Метод Ньютона–Канторовича в математической модели трехосного растяжения куба из материала с невыпуклым потенциалом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3,513.88,517

МЕТОД НЬЮТОНА-КАНТОРОВИЧА В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ТРЕХОСНОГО РАСТЯЖЕНИЯ КУБА ИЗ МАТЕРИАЛА С НЕВЫПУКЛЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

© В.В. Стружанов, Н.В. Бурмашева

Ключевые слова: градиентная система; потенциальная функция; уравнения равновесия; невыпуклость потенциалов; особенности отображения; метод Ньютона-Канторовича. Рассматривается градиентная механическая система, реализующая трехосное растяжение элементарного куба из материала с выпукло-вогнутым потенциалом. Показано, что уравнения равновесия этой системы могут иметь неединственное решение. Приведена методика применения метода Ньютона-Канторовича для отыскания всех возможных решений.

Рассматрим модель трехосного деформирования кубического образца материала в специальной системе, в которой нагрузки на образец передаются посредством трех стержней. Нагружение полагается активным, квазистатическим, оно ведется при постоянной температуре по жесткой схеме (заданием величин перемещений щ (г = 1, 2, 3) свободным концам стержней).

В ходе нагружения системы грани куба относительно отсчетной конфигурации получают удлинения 6 (г = 1, 2, 3), которые имеют смысл деформаций, определяемых эле-

ментарной теорией. Стержни — линейно упругие, свойства материала куба описываются выпукло-вогнутым потенциалом П(бг) [1].

В этом случае механическая система градиентна и описывается потенциальной функцией Ш, являющейся суммой потенциальных энергий деформаций упругих стержней и потенциала напряжений П. Положение элементов рассматриваемой механической системы определяется конечным числом обобщенных координат [2], которые можно разделить на две большие группы: параметры управления и параметры состояния. Параметрами управления являются задаваемые независимо от других параметров величины(в данном случае перемещения свободных торцевых граней стержней). Остальные же параметры (деформации куба) относятся к классу параметров состояния системы. Упорядоченные системы из трех вещественных чисел [£1,£2,£з] можно рассматривать как элементы трехмерного евклидова пространства состояний М^. Аналогично определяется евклидово пространство управлений М„.

Далее с помощью потенциальной функции Ш получаем уравнения равновесия, связывающие параметры состояния и параметры управления системы. Для этого необходимо приравнять к нулю частные производные функции Ш по параметрам состояния. Получившаяся система уравнений определяет отображение f : М^ ^ М^ пространства состояний в пространство управлений, причем данное отображение обладает особенностями связанными с невыпуклостью потенциала напряжений П [3], т. е. матрица Якоби отображения f вырождена в некоторых точках пространства М^. Это критические точки отображения [3]. Они образуют в пространстве М^ две поверхности. Отображение этих поверхностей в пространство М^ определяет множество критических значений отображения f [3], которое совпадает с сепаратрисой [2] функции Ш. Заметим, что это множество также представляет две поверхности. Сепаратриса делит пространство управлений на области, для точек которых уравнения равновесия имеют одинаковое число решений. Точкам, расположенным вне сепаратрисы, отвечает лишь один прообраз из пространства М^, связанный с отображением

2694

f, и, следовательно, уравнения равновесия имеют только одно решение. Точки из М„, лежащие в области, ограниченной сепаратрисой, имеют по три прообраза в , и уравнения равновесия имеют три решения. Таким образом, отображение f является складывающим отображением по множествам критических значений.

Для нахождения всех решений системы уравнений равновесия при заданных значениях управляющих параметров применяем метод Ньютона-Канторовича [4]. Использование метода предполагает нахождение таких начальных приближений, начиная с которых итерации сходятся [5]. Для выбора начальных приближений разработана специальная численная процедура, основанная на свойствах прямого отображения f и дискретизации пространства состояний сеткой узлов с достаточно малым шагом разбиения. Каждая точка дискретизации отображается в пространство М^, и оценивается ее расстояние до заданной точки управления. Выделяются точки, отображения которых наиболее близки к заданному управлению. Принимая их за начальные приближения, начинаем реализацию процедуры метода Ньютона-Канторовича. Отметим, что для точек из М^, расположенных внутри области, ограниченой сепаратрисой, таких начальных приближений будет ровно три, из каждой области пространства М^, разделенного множеством критических точек отображения f. Таким образом, определяя необходимое число начальных приближений, соответствующих числу решений уравнений равновесия, определяем напряженно-деформированное состояние системы для всех положений равновесия, в т. ч. и для неустойчивых.

ЛИТЕРАТУРА

1. Стружанов В.В., Просвиряков Е.Ю., Бурмашева Н.В. Об одном методе построения единого потенциала // Вычисл. мех. сплошн. сред. 2009. Т. 2. № 2. C.96-107.

2. Гилмор. Р. Прикладная теория катастроф в 2х книгах. Кн. 1. М.: Мир, 1984. 350 с.

3. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов. М.: Наука, 1982. 304 с.

4. Канторович Л.В., Акилов Г.Т. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 742 с.

5. Приближенное решение операторных уравнений / Красносельский М.А. [и др.] М.: Наука, 1969. 456 с.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантом РФФИ (проект 13-08-00186).

Struzhanov V.V., Burmasheva N.V. NEWTON—KANTOROVICH METHOD IN THE MATHEMATICAL MODEL OF A TRIAXIAL STRETCHING OF THE CUBE MADE FROM THE MATERIAL WITH NONCONVEX POTINCIAL

The gradient mechanical system realizing the triaxial stretching of an elementary cube made from the material with a convex-concave potencial is considered. It was shown that equilibria’s equations of this system may have nonunique solutions. The technique of Newton—Kantorovich method’s application for finding all possible solutions is given.

Key words: gradient system; potencial function; equations of equilibria; potencial’s nonconvexity; mapping features; Newton-Kantorovich method.

2695