CC BY
37
Автоматика. Информатика. Управление. Приборы
УДК 536.24:517.967
МЕТОД НЕРАЗРУШАЮЩЕГО ТЕПЛОФИЗИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ ОБРАЗЦОВ МАЛЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ РАЗМЕРОВ ИЗ ТВЕРДЫХ МАТЕРИАЛОВ А.А. Чуриков, Л.Л. Антонова
Кафедра “Автоматизированные системы и приборы”, ТГТУ Представлена членом редколлегии профессором В.И. Коноваловым
Ключевые слова и фразы: интегральные характеристики; малые образцы; методы контроля; неразрушающий контроль; стадии эксперимента; теплофизические свойства.
Аннотация: Представлен относительный метод неразрушающего контроля комплекса теплофизических свойств, основанный на дискретном тепловом воздействии через круглый участок поверхности, приведены его расчетные зависимости. Проведен сравнительный анализ математической модели данного метода с математическими моделями существующих методов, предполагающих тепловое воздействие непрерывным тепловым потоком.
Обозначения
а, аэ - температуропроводность исследуемого и сравниваемого тел, м2/с; g - безразмерный параметр; р - параметр интегрального преобразования Лапласа, с-1;
qн, qд, qдэ - плотности тепловых потоков, Вт/м2;
* *
qд , qдэ - временные интегральные характеристики тепловых потоков, Вт-с/м2;
Qд - удельная тепловая мощность источника тепла, Вт/м2;
Я - радиус нагревателя, м;
г, z - пространственные координаты, м;
г - время, с;
^1, и2, и2э - температуры исследуемого и сравниваемого тел, К;
и* , и 2* , и 2э* - временные интегральные характеристики температур исследуемого и сравниваемого материала, Кс;
1, 1э - теплопроводность исследуемого и
сравниваемого тел, Вт/(мК);
X - параметр интегрального преобразования Ханкеля, м-1.
Аббревиатуры
ВИХ - временная интегральная характеристика;
ПВИХ - поверхностно-временная интегральная характеристика;
ПИХ - поверхностная интегральная характеристика;
ТФС - теплофизические свойства.
Абсолютный и относительный методы неразрушающего контроля комплекса теплофизических свойств (ТФС) (теплопроводности и температуропроводности), разработанные ранее и приведенные в [3, 4, 6], используют математический аппа-
рат интегральных преобразований и характеристик температуры и теплового потока [1]. Основными экспериментальными параметрами данных методов являются временные интегральные характеристики (ВИХ) температуры и теплового потока:
U*(p) = Iе ptU(t)dt; q*(p) = Jе ptq(t)dt, p > 0,
(1)
где и (г) - избыточная, относительно начальной, измеряемая температура исследуемого тела; q(t) - плотность теплового потока; р - параметр интегрального преобразования Лапласа.
Математические модели существующих методов предполагают, что исследуемое тело по отношению к тепловому воздействию является полуограничен-ным, а тепловое воздействие осуществляется непрерывным во время эксперимента тепловым потоком, имеющим постоянную плотность по координате г, т. е. qн (г,г) = qн (г), (г > 0) (рис. 1, а). В этом случае температура в исследуемом образце Щ(г) при гст >> 0 достигает стационарного значения ист (рис.1, б). Для точного вычисления ВИХ и1* (р) вида (1) необходимо измерять ^(г) до момента времени гст ® ¥ . Однако анализ подынтегральной функции /[(г) = и^г)е-рг показывает, что Иш / (г) @ 0 , и, следовательно, существует момент времени,
начиная с которого / (г) с определенной минимальной погрешностью можно считать равной нулю. Обозначим этот момент времени гк1. Применение квадратурных формул Чебышева-Лагерра [1] позволяет находить значение ВИХ и!* (р) с весьма высокой точностью по дискретной информации о температуре за временной интервал [0; гк1], (гк1 @ 300 с), в течение которого должен непрерывно
б) Рис. 1
б) Рис. 2
0
0
^I! 2
Рис. 3
действовать источник тепла. Время достаточно длительное, что способствует распространению тепла, а соответственно и температурного поля, а это может привести к нарушению условия и! (г, z, ¥) = 0 при г, z ® ¥ или г, z >> 0 , что вызывает необходимость исследовать образцы значительных геометрических размеров и не позволяет проводить измерения на малых образцах.
Если ограничить время действия источника теплового потока до момента времени г2 , причем г2 << гк1 , т.е. оказывать тепловое воздействие дискретным тепловым потоком плотностью qд (г) (рис. 2, а), то графики соответствующих
функций и2 (г) и /2 (г) = и2 (г) е-рг будут иметь вид, представленный на рис. 2, б. Обозначим момент времени, начиная с которого /2 (г) с определенной заданной погрешностью можно считать равной нулю, гк2 . Из сравнения графиков функций /1(г) и /2 (г) , полученных из численного анализа, видно (рис. 3), что функция /2 (г) намного быстрее стремится к нулю, чем / (г). Это показывает, что для
нахождения с достаточно высокой точностью значения ВИХ и2 ( р) требуется информация о температуре исследуемого тела и2(г) за более короткий временной интервал [0; гк2 ], гк2 << гк1.
Как известно, важным показателем метода контроля является его производительность, которая определяется длительностью подготовительной и рабочей стадий процесса измерения искомого параметра. Предлагаемый процесс организации нагрева позволяет значительно сократить длительность рабочей стадии эксперимента, а также исключить необходимость контроля величины плотности теплового потока во время всего эксперимента, как видно из рис. 2, что выгодно при сложности измерения этого параметра.
Рассмотрим возникающую при дискретном тепловом воздействии краевую задачу теплопроводности в двух соприкасающихся полуограниченных телах, между которыми, в плоскости z = 0, действует плоский круглый источник тепла радиусом Я (рис. 4):
1 dU2 (r, z, t) _ d2U2 (r, z, t) + 1 dU2 (r, z, t) + Э2U2(r, z, t)
Э/
dr
(r > 0, z > 0, t > 0);
1 Эи2э (r, z, t) _ d2U2э (r, z, t) +1 dU23 (r, z, t) + d2U23 (r, z,t)
dt
dr
dz 2
(r > 0, z < 0, t > 0);
U2 (r, z,0) _ U23 (r, z,0) _ 0;
U2 (r, z, t) ® 0, U23 (r, z, t) ® 0 при r, z ®¥ ;
dU 2 (r, z, t)
dr
_ 0
dU23 (r, z, t)
r _0
dr
_0
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
r _0
a
r
а
r
3
Рис. 4 Физическая модель относительного метода определения комплекса ТФС
А dU 2 (r, z, t)
А,
dz
дU2э (r, z, t)
—q,(r,t) при 0 < r < R, (r t) = Г^д(r,t) при t < ^ (7)
z=0 | 0 при r > R; ^д , I 0 при t > t2;
?дэ (r, t) при 0 < r < R, Г^дэ(t) при t < t2
э dz
?дэ (г,11 д (8)
г=0 ^ 0 при г > Л; [ 0 при t > ?2;
<7д (г, t) + <?дэ (г, t) = бд (0, (9)
где и2 (г, г, t) и и2э (г, г,t) - избыточные температуры исследуемого и сравниваемого полуограниченных тел, соответственно; qд (г, t) и qдэ (г, t) - плотности дискретных тепловых потоков, идущих от нагревателя в исследуемое и сравниваемое тело, соответственно; бд ^) - удельная тепловая мощность источника тепла.
Величины теплопроводности 1э и температуропроводности аэ верхнего (сравниваемого) тела - известные величины.
Из решения системы уравнений (2) - (9) в области интегральных преобразований Лапласа и Ханкеля [2] при предположении, что тепловые потоки имеют постоянную плотность по координате г, т. е. qд (г, Г) = qд (^ и qдэ (г,^ = qдэ (^ ,
*
находим ВИХ температуры поверхности г = 0 исследуемого и2 (г,0, р) и срав-
*
ниваемого тел и2э (г,0, р):
* Rqп* (р)(1 — е р12) ¥ 1
и 2* (г ,0, р) = *д ------------ Г - Jl(RX)Jo(гX)dX , (10)
1 0ь
* Rq* (р)(1 — е р?2) ¥ -
и2э* (г, 0, р) = Чдэ^------------ Г—Jl (ЛХ)Jo (гХУX, (11)
■' о,
э 0 э
где p и X - параметры интегрального преобразования Лапласа и Ханкеля, соответственно; q* (р) и qдэ (p) - ВИХ соответствующих тепловых потоков;
Ь =. X +— , Ьэ = X +--------; Jо и Jl - функции Бесселя первого рода нулевого и
первого порядка.
Рассматриваемые методы [3, 4, 6] основаны на использовании специально выполненных [3, 6] поверхностных интегрирующих преобразователей температуры (интеграторов температуры) (рис. 4), позволяющих получать информацию о температуре всего нагреваемого участка тела (в нашем случае круга) поверхности г = 0, т.е. измерять поверхностную интегральную характеристику (ПИХ) температуры тела
2 К
Я(ґ) =—т Г и(г,0, ґ) г йг. (12)
к2 о
С учетом выражения (12) поверхностно-временная интегральная характеристика (ПВИХ) температуры нагреваемого круга поверхности г = 0 для каждого из контактирующих тел будет иметь вид:
о 2Ядд* (р)(1-е~Р(2) _ (
Я2 (Р) =--- ---1-------V(8(Рй
* 2Яд *( р)(1 - е-Рґ2)
я2э (Р) = ,------ V (Яэ (Р)), (13)
Лэ
где безразмерный параметр:
я ( р) = рК— и Яэ ( р) =(14)
¥ 2 ¥ 2
Г(я(р)) = | /■ ^ , Г&(Р)) = | . (15)
о V т2+я (р)т о 4 т + яэ (р)т
Для нахождения расчетных зависимостей вводим безразмерную переменную х = р?2 и параметрическую функцию Ш (я, х) = (1 - в~х )У (я), тогда
* 2Ядд* (р)Ш (я, х) * 2^?дэ*(р)Ш (Яэ, х)
^2 (р) =--- —:----------, ^2э (р) =----- —;------------ ■ (16)
э
Для двух различных значений параметра интегрирования р и кр (к > ■), с учетом равенства Qд*(р) = дд*(р) + д*э(р), получаем уравнение неразрушающего контроля безразмерного параметра я [5]:
(кр) 1э
0 ° ^*(крГ2^(кяэ,кх) = Ш(Я,х) ° ф(я,х,к). (17)
Qд* (р) 1э Ш (кя,к х)
^* (р) 2ЯШ (я э, х)
a
Оэ
a
a
э
Левая часть уравнения (17) определяется расчетным путем на основании данных, полученных из результатов экспериментальных измерений, и известных данных (Я, 1э, яэ, к, х). Правая часть уравнения не зависит от экспериментальных данных, и функция Ф(я, х, к) может быть рассчитана для любых я, к и х. Из неявной зависимости (17) для заданных фиксированных к, х и экспериментально определенного значения 0 находится параметр я, по численному значению которого определяется величина температуропроводности
рЯ2 а =-----.
g
Величина теплопроводности материала вычисляется по найденному значению я по формуле [5]
1 = 2R
'•‘э
S2* (p) 2RW (g3, t)
W (g, t). (18)
Таким образом, введенное дискретное тепловое воздействие не усложняет математическую часть метода при решении многомерной задачи теплопроводности, но при этом позволяет сократить длительность активной части теплофизического эксперимента и теплового воздействия, что дает возможность исследовать образцы малых геометрических размеров. Данный подход, кроме того, позволяет увеличить точность метода за счет варьирования большего числа параметров (таких как (2 , Я, к, р, 1э, аэ), определяющих оптимальный режим проведения неразрушающего теплофизического контроля.
Список литературы
1 Власов, В .В. Теплофизические измерения : справочное пособие /
B.В. Власов, Ю.С. Шаталов, Е.Н. Зотов. - Тамбов: ВНИИРТмаш, 1975. - 256 с.
2 Карташов, Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел / Э.М. Карташов. - М.: Высшая школа, 2оо1. - 55о с.
3 Власов, В.В. Метод и устройство неразрушающего контроля теплофизических свойств материалов массивных тел / В.В. Власов, Ю.С. Шаталов, А.А. Чуриков // Измерит. техника. - 1980. - № 6. - С. 42-46.
4 Мищенко, С .В. Метод неразрушающего контроля при исследовании температурной зависимости теплофизических характеристик массивных образцов /
C.В. Мищенко, А.А. Чуриков, В.Е. Подольский // Вестник ТГТУ. - Тамбов: ТГТУ, 1995. - Т.1, № 3-4. - С. 246-254.
5 Антонова, Л. Л. Теоретические основы экспресс-методов неразрушающего теплофизического контроля керамических материалов / Л. Л. Антонова // Теплофизические измерения при контроле и управлении качеством: Материалы пятой международной теплофизической школы: в 2 ч. Тамбов, 2оо4 г. / ТГТУ. Тамбов, 2004. Ч.1. - С. 135-137.
6 Чуриков, А. А. Методы и средства неразрушающего контроля теплофизических свойств изделий и образцов из неоднородных твердых материалов : дис. ... д-ра техн. наук / А.А. Чуриков. - Тамбов, 2000. - 650 с.
Method of Non-Destructive Thermophysical Control over Samples of Small Geometrical Size Made from Solid Materials
A.A. Churikov, L.L. Antonova
Department “Automated Systems and Devices”, TSTU
Key words and phrases: integral characteristics; non-destructive control; thermo-physical properties; methods of control; experiment stages; small samples.
Abstract: The relative method of non-destructive control over the complex of thermo-physical properties which is based on discrete thermal influence through round surface area is shown; its calculating dependencies are given. The comparative analysis of mathematical model of the given method and the mathematical models of the existing methods based on thermal influence by continuous heat flow is carried out.
Methode der warme-physikalischen Unbruchkontrolle von Mustern der kleinen geometrischen Gr6Ben aus den Hartstoffen
Zusammenfassung: Es ist die auf der diskreten Warmeneinwirkung durch den runden Flachenbereich gestutzte beschreibende Methode der Unbruchkontrolle des Komplexes der warme-physikalischen Eigenschaften gezeigt. Es sind seine Kalkulati-onsabhangigkeiten angefuhrt. Es ist die Vergleichanalyse des mathematischen Modells dieser Methode mit den mathematischen Modellen der vorhandenen Methoden durchge-fuhrt.
Methode du controle non-destructif thermophysique des echantillons de petites dimensions geometriques des materiaux solides
Resume: Est montree la methode du controle non-destructif de l’ensemble des proprietes thermophysiques qui est fondee sur l’interaction thermique discrete a partir de la partie ronde de la surface; sont citees ses dependances de calcul. Est effectuee l’analyse comparative du modele mathematique de cette methode avec les modeles mathematiques des methodes existantes supposant l’interaction thermique par le courant thermique continu.
