Метод математического моделирования тепловых источников в термоэлектрических элементах Пельтье Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 08б8-588б

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2ÜÜ4, том 14, № 1, с. 51-57

ОРИГИНАЛЬНЫЕ СТАТЬИ

УДК 621.57+ 536.24+ 615.478.5

© О. В. Белова, А. В. Чернышев

МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕПЛОВЫХ ИСТОЧНИКОВ В ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТАХ ПЕЛЬТЬЕ

Статья посвящена математическому моделированию физических процессов в исполнительных устройствах на базе термоэлементов Пельтье, работающих в динамическом режиме. Выведены аналитические выражения. Указан метод их решения — численное моделирование.

ВВЕДЕНИЕ

Исследования термоэлектрических свойств полупроводниковых веществ были начаты в нашей стране академиком А.Ф. Иоффе, которого теперь называют "отцом" нобелевских лауреатов [1]. Эта область физики твердого тела и по сей день является одной из наукоемких и требующих теоретических и экспериментальных разработок. Одним из промышленных воплощений термоэлектрических эффектов является термоэлектрическая батарея (ТЭБ), состоящая из полупроводниковых р—п-термопар.

В термобатарее реализуется термоэлектрический эффект Пельтье — возникновение перепада температур на ветвях термопары при подключении источника тока. Термобатареи, состоящие из термопар, в зависимости от полярности подключения могут работать как на нагрев, так и на охлаждение рабочего спая. Термобатареи, чьи характеристики оптимизированы только на эффективное охлаждение, называют термоэлектрическими микроохладителями (ТЭМО) [2-4].

Спектр применения ТЭБ в устройствах термо-статирования велик. В последнее время они стали применяться в устройствах, где требуется как тер-мостатирование с высокой точностью, так и циклический нагрев и охлаждение объекта.

Одним из таких устройств является применяемый в области технологии живых систем ампли-фикатор ДНК [5].

Подбор термобатареи для устройства термоста-тирования требует знания основных характеристик:

• номинального напряжения и (В);

• номинальной силы тока I (А);

• номинальной мощности Ж (Вт);

• холодопроизводительности Q0 (Вт) — при нулевой нагрузке на рабочем спае;

• сопротивления Я (Ом).

Таким образом, для применения стандартной ТЭБ в конкретном техническом устройстве необходимо провести расчет холодо- или теплопроиз-водительности батареи при работе с тепловой нагрузкой и в условиях теплообмена.

Подобные методики расчета описаны в [2-4] и в случае стационарных условий нагрева или охлаждения дают результаты с инженерной точностью.

При аналитических расчетах рассматриваются изолированные термопарные элементы. Холодо-производительность находится по формуле

1 2

Qx = а IТ х - -12 Я, (1)

где Тх — температура холодного спая (К); а — коэффициент термо-ЭДС; I — сила тока в цепи (А); Я — сопротивление термоэлемента (Ом).

Далее используются номограммы для определения требуемого качества термопар. В случае уточнения расчета возможен учет:

• эффекта Томсона (эффекта возникновения дополнительной термо-ЭДС в результате градиента температур в ветви термопары);

• коммутационных пластин и слоев;

• нагрузки на спае (массы);

• коэффициентов теплоотдачи на спаях.

Однако применяемые расчетные формулы не эффективны по сравнению с возможностью расчета и использования численных методов и ЭВМ.

В 1991 г. ТЭБ стали применяться в качестве источника нагрева/охлаждения в устройстве, называемом амплификатором ДНК. Особенности работы амплификатора связаны с тем, что он является биотехнической системой, а следовательно, требует прецизионной точности поддержания и изменения температуры объекта нагрева/охлаждения во временных интервалах, измеряемых секундами.

Конструктивная схема амплификатора ДНК

Рис. 1. Принципиальная схема прецизионного, программируемого устройства нагрева /охлаждения

на ТЭБ представлена на рис. 1. Острая необходимость в разработке различных схем амплификато-ров с использованием ТЭБ потребовала создания методики численного расчета с целью моделирования рабочих процессов на виртуальной модели для создания эффективных устройств по следующим параметрам:

• точности поддержания температуры;

• потребляемой мощности;

• надежности работы ТЭБ (долговечности);

• рассеиванию тепла;

• уменьшению уровня шума;

• снижению расходуемых материалов;

• снижению себестоимости изделия.

Известные модели, в основе которых лежат зависимости типа (1), позволяют с достаточной степенью точности рассчитывать процессы в термоэлектрических устройствах, работающих в стационарном режиме (в условиях термодинамического равновесия, при этом параметры системы не зависят от времени). В данном устройстве время переходных процессов сопоставимо со временем стабилизации температуры, следовательно, подобный подход не применим для моделирования рабочих процессов.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Построение методики расчета термоэлектрического устройства в динамическом режиме заключается в разработке подхода совместного решения задачи нестационарной теплопроводности и теплообмена всех элементов и задачи описания термоэлектрических эффектов в ТЭБ методами неравновесной термодинамики [6]. Графически структура математической модели может быть

представлена в виде, как на рис. 2.

Получение нестационарных уравнений тепловых источников в термоэлектрических элементах в зависимости от вектора плотности тока базируется на принципах, предложенных Осиповым [7]. Рассмотренный Осиповым вывод уравнения сохранения энергии для случая работы термопарного элемента в стационарном режиме был применен в данной работе для вывода нестационарных уравнений тепловых источников в термоэлементах.

Эффект охлаждения в твердом теле возникает в результате протекания по нему потока заряженных частиц (например, электрического тока), который непосредственно создает направленный тепловой поток и соответственно градиент температуры в охладителе (рис. 3). К этой группе можно отнести термоэлектрические эффекты, включая различные анизотропные, магнитотермоэлектрические и гальванотермомагнитные эффекты с учетом увеличения носителей заряда фононами; эффект охлаждения за счет переноса тепла инжектированными через р—п-переход неосновными носителями и др.

Эта группа физических эффектов охлаждения имеет ту особенность, что на их основе можно создать охладители непрерывного действия.

Рис. 2. Графическое представление математической модели расчета теплового блока амплифика-тора

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Закон сохранения энергии в нестационарном случае [7] имеет вид

= -.(цп )<Ш + |м0 — ¿Я + е.ф ¿Я +

V V

+ е|(]Е>1Я , (2)

V

где изменение энергии в элементарном объеме происходит по нескольким причинам:

1. За счет потока тепла через поверхность объема V

- |(цп)с1П;

перейдем в первом интеграле к интегрированию по объему, тогда в соответствии с теоремой Гаусса получим

-1 (ц п)Ю = - .Ну ц 1Я , (3)

V

где 1Я — элементарный объем.

2. За счет притока частиц (например, электронов и дырок)

.1 ^о 17 ,

V

где ^о — химический потенциал.

3. За счет перераспределения электрических зарядов, которое определим из выражения для потенциальной энергии частиц в объеме V, находящихся в электрическом поле с потенциалом ф ,

V

где е — электрический заряд частицы; отсюда следует, что изменение энергии за счет перераспределения частиц равно

.фе1Я = е.фм 1Я.

V V

Второй и третий интегралы можно объединить, если воспользоваться выражением для электрохимического потенциала

ио— 1Я + е.ф ёЯ=\д 1Я, (4)

* dt * dt * dt

V V V

где д — электрохимический потенциал, Д = д0 + + еф . Если в дифференциальной форме баланса частиц [7]

---+ 11у 1 = Ь

рассматривать случай отсутствия источника частиц, то, положив в уравнении Ь = 0, получим

Тогда выражение (4) преобразуется в

= -|(Иу ^Ц. (5)

V

4. За счет работы, произведенной электрическим током,

|(е 1Е)1Я = е|((Е)(1Я, (6)

V V

где 1 = ](х, у, 2, t) — плотность потока частиц, носителей электрических зарядов; Е — напряженность электрического поля. Четвертый интеграл можно преобразовать, подставив вместо напряженности электрического поля его выражение через градиент электрохимического потенциала:

Е=-1Уд.

е

Получаем

е.(1Е)1Я = -.(1Уд)с1Я. (7)

Введем плотность энергии ^ . Тогда

си^

dt

. ^ ся.

л dt

(8)

Таким образом, закон сохранения энергии в нестационарном случае можно записать

| -СС^- dЯ = -. Ну я 1Я

|(ц&у ,1)СЯ-|((Уц)СЯ.

(9)

Тогда

11у Я = ^Т~ =--^ Хгк + е^П гк]к . (12)

Эх,

дхг Эх,

дх,

Используя обобщенный закон электропроводности (10), учитывая, что ст = ^^, можно записать

Рэ

1 дц ЭТ

----= Ег = Рэ,кеук +агк ,

е ох, ох.

(13)

В каждой точке системы существуют плотности потоков тепла и частиц, определяемых обобщенными законами электропроводности и теплопроводности:

е] = -1 ст Уц - ста УТ, е

Я = -ХУТ + Пе],

(10)

(11)

где рэ — удельное электрическое сопротивление (Ом/м).

Тогда для третьего члена в уравнении (9): дц 2 дТ

]УЦ = У г ^- = -е Ргк]к]г - еа,к^Уг . (14)

дх, дхк

Аналогично для второго члена уравнения (9) можно записать

где вводятся следующие тензоры:

ст — удельная электропроводность;

а — термо-ЭДС;

X — коэффициент теплопроводности;

П — коэффициент Пельтье.

Кинетические коэффициенты ст , а , X и П не зависят от градиентов температур и электрохимического потенциала, а определяются свойствами конкретного материала. Между компонентами этих кинетических тензоров существует определенная связь, вытекающая из статистической механики. Эти связи называются соотношениями Онзагера:

СТгк = СТкг ,

Хгк = Хкг ,

которые показывают, что в отсутствии магнитного поля тензоры ст и X симметричны, а также

П ,к = Такг ,

которое связывает между собой компоненты тензоров Пельтье и термо-ЭДС.

Выражение (11) представляет собой обобщенный закон теплопроводности, т. к. учитывает перенос тепла, обусловленный не только градиентом температуры, но и переносом энергии частицами. Поток тепла Пельтье возникает благодаря переносу потоком частиц энтропии.

Для анизотропных тел выражение (11) раскрывается как

дТ ^ .

Я г = -Хгк^~ + еП гкУк .

ох.

Ц11у 1 = Ц^т-.

ох,

(15)

Векторы ] = [/,0,0] и п = [1,0,0]. Подставляя выражения (12), (14) и (15) в уравнение (9), получаем следующую формулу закона сохранения энергии в нестационарном случае для однородной термоэлектрически анизотропной среды:

Г1 Э дТ д „ .

II -Ч~Хгк^-----+ еЧ~ П гкук

I ох, ох. ох

дхг

СЯ +

СЯ +

V V У

гГ 2 дТ

+ 11 - е р,куку, - е а,к ~—Л

дх

к

СЯ.

(16)

Поскольку тензор Пельтье зависит от температуры

Пгк = Пгк (Т),

получим

0

-ч П гк ]к

ох,

(дПк } дх,

дП ,к дТ_ дТ дх,

Ук +Пг,

У.

дх,

(17)

+

Т

Если рассматривать однородные термоэлектрически анизотропные проводники, то

П* =П* (т),

"дПіл

дхі

= 0

Тогда уравнение (17) перепишется как

Э . ЭП* дт . ^ д/

о Пік.к = дт о /к +Пік о •

дх, от дх, ох.

(18)

Таким образом, уравнение закона сохранения энергии можно переписать в виде

о от

'4~%ік^— + Ох,. дх.

+ е

ОП ік от

дт дх

дх

ая +

+ 1|ц

—

дхі

ая +

дт

+ [ I - Є Рік/к/і - еаік 'дх_/г'

ая.

(19)

о от 2

Ч-ХгкЧТ + е Ргк/к/г

ох,. ох.

ая—

оп к от

■ — а,-.

от . д/к а/

------/ і — еП ^ — — Ц —

к

ох ох ах

ая.

Здесь

оп к от

(20)

тензор коэффициента Томсона, называемый также первым соотношением Томсона. Поэтому

Г * ая=Г J 4г J

о от 2

Ч-ХікЧ— + Є Ргк/к/г

ох охк

от

— ЄТгк^/г — еПі1

ох

о/к

ох

а/

ах

ая.

(21)

Первый член правой части уравнения (21) представляет собой плотность тепла, выделяющегося в единицу времени за счет теплопроводности, второй член — плотность тепла Джоуля, третий и четвертый члены являются соответственно плотностями тепла Томсона и тепла Бриджмена. Пятый выражает выделение тепла при изменении плотности тока.

Коэффициент Томсона можно выразить, воспользовавшись соотношением Онзагера, которое еще называют вторым соотношением Томсона, и выражением (20):

т Т (дагк (22)

'* = 1Т (22)

В случае однородной изотропной среды

Хгк = Х(Т)5,к , Р гк = Рэ^,к , Тк = Т(5гк , Пгк = П5гк .

Тогда при суммировании в (21) остаются только диагональные элементы

о Лт )дт + 2 (т).. от . П д/

^ + е Рэ(т)/г/г — еТЧ~/і — е^ ох ох ох ох

[ц—ая.

ах

ая+

Вносим в правой части все выражение под знак интеграла и упрощаем подынтегральное выражение

ах

Примем для нашего случая Сх, = Су . Тогда уравнение сохранения запишется в виде

[

-д- х(т ут + е2 Рэ (т)/2 —

оу ду

дт . п д/ — ет— / — еП — ду ду

ая +

+ [ ц—ая. [ 4у

(23)

Таким образом, получаем уравнение для нахождения интегрального баланса энергии в бесконечно малом контрольном объеме полупроводникового изотропного элемента с током в нестационарном режиме работы.

Если на данном отрезке времени изменения плотности тока не происходит, то выражение для сохранения энергии упрощается и принимает вид

т

+

е

аік = т ік

д , \ЪТ 2 / ч ,2 ЭТ .

д-Х(тЬ- + е Рэ(Т)] - ет^~] ду ду ду

СЯ .

Подставляя соотношение Томсона из (22), в случае для изотропной среды получим

I

^хТ+ е2Рэ(Ту -

ду ду

- еТ МЗ К]

дТ ду

СЯ.

(24)

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

В уравнении (24) записаны тепловые источни-

ки:

Джоуля

Ядж =е 2 р(т ) ]2;

Пельтье—Томсона

Я П-Т = еТ

да(Т) дТ

дТ

"ду] .

(25)

(26)

Уравнение (25) позволяет проводить тепловой расчет с учетом источников в полупроводниковых элементах в нестационарных условиях, а также изменять:

• теплофизические свойства полупроводников;

• электрические свойства полупроводников;

• закон изменения во времени плотности тока.

Полученное уравнение входит в состав математической модели, структура которой графически представлена на рис. 2. Данная математическая модель имеет только численное решение, реализуемое с помощью гибридного метода контрольного объема [8, 9]. Как было показано, дискретный аналог нестационарного уравнения энергии для твердого тела имеет вид

аРТР = аиТИ + а8Т8 + аЖТЖ + аЕТЕ +

+ аЫЕТЫЕ + аЖ5ТЖ5 + аРиТРи + аРЭТРЭ + Ь,

где

аР = аИ + а5 + аЖ + аЕ +

+ ау + аРи + аР0 + а - 5Р ДV; ак =Хк!(8у)к, К = И, 5, Ж, Е,У ;

296.079

306.059

311.049

286.099

306.059

1316.039

1321.029

Рис. 4. Градиент температуры по высоте элемента Пельтье (ЛЬ — алюминиевая подложка, Си — медные спаи, Р-Ы — эквивалентный (усредненный) полупроводниковый слой)

(5 у )к — расстояние между узлами К и Р;

.Х7 «к

Р 5

5Ри

1^|х7 151;

7 - 7

Р ^РП 5

О р

Ь = 5С ДУ + а *ТР *;

* Р с ДУ

а =-

Дт

Тепловой источниковый член 5Т = |5С + 5Р • Т для полупроводникового слоя описывается термоэлектрическими источниками (25) и (26), представленными в конечно-разностном виде.

Таким образом, мы получили методику, которая позволяет моделировать неравновесные термоэлектрические процессы в дифференциальной форме, с минимальными допущениями, с возможностью учета температурных зависимостей свойств полупроводниковых материалов.

Полученный метод позволил провести математическое моделирование процессов в термоэлектрическом амплификаторе. Сравнение полученных результатов численного моделирования и экспериментальных данных показало адекватность

аРи =

аРП =

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Иоффе А.Ф. Полупроводниковые термоэлементы. М.—Л.: Изд-во АН СССР, 1956. 188 с.

2. Анатычук Л.И. Термоэлементы и термоэлектрические устройства: Справочник. Киев:

Наукова думка, 1979. 740 с.

3. Зорин И.В., Зорина З.Я. Термоэлектрические

холодильники и генераторы. Л.: Энергия,

1973. 136 с.

4. Коленко Е.А. Термоэлектрические охлаждающие приборы. М.—Л.: Изд-во АН СССР, 1963. 190 с.

5. Чернышев А.В. Основы теории расчета элек-тропневмомеханического оборудования для анализа ДНК // Научное приборостроение. 2002. Т. 12, №1. С. 53-65.

6. Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М.: Мир, 1964. 456 с.

7. Осипов Э.В. Твердотельная криогеника. Киев: Наукова думка, 1977. 236 с.

8. Чернышев А.В., Белова О.В. Метод решения сопряженной задачи конвективного теплообмена на примере термостатирующего устройства // Вестник МГТУ, Сер. Машиностроение. 1998. № 4. С. 77-87.

9. Белова О. В. Разработка метода расчета и исследование прецизионных устройств нагрева и охлаждения. Дисс. ... канд. техн. наук: 05.04.06. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. 104 с.

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана

Материал поступил в редакцию 10.11.2003.

MATHEMATICAL MODELING OF HEAT SOURCES IN PELTIER THERMOELECTRIC ELEMENTS

O. V. Belova, A. V. Chernyshev

N.E. Bauman Moscow State Technical University

The paper is devoted to mathematical modeling of physical processes occurring in actuators based on Peltier Thermal elements in the dynamic mode. Analytical expressions are derived and an approach to their solution using numerical modeling is proposed.

380

360

T,

К 340 320 300 280

260 240

0 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000 8.000 9.000 10.000

^ с

Рис. 5. Результаты расчета температуры пластины-держателя и радиатора по созданной методике

созданной модели. Примеры результатов расчета представлены на рис. 4 и 5.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для расчета исполнительного устройства на термоэлектрических элементах Пельтье в динамическом режиме была разработана математическая модель и методика расчета тепловых источников. Методика позволяет численно моделировать термоэлектрические источники в дифференциальной форме, с минимальными допущениями, с возможностью учета температурных зависимостей свойств полупроводниковых материалов.

ail IU

1

1 1 — температура радиатора 2 — температура пластины-держателя в одномерном расчете 3 — температура пластины-держателя в трехмерном расчете -

jN

У 3

2

к-