CC BY
55
КЛАСТЕРЫ, КЛАСТЕРНЫЕ СИСТЕМЫ И МАТЕРИАЛЫ
УДК 533. 6. 011. 12
МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК С
ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ВЫРАЖЕНИЯ ЧИСЛА КНУДСЕНА ЧЕРЕЗ
ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ
БЕСОГОНОВ А.П.
Институт механики УрО РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34
АННОТАЦИЯ. Предложен метод определения кинетических характеристик, используя связь числа Кнудсена с газодинамическими параметрами, которая прослеживается в обзоре работ. Применительно к процессам испарения дисперсных частиц и динамики образующихся кластеров в плазмогазодинамической установке, метод позволяет определять кинетические характеристики в искомой локальной зоне камеры испарения и сопле.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: кинетические характеристики, число Кнудсена, газодинамические параметры, плазмогазодинамическая установка для получения кластеров.
Создание новых нанотехнологий невозможно без понимания кинетических процессов и расчета соответствующих характеристик. В то же время экспериментальное определение кинетических характеристик на наноуровне в настоящее время практически невозможно.
Предлагается метод определения кинетических характеристик, используя газодинамические параметры (скорость, плотность, вязкость газа), составляющие безразмерных комплексов (числа Маха и Рейнольдса), а также показателя адиабаты в диапазоне давлений газа (103-10б) Па. Связующей величиной, при этом, является число Кнудсена ( Kn ).
В монографии [1] параметр s теории Чепмена - Энскога отождествляется с отношением времени свободного пробега к макроскопическому интервалу времени или с отношением средней длины свободного пробега l к некоторому характерному микроскопическому размеру L . Отношение l / L называют числом Kn . Оно характеризует относительную роль входящих в кинетическое уравнение членов, описывающих столкновение частиц и их движение.
т „
В работе [2] параметр, известный как число Кнудсена 8 = —p— << 1, где т
Th
рел
характерное микроскопическое время релаксации; тк - масштаб времени.
В монографии [3] приведено понятие средней длины свободного пробега I, которое входит в интеграл столкновений уравнения Больцмана
/ = иП / 2КТ ]1/2/ р, (1)
где и - коэффициент вязкости. При этом, это число обладает тем преимуществом, что позволяет сравнивать результаты, соответствующие различным микроскопическим моделям, т.к., будучи выражено через макроскопически измеряемые величины, не зависит от предположений о молекулярных взаимодействиях. Безразмерный параметр I / ё называется числом Кнудсена.
Авторы работы [4] показали, что вместо обычного числа Кнудсена в новом подходе применяется так называемый физический параметр Кнудсена, определяемый отношением размеров «точки» сплошной среды к характерному параметру задачи. При этом оказывается возможным описание кинетических и газодинамических процессов на основе обобщенного кинетического уравнения. Авторы [4] утверждают, что система феноменологических уравнений позволяет полностью замкнуть гидродинамические уравнения переноса в первом приближении по числу Кнудсена.
В работе [5] параметр Kn выражается таким образом
Kn( x, t) = 2 1 . (2)
d • n(x, t) • x»
Его физический смысл - отношение локальной длины свободного пробега к характерному размеру задачи х», где d -диаметр молекул, n (x, t) - их числовая плотность. Газ рассматривается как совокупность хаотически двигающихся молекул, а не как сплошная среда. Число Кнудсена, небольшое по величине, входит в правую часть квазигазодинамических уравнений.
Авторы монографии [6] обозначают число Kn как критерий в ряду критериев Re, M, Pr, Nu и других при взаимодействии между частицей и обтекающим ее газом. Значения некоторых из этих критериев характеризуют тот или иной режим обтекания.
В [7] автор представляет решение модельного кинетического уравнения плотного газа в виде ряда по числу Кнудсена е
fi = fio +е fn +... . (3)
При этом функция распределения нулевого приближения по числу Кнудсена является локально-максвелловской, а в первом приближении - имеет навье-стоксовский вид. Пользуясь этой функцией нетрудно получить формулы коэффициентов переноса.
В монографии [8] обратное число Кнудсена по порядку величины равно числу столкновений данной молекулы после выхода ее из отверстия
Kn = Х/r = (n a r)-1, (4)
т.е. это число определяет как возможное изменение состава газа в результате взаимодействия молекул, так и состава самого потока. Адиабатическое охлаждение газа при расширении газодинамического потока происходит в результате перехода тепловой скорости молекул в направленную при столкновениях молекул, поэтому охлаждение происходит только в потоках, в которых число Kn становится меньше единицы. Интегральный критерий подобия Z1 для конденсирующегося потока включает число Кнудсена
i
Zj = Kn-1
( L ^ 2Y-1)
V kTo J
ln
( Al ^
P
V1 o J
2Y-1)
, (5)
где Ь - энергия связи молекулы в блоке конденсированной фазы; Р0, Т0 - давление и
температура в форкамере. Причем Z1 - число столкновений молекул после достижения расширяющимся газом состояния насыщения.
В монографии [9] авторами сформулирован физический смысл числа Кп :
- физическое содержание числа Кп можно обнаружить, если проанализировать процесс приведения к безразмерному виду уравнения Больцмана в результате деления размерного множителя, появившегося перед безразмерными конвективными членами левой части, на размерный множитель, появившийся перед безразмерным интегралом столкновений. Размерный множитель перед интегралом столкновений можно рассматривать как масштаб числа молекул выделенного класса, появившихся из-за столкновений; множитель перед левой частью - как масштаб прибыли молекул из-за конвекции;
- число Кп можно рассматривать как меру влияния на свойства газа (функцию распределения) межмолекулярных столкновений. Кроме того критерий Кп является параметром степени разреженности.
В монографии [10] показано, что в пределах области, где справедливо приближение сплошной среды, роль диссипативных процессов остается малой, если она была малой на срезе сопла. Число Кнудсена выражается через локальные числа М и Яв
г- М
Кп = 1,26л/к--. (6)
Яв
В работе [11] анализируется метод Чемпена - Энскога решения уравнения Больцмана.
Наличие в системе малого параметра - числа Кнудсена позволяет получить соотношения для коэффициентов вязкости, теплопроводности и диффузии. В этой работе приводится гипотеза Колмогорова о том, что статистический режим мелкомасштабных компонент является универсальным и определяется лишь двумя размерными параметрами - средней скоростью диссипации энергии в и кинематической вязкостью V. Из соображений размерности следует, что колмогоровский масштаб флуктуаций 1к -V3'4 -в~1/4 и соответствует средней длине пробега частицы в газе. Анализ показал, что на временах порядка времени между столкновениями гидродинамические величины изменяются не слишком сильно (исключаются области типа ударной волны или скачка уплотнения).
В работе [12] получено отношение сил трения, действующих на движущийся в газе кластер, в соответствии с кинетическим режимом и гидродинамическим режимом.
Б™ =-15Л-- = 1,04 Кп, (7)
Б 32л/2 г0 4 7
где Кп = — г0 - число Кнудсена; — - длина пробега атомов в газе; г0 - радиус кластера. Таким образом, выбор режима торможения, движущегося в газе, определяется соотношением между параметрами — и г0. При этом, имеется плавный переход от кинетического режима взаимодействия кластера с газом к гидродинамическому режиму по мере увеличения плотности атомов газа N или радиуса кластера г0, причем этот переход управляется параметром Ы0 -г0.
В работе [13] приводится связь между параметром неидеальной сплошности -критерием Предводителева Рё и числом Кп
3
Рё = - Кп-Ы, (8)
2
где Ы - число Маха.
Утверждается, что эффективная теплопроводность дисперсных систем начинает зависеть от давления газа не при значениях критерия Кнудсена, близких к единице, а при гораздо меньших значениях этой величины, примерно при Кп = 10-3.
Авторы работы [14] определили проницаемость однородных зернистых структур при течениях со скольжением, когда число Кп невелико:
Кп = 1- < 0,1. (9)
Ь Ь-р\ 2Ы
Здесь и - вязкость, Ы - молекулярный вес, Т - температура, Я - универсальная газовая постоянная, Ь - характерный линейный микромасштаб структуры (радиус зерна или средний размер пор), р - среднее давление.
Для закона Дарси коэффициент проницаемости
К = К. ^МгЧп (Ю)
1 + В - д - Кп
В работе [15] авторы в зависимости от степени разреженности среды, т.е. различных значений числа Кнудсена, определяют коэффициент сопротивления частицы в газе. Так для областей течения со скольжением(0,01 < Кп < 0,25), переходного режима (0,25 < Кп < 10) и свободномолекулярного обтекания ( Кп > 10 )
Ся = сЯ - к , (11)
где - стандартное значение коэффициента сопротивления. Коэффициент К определяется зависимостью Милликена:
К = {1 + Кп [ 0,864 + 0,29 - ехр ( -1,25/Кп)]}-1. (12)
Для континуального обтекания и течения со скольжением выражение для силы термофореза ( Кп << 1)
/т = -3*. Кт.-V2 р-V Г8-5/Г8 , (13)
где Кт = 1,1 ( 1 + 2,16 Кп - ЛP / Л ) / ( 1 + Лр / + 2,16 Кп ЛP / Л ), V - коэффициент кинематической вязкости; рР° - истинная плотность газа; Лр Л§ - коэффициенты теплопроводности частицы и газа; Tg - температура газа.
В монографии [16] автором утверждается, что для промежуточных течений основной поток может рассматриваться как сплошной, а эффекты разреженности учитываются только в окрестности поверхности обтекаемого тела. Если время релаксации физико-химических процессов в газе больше характерного динамического времени
tp > г / и, (14)
тогда течение в окрестности тела становится неравновесным. Такие эффекты особенно существенны в потоках низкой плотности при больших градиентах параметров. Если число столкновений, необходимых для установления равновесия (релаксации) в каком-нибудь физическом процессе есть Z, то локальное число Кнудсена, характеризующее роль релаксационного процесса, можно представить в форме
Кп = Z• г //-д//дх, (15)
где / - параметр состояния.
Важным критерием подобия, связанным с механизмом электрического разряда на электроде плазмотрона является число Кнудсена, характеризующее полный перенос в пристенной зоне потока [16]. Влияние числа Кп в эмпирических зависимостях учитывается параметром р<д , где р - давление, обратно пропорциональное длине свободного пробега частиц ионизованного газа, <д - внутренний диаметр канала плазмотрона.
В работе [17] значение числа Кнудсена, выраженное через М,Яв, к - показатель адиабаты
Кп = ( 0,5кж ) 1/2 М • Яе- = 1,26 (16)
входит в так называемое «параллельное» число Кнудсена - Кр
Кр = Кп (| и1 - и2 | + < с > ) < с >-1 , (17)
которое в свою очередь входит в коэффициенты динамического и теплового взаимодействия
С0, Ыи
Св = Кс-Сс0 + КЯ-СЯЯ , Ыи = Кс. Ыис + КЯ • ЫиЯ (18)
где Кс = (1 + Кр')'1; Кя = Кс • Крд ,
где и1 и и2 - скорости несущего газа и частиц; < с > - средняя тепловая скорость молекул.
Индексы С и Я относятся к континуальному и свободномолекулярному режимам обтекания. Таким образом, использование числа Кп при вычислениях апробировано во всем диапазоне режимов течения от газодинамического до кинетического.
В работе [18] рассмотрено силовое взаимодействие малых частиц в газе, вызванное отличием температуры их поверхности от температуры газа вдали от частиц. Для нагретых (отталкивающихся в свободно - молекулярном режиме) частиц аппроксимация полученных численных данных, учитывающая квадратичную зависимость силы взаимодействия в континуальном режиме от числа Кнудсена
^ ( Кп ) = ¥/т • / + ( Кп ), (19)
1 + 1,9951- Кп-1
где / + =-:---2-г . (20)
1 + 1,6932 Кп-1 + 1,3206 Кп-2 + 0,09704 Кп-3
Для распространения этого приближения на другие значения параметров число Кнудсена выражается через величину силы взаимодействия в континуальном и свободно -молекулярном режимах
Кп = 0,2205 -
(21)
р Ап
Аналогичная аппроксимация предложена и для охлажденных частиц
Р ( Кп ) = - /- ( Кп ) , (22)
/ - =-,'- °-256ь Кпг"-3 , (23)
1 - 0,3575 Кп-1 + 0,5402 Кп-2 + 0,02887- Кп-
Кп = 0,3358 - ^ . (24)
Индексы с и /ш относятся к континуальному и свободно - молекулярному режимам. Силы взаимодействия могут увеличить (уменьшить) вероятность столкновения частиц и приводить к усилению (ослаблению) коагуляции частиц.
В работе [19] число Кп рассматривается основным критерием подобия, характеризующим ход конденсации пара
Кп = — = , (25)
Яш 42 а, Р,-Яш К '
где Р., - давление равновесного пара при температуре поверхности Тт; Яш - радиус сферы;
а - сечение столкновения атом - атом; кв - постоянная Больцмана. Соотношение (25)
показывает, что число Кп при Тш =сош1 определяется значением р. Яю. Расчеты,
выполненные в [19], показали, что суммарная массовая доля кластеров кремния а
пропорциональна Кп -* ( . « 0,3 в диапазоне чисел Кп = 0,01 - 0,001 ).
В монографии [20] физические процессы, протекающие в плазмотроне при высоких температурах, стационарных условиях и при отсутствии внешних магнитных полей, характеризуются наряду с критериями Яе числом Рг, числом Кнудсена Кп = I / ё , где ё -диаметр плазмотрона. Обобщенная вольтамперная характеристика плазмотрона из теории подобия следует:
К2 = / (К], Яе, Кп, Рг,...), (26)
где КI - критерий интенсивности энергообмена между электрической дугой и нагреваемым газом. Коэффициент полезного действия для водоохлаждаемого плазмотрона зависит от Яе и Кп:
- = 1,2-Ке- 4Кп. (27)
Эта зависимость применима в диапазоне параметров
Яе = ( 0,35... 11,0) -103 ; Кп = ( 0,14...14,5) -10-4; ё = 0,4...16,0 см.
Применительно к исследованию процессов и расчету широкого спектра задач в плазмогазодинамической установке (111 ДУ) для получения кластеров [21 - 23] предлагаемый метод позволяет:
- определив распределение газодинамических параметров Ы, Яе и к в камере испарения и сопле ПГДУ, вычислить по формуле (6) числа Кнудсена в искомых точках объема камеры испарения и сопла;
- при наличии Кп получать соотношения для коэффициентов вязкости, теплопроводности и диффузии;
- определить интегральный критерий подобия Ъх по формуле (5);
- вычислить значение параметра неидеальной сплошности - критерий Рё согласно выражению (8);
- определить коэффициент сопротивления частицы микронной дисперсности с учетом силы термофореза по формуле (13);
- определить коэффициенты динамического и теплового взаимодействия частиц в газе по формуле (18);
- определить силу взаимодействия частиц (кластеров) в газе, вызванную отличием температуры их поверхности от температуры газа вдали от частиц используя зависимости (19), (21), (22), (24);
- определить силу трения, действующую на кластер по формуле (7);
- провести оценку обобщенной вольтамперной характеристики плазмотрона (25) и коэффициента полезного действия плазмотрона ПГДУ, используя зависимость (27).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. М. : Мир, 1976. 554 с.
2. Резибуа П., Де Ленер М. Классическая кинетическая теория жидкостей и газов. М. : Мир, 1980. 423 с.
3. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М. : Мир, 1978. 495 с.
4. Жданов В.М., Ролдугин В.И. Неравновесная термодинамика и кинетическая теория разреженных газов // Успехи физических наук. 1998. Т. 168, №4. С. 407-438.
5. Богомолов С.В. Об одном подходе к получению стохастических моделей газовой динамики // Доклады РАН, 2008. Т. 423, №4. С. 458-460.
6. Циклаури Г.В., Данилин В.С., Селезнев Л.И. Адиабатические двухфазные течения. М. : Атомиздат, 1973. 448 с.
7. Рудяк В.Я. К кинетической теории плотных газов и газовых смесей // Молекулярная газодинамика и механика неоднородных сред. М. : Наука, 1990. С. 64-69.
8. Александров М.Л., Куснер Ю.С. Газодинамические молекулярные, ионные и кластированные пучки. Л. : Наука, 1989. 271 с.
9. Кошмаров Ю.А., Рыжов Ю.А. Прикладная динамика разреженного газа. М. : Машиностроение, 1977. 184 с.
10. Дулов В.Г., Лукьянов Г.А. Газодинамика процессов истечения. Новосибирск : Наука, 1984. 235 с.
11. Алексеев Б.В. Физические основы обобщенной больцмановской кинетической теории газов // Успехи физических наук. 2000. Т. 170, №6. С. 649-679.
12. Смирнов Б.М. Процессы с участием кластеров и малых частиц в буферном газе // Успехи физических наук. 2011. Т. 181, №7. С. 713-745.
13. Лыков А.В. Тепломассообмен : справочник. М. : Энергия, 1972. 560 с.
14. Люстерник В.Е., Маринбах М.А. Кнудсеновское скольжение в зернистых структурах // В сб. науч. трудов «Молекулярная газодинамика и механика неоднородных сред». М. : Наука, 1990. С. 93-99.
15. Шрайбер А.А., Гавин Л.Б., Наумов В.А. и др. Турбулентные течения газовзвеси. Киев : Наук. думка, 1987. 240 с.
16. Кутателадзе С.С. Анализ подобия в теплофизике. Новосибирск : Наука, 1982. 280 с.
17. Моллесон Г.В., Стасенко А.Л. Ускорение микрочастиц в газодинамической установке с большим расширением потока // Теплофизика высоких температур. 2008. Т. 46, №1. С. 110-118.
18. Александров В.Ю., Ерофеев А.И., Коган М.Н., Фридлендер О.Г. Температурное силовое взаимодействие сферических частиц // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2008. №2. С. 183-188.
19. Лукьянов Г.А., Симакова О.И., Быков Н.Ю. Прямое статистическое моделирование процесса образования и роста кластеров при расширении пара от внезапно включенного сферического источника. II. Истечение в газ // Журнал технической физики. 2008. Т. 78, вып. 1. С. 34-39.
20. Кошмаров Ю.А., Рыжов Ю.А., Свирщевский С.Б. Экспериментальные методы в механике разряженного газа. М. : Машиностроение, 1981. 200 с.
21. Липанов А.М., Бесогонов А.П. Плазмогазодинамическая установка для получения и сбора кластеров // Тезисы докладов I Всесоюз. конф. «Кластерные материалы». Ижевск : Изд-во ИПМ УрО РАН, 1991. С. 44-45.
22. Бесогонов А.П. Анализ соответствия критерия кластеризации Хагены параметрам плазмогазодинамической установки // Химическая физика и мезоскопия. 2009. Т. 11, № 4. С. 458-461.
23. Бесогонов А.П. Способ получения металлических кластеров и устройство для его осуществления // Патент РФ на изобретение № 2183535. 2000. Бюл. №17.
THE METHOD OF DETERMINATION OF KINETIC'S CHARACTERISTICS USING THE NUMBER OF KNUDSEN THROUGH GASDYNAMIC PARAMETERS
Besogonov A.P.
Institute of Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Science, Izhevsk, Russia
SUMMARY. Suggested the method of determination of kinetic's characteristics using the number of Knudsen through gasdynamic parameters, which is observed in the works. Putting into practice to the processes of evaporation of dispersion particles and dynamic of forming clusters in plasmagasdynamic installation for production of clusters. This method gives the opportunity to determine the kinetic's characteristics in local zone of the camera of evaporation and in the nozzl.
KEYWORDS: kinetic's characteristics, the number of Knudsen, gasdynamic parameters, plasmagasdynamic installation for production of clusters.
Бесогонов Анатолий Павлович, кандидат технических наук, старший научный сотрудник, докторант ИМ УрО РАН, e-mail: [email protected]
