Метод коррекции нечетких логико-лингвистических моделей в условиях неизменности экспертных оценок Текст научной статьи по специальности «Математика»

Метод коррекции нечетких логико-лингвистических моделей в условиях неизменности экспертных оценок

С.М. Жиряков

Московский государственный технический университет им.Н.Э.Баумана, ИУ-7

[email protected]

Применение экспертных систем, базирующихся на нечетких логикопродукционных моделях, в силу слабой формализации задачи может приводить к получению практически неприемлемых решений. В такой ситуации возникает необходимость скорректировать модель. При этом возможность модификации характеристик лингвистических переменных (количество термов и их характеристические функции) и продукционных правил достаточно ограничена, поскольку в них заключена семантика терминов предметной области и знания эксперта. По этой причине использование различных методов настройки параметров нечеткой модели, таких как гибридный подход с применением нейронных сетей, генетические алгоритмы неприемлемы.

ГЛ V-» V-»

В данной статье предложен метод построения дополнительной логиколингвистической модели поправки решений ¥кор = (Л+ ,п+ ,рмод) на основе набора контрольных прецедентов принятия решения. В модели ¥кор используется модифицированный алгоритм вывода Суджено, обеспечивающий устранение ошибок решения в локальных областях пространства входных переменных.

Для модели поправки решения ¥кор = (Л+ ,п+ ,рмод) определим лингвистические переменные-поправки Л+ и их термы, продукционные правила ж+ осуществления поправки и модификацию алгоритма Суджено <рмод для вывода значения поправки.

Пусть множество PZ = {pt (x1,..., xN, z) 11 = 1, TZ} определяет радиус-векторы точек входных данных, в которых заданы прецеденты решения для выходной переменной Ъ, зависящей от X1,X2,...,XN. Каждый вектор pt задает значение неизвестной функции z(x1,.., xN), определяющей истинную зависимость Ъ от X1,Х2,...,XN.

Локальную область поправки решения будем называть зоной О =< B, C >, где C -радиус-вектор основания зоны, с є PZ; Б = {&,,...,Ъы}- система из N линейно независимых векторов (базис зоны), причем Ьі = р( - С.

Областью определения зоны Бе/ О будем называть зону в пространстве Х1 х Х2 х... х XN, равнуюБе/О=<Б0,с0 >, где с0, Ь10,...,Ь0 - ортогональные проекции соответствующих векторов О на пространство Х1 х Х2 х... х Хы. Также определим зону Ск =<{Ь1 , Ъ2,..., Ък-1, Ък+1,..., Ъы}, С > где, к = 1, N, являющуюся гранью зоны О, расположенной «напротив» вершины с радиус вектором Ък. Грань, расположенная «напротив» основания зоны О, определяется зоной

Со =<{ Ъ2 - Ъ1 , Ъ3 - Ъ1 , . . ^ - Ъ1 }, С + Ъ1 > .

Для аппроксимации целевой функции z(x1,..,хм) по аналогии с [1] будем использовать последовательное приближение в виде

ф^., % ) = 1іт]Г £ ^ (х), где (1

, п \ п

/=1 п=1

/ - порядок (уровень) приближения,

81п (хп) - вклад переменной хп в значение ъ на 1-ом уровне приближения.

Применительно к этапу логического вывода Суджено [2] формула (1) обеспечивает приближение к функции г(х1,..., хм) на первом и единственном уровне

приближения при 51п (хп) = кпхп.

Для получения приближения на уровнях / > 2 необходимо обеспечить разбиение зоны первого уровня приближения (где / - уровень разбиения, с1 - индекс зоны на

уровне /) с учетом следующих требований

Ве/ О = и Бе/ О/+1, (2

Бе/ О|+1 п Бе/ О/+1 = 0, при \ * | )

Для обеспечения сходимости (1) по аналогии с определением базисных функций Фабера-Шаудера необходимо

(VI е N)(((3</ £ N)((х1,..., х„) е Ве/ О)) ^ , ’ * <>№ = 0)). (3

)

Учитывая замечания (2) и (3), этап логического вывода Суджено [2] может быть модифицирован в соответствии с выражением

Б

N Ь Е А (Х1 — XN )^ )

ї = ї* +Е + Е^---------------------------Б-, где . (4

і=1 /=1 Е А (xl,..., хм)

а=1

ахі, - значения степеней истинности для каждого терма левой части

правила;

°хі^2 - коэффициенты влияния переменных Хі на выводимую переменную Ъ; г * - базовая поправка;

р1й - определяет принадлежность точки входных данных

(х1,...,хм) к области поправки О1а /-ого уровня;

81й - поправка решения, полученная от области О\ /-ого уровня.

Введение коэффициентов влияния вместо коэффициентов Суджено

позволяет провести сравнительную оценку вклада каждой определяющей переменной

С» С» С» ГП л

из левой части правила на значение выводимой переменной. Тогда, при ^0

С» Т7- С» С» Г7 /" С»

вклад переменной Хі на значение выводимой переменной Ъ в области действия правила мал и переменную Хі из правила можно исключить.

Для вычисления поправки 51й необходимо выразить вектор поправки

X + = (х1,..., хм, / (х1,..., хм)) = (х1,..., хм, //-1 +51й) в координатах базиса зоны О1а

х + - Си = Ё апЬп = Ё О, Й + ) = Ё апК + Ё апЬп , где (5)

п=1 п=1 п=1 п=1

//-1 - величина поправки, полученная с учетом предыдущих (/-1) уровней,

Ь0 - базисный вектор зоны Бв/ О, соответствующий вектору Ъп ,

ЬП - ортогональная составляющая вектора Ьп относительно пространства

Х~хХ2х..хХ,.

Преобразуя (5), поправка в решение, создаваемая зоной может быть выражена

К (X1,..., XN ) = і kdnXn + К, где

(б)

n=l

N

к\ = Ь1 VЬ.1 , 81 = с" - V Ъ^е, , V Ь - .

а,п п .,п ’ а I а / 1 п I,а,п ],п

] =1 Я=1 У=1

Принадлежность ^ точки входных данных (х1,...,хм) к области поправки 0,‘а Iого уровня может быть получена при условии ее расположения во внутренней области зоны Бв/ 0!а относительно каждой грани О0к. При к = 1, N данное условие может быть выражено с помощью вспомогательной функции дк в виде условия

qk (^..^ xn ) = 1xq - q k > 0, при

i=l

j=1

(7)

ґ N-1 ( N-1 Л Л

Z Z gk on, p gk о p,m • gk,m , j, b

V m=l V p=1 У

N N ( N-1 (N-l Л Л

gk =^c',d bk ,i -z z z gk • gk о n,p о p,m • gk,m • bk,j

i=l j=l V m=l V p=; У У

где g

p,m

элемент матрицы

m )-1.

При k = 0расположение точки (x;,...,xN) с внутренней сторонні зоны Def Qld относительно грани G00 выражается с помощью вспомогательной функции а в виде условия

N

а(Xl,...,Xn) = 1 xtst -g є[0,1], где (В)

N ____ N N

i=l

= Z j. i = 1. N,

= z (Z b- >c“.

Таким образом, принадлежность р1й точки входных данных (х1,...,хм) к области определяется из (7) и (8) в соответствии с выражением

р1 (х х ) _1Х Як О^..^ хм) ^ 0(к = 1 #) и ^(xl,..., ) є [0,1] ,ОЛ

р (х1,..., хы) ^ (9)

[ 0, иначе.

Для реализации расчета поправки (4) в соответствии с (7) и (8) в модель поправки решения ¥кор _ (Л+ ,п+ ,рмод) необходимо добавить правила п+ вида

(10)

Если (Rxl = T £ )u...u(RxN = TlZ )Т°^ = Tl,d ) , k = 0, N

Если (G0 = T1Gd0 )и..и (Gn = T1GdN ) То (Q = T°)

1,d

-Q

1,d )

Если (Q = T^u(DXi = TDx;)u...u(DXn = TDf )Тоф, = TD) Если (D; = TD; )и...и (DL = TDl )Гоф = D; +... + Dl )

(11)

(12)

(13)

k

k

s

j=l j=l i=l

Для определения положения термов модели поправки решения ¥кор = (Л+ ,п+ ,рмод) будем использовать термы треугольного Тгп(/, т, г)

трапециевидного Тгр(1, т1, тг, г) типа [2] (см. Рис.2).

и

1

Тгп(1,т,г)

1

Тгр(ї,тї тг,г)

I т г I т, т г

I г

Рис.2. Виды характеристических функций в модели поправки решения

Правила (10) и (11) локализуют точку входных данных внутри зоны 0,‘л.

Для случая к = 1, N термы Т^ переменных Ях1 (/ = 1, N) в (10) имеют для любой

зоны О* =<[Ь^Ь1/},с14 > треугольный вид Тт(Цп,М1{п,Я‘’п), где Цп = шіп(сгм, Ь\л) я‘’п = шах(см, Ь\л) М\’п = Ь\4

оКп к

N ( N-1 ( N-1

= (Я,п - 4п )2 X 2 & ■ ~к

Л

Л

п,р о р,т

у=1 ^ т=1 ^ р=1

■ £

і,т

ї 4

'и і

(14)

Для случая к = 0 термы Т /0 переменных Яхі (і = 1, N) имеют вид 4- = шп(с", Ь1* ) Я,п = шах(с^, Ь‘* ) М‘,п = С

_ї ,*

=(%'• - і;,п )2 ь-1

ї,п ї,п

и^ок

(15)

і=1

Характеристические функции терма Т( имеют вид

Тгп(0,0,+<х>) для к = 1, N Тгр(0,0,1,1) для к = 0

°ок

= 0.

(16)

Для правил вида (12) положение характеристических функций термов Т°х задается характеристическими функциями треугольного вида Тгп(Ц,п,М\,п, Я.,п), где = шп(с", Ьї* ) Я,п = шах(сї*, Ьї* ) М‘,п = Ь.

и^ак = (Я'п -4")№,„,£І -/н)>где

(17)

і=1

/»/—1 —— / ^

/ - значение поправки в решение для точки входных данных с , полученной

с учетом (/-1) уровня поправок.

Таким образом, определенная модель поправки решения ¥кор = (Л+ ,п+ ,рмод)

позволяет устранять ошибки решения в исходной логико-лингвистической модели.

Коррекция решения осуществляется в окрестностях пространства входных данных,

заданных контрольными точками прецедентов принятия решения. Модель поправки

¥кор обеспечивает неизменность смысловой нагрузки лингвистических терминов и

продукционных правил, введенных экспертом.

Список литературы:

1. Голубков А.Ю.Построение внешних и внутренних функций представления непрерывных функций многих переменных суперпозицией непрерывных функций одного переменного // Фундамент. и прикл. матем.- 2002 .- № 8, вып. 1.- с.27-38.

2.Круглов В.В., Дли М.И. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети.-

М.: Физматлит,2001.-224с.