Метод конструктивной анизотропии для подкрепленных оболочек с учетом переменной жесткости ребер и различных свойств материалов Текст научной статьи по специальности «Физика»

-►

СТРОИТЕЛЬСТВО

УДК 693.22

В.М. Жгутов

МЕТОД КОНСТРУКТИВНОМ АНИЗОТРОПИИ

ДЛЯ ПОДКРЕПЛЕННЫХ ОБОЛОЧЕК С УЧЕТОМ ПЕРЕМЕННОЙ ЖЕСТКОСТИ РЕБЕР И РАЗЛИЧНЫХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ

Рассматриваем тонкие ребристые оболочки общего вида, подразумевая достаточно широкий класс оболочек наиболее важных частных видов: пологие на прямоугольном плане, вращения (например, сферические, конические, цилиндрические, торообразные) и другие оболочки [1].

Срединную поверхность обшивки оболочки толщиной к принимаем за отсчетную поверхность х3 = 0 . (Под обшивкой ребристой оболочки понимаем оболочку с мысленно отрезанными ребрами.) Координатные линии ^ и х2 криволинейной ортогональной системы координат (-а/2 <Х1 <а/ 2 и -Ъ/2 <х2 <Ъ/ 2) направляем по линиям кривизны (параллелям и меридианам в случае оболочек вращения), а ось х3 — по внутренней нормали отсчетной поверхности так, чтобы система координат Х1, х2, х3 была правой.

Элементы длин дуг координатных линий хх, х2 и оси х3 определяем по формулам [1—3]

dl1 = Hxdxx; dl2 = H2dx2 ;

dl3 = H3dx3 = dx3,

ризующей распределение ребер по оболочке, их конечную ширину и высоту [1, 4, 5]:

H (Xi, x2) -

M

j=1

- £ hf S(xi - x/) + ¿h}1^x2 - x2)-i=1

N M _ . _ .

-££hijs(x1 -x{)S(x2 -x2), i=1 j=1

(1)

где Hx = Hx(xx,x2), H2 = H2(xx,x2), H3 = 1 — метрические коэффициенты Лямэ. При этом Hx и H2 зависят от вида оболочки. В частности, Hx = H2 = 1 для пологих оболочек (и пластин); Hx = const и H2 = H2(xx) в случае оболочек вращения.

Со стороны вогнутости оболочка подкреплена ребрами жесткости (например, шпангоутами), расставленными вдоль координатных линий.

Ребра задаем дискретно с помощью ступенчато-гладкой функции H = H (xx, x2), характе-

где hP (1 < i < N) и h(2 (1 < j < М) — высоты ребер, подкрепляющих оболочку в направлениях координатных линий, соответственно х и x2; N и М — количества ребер подкрепления в направлениях х и х2 соответственно; hj = min (h(1), h(— высота фигуры, получающейся при пересечении i -го ребра в направлении xi и j -го ребра в направлении х2 ; S(xi - х()

и S(х2 -х2) — единичные столбчатые функции, равные по определению единице в местах присоединения ребер и нулю — вне таких мест.

При этом полагаем, что:

1) ширина i -го ребра в направлении х рав-

(1) ■ r(1) ■ r-(1)

на r = di - ct (здесь c = x2 - -— и d = x2 + -—,

где х2 — ордината осевой линии прикрепления I -го ребра);

2) ширина у -го ребра в направлении х2 равна

(2)

Г:

(2)

r (2)

= bj - aj (здесь a = x1 - —— и b = xj +, где J J j 1 2 j 1 2

xj — абцисса осевой линии прикрепления j -го

ребра).

Стало быть, для единичных столбчатых функций можно записать:

(1, если аI < х1 < Ь,;

S(x - x{) =

[0 при любом другом х;

мещений (точек отсчетной поверхности) соответственно вдоль координатных линий X! , х2 и оси х3; Кх = КДхьх2) иК2 = К2(хьх2)—главные кривизны отсчетной поверхности х3 = 0 оболочки соответственно в направлениях х и х2 ;

S(x2 - x2) = •

[1, если Cj < x2 < dj; 10 при любом другом x2.

©1 =©1(x1,x2) = —5u3- + K1u1 « —^^ ;

Hi 5x1

Hl 5x1

Таким образом, толщина подкрепленной ребрами (ребристой) оболочки равна h = h + H, причем -h /2 < x3 < h / 2 + H.

Подчеркнем, что в местах подкрепления оболочки ребрами H > 0 , а в местах ослабления оболочки вырезами (сквозными или «глухими») H < 0 ; при отсутствии ребер подкрепления H=0.

Весьма существенно, что в формуле (1) высоты ребер могут быть как постоянными (h(1) = const и hj2) = const), так и переменными величинами: h,(1) = h(1)( x1, x2) и h(2) = h( x(, x2), где x2 = ranst (1 < i < N), x{ = constj (1 < j < M); -a/2<x1 <a/2, -b/2<x2 <b/2.

Будем совместно учитывать геометрическую нелинейность, поперечные сдвиги, дискретное расположение ребер, их ширину, сдвиговую и крутильную жесткости, а также возможные проявления ортотропии, нелинейной упругости и ползучести (вязкоупругости) материалов.

Нелинейные геометрические соотношения в отсчетной поверхности x3 = 0 оболочки имеют вид [1]

1 5u1

S11 —---1---U2 — к 1U3 +--© 1

Hx 5x1 HH2 5x2 2

1 5H1 1 2

1 u2 - K1u3 +-©2

1 5u2

1 5H

s22 ="

2

H2 5x2 H1H2 5x1

2 u1- K2u3 + 2 ©2;

1 5u2 1 5H1

712 = 721 =ТГ~5~ + urr 5 1 u1 + H 5x1 H11H 2 5x2

1 5u1

+--L +

1 ■ 1 5H2 u2 +©1©

H2 5x2 H1H2 5x1

1W2

©2 = ©2(x1,x2) = -1-^ + K2u2 W3 .

H2 5x2

H2 5x2

Деформации поперечных сдвигов определяем по формулам [1]

713 = с/(хз)ф1; 723 = с/(хз)Ф2 •

Здесь / (х3) — функция, характеризующая распределение напряжений тви т23 в главных нормальных сечениях оболочки, такая, что / (гВ) =

1 2Н 1 2Н

= /(7н) = 0, 1 | /(хз)йхз = 1, 1 { /2(хз)^хз = 1/с

/г

где еп и е22 — деформации удлинения (сжатия) соответственно вдоль координатных линий х1 и х2; 712 = 721 — деформации сдвига в касательной плоскости (ах1,ах2); и = х, х2), и2 = и2( х1, х2) и и3 = и3(х1, х2) — компоненты вектора пере-

Би3 Би3 (с — константа); Ф, = Т н--3и Ф2 = Т2 н--3 —

11 д11 22 д/2

полные углы сдвигов; Т = и Т2 = , причем = ^( х1, х2) и у2 = у2( х1, х2) — углы поворота отрезка нормали к отсчетной поверхности в соответствующих главных нормальных сечениях (dx^, х3) и (^х2, х3) оболочки.

В качестве / (х3) используем квадратичную зависимость [1]

/(хз) = "/2^ "2н)" ^) =

= f0 + f1x3 + f2 x3 ,

6

- 6z„ zK 6( z„ + zR)

где f0 =--^ f1 = нГ2 ; f2 = --~2 , и тог-

h2 /г2 /г2

да с = 5/6.

Деформации в слоях x3 = const вычисляем по формулам [1]

8113) = s11 + x3X11; s223) = S22 + x3X22 ; „( x3) = ,

Yl2 =712 + x32X12 ,

где X11 =

1 5Ф1 1 5H1

Ф 2

11 Hx 5x1 H1H2 5x2 2

В

В

=

x ЭФ2

x dH2

Ф,

22 =---1---x

H2 dx2 HxH2 dxx

2Х = x ЭФ2 + x ЭФ 2Xx2 = —~-+

Hx dxx H2 dx2

HxH2

dHx

dx.

x Ф1 +

V 2

H

5x>

Ф2

поскольку для перемещений в слоях x3 = const полагаем [!, 6]

х3) = и1 + х3Ф1; и(2ХЗ) = и2 + х3Ф2; и\хз> = и3.

Здесь Х^ (1 < ¡,к < 2) — тензор изменения кривизны и кручения (симметричный тензор) [1].

Внутренние силовые факторы, действующие в ребристой оболочке

В соответствии с результатами автора, полученными в работе [1], выражения для внутренних силовых факторов (погонные усилия и моменты), действующих в оболочке и приведенных к отсчетной поверхности, имеют следующий вид.

1. В случае линейно упругого ортотропного материала:

усилия растяжения (сжатия) в направлениях

х1 и х2

Мп = 0ц [(к + Е )(еп + ^2е22) + Я (Х11 + ^2Х22)]

N22 = 022 [(к + Е)(е22 + ^1е11) + Я(Х22 + ^2Х11)] ;

усилие сдвига в касательной плоскости (<1х1^х2)

N12 = ^12 [(к + Е)У12 + Я • 2X12 ] ;

.,(x3) _ ,

.,(x3) _ ,

изгибающие моменты в направлениях х1

и x

Mn = Gn

M22 = G22

S (еП +^2s22) +

' h3 ^ — + J П

(Xxx +Ц2Х22)

S (s22 + ^еП) +

' h3 / — + J П

(X22 + ^XU)

крутящий момент в касательной плоскости (<1х1^х2)

Mx2 = Gx2

S Y xy +

(h3 / — + J

V x2 ,

V У

2X

x2

поперечные (перерезывающие) усилия в главных нормальных сечениях , х3) и (^х2, х3) оболочки

013 = с£13(к + Е)Ф1; 023 = ев23(к + Е)Ф2 .

Здесь Е, Я, ■ — соответственно погонные площадь поперечного (или продольного) сечения ребра, статический момент и момент инерции данного сечения:

_ к/2+Н _ к/2+Н _ к/2+Н

Е = | с1х3; Я = | х3^х3 ; ■ = | x32dx3 ; к/2 к/2 к/2

Е Е

вп = --1-, 022 = ,-— , где E1, Е2 и М"1,^2 —

продольные модули Юнга и коэффициенты Пуассона, причем Е^ = Е2^1; 0Х2,0ХЗ и 023 — соответствующие модули сдвига.

В развернутом виде величины Е, Я и ■ с учетом формулы (1) можно записать так:

Е = Е (х1, х2) -

М _ N _

- XЕ)2)3(х1 - х/) + Х^(1)3(х2 -х2) -М ¡=1

N М _ _

-XX Еу 8( х1 - хЦ )8( х2 - х2);

I=1 ]=1

Я — Я (х1, х2) =

м _ N _

- X 42)3(х1 - хЦ) + XЯ(1)8(х2 -х2) -

М ¡=1

N м _ _

-X X 5(х1- х( )8( х2 - х2);

I=1}=1

J = J (х1, х2 ) —

м _ N _

- X J?)Ь(xl -х1) + X/¡(1)8(х2 - х2)-

М ¡=1

N М _ . _ .

-X X ■■у5(х1 - х{ )8(х2 - х2) ,

г=1 ]=1

где, например,

Е(2) = к(2)- Я(2) = к]2)(к + к]2)) . ] ] ' ] 2 '

■ 2у = 4 к 2к2 + 2 к (к)2) )2 +1 (к(2) )3.

и

Строительство -►

Аналогичный вид имеют выражения для

Ё(1), ^ и Ц , ^ , /у •

2. В случае упругоползучего (вязкоупругого) ортотропного материала каждое из выражений для внутренних силовых факторов представим посредством двух аддитивных составляющих

[1,7]:

^и=< -

N22-N22 - N22 ■

N12 = N^2 - N12

м11 - МП - мЦ.

М22 - М22 - М2С2,

Е2{1)

мП - м^)=^12

5 У ху +

' /3 ^

-+ /

12

V у

2Х

12

= ) = с^1з(А + Ё )Ф1;

^ = ) = с02з(к + Ё )Ф2;

2) составляющие внутренних силовых факторов, обусловленные ползучестью материала (отмечены индексом «С »), определяются по формулам

М12 = мЦ - М"С2;

013 - 0{3 - б1? , 023 - 023 - 02э • Здесь:

1) упругомгновенные (в частности, упругие) составляющие (отмечены индексом « Е ») вычисляются по формулам, приведенным в пункте 1, с той лишь разницей, что входящие в эти формулы величины Е1 - Е^), Е2 - Е2(1), м - ),

Е (1)

Ц2 - ),011 - °11({) - 1-* ^ °22 - °22(г) -

1 -Мчи )М"2 )

1 - Ц1(/)ц2(1), ^12 - ^), ^13 - ^13(/), ^23 - )

являются функциями времени наблюдения 1:

< - ) -

- вп [(/ + Ё)(8ц + М2^22) + 5(Х11 + М2Х22)] ;

N222 - N^) -

- а22 [(/ + Е)(822 + М1бп) + 5(Х22 + М2Х11)] ;

N111 - ) -

N22 - NС2(') -

N¡2 - N¡2(1) -

МС1 - МС«) -

м22 - М22(') -

МС2 - М^) -

01С3 - ^) -

02С3 - ) -

Щ(хЩ«, х^х;

NE2(т)R1(t, х^ х;

^2(т)Я2«, х)^х

М&хЩЦ, х)^х;

0С3(х)Щ2(', х)Л;

оССь^щщ , х¥х,

NЕ2 - N1^) - ^[(й + Ё)У12 + 5 • 2Х12] ;

М1Е1 - М^) -

-а

11

5 (е11 + М2е22) +

-+ /

12

V У

(Х11 + М2 Х22)

М22 - М22,(1) -

-а

22

5 (е22 + М'1811) +

(/3 ^

-+ /

12

(Х22 + М1Х11)

где Щ^, х) и Щ2(1, х) — функции влияния соответственно при растяжении (сжатии) и сдвиге; х — время, предшествующее моменту наблюдения.

Примечание 1. Для изотропных линейно упругих и упругоползучих материалов соотношения для внутренних силовых факторов N11, N22, N12, Мп, М22 , М12 и 013,023 следуют из приведенных в пунктах 1 и 2 формул, если положить Е1 - Е2 - Е , м1 - м2 - м и, следовательно, Е Е

, а12 - а13 - а23 -а

°11 - °22 -

(1 -М2)

2(1 + М)

3. В случае нелинейно упругого (упругопла-стичного) изотропного материала каждое из выражений для внутренних силовых факторов также запишем с помощью двух аддитивных составляющих [1, 8]:

Nii = < -Nfi;

N22 = N* - N22;

N12 = Nf - N/2

M11 = ME - M,

11

p .

f11 ;

m22 = m22 - m

22

p .

f22 ;

Ö13 - Qif - qB;

M12 - me - m,

12

p.

12

Q23 - Qf3 Q23 ■

Nn -ffl(Ef )NE1;

n22 -®(Bf )n22 ;

N/2 -ffl(Bf )NiE2;

Mfi-ф;)Mf; M22 -ffl(Ef)Mf;

M,P2 -ffl(sf )ME; Qi3 -®(B/)Qi!; Q23 -®(В/Ql

где ш(ег) — функция А.А. Ильюшина (интенсивность деформаций s;).

Примечание 2. Считаем, что материалы обшивки и ребер оболочки имеют одинаковые (достаточно близкие) сдвиговые жесткости.

О жесткостных характеристиках ребер в силовых факторах

Жесткостные характеристики F(х,, х2), S (х,, х2), J (х,, х2) внутренних силовых факторов, действующих в ребрах, являются функциями координат х1 и х2 , а потому изменяются по-разному вдоль соответствующих координатных линий (в зависимости от числа и жесткости ребер данных направлений).

Представим силовые факторы Nn, N22, N,

М11, M22 , M12 , Qi3 и Q23 в виде

Nii - Nii + N1, N22 - N2S2 + NR2,

N,2 - NS2 + N*;

Mi, - MSi+M/1, M22 - MS2+M22,

m12 - m,1^ + m,

12

12;

Здесь линейно упругие составляющие (отмечены индексом Е ) вычисляются по формулам, приведенным в пункте 1, а нелинейно упругие (упругопластические) составляющие внутренних силовых факторов (отмечены индексом Р) определяются по формулам

Q13 - Q13 + Qr3 , Q23 - q23 + q23

где индексом Я отмечены составляющие силовых факторов, действующие в обшивке оболочки, а индексом Я — составляющие силовых факторов, действующие в ее ребрах.

Проанализируем влияние ребер разных взаимно ортогональных направлений, в которых рассматриваются те или иные силовые факторы, на примере формирования усилий N^1 и N22 , действующих в ребрах.

X X

Очевидно, что усилия Nx и Ny при любых проявленных свойствах материалов имеют вид

= 0п(Ев1 + 5ф1); N22 = 022(Ев2 + Яф2),

где

в1 = в11 + М"2в22 ; в2 = в22 + М-1в11; Ф1 = Х11 + ^2Х22 ; Ф2 = Х22 + ^1Х11 . (2)

Примечание 3. В случае изотропных материалов соотношения (2) примут частный вид:

в1 =в11 + М-в22 ; в2 =в22 + Мв11; ф1 =Х11 + М-Х22;

Ф2 =Х22 + ^Х11.

Примечание 4. Очевидно, что в случае упру-гоползучего материала оболочки будем иметь

Nlxl = NlXlE - NX1C и N2X2 = N2 - N22: , где N1 = N1^(/) = 0,1(1 )(Ев1 + Яф1),

N22 = N22 а)=о22а )(Ев 2+Яф2),

причем в1 = в1(?) , в2 = в2(1), ф1 =ф1^), ф2 = ф2^).

с

^Х1С=NXlC а)=/ ^Х1Е (тщ?, т^ тд2x2=N2: а)= *0

= /N22 (тХ^, т)4т. Аналогично для материала,

*0

работающего в нелинейно упругой области, получим

Nji - Nj^ -N,f

и n22 - Nif - n£\

где Nff - G11(Fs1 + Sф1), N$f - G22(Fs2 + Sф2) и Nif -<ф,)Ni , N22 -ffl(sf)Nf ■

В свою очередь, представим усилия N11

п

и N22 в следующем виде

7У11 - 7У11 + 7У11 ; 22 - 22 +22 ,

где дополнительным индексом Ь отмечены составляющие усилий N11 и N22 , действующих в тех же направлениях, что и каждое из рассматриваемых усилий, а индексом Т — составляю-

7? 7?

щие усилий N11 и N22 , действующие в транс-версальных направлениях. Здесь

N

-Е NlЬlг 8(х2 - х2),

г -1

где

N1? - ап(Ё®е1 + 5(1)Ф1);

м

N[1 -Е ^Т?" 8(х1 - х/),

I-1

(3)

(4)

где

N

N[1? - Сц^Ч + "Ф1)-Е-х2),

г-1

N11 - ^1(4 81 + Ф1);

М

N2^ -Е N2^" 8(х1 - х/), ?"-1

где N¡2 - ^(Щ + 2)Ф2) ;

N[2^ -Е^Т2 8(х2 -х2),

г-1

(5)

(6)

где

М

N22 - ^(ё® 82+5}1}Ф2)-Е N22 5(х1 - х( ) ,

" -1

N22 - ^(Ц"82 + Б?Ф2).

Составляющие этих усилий показаны на рисунке.

В работе [9] В. В. Карповым (при участии автора) показано (при неучете поперечных сдвигов), что на боковой поверхности ребер или краю вырезов выполняются, в частности, естественные краевые условия:

N¡1 = 0, N22 = 0, N12 = 0;

М?1 = 0, м22 = 0, м/2' = 0.

Можно показать, что при учете поперечных сдвигов в рассматриваемом случае имеют место, в частности, следующие дополнительные краевые условия:

= 0, 023' = 0 ; N¡1 = 0, мК = 0 .

мп =

= 01

11

Я2(е11 + ^2е22) +

' к? ■ '

— + / 2 12 2

(Хц + ^2 Х22)

м22 =

= 0

22

£1(822 +М-1е11) +

'к3 ■ > п+■1

(Х22 + ^1Х11)

Таким образом, в формирование усилия N11

основной вклад вносит составляющая N((x . Сом ._ . ставляющая же N{(x = X N(1 8(х1 - х{') в случае

'=1

относительно узких ребер может быть вообще несущественна, поскольку N(1 = 0 на боковой поверхности ребер.

Соответственно, в усилии N22 главной со-

(X

ставляющей является N22 ; составляющей же

N _ .

N222 =Х N22 8(х2 - х2) в случае узких ребер мож-г=1

но пренебречь.

Мы видим, что основной вклад в формирование силовых факторов, действующих в ребрах, вносят ребра именно тех направлений, в которых эти силовые факторы и рассматриваются. Составляющие данных силовых факторов, обусловленные ребрами трансверсального направления, очевидно, «не успевают развиться» на отрезках сравнительно малой длины г({ или г(2), на концах которых они равны нулю.

Таким образом, в случае подкрепления оболочки относительно узкими ребрами (имеющими высоту в 3—5 раз больше их ширины) выражения для внутренних силовых факторов целесообразно упростить, приняв их в следующем приближенном виде (на примере линейно упругого ортотропного материала):

N11 = 0ц [(к

+ Е2)(811 + ^2822) + Я2(Х11 + ^2Х22)] N22 = О22 [(к + Е1 )(822 + Ц1811) + 51 (Х22 + Ц/Х/1)] . N12 = 012 [(к + Е1)1

12 + S22Х12 I

N21 = 012 [(к + Е1)У12 + ^Х12] .

м21 = 012

м21 = 012

¿/^ +

^ +

(к3 ^

-+ /

12 1

2Х

12

' к3 ■ (2 + ■

2Х

12

013 = с013(к + Е2)Фх ; 023 = с023(к + Ех)Ф2.

Здесь

м

ех = X Е)2) 8(х/ - х{ ); Е2 = Xе^ 8(х2 - х2);

N

(1)

' =1

м

г=1

N

Я/ = X ' 8(х/ - х(); Б2 = X 8(х2 - х2);

' =1

м

г=1

/ = X ' 8(х/ - х{); /2 = X/1 8(х2 - х2).

(1)

' =1

г=1

Задание ребристой оболочки в виде оболочки ступенчато переменной толщины применялось в работах Д.В. Вайнберга и И.З. Райтфарта, Л.В. Енджиевского, В.М. Жгутова, П.А. Жилина, В.В. Карпова, И.Н. Преображенского и др.

[1, 9].

Для некоторых частных случаев целесообразно найти приведенную жесткость ребер в силовых факторах. Например, для оболочек, подкрепленных узкими ребрами, можно положить N22 = 0 (на отрезках длиной г- )) и N{1 = 0 отрезках длиной г'(2) ).

Тогда 8(х, - х/)« Г/2)8(х/ - х{) и 8(х2 - х2)-

- Г® 8( х2 - х2). Отсюда следуют выражения, аналоги которых (для изотропных оболочек) встречаются в литературе [9], принимаемые там интуитивно:

N11 = 0/1X((8/1 - Л®Х/1 )8(х2 - х2);

г=1

М

N22 = С22 Е (((а - ^Х^) 8(х - х/) .

I=1

Если «размазать» жесткость ребер по всей оболочке, то получим

N11 = ап

Г ДЛ« ДА®

Л

Е±1

г=1

11

-Е-

г=1

-X

11

N12 = а2

Г м Ё(2)г(2) М5("2У2)

V_V

22

?=1

-Е-?"=1

./ ]

X

22

М

=С11Е

?"=1

Г ](2)г(2) N ]..Г.(1)Г(2) А г

V }

-Е-

г=1

"_У

аЬ

(2)

"8, +

5(2)Г(2) N 5..г.(1)г(2) А г(2)

7 }

-Е-

г =1

_у

аЬ

-Ф1

Если обозначить

N 7Г(1),-(1) т Г Ё(2)г(2) N ]7..г(1)г(2) А г(2)

] (1)г-

] -Е ^-Ь-+Е Ь ?=1

г=1

\/_У

-Е-

г=1

I г I аЬ

Метод конструктивной анизотропии

для ортотропных и изотропных ребристых оболочек

При большом числе подкрепляющих оболочку ребер с различными жесткостями в направлениях координатных линий х1 и х2 жест-костные характеристики ](х, х2), Б(х, х2), / (х^1, х2 ) в силовых факторах существенно различаются по направлениям х1 и х2 .

Рассмотрим составляющие усилия

1 ЬЩ ТЩ

N11 = N11 + , определяемые соотношениями (3) и (4).

В формировании NЬRi участвуют жесткости ребер направления х (х1 -ребра). Поэтому данная составляющая N11 с приведенной жесткостью ребер (коэффициент приведения а) будет

а

иметь вид

N

ЬЩ 11

N Г гР

Е

г=1

=0п Е

г =1

N Г ] (1)г (1)

е11 +"

ТЩ

В формировании N11 участвует жесткость ребер направления х2 (х2-ребра), которые расставлены в местах а! < х < Ь^ , а также пересечения ребер разных направлений. Следовательно, указанная составляющая N/1 с приведенной жесткостью ребер (коэффициент приведения г(2)

—— ) будет иметь вид а

5 (1)- (1)

-Ф1

N о (1)Г (1) т Г

-Е ^+Е

г=1 Ь 1=1

5(2)г(2) N З-Г^Г(2) АГ

I У

-Е-

г=1

гу±_I

аЬ

(2)

то усилия N11 примут вид

NЩ1 = Сц(]181 + 51Ф1).

Аналогично можно выразить усилия N22 с учетом соотношений (5) и (6):

N22 = а22(]2е2 + 52Ф2) ,

где

М Ё(2)Г(2) N Г Ё(1)Г(1) М ].Г.(1)Г(2) АГ(1)

]2-Е]-Г-+Е -Е - ^ 1 Г

М а г=1 Ь

}=1

аЬ

^2-Е

(2)Г(2) N Г М^ 1)Г(2) ^,.(1)

и Е

I=1

I У а

-+Е

г=1

I=1

аЬ

Таким же образом

Д/(1)Г.(1) М Г/(2)Г.(2) ^ /;Г;(1)Г(2) АИ^

/1=Е^+Е

г=1

}=1

I }

-Е-

г=1

_у

аЬ

ТЩ 11

м Г Г(2)

Е

I=1

а ^

V У

А Г (2)

у_

м /(2)Г(2) N Г Т(1)Г(1) М /..Г(1)Г(2) А Г(1)

/2=е+Е ^—ЕГг 0 —.

I=1 а г=1 V Ь I=1 аЬ ) Ь

При этом выражения внутренних силовых факторов (усилия и моменты) для конструктив-но-ортотропной оболочки, равновесной по жесткости исходной ребристой оболочке, будут определяться следующими выражениями:

N11 = ап[(/ + Ё1)81 + 5^];

N22 = С22[(/ + ]))е2 + ^2Ф2] ;

N12 = С12 [(/ + Ё2)712 + ^Х^];

N21 = Ol2 [(^f1)y12 + Sx2 X12];

Mn = Gn

M22 = G22

S1s1 +

12 + J

Ф1

S2s2 +

f h3 ^

—+j 2 12 2

Ф2

M12 = G12

M21 = G12

S2712 +

S1Y12 +

' h3 r ^

-+ J 2

12 2

2X

12

f h3 ^

-+ J

12 1

2X

12

Q13 = cG13(h + F1)01; Q23 = cG23(h + F2)02.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Жгутов, В.М. Математические модели деформирование оболочек переменной толщины с учетом различных свойств материалов [Текст] / В.М. Жгутов // Инженерно-строительный журнал.— 2012.— № 1.— С. 79-90.— URL: http://engstroy.spb.ru/index_ 2012_01/jgutov. html.

2. Кочин, Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления [Текст] / Н.Е. Кочин.— М.: Наука, 1965.— 428 с.

3. Компанеец, А.С. Курс теоретической физики [Текст] / А.С. Компанеец.— М.: Гостехиздат, 1957.— 564 с.

4. Жгутов, В.М. Метод конструктивной анизотропии для ортотропных и изотропных ребристых оболочек [Текст] / В.М. Жгутов // Инженерно-строительный журнал.— 2009. № 8.— С. 40-46.— URL: http://engstroy.spb.ru/index_2009_08/zhgoutov1 .html.

5. Жгутов, В.М. Ответ профессору Карпову Владимиру Васильевичу (о научном приоритете в методе конструктивной анизотропии для ребристых оболочек и на функционал, описывающий ползучесть их материала) [Текст] / В.М. Жгутов // Инженерно-строительный журнал.— 2011. № 3.— С. 75-80.— URL: http://engstroy.spb.ru/index_2011_03/zhgoutov.html.

6. Жгутов, В.М. К вопросу о законах распределе-

ния перемещений по толщине оболочек в математическом моделировании их деформирования (модели Кирхгофа — Лява и Тимошенко — Рейсснера) [Текст] / В.М. Жгутов // Пространственные конструкции зданий и сооружений (исследование, расчет, проектирование, применение): Сб. статей. Вып. 13 / МОО «Пространственные конструкции»; под ред. В.В. Шугаева и др.— М., 2011.— С. 116-123.

7. Жгутов, В.М. Математические модели деформирования ортотропных и изотопных ребристых оболочек при учете ползучести материала [Текст] /

B.М. Жгутов // Инженерно-строительный журнал.— 2009. № 7.— С. 46-54.— URL: http://engstroy.spb.ru/ index_2009_07/zhgoutov1.html.

8. Жгутов, В.М. Математическая модель деформирования нелинейно-упругих ребристых оболочек при больших перемещениях [Текст] / В.М. Жгутов // Инженерно-строительный журнал.— 2009. № 6.—

C. 16-24.— URL: http://engstroy.spb.ru/index_2009_06/ zhgoutov.html.

9. Карпов, В.В. Нелинейные математические модели деформирования оболочек переменной толщины и алгоритмы их исследования: Учебное пособие / В.В. Карпов, О.В. Игнатьев, А.Ю. Сальников— М.: АСВ; СПб: СПбГАСУ, 2002.— 420 с.