Метод описания немарковских процессов, задаваемых системой линейных интегральных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 536.75

DOI: 10.18698/1812-3368-2017-5-57-66

МЕТОД ОПИСАНИЯ НЕМАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ, ЗАДАВАЕМЫХ СИСТЕМОЙ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

А.Н. Морозов [email protected]

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация

Аннотация

Предложен метод нахождения характеристических функций немарковского случайного процесса при его описании системой линейных интегральных уравнений. Показано, что в этом случае решение задачи может быть найдено с помощью ранее разработанного метода нахождения характеристических функций процесса, описываемого одним линейным интегральным уравнением. Разработанный метод применен для описания броуновского движения в равновесной и неравновесной средах. Рассчитана спектральная плотность флуктуаций импульса броуновской частицы в неравновесной среде и установлено, что в низкочастотной части спектра она представляет собой фликкер-шум. Показано, что спектральная плотность флуктуаций импульса броуновской частицы в неравновесной среде линейно зависит от производства энтропии

Ключевые слова

Броуновское движение, характеристическая функция, немарковский процесс, неравновесное состояние, производство энтропии, фликкер-шум

Поступила в редакцию 30.01.2017 © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017

Описание броуновского движения в неравновесных средах может быть выполнено с помощью уравнения Ланжевена [1], в котором внешние случайные воздействия частиц среды на броуновскую частицу описываются случайным процессом, отличающимся от белого шума [2, 3]. В этом случае становится невозможным использование метода стохастических дифференциальных уравнений для нахождения характеристических функций (функций распределения) флуктуаций импульса броуновской частицы [4, 5]. Это связано с тем, что броуновское движение становится немарковским случайным процессом [6, 7].

Метод нахождения характеристических функций немарковского случайного процесса Z (t), описывающегося с помощью линейного интегрального преобразования, предложен и обоснован в работах [5, 8]:

t

г (0 = { G (и x)dw (т), (1)

о

где G(t,т) — непрерывная функция переменной т; W(т) — процесс с независимыми приращениями. Полагается, что интеграл (1) представляет собой интеграл Ито [4, 9].

Одномерная характеристическая функция gi (А,; t) процесса Z(t) имеет вид [5, 8]

gi (А; t) = exp

jx(AG(t,т); т)т

Здесь

x(A,G(t,т); т) = —lnhi (AG(t,т); т); hi (AG(t,т);т) = (exp(¿AG(t, t)W(т))).

(2)

(3)

(4)

Если процесс W (I) является винеровским с интенсивностью ув (t) и описывается одномерной характеристической функцией

hi (А;t) = exp(-1 Vb (t)A2tj,

(5)

то выражение для одномерной характеристической функции (А,; t) процесса % (t) принимает форму

gi (А; t) = exp

-^А2JG2 (t,т)Vb (т)т

2 П

(6)

Если процесс W (t) — пуассоновский с интенсивностью уп (t) и описывается одномерной характеристической функцией

Й1 (А;t) = ехр(уп (0(^(А)-1)t), (7)

где g (А) — характеристическая функция скачков пуассоновского процесса, то выражение для одномерной характеристической функции (А;t) процесса % (t) принимает вид

gi (А; t) = exp

J(g(AG(t,т))-i)vn (^di

(8)

В более общем случае для нахождения Ь-мерной характеристической функции gL (А1,..., Аь; t1,..., ) процесса % (t) необходимо использовать выражение [5, 8]

gL (,..., Аl; ti,...,tL) = exp

L J Х(||ЕА^(tk,т) ]; т ]dт

(9)

Здесь

х| I i^G(,т))]; т^^ =-|тЬhi (,т) ]; т ];

(i0)

ь ^¿ХкО(,т);т^ехр^I(^¿^О(,т)W(т)^. (11)

При нахождении интеграла в выражении (9) необходимо учитывать условие

О ( ^, т)|тХк = 0- (12)

Формулы (2)-(4) являются частными случаями выражений (9)—(11) при Ь = 1.

Если процесс W (t) является винеровским, то

gL (А,!,...,АL; ti,...,tL) = exp а если — пуассоновским, то

1 l min(ti ,tk)

- - X XiXk J G (ti, x)G (tk, x)vb (i)di

2 l, k=i о

, (13)

gL (А-,...,Xl; ti,...,tL ) = exp

X J (g(¿^kG(tk,i) |-1 |vn(i)di

(14)

Проведем разработку метода нахождения характеристических функций немарковского случайного процесса Z (t) в случае, если для его описания требуется использование системы линейных интегральных уравнений:

2 (0 = {О1 (^,§)Х (§^§; (15)

0 §

X(§) = {О2 (§,т)dW(т), (16)

0

где О1 (t,§), О2 (§,т) — непрерывные функции переменных § и т. Здесь так же, как и для интеграла (1), полагается, что интегралы (15) и (16) представляют собой интегралы Ито.

К системе линейных интегральных уравнений (15), (16) может быть сведена задача описания броуновского движения при воздействии на частицу случайного процесса, не являющегося процессом с независимыми приращениями. В этом случае броуновское движение описывается уравнением следующего вида:

^+у*(0 = х^). (17)

dt

Здесь у — коэффициент вязкого трения; X (t) — случайный процесс, который может быть получен из процесса с независимыми приращениями W (t) с помощью интегрального уравнения (16). Если решение уравнения (17) представить в интегральной форме (15) с ядром

О (t,§) = ехр(-у(t-§)), (18)

то рассматриваемая задача описания броуновского движения сведется к решению системы линейных интегральных уравнений (15), (16).

Для нахождения характеристических функций процесса Z (t) проведем следующее преобразование системы линейных интегральных уравнений (15), (16):

t ^ 2^) = |С1 (t,£) 102 (£,т)dW(т) d£ =

0 V 0 )

t (t ^ = | 11 (^-т)01 (t,^)02 (т)dW(т) d£ = о V о )

t (t ^ = 1 101 (t,^)02 (£,т)ddW(т), о Чт )

где 1 (£-т) — единичная функция.

Следовательно, систему уравнений (15), (16) можно свести к линейному интегральному уравнению (1), в которое необходимо подставлять ядро преобразования 0 (t, т) в виде

0(,т) = }о (,^)02 (£,т^.

т

Таким образом, при нахождении характеристических функций процесса 2 (t), описываемого системой линейных интегральных уравнений (15), (16), могут быть использованы выражения (2)-(4) (для частных случаев винеровского и пуассоновского процессов — (6) и (8)) и (9)-(11) (для частных случаев указанных процессов — (13) и (14)).

Предложенный метод позволяет рассчитать характеристические функции процесса 2 (t), описываемого системой линейных интегральных уравнений, состоящей из любого количества таких уравнений. Например, в случае системы из трех линейных интегральных уравнений

Z(t) = {Gi (t,§)X(§)d

0 §

X(§) = {G2 (§,3)Y (3)d3;

Y(3) = }G3 (3,x)dW(x),

где 01 (t, £), 02 (£,3), 03 (3, т) — непрерывные функции переменных , 3 и т; она сводится к линейному интегральному уравнению (1), ядро преобразования 0 (t, т) которого имеет вид

0(,т) = |01 (,£) 102 (£,3)0з (3,т)d3 d£.

т чт )

Аналогично можно найти ядро преобразования О (t, т) для системы из N линейных интегральных уравнений.

Рассмотрим применение полученных выражений для нахождения характеристических функций флуктуаций импульса броуновской частицы в равновесной и неравновесной средах.

1. Пусть 2 (t) описывает импульс броуновской частицы в равновесной среде при воздействии на нее случайного 5-коррелированного процесса. Тогда его интенсивность уВ можно представить как [5]

vb = 2ymkT,

(19)

где т — масса броуновской частицы; к — постоянная Больцмана; Т — температура среды, а ядра преобразований О1 (, §) и О2 (§, т) имеют соответственно вид (18) и

О2 (§,т) = 5(§-т).

В этом случае формула для О (t, т) принимает вид

О (, т) = } ехр (-у( -§))5(§-т)§ = ехр (-у( -т)). (20)

т

Подстановка выражений (19) и (20) в формулу (13) дает формулу для Ь-мерной характеристической функции gЬ (А1,..., XЬ; t1,..., ) процесса 2 (t) при воздействии на броуновскую частицу винеровского процесса

gь (Хь-о Х Ь; tl,..., 1ь ) =

= exp

^fäkt l

—— X (XiXk (exp(-у|ti -tkI)-exp(-y(ti + tk))))

2 l,k=i

(21)

Аналогичное выражение при воздействии пуассоновского процесса (см. (14)) имеет вид

gь (Хь-о Х Ь; t1,..., ^Ь ) =

= ехр 2уткТ¿Т | [ gХк ехр(-у(-т))1-1 Ът . (22)

_ 1=1 ^ V V к=1 ) )

При Ь = 1 получаем выражения для одномерных характеристических функций в случае воздействия винеровского и пуассоновского процессов:

ткТ

gi (X; t) = exp

-X2 (i - exp (-2yt))

gi (X; t ) = exp

2ymkTJ(g (X exp (-у (t -t)))- i)di

(23)

(24)

Выражения (21)-(24) совпадают с формулами, полученными для случая броуновского движения в равновесной среде в работах [5, 8].

2. Рассмотрим описание броуновского движения в случае, когда броуновская частица находится в неравновесной среде, воздействие которой на нее имеет интенсивность

v = 2 ymoST, (25)

где os — производство энтропии при движении броуновской частицы в неравновесной среде, а ядро преобразования G2 т) можно представить в виде

G2 (^ ТЬ-ЛГГ.

Тогда выражение для G (t, т) принимает форму [10]

G (t, т) = |eXP (~Y(t = ^ exp (-y(t-т))аАШГГ)), (26)

т Vy(^-t) У

где erfi(x) = -i erf(ix).

Если подставить выражения (25) и (26) в формулу (13), то для L-мерной характеристической функции gL (Xb..., XL; t1,..., tL ) процесса Z (t) при воздействии на броуновскую частицу винеровского процесса имеем

gL (А,!,...,XL;ti,...,tL) = exp

■KmoST l min( ,tk)

X XiXk J exp(y( + tk -2x))x

Y i,k=i

x erfi ((y(i-x) )erfi (((tk-x)) dx

(27)

Аналогично при подстановке выражений (25) и (26) в формулу (14), описывающую воздействие пуассоновского процесса, получим

gL (^..оXI; Í1,..., ^ ) =

= exp

L ti

f f

2YmcsTX J

l=1 ti-i

V V

— XXk exp(-Y(tk -x)) erfi(((k-x))

Y k =l .

-1

dx

. (28)

При L = 1 выражения (27) и (28) переходят в формулы для одномерных характеристических функций винеровского и пуассоновского процессов:

gi (А; t) = exp

%maST

t

X2 J exp (-2 y(-x) ) erfi2 (((-x) ) d x

gi (X; t) = exp

t ( ^

2YmcsTJ g —Xexp(-Y(t-x)) erfi(((t-x))

-1

V V

d x

Определим математическое ожидание (2(0), дисперсию (22(£)) и корреляционную функцию (2(^)2 ( ^ )) процесса 2 (t) при воздействии винеровского процесса:

Zt)>=

(z 2(t )>

_ a2gl (X;t)

ax2

X_0

i&k

^^^Jexp (-2y (t -x))erfi2 ((—) );

(Z(t2)Z (t1 ))_* g 2 tl> 12)

iÖA1iÖA2

(29)

x1_ 0

_ 0

2%maST tl

Y 0

J exp(—y(ti — x)) erfi(((1— x))exp(—y(— x))erfi((Y(^))dx.

Формула (29) для корреляционной функции процесса 2 (t) позволяет найти одностороннюю спектральную плотность Gz (ю) флуктуаций этой величины [11]:

Gz (ю) = 4J (2(t + £)Z (t) >|t^ cos (ю£)d£ =

8%maST

->ft

j j exp (—y( — t) ) erfi ((( — т) ) exp (—y( — x + ^) ) x

Y 0 V 0

xerfi ((( — x + ^))dx

cos

(30)

Рассмотрим нахождение односторонней спектральной плотности О2 (ю) для высокочастотного случая при га » у. Для этого случая в первом приближении можно использовать следующую формулу [12]:

егй Ми

Подстановка выражения (31) в формулу (30) дает

О2(ю)=

(31)

t _ Л

: 32YmaSTJ exp(—Y^)Jexp(— 2y( — x)))(f-x)(f — x + ^)dx

0 V 0

cos (ra^)d^. (32)

t—

Вычисление интегралов в выражении (32) позволяет найти спектральную плотность [10]:

, ч 4кmosT 02 .

Следовательно, в высокочастотной части спектра спектральная плотность флукту-аций импульса броуновской частицы обратно пропорциональна третьей степени частоты.

Рассмотрим случай га ^ у, для которого можно использовать следующее первое приближение [12]:

erfi (X) |х . 1 ^ (33)

После подстановки выражения (33) в формулу (30) имеем

cos (<ȣ) (34)

8%maST ТГ л 1 ^

GZ (ю) =---J 0 , ■ dx

П ' Y2 0 [о V(t-x)(t-x + $)

Вычисление интегралов в формуле (34) позволяет получить [10]

, . 4%masT

Gz (ю) =-2-. (35)

у 2га

Из формулы (35) следует, что при движении броуновской частицы в неравновесной среде в низкочастотной части спектра спектральная плотность флуктуа-ций импульса броуновской частицы описывается фликкер-шумом [13, 14].

Заключение. Предложенный метод нахождения характеристических функций немарковского процесса, описываемого системой линейных интегральных уравнений, позволил рассчитать статистические характеристики броуновского движения в неравновесной среде. Спектральная плотность флуктуаций импульса броуновской частицы в такой среде линейно зависит от производства энтропии.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. М.: Мир, 1986. 528 с.

2. Брауэрс Й.Й.Х. Уравнение Ланжевена для частицы жидкости в потоке с вызванной наличием стенок турбулентностью // Теоретическая и математическая физика. 2010. Т. 163. № 2. С. 328-352.

3. Marchesoni F., Taloni A. Subdiffusion and long-time anticorrelations in a stochastic single file // Physical Review Letters. 2006. Vol. 97. Iss. 10. P. 106101-1-106101-4.

DOI: 10.1103/PhysRevLett.97.106101

4. Пугачев В.С., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы. М.: Наука, 1990. 632 с.

5. Бункин Н.Ф., Морозов А.Н. Стохастические системы в физике и технике. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. 366 с.

6. Морозов А.Н. Применение теории немарковских процессов при описании броуновского движения // ЖЭТФ. 1996. Т. 109. № 4. С. 1304-1315.

7. Морозов А.Н., Скрипкин А.В. Применение интегральных преобразований для описания броуновского движения как немарковского случайного процесса // Известия вузов. Физика. 2009. № 2. С. 66-74.

8. Морозов А.Н. Метод описания немарковских процессов, задаваемых линейным интегральным преобразованием // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2004. № 3. С. 47-56.

9. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. М.: Мир, 1987. 400 с.

10. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Т. 1. Элементарные функции. М.: Наука, 2003. 632 с.

11. Морозов А.Н. Необратимые процессы и броуновское движение. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997. 332 с.

12. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1977. 344 с.

13. Бочков Г.Н., Кузовлев Ю.Е. Новое в исследованиях 1//-шума // Успехи физических наук. 1983. Т. 141. № 1. С. 151-176. DOI: 10.3367/иБ№.0141.198309а.0151

14. Кузовлев Ю.Е. Почему природе нужен 1//-шум // Успехи физических наук. 2015. Т. 185. № 7. С. 773-783. DOI: 10.3367AUFNr.0185.201507d.0773

Морозов Андрей Николаевич — д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой «Физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1).

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

Морозов А.Н. Метод описания немарковских процессов, задаваемых системой линейных интегральных уравнений // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 5. С. 57-66. DOI: 10.18698/1812-3368-2017-5-57-66

METHOD FOR DESCRIBING NON-MARKOVIAN PROCESSES DEFINED BY A SYSTEM OF LINEAR INTEGRAL EQUATIONS

A.N. Morozov [email protected]

Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation

Abstract

We suggest a method for determining characteristic functions of a non-markovian stochastic process when a system of linear integral equations describes it. We show that in this case it is possible to find the solution to this problem using a previously developed method for determining characteristic functions of a process described by a single linear integral equation. We employed the method we developed to describe Brownian motion in equilibrium and non-equilibrium media. We computed spectral density of impulse fluctuations for a Brownian particle in a non-equilibrium medium and determined that in the low-frequency region it is represented by flicker noise. We show that the spectral density of impulse fluctuations for a Brownian particle in a non-equilibrium medium is a linear function of entropy generation

Keywords

Brownian motion, characteristic function, non-markovian process, non-equilibrium state, entropy generation, flicker noise

Received 30.01.2017 © BMSTU, 2017

REFERENCES

[1] Crispin W.G. Handbook of stochastic methods for physics, chemistry, and the natural sciences. Springer-Verlag, 1985. 442 p.

[2] Brauers Y.Y.Kh. Langevin equation of a fluid particle in wall-induced turbulence. Theoretical and Mathematical Physics, 2010, vol. 163, iss. 2, pp. 677-695.

DOI: 10.1007/s11232-010-0050-2

[3] Marchesoni F., Taloni A. Subdiffusion and long-time anticorrelations in a stochastic single file. Physical Review Letters, 2006, vol. 97, iss. 10, pp. 106101-1-106101-4.

DOI: 10.1103/PhysRevLett.97.106101

[4] Pugachev V.S., Sinitsyn I.N. Stokhasticheskie differentsial'nye sistemy [Stochastic differential systems]. Moscow, Nauka Publ., 1990. 632 p.

[5] Bunkin N.F., Morozov A.N. Stokhasticheskie sistemy v fizike i tekhnike [Stochastic systems in physics and technique]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2011. 366 p.

[6] Morozov A.N. Use of the theory of non-Markovian processes in the description of Brow-nian motion. Journal of Experimental and Theoretical Physics, 1996, vol. 82, no. 4, pp. 703-708.

[7] Morozov A.N., Skripkin A.V. Application of integral transforms to a description of the Brownian motion by a non-Markovian random process. Russian Physics Journal, 2009, vol. 52, no. 2, pp. 184-195. DOI: 10.1007/s11182-009-9217-4

[8] Morozov A.N. Method of describing non-Markovian processes defined by linear integral transformation. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Nat. Sci.], 2004, no. 3, pp. 47-56 (in Russ.).

[9] Horsthemke W., Lefever R. Noise-induced transitions. Springer, 1984. 322 p.

[10] Prudnikov A.P., Brychkov Yu.A., Marichev O.I. Integraly i ryady. T. 1. Elementarnye funktsii [Integrals and raws. Vol. 1. Elementary functions]. Moscow, Nauka Publ., 2003. 632 p.

[11] Morozov A.N. Neobratimye protsessy i brounovskoe dvizhenie [Irreversible processes and Brownian motion]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 1997. 332 p.

[12] Jahnke E., Emde F., Lösch F. Tafeln höherer funktionen. Stuttgart, Teubner Verlagsgesellschaft. Preis, 1960. 318 p.

[13] Bochkov G.N., Kuzovlev Yu.E. New aspects in 1/f noise studies. Sov. Phys. Usp., 1983, vol. 26, pp. 829-844. DOI: 10.1070/PU1983v026n09ABEH004497

[14] Kuzovlev Yu.E. Why nature needs 1/f noise. Phys. Usp., 2015, vol. 58, no. 7, pp. 719-729. DOI: 10.3367/UFNe.0185.201507d.0773

Morozov A.N. — Dr. Sc. (Phys.-Math.), Professor, Head of Physics Department, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, str. 1, Moscow, 105005 Russian Federation).

Please cite this article in English as:

Morozov A.N. Method for Describing Non-Markovian Processes Defined by a System of Linear Integral Equations. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Nat. Sci.], 2017, no. 5, pp. 57-66. DOI: 10.18698/1812-3368-2017-5-57-66