный ток iA = iA(t) представим в виде ряда временных гармоник [2] порядка к:
A(t) = 2 Ia к sin (2лк/Гврм + ФА к). (8)
Здесь суммирование ведется по параметру к; IA к — амплитуда гармоники порядка к; фА к — фазовый угол. Аналогично могут быть представлены и токи iB(t), iC(t). В общем случае амплитуды гармоник порядка к этих токов могут отличаться: IAкФIBкФICк'; также могут отличаться по величине и разности их фазовых углов:
1ФА к - ФВ к I Ф I ФВ к - Фск I .
Симметричные составляющие токов. Систему из токов в фазах согласно (8) с амплитудами IA к, IB к, IC к и с их фазовыми углами ФА к, ФВ к, ФС к для определения МДС обмотки целесообразно представить в общем случае в виде трех систем из симметричных [1, 2] составляющих с амплитудами токов прямой последовательности (1ААк , iBjt , 1Ср), обратной последовательности (IÁf, IB|P, Ск) и нулевой
последовательности (IAI , IB! , Ic¡k). Токи этих последовательностей имеют соответственно фазовые углы (фА|, Ф>7к , ф^к ); (ФАбр , фBбkP,
ФСбр); ( фА5!1, фBуkI, фНУЛ).
При конструкции обмотки с изолированной неитралью токи нулевой последовательности отсутствуют; они возникают только при наличии нулевого провода или при соединении фаз обмотки в треугольник.
Результат: гармоники МДС обмотки статора для каждой системы.
Выражение для гармоники МДС порядка к обмотки при ApÁ = Apc' = ApB = Ap Á = ApC = = ApB - = 0 известно [1, 2]. Например, для систе-
мы токов прямой последовательности с амплитудами = ^вк = !с\ оно имеет вид
^пр = [3/пк/ р, (8')
где — число витков в фазе обмотки; К№т — обмоточный коэффициент для пространственной гармоники порядка т. Аналогично записывается и выражение для токов обратной последовательности. МДС токов нулевой последовательности для временных гармоник порядка к = 1 и порядков, не кратных трем (к Ф 3ё, где ё = 1, 3, 5, ...), не создают поля взаимоиндукции; при к = 3ё амплитуды этих полей малы, и ими обычно пренебрегают [1].
Прямая и обратная системы токов статора индуктируют токи в контурах ротора. Поля, образованные токами статора прямой последовательности и токами в контурах ротора, создают вращающие моменты, совпадающие с направлением вращения ротора, а поля токов обратной последовательности — тормозные вращающие моменты.
Таким образом, решение проблемы предполагает двойное преобразование токов (разложение в гармонический ряд фазных токов и использование метода симметричных составляющих для каждой временной гармоники) даже для частного случая: при ДрА = ДрС, = Дрв = ДрА, = Дрс= = ДРв - = 0.
Метод решения общей задачи
Перейдем теперь к решению общей задачи: режим работы двигателя — несимметричный, изменение токов в фазах — не по гармоническому закону, а фазные зоны обмотки статора — различной ширины.
Метод решения этой задачи позволяет избежать двойного преобразования токов для конструкции обмотки с различной шириной фазных зон согласно (2) и (3); он сводится к определению МДС путем представления функции токов [2, 3] в фазах обмотки в виде гармонического ряда с двумя переменными [6, 7]. Метод включает следующие этапы:
вычисление ряда пространственных гармоник МДС порядка т с периодом Тпр, определяемых мгновенными значениями токов в фазах ¡А(1), ¡в(1), ¿с(0 для отрезков времени Д^, ..., ДtS, ...Д1у Для этого ступенчатая функции МДС обмотки вне зависимости от ширины ее фазных
зон представляется в виде ряда пространственных гармоник порядка т для мгновенных значений токов гА(1), /в(1), /с(1) вне зависимости от их формы; эти пространственные гармоники определяются для нескольких отрезков времени Д1Ь ..., Д15, ...Д1у, причем ДtS << Тврм. Предполагается, что в течение каждого из этих отрезков времени ДtS значения токов в фазах ¡А(1), ¡в(1), ¡((1) сохраняются неизменными. Число Ктаких отрезков времени определяется точностью вычислений ерасч, которая задается предварительно (об этом будет подробнее сказано далее);
аппроксимацию значений гармоник МДС порядка т (их число равно V) с помощью ряда временных гармоник МДС порядка к с периодом Тврм. Значения этих гармоник МДС рассматриваются как узлы пространственной функции МДС.
Рассмотрим этапы реализации этого метода подробнее. Отметим предварительно, что пространственная гармоника порядка т = р (при выборе периода Тпр согласно сказанному в начале статьи) является основной, гармоника порядка т < р — низшей, а порядка т > р — высшей.
Исходные данные. Заданными предполагаются:
а) токи в фазах (¡А, ¡в, /с)Д1 для ряда отрезков времени Д1Х, ..., Д15, ... Д1^ В пределах каждого такого отрезка они задаются постоянными и равными соответственно
¡а = 1а с°8 Фа; ¡в = 1в с°8 Фв; ¡с = 1сс°8 Фо (9)
где 1А, 1в, 1с — амплитуды токов; фА, фв, фс — фазовые углы, которые изменяются в пределах 0-2п. Метод решения, излагаемый далее, предусматривает определение МДС обмотки для общего случая — несимметричного режима машины:
1а ф ¡в Ф !с; 1Фа - Фв I ф 1ФвВ - ФсI ; (10)
б) трехфазная шестизонная обмотка статора с фазными зонами ДаА; Дас -; Дав; Да А-; Дас; Дав- согласно (2); положения границ аА; ас-; ав; аА-; ас; ав- между фазными зонами по периферии статора определяются согласно (5);
в) обмотка — однослойная с числом О = 1 и сокращением шага р = 1.
Однако общность излагаемого метода решения сохраняется и для конструкции двухслойной обмотки = 2) при О > 1 и р < 1. При О > 1 число ступеней функции тока [2, 3] возрастает;
соответственно амплитуды пространственных гармоник порядка m > 1 уменьшаются, что учитывается коэффициентом распределения обмотки [1]. Двухслойную обмотку (SN = 2) при в < 1 нетрудно представить в виде двух однослойных, сдвиг между которыми определяется коэффициентом сокращения [1] для соответствующей гармоники порядка m.
Определим МДС такой обмотки.
Представим ступенчатую функцию тока статора в виде гармонического ряда ZF(a, m, AtS = idem), где a = 2пх/ Тпр.
Найдем для токов в фазах (iA, iB, iC)&t1, соответствующих отрезку времени Д^, ступенчатую функцию МДС F(a, Д^) [1, 3, 4]. Она может быть разложена в гармонический ряд с периодом Тпр: F(a, m, Д^) = ZF(a, m, Д^). Здесь суммирование предполагается по номерам гармоник m. Аналогично для отрезков времени Д^, ДЦ, ..., ДtS,..., Д1У мы найдем ступенчатые функции МДС общим числом V Каждой такой функции соответствует сумма членов гармонического ряда ZF(a, m, ДtS = idem). Отметим, что в пределах каждого из этих отрезков времени токи постоянны по амплитуде и фазе согласно (9).
Для пространственной гармоники порядка m расчетное выражение для МДС имеет вид [6, 7] F(a, m, ДtS = idem) = = |F(a, m, ДtS = idem) | sin (am + ym S). (11)
Здесь |F(a, m, ДtS = idem) | = (a^S + b^s )0>5 — амплитуда МДС; Ym S = arctg am S/bm S — ее фазовый угол в пространстве; индексы при коэффициентах am s, bm S и угле ym S означают: m — порядок пространственной гармоники, S — отрезок времени ДtS, определяющий значение токов в фазах (iA, ÍB, i'cW; am S, bm s — коэффициенты разложения Фурье [6], [7], Для первого из них расчетное выражение таково:
am s = (1/п) {[(iA)sin(maA) +
+ (iA — iC)[sin m(aA + aC-) — sin (maA)] + + ('A - ic + i'B)[sin m(aA + ac- + as) -- sin m(aA + ac -)] + ('a - ic + iв - A)x x[sin m(aA+ ac +aB + aA )-sinm(aA + ac +aB)]+ + ('a - ic + Íb - 'а + ic) x x [sin m(aA + ac - + aB+a a- + ac) -
- sin m(aA + ac- + aB + aA )] + + ('a - 'c + iв - 'a + ic - íb )[sin 2nm -- sin m(aA + ac + aB + aA + ac)]. (12)
Расчетное выражение для коэффициента разложения bm S аналогично (12).
Число расчетных выражений вида (11) равно числу отрезков времени ДtS, на которое подразделен временной период Тврм (то есть числу V).
В выражениях (12) для am S сумма некоторых токов в скобках равна нулю; например, в предпоследнем слагаемом в скобках заключена сумма (iA - ic + iB - iA + ic). В ней попарно суммы токов iA и (-'A), icи (-ic) равны нулю. Все эти токи приведены в (12) лишь для того, чтобы указать соответствие между ними и углами, занимаемыми фазными зонами, например между углом ac и током (-ic), углом aB и током iBи др. Это соответствие является дополнительной проверкой записи коэффициентов вида am S.
Выражения (11), (12) справедливы для каждого отрезка времени ДtS = idem согласно условию (9), (10).
Отметим особенность расчетного выражения для МДС (11) . Пусть, например, мы вычисляем амплитуду МДС |F(a, m, ДtS = idem)| для ряда из трех последовательных отрезков времени — Д^, Д^, Дt3. Для момента времени t = t0 имеем: tx = Дt1; соответственно, t2 = Дt1+ Дt2 = tx + Дt2, t3 = Д^+ Дt2 + ДЦ = t2 + Дt3. В практических расчетах МДС обмотки может оказаться, что токи (A, iB, в моменты времени tx и t2 сохраняются неизменными, а в момент t3 в соответствии с режимом работы машины их величина изменяется. Например, в моменты времени tx и t2 токи неизменны и равны iA = 100 %, iB = 100 %, ic = 0; в момент же времени t3 они изменились и стали равными iA = 0, iB = 100 %, ic = 100 %. Следовательно, для этого примера справедливы следующие соотношения между их амплитудами и фазовыми углами:
|F(a, m, Д^)| = |F(a, m, Д^)| Ф |F(a, m, Д/3)|;
ym1
1при Д^
ym2
1при Д?2
Ф Ym3
при
(13).
Таким образом, соотношения между амплитудами МДС, а также между фазовыми углами зависят:
от режима работы машины (графика изменения токов во времени),
от выбора величины отрезков времени Ats (шага дискретизации процесса изменения токов в фазах во времени). Подробнее вопрос о выборе этого шага дискретизации Ats рассмотрен ниже.
Аппроксимация гармоник ступенчатой функции тока статора ZF(a, m, Ats = idem) с помощью гармонического ряда (временные гармоники порядка к > 1). Получены расчетные выражения (11), (12) для пространственной гармоники МДС F(a, m, AtS = idem) порядка m с учетом произвольного изменения во времени фазных токов (iA, iB, iC)At при условии, что на отрезке времени At1 они сохраняются неизменными; то же относится и к остальным отрезкам времени At2, ..., AtS, ..., Atv, причем эти отрезки времени удовлетворяют соотношению
At1 + At3 + ...+ Ats + ...+ Atv = Гврм. (14)
Значения гармоник МДС F(a, m, Ats = idem) порядка m для последовательности из отрезков AtS удобно рассматривать в качестве узлов интерполяции и аппроксимировать с помощью ряда, содержащего гармоники временного порядка к [6, 7].
Для того чтобы записать выражения для членов этого временного гармонического ряда, примем предварительно t = t0 = 0 (начало отсчета); тогда момент времени t1 = At1; соответственно, t2 = At1+ At2 = t1 + At2. Обобщим эти соотношения и запишем выражения для произвольно момента времени ts < Тврм и для момента tv = Тврм:
ts = At1+ At2 + At3 + ...+ Ats = tS-1 + Ats;
tV = Atj+ At2 + At3 + ...+ AtV=
= tv-i + Atv = Тврм.
(15)
Вычислим член такого ряда для временной гармоники порядка к сначала для отрезка времени AtS = Atx = tx. Расчетное выражение имеет вид [6, 7]
F(a, m, AtS = At1, к) = = |F(a, m, Ats = Ati, k)| sin (2^/7^ + Yks). (16)
Здесь |F(a, m, Ats = At1, к) | = (a2k s + b2k s)0>5 -амплитуда МДС, yk s=arctg ak s/bk s — ее фазовый угол во времени; момент времени t соответствует отрезку Ats = Ati; ak s, bk s — коэффициенты Фурье разложения в ряд, содержащий гармоники временного порядка к.
Выражения для коэффициентов Фурье ак, Ьк в (16) для отрезка времени Дts = Д^ = ^ с учетом (15) принимают вид [6, 7]
акs = (1/л)Да, т, ДtS = Д^)х
Ч
( / ТВрМ)] ^. (17)
о
Выражение для коэффициента разложения Ьк S записывается [6, 7] аналогично (17).
Следует отметить, что в выражении (17) отрезок времени ДtS=Д^ для МДС F(а, т, ДtS = Д^) соответствует пределам интегрирования (0; t1) согласно (15). То же справедливо и для МДС, соответствующих остальных отрезкам времени согласно (15), например для МДС Да, т, ДtS = Дt2) и пределов интегрирования t2), для МДС F(a, т, ДtS) и пределов интегрирования tS).
Число слагаемых в выражениях вида (16) определяется числом выбранных отрезков времени — Д^, Дt2, ..., ДtS, ..., Ду — и равно V.
При выводе соотношений для расчета временных гармоник МДС порядка к этого ряда целесообразно провести некоторые преобразования. С учетом (14) запишем
2лД^Гврм + 2^2/Гврм + 2^з/Гврм + ... +
+ 2^7^ + ... + 2пДуГврм = 2п.
Обозначим отдельные слагаемые в этом выражении так:
= 2лД^/Т„рм; Д^2 = 2^/7^;
Д^з = 2^зД;рм; ... ; Д^ = 2^/Гврм;...; ДТу = 2Шу/ТЪрЖ (18) В результате получаем:
= ДТ1; Т2 = ДТ1 + ДТ2 = + ДТ2;
Т3 = ДТ1 + ДТ2 + ДТ3 = Т2 + ДТ3; ...; ^ = ДТ1 + ДТ2 + ДТ3 + ...+ Д^ = + Д^;
Ту = ДТ1 + ДТ2 + ДТ3 + ...+ ДТу= = Ту_1 + ДТу = 2п. (19)
Эти соотношения мы используем далее. Условия для обеспечения минимальной погрешности аппроксимации МДС гк (расчетные выражения для вычисления коэффициентов а к, Ьк гармонического ряда) сформулируем с по-
мощью гармонического ряда (17), содержащего гармоники временного порядка к [6, 7].
Первое условие определяет соотношение между отрезками времени Ati, At2, ..., AtS, ..., Atv согласно [6, 7].
Величина погрешности вычисления МДС е к минимальна, если при интерполяции отрезки времени одинаковы: Ati = At2 = ... = AtS = ...= = Atv = Тврм/К Тогда с учетом выражений (18), (19) получаем AY1 = AY2 = ... = AYS = ...= AYV= = AY = 2n/V Соответственно выражения для углов таковы:
= 2n/V; Y2 = (2n/V)2; ...
YS = (2n/V) S; ... ; YV = 2n. (20) Выражения вида (17) для слагаемых гармонического ряда и соответственно коэффициентов Фурье [6, 7] ab bk принимают с учетом (20) следующий вид:
для отрезка At = t1 будет 0 — ai S = (1/n)Fx х (a, m, At1) sin Y1;
для отрезка At = t2 — t1 — соответственно akS = (1/n)F(a, m, At2) [sin(k2Y1) — sin (kY1)];
для произвольного отрезка времени At = =tS — tS-1
ak S = (1/n)F(a, m, AtS){[sin (kS Y1) -
- sin[(k(S — 1)^]}. (21)
Выражение для коэффициентов Фурье вида bks [6, 7] записывается аналогично (21).
Второе условие определяет число отрезков времени At1, At2, ..., AtS, ..., Atv(число V), на которые подразделяется временной период Тврм:
I1 Едискр I < ерасч, где Едискр
= |F(a, m, t, k) \W/ |F(a, m, t, k) I z. (22)
Здесь амплитуда МДС |F(a, m, t, k) Wвычисле-на при числе отрезков времени W = V, а МДС |F(a, m, t, k) \Z — при числе отрезков Z = V+ 1.
Уравнения (11)—(13) определяют амплитуды пространственных гармоник МДС порядка m для ряда отрезков At1, At2, ..., AtS, ..., Atv, а уравнения (16)-(21) — изменение этих амплитуд во времени в виде гармоник порядка к для тех же значений At1, At2, ..., AtS, ..., At^
Из этих уравнений следует, что МДС обмотки за период Тврм определяется в виде ряда слагаемых (числом V), каждое из которых содержит произведение вида AFm к S = sin (am + ym S) х х sin(2nt1k/ Тврм + Yk S). Оно может быть представлено в виде
ДРт к Б =
= 0,5[8т (2п^1к/Тврм - ат + Укб - Ут б)]х х^и (2п^1к/Тврм + ат + Ут б + Ук б)]. (23)
Первый сомножитель в квадратных скобках в (23) соответствует полю обмотки статора, которое в течение отрезка времени ДtS вращается в сторону вращения ротора, а второй — в противоположную. При суммировании этих слагаемых получаем МДС обмотки в виде
Рт к = ДРт к + ДРт к + - + + ДРт к Б + ...+ ДРт к V
МДС Ит к определяет оба поля временного порядка к и пространственного порядка т, создаваемых токами в обмотке статора; при взаимодействии с токами в контурах ротора одно их них создает вращающий момент, а второе — тормозной.
Пример расчета
Требуется получить изложенным методом известное [1, 2] расчетное выражение МДС (8') для обмотки двухполюсной машины (р = 1), токи в трех фазах которой изменяются по гармоническому закону, причем режим работы — симметричный; ширина фазных зон обмотки одинакова; О = 1; при этом = 1;
Кобм = 1
Результаты. В таблице сопоставлены погрешности определения МДС изложенным методом при подразделении периода Тврм на следующее число отрезков: V = 3 и У= 15 (т = 1, к = 1).
Погрешность дискретизации периода Тв
врм
V Y по (20), эл. гр. ерасч по (22)
3 120 0,173
15 24 0,0074
Эти результаты подтверждают корректность метода: при выборе числа узлов интерполяции V = 15 мы получили выражение (8') с точностью, значительно превышающей требования практики: погрешность вычисления МДС — не более 1%.
Изложен общий метод определения МДС обмотки статора. Он учитывает, что токи в фазах различны по амплитуде, изменяются во времени
по произвольному (не только гармоническому) закону, а ширина фазных зон в обмотке статора — неодинакова. Метод позволяет определить мгновенные значения электромагнитного момента двигателя и его пульсации, КПД с учетом влияния на потери временных и пространственных гармоник.
Реализация метода включает следующие этапы:
период Тврм изменения токов в фазах 1А, ¡в, 1с подразделяется на у отрезков времени (Д^, Д^, ..., Дts, ..., Дtу). В пределах каждого из них предполагается, что амплитуда и фазовый угол токов неизменны;
с учетом значений токов 1А, 1В, Iс для каждого отрезка времени Дts определяется ступенчатая
функция распределения МДС по периферии расточки статора. Эта функция представляется для каждого отрезка времени Дts в виде ряда с пространственными гармониками порядка т;
значения пространственных гармоник МДС порядка т используются в виде узлов для аппроксимации с помощью ряда с временными гармониками порядка к [6, 7]. Количество уэтих узлов определяется точностью ерасч вычисления МДС, задаваемой предварительно.
Расчетное выражение для МДС обмотки содержит ряд слагаемых (числом у); каждое из них соответствует двум составляющим поля обмотки статора: одна из них в течение отрезка времени Дts вращается в сторону вращения ротора, а вторая — в противоположную.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вольдек, А.И. Электрические машины (в двух томах) [Текст] / А.И. Вольдек, В.В. Попов.— М.— СПб., 2006.
2. Демирчян, К.С. Теоретические основы электротехники (в трех томах) [Текст] / К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечурин.— М.— СПб., 2004.
3. Богуславский, И.З. Генераторы и двигатели переменного тока: теория и методы исследования при работе в сетях с нелинейными элементами (в двух томах) [Текст] / И.З. Богуславский.— СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2006.
4. Богуславский, И.З. Метод расчета асинхронных режимов мощных синхронных машин с учетом распределения токов в демпферной обмотке [Текст] / И.З. Богуславский, В.С. Рогачевский // Научно-технические ведомости СПбГПУ.— 2011. № 4.
5. Шуйский, В.П. Расчет электрических машин [Текст] / В.П. Шуйский.— М.: Энергия, 1968.
6. Корн, Г. Справочник по математике [Текст] / Г. Корн, Т. Корн.— Пер. с англ.—М.: Наука, 1970.
7. Джефрис, Г. Методы математической физики [Текст] / Г. Джефрис, В. Свирас.— Вып. 2.— М.: Мир, 1970.
УДК 621.316.9
А.В. Зайцев, В.Н. Костин
АВТОМАТИКА ОГРАНИЧЕНИЯ ЧАСТОТЫ ПРИ АВАРИЙНОМ ВЫДЕЛЕНИИ ЭНЕРГОРАЙОНА С ИЗБЫТКОМ ГЕНЕРИРУЕМОЙ МОЩНОСТИ
Выделение части крупной энергосистемы (энергорайона) на изолированную работу может быть обусловлено:
аварийным отключением связей энергорайона с единой системой;
нарушением устойчивости параллельной работы электростанций энергорайона с единой системой;
работой частотной делительной автоматики (ЧДА) при развитии аварии в энергосистеме.
Анализ ряда крупных аварий* показал, что при выделении энергорайона с большим из-
* Аварии в энергосистемах США и Канады (ноябрь 1965 г. и август 2003 г.), Швеции (декабрь 1983 г.), Ленинградской обл. (декабрь 2008 г.), Калининградской обл. (август 2011 г.) и др.
