Метод исследования чувствительности периодических движений в релейной системе с кусочно-линейным объектом управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

Zamoryonov Mikhail Vadimovich, candidate of technical sciences, docent, zamoryo-noffagmail. com, Russia, Sevastopol, Sevastopol national university,

Kopp Vadim Yakovlevich, doctor of technical sciences, professor, v_kopp@,mail. ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol national university,

Zamoryonova Darya Viktorovna, candidate of technical sciences, docent, za-mika ukr.net, Russia, Sevastopol, Sevastopol national university,

Yavkun Yuri Leonidovich, senior lecturer, yuri.yavkun@gmail. com, Russia, Sevastopol, Sevastopol national university

УДК 681.5.01

МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ В РЕЛЕЙНОЙ СИСТЕМЕ

С КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫМ ОБЪЕКТОМ УПРАВЛЕНИЯ

А.В. Моржов, С.В. Моржова

Предлагается метод, позволяющий достаточно просто оценивать параметрическую чувствительность периодических движений в релейных системах с кусочно-линейными объектами управления.

Ключевые слова: релейная система, кусочно-линейный объект управления, периодические движения, параметрическая чувствительность.

Релейные автоматические системы широко используются в различных областях техники. К основным достоинствам таких систем относятся простота конструкции, надежность и низкая стоимость. Благодаря появлению технологических возможностей создания ключевых управляющих элементов на новых принципах, не требующих контактного взаимодействия, релейные системы и сегодня не утратили своей значимости.

На кафедре «Системы автоматического управления» Тульского государственного университета под научным руководством профессора Н.В. Фалдина долгие годы успешно развивается прикладная теория релейных систем автоматического управления. В ее основу положена универсальная характеристика релейной системы - фазовый годограф. В рамках данной теории к настоящему моменту разработаны эффективные методы, позволяющие выполнять анализ (исследование периодических движений, оценивание их устойчивости по алгебраическому критерию, приближенное исследование режима слежения с помощью линеаризации по полезному сигналу) и синтез релейных систем с линейными и нелинейными объектами управления.

При использовании указанной теории на практике необходимо иметь в виду, что она ориентирована на системы с постоянными параметрами. Однако действительные значения параметров объекта управления реальной системы практически всегда отличаются от номинальных (расчетных) вследствие влияния на неё различных факторов. Проведенные исследования показали, что в некоторых случаях синтезированные с помощью описанной теории релейные системы оказываются весьма чувствительными к изменению параметров объекта управления. При этом даже небольшие отклонения параметров от расчетных значений могут приводить к заметной потере точности слежения системы, а иногда - к неустойчивости автоколебаний в системе.

Таким образом, было установлено, что разработанная прикладная теория релейных систем управления нуждается в дополнении методами, позволяющими исследовать в процессе синтеза параметрическую чувствительность синтезируемой системы. Под чувствительностью к изменению некоторого параметра понимается значение первой производной характеристики системы по данному параметру.

Настоящая статья посвящена разработке метода исследования параметрической чувствительности периодических движений в релейных автоколебательных системах с кусочно-линейными объектами управления и двухпозиционным релейным элементом. Кусочно-линейные системы являются чрезвычайно распространенным в технике классом нелинейных объектов управления. К кусочно-линейным относятся, например, объекты управления, содержащие различного рода ограничители, а также нелинейности типа люфтов, зон нечувствительности и т.д. В основу разрабатываемого метода положен фазовый годограф релейной системы [1 - 3].

В известной авторам литературе по теории чувствительности систем управления вопросы исследования параметрической чувствительности релейных систем рассматриваемого класса отражения не нашли.

Рассмотрим релейную систему с двухпозиционным релейным элементом и абстрактным кусочно-линейным объектом управления, движение которого задается уравнением

— = С(а)х + Б(а)и, (1)

если

если

I7 х

I7 х

< В, и уравнением

— = С* (а)х + Б* (а)и, (2)

<М

> В. Здесь х - и-мерный вектор состояния, матрицы С, С , Б и

Б * зависят от некоторого изменяющегося параметра объекта управления а с номинальным значением а=ао и имеют, соответственно, размерности

/7ХЯ, /7X77, /7x1 и /7x1; \1 - вектор-строка, имеющая размерность 1 хп и задающая симметричные «переключающие» гиперплоскости 1/х±2)=0 в пространстве состояний системы. Несмотря на то, что в общем случае возможно наличие нескольких таких пар симметричных гиперплоскостей, рассмотренный ниже подход сохранит свою актуальность. Управление г/(/) будем определять равенствами

и = Ф(£9А,Ь), £ = у-КТх, (3)

где функция Ф задается статической характеристикой двухпозиционного релейного элемента (РЭ), изображенной на рис. 1, К^ - вектор-строка коэффициентов обратных связей, у - входной сигнал.

В автономной (>>(0 = 0) релейной системе (1) - (3) при фиксированном значении параметра а периодическое движение может быть задано одной (любой) точкой с предельного цикла. Будем определять периодическое движение точкой х "(Т), соответствующей переключению релейного элемента с «минуса» на «плюс». Ограничимся рассмотрением простых (в интервале 0<?<2Г, где 2Г- период, управление г/(/) изменяет знак только два раза (рис. 2)) симметричных (и((+Т)=-и(1), х((+Т) = -х{()) периодических движений. Вектор-функция х*(Г) (0<Г<°о) задаёт множество всех возможных периодических движений объекта управления (1), (2) и называется фазовым годографом релейной системы (1) - (3). Таким образом, фазовый годограф характеризует свойства объекта управления. Методы построения фазового годографа подробно описаны в [1 - 3].

А и(/)

-Ь

А

-А

8(0

-А

и(0

т

2 Т *

Рис. 1. Статическая Рис. 2. Симметричный

характеристика двухпозиционного периодический сигнал с выхода релейного элемента двухпозиционного РЭ

Рассмотрим симметричное периодическое движение х(?) с полупериодом Г = Г°, возникающее в автономной (^(¿) = 0) релейной системе (1) - (3) при номинальном значении ао параметра а и задаваемое точкой

х (Т ) фазового годографа х (Г), а также близкую к х(?) возмущенную

симметричную периодическую траекторию х=х(г)+5х(г) с полупериодом Т=т0+5Т , малое отклонение 5х(г) которой обусловлено малым изменением 5а параметра а относительно номинального значения. Очевидно, периодическое движение х(г) будет задаваться точкой х* (Т0 +5Т) фазового

годографа X * (Т).

Рис. 3. Качественный вид функции х(г) при Ьтх*(Т0)

< В

На траекториях х(г) и х (г) момент г = 0 совместим с моментом переключения релейного элемента с «минуса» на «плюс» и ограничимся рассмотрением указанных движений на соответствующих полупериодах. Переключение релейного элемента с «плюса» на «минус» на траектории х(г)

происходит в момент г = Т0, а на траектории х(г) - в близкий к нему момент времени г=Т0 +5Т. Для определенности будем считать, что функции ЬТ х(г) и ьТ х (г) имеют качественный вид на полупериоде, изображенный на рис. 3. Таким образом, в моменты времени ^=г® и г2 = г® происходит переключение уравнений движения на траектории х(г), а в близкие к ним моменты =+5^ и г2 = ^ +5^2 - на траектории х(г).

Установим связь между вариациями 5а, 5Т и 5х(0).

Возмущенное движение системы х(г), обусловленное малым отклонением 5а параметра а , задается уравнениями

ЖХ х

—=С(а0 +5а)х+В(а0+5а)и,

(4)

если

< В, и уравнением

жх

—=С (а0+5а)х+В (а0 +5а)и,

(5)

если

а! х

> В . Опуская величины, имеющие порядок малости выше первого относительно 5а, зависимости (4), (5) можно представить в виде:

—+Ж5х=С(а0)х+С(а0)5х+ЖС(а0) х5а+В(а0)и+ЖВ(а0) и5а, (6) Жг Жг Жа Жа

Жх + Ж5х = с* (а0)х+С* (а0)5х+ЖС*^ х5а+В*(а0)и+ЖВ-^ и5а. (7) Жг Жг Жа Жа

Далее, вычитая из (6) равенство (1), а из (7) - равенство (2), положив а = а 0, получим неоднородные уравнения в вариациях:

Ж5х С(а0)5х+

Жг Ж5х

Жг

=С (а0)5х+

"ЖС(а0)х+ЖВ(а0) и

х \ и

_ Жа Жа

ЖС* (а0) х + ЖВ* (ар) и

х \ и

Жа Жа

5а, (8)

5а, (9)

с с / ч о ЖС(а0) ЖС*(а0)

которые связывают отклонения 5а и 5х(г). Здесь -—, -,

Жа Жа

ЖВ(а0) ЖВ*(а0)

—-- матрицы размерностью, соответственно, п х п, п х п,

Жа Жа

п х 1 и п х 1. Поскольку рассматривается движение на полупериоде, то управление и(г) будем полагать постоянным и равным + А. Функция х(г) определяется как решение системы уравнений (1), (2) при а = а0 на интервале 0 £ г £ Т0 с начальным условием х(0)=х*(Т0).

Обозначим вариацию Дх(Т 0)=X - (Т 0 +5Т) - х (Т0). Опуская величины, имеющие порядок малости выше первого, получим

Дх(Т 0) = х - (Т 0)+х - (Т 0)5Т+5х - (Т 0) - х - (Т 0) =

=х - (Т 0)5Т+5х - (Т 0),

причем

х - (Т 0) = -С(а0)х* (Т 0)+В(а0) А. Здесь и в дальнейшем индексами «-» обозначаются пределы слева (х-(Т0), х-(Т0), 5х-(Т0)), а индексами «+» - пределы справа (х+(Т0), х+ (Т0), 5х+(Т 0)).

Запишем условие переключения релейного элемента с «плюса» на «минус» для номинальной траектории х(г):

Ят х - (Т 0)=Ъ. (11)

Для возмущенной траектории хх(г) аналогичное условие имеет вид:

Ят х - (Т 0+5Т)=Ят (х - (Т 0)+Дх(Т 0)) = Ъ. (12)

Из (11) и (12) следует, что

ЯТДх(Т0)=0. (13)

Подставив (10) в (13), найдем:

(14)

Ятх-(Т0)

С учетом последнего выражения равенство (10) запишется в виде:

х - (Т 0)ЯГ

Дх(Т 0):

I

5х-(Т0). (15)

Ят х - (Т 0)

Здесь и далее I - единичная матрица.

Покажем, как преобразуется вариация 5х в моменты переключения уравнений движения объекта управления.

Траектории х(г) и х(г) в моменты г1 = г^ и г1=г^ +5г1, соответственно, непрерывны, поэтому справедливы соотношения:

х+ (г°)=х-(г°), (16)

х+(г0 +5г1)=X-(г0 +5г1). (17)

Опуская величины порядка малости выше первого, равенство (17) можно представить в виде:

х + (г?)+х + (г10)5г1 +5х + (г?)=х - (г?)+х - (г10)5г1 +5х - (г^), (18)

где

х - (г10)=С(а0)х - (г0)+В(а0)А, х+(г^)=С*(а0)х + (г0)+В* (а0) А. Принимая во внимание (16), из (18) получим:

5х+(г0)=(х - (г0) - х + (г10))5г1 +5х - (г^). (19)

Теперь запишем условие переключения уравнений движения на траектории х(г) в момент г1 = г° :

ьтх- (г°) - В=0. (20)

Для траектории хх(г) аналогичное условие имеет вид:

ьт х - (г°+5г1) - В=0. (21)

Из (21) следует, что

ьтх- (г0)+ьтх- (г0 )5г1 + ьт5х- (г^) - В=0. (22)

В последнем равенстве опущены величины, имеющие порядок малости выше первого. Принимая во внимание (20), из (22) найдем вариацию

Ьт 5х - (г.0)

5г1 =—т 0 . (23)

1 ьтх-(г0)

241

Далее, подставив (23) в равенство (19), окончательно получим:

. + 0 о 0 (х-(г1°) - х+(г10))ьт5х- (гЯ)

5х + (г10)=5х- (г10) ' - ^-^ (24)

Перепишем соотношение (24) в виде

5х+(г10)=015х-(г10), (25)

где

(х - (г0) - х+(г10))ЬТ 01=1 ьТ х - (г0)

Аналогичным образом нетрудно показать, что

5х+(г0)=025х-(г0). (26)

Здесь

(х - (<0) - х+(t°))LT 02 =1 ЬТ х - (ф

причем векторы

х - (г0)=С* (а0)х - (г0)+В* (а0) А, х+(г^=С(а0)х+(г§)+В(а0) А. Таким образом, матрицы 01 и 02 задают преобразования вариации 5х(г) в моменты г1 = г0 и г2 = г0 соответственно.

Остановимся на определении вариации 5х-(Т0). Обозначим

V (г) = еС(а 0 )г нормированную фундаментальную матрицу решений однородного уравнения

^ = С(а 0)5х(г),

соответствующего неоднородному уравнению (8), а г(г0, г) - решение уравнения (8) на интервале от г0 до г при нулевых начальных условиях, 5а =1 и

и(г) = А. Далее, обозначим ^^г)=еС (а0)г нормированную фундаментальную матрицу решений однородного уравнения

^=С^а^х^),

Жг

соответствующего неоднородному уравнению (9), а g(г0, г) - решение уравнения (9) на интервале от г0 до г при нулевых начальных условиях, 5а =1 и и(г) = А. Тогда с учетом (25) и (26) справедливы соотношения:

5х - (г10) = V(г10)5x(0)+г(0,г10)5а, (27)

5х - (г0)=W(г2 - г10)5х+ (г10)+g(гl0,г20)5a=

=W(г° - г10)015х - (г10)+g(г10, г0)5а,

5х - (Т 0)=V(T 0 - г0)5х+(г0)+г (г0,Т 0)5а=

2 2 2 (29)

=V(T 0 - г0)025х - (г0)+г(г^,Т 0)5а.

Последовательно подставляя друг в друга равенства (27) - (29), окончательно получим:

5х - (Т0)=V(T0 - г0)02 W(г° - г10)0^(г10)5х(0)+

+(V(T 0 - г0)02( W(г° - г10)01г(0,г10)+g(г10, г^))+г(г^,Т 0))5а=05х(0)+Р5а, где

0=V(T0 - г0)02 W(г° - г10)QlV(г10), (30)

Р=V(T0 - г0)02^(г20 - г10)01г(0,г10)+g(г10, г^)+г^т0). (31) Обозначив

— х-(Т0жт 0=I-х )К0 Ят х - (Т 0)

и принимая во внимание (30) - (31), перепишем соотношение (15):

Дх(Т 0)=0 (05х(0)+Р5а). С учетом симметрии периодических траекторий хх(г) и х(г) нетрудно показать, что Дх(Т0) = -5х(0), следовательно

5х(0)=-(I+00)-10Р5а. (32)

Таким образом, возмущенное периодическое движение хх(г) задается фазовой точкой х*(Т0 + 5Т)=х*(Т0)+5х(0). При этом с учетом (14) и

(32) полупериод Т относительно номинального значения Т0 изменится на величину

5Т = КТ (Q(I +т00)"'0 - '>Р 5а. (33)

Ятх-(Т0)

Соотношения (32) и (33) удобно переписать в виде

5х(0) = К а5а, (34)

5Т=К а5а.

Здесь

к а=-а+00)-10Р

коэффициент чувствительности точки фазового годографа х*(Т0)=х(0), задающей периодическое движение х(г), к изменению параметра а , а

КТ = Ят (Q(I+00)-10 - !)Р

Ка= ятх - (Т 0)

коэффициент чувствительности полупериода автоколебаний к изменению параметра а .

&!=—1 т /0;. (35)

В результате отклонения параметра а от номинального значения изменяется не только значение полупериода автоколебаний, но и значения моментов переключения уравнений движения системы. Остановимся на

определении коэффициентов чувствительности к0 и К0 моментов t1 и ?2 соответственно.

Начнем с нахождения вариаций 8^ и 8t2. Из (23) с учетом (27) получим:

Ьт [ У(^°)8х(0)+г(0,^°)8а] Ьт х -

Аналогичным образом нетрудно показать, что

Ьт [ W(t20 - ^°)ОсУ(^°)8х(0)+(W(t20 - t10)Q1r(0,t10)+g(t10,t20))8a]

8t2 =--—-1-тТ. _ 1 1-1- -. (36)

Подставляя (34) в соотношения (35) и (36), окончательно запишем:

Ьт [У(^°)К 0+r(0,t10)]8a

8^1 =--1 а/, (37)

Ьт X - (4°)

& = Ьт [W (^ - tl0)Ql(У (tl0)K 0+ Г (0/°))+g(tl0,t20)]8a (38) 2 Ьт X- (t0) '

Равенства (37) и (38) целесообразно представить в виде

8t1 = К 018а,

где

К а

8t2 = К02 8а, Ьт [ У(tl0)K 0+г(0,^°)]

К

LTX-(tl0)

12 =-LT [ W (t20 - (tl0)K 0+ г (0,^°))+g(tl0,t20)]

0 LTX-(t20) .

искомые коэффициенты чувствительности моментов времени t1 и t2 к изменению параметра 0.

В заключение остановимся на определении возмущенной траектории. В соответствии с (27) - (29), (34) отклонение периодической траектории 8х^) = X ^) - х^) задается зависимостью

8х^) = К 0 ^ )80,

здесь

к а =

V(г )К а+ г(0,г), если 0 £ г < г10;

W(г - г10)01( V(г10)K а+г(0,г10))+g(г10, г), если г10 £ г < г20;

V(г - г0)02( W (г0 - г^^ V(гl0)K а+г(0,г10))+g(г:0, г^)+г(г20,г),

если г° £ г £ т0

функция чувствительности периодической траектории х(г) к изменению параметра а.

Полученные коэффициенты чувствительности Ка, К^ , К 02 , К а и функция чувствительности К а (г) полностью определяют чувствительность периодического движения в релейной системе (1) - (3). Если найдены указанные показатели чувствительности, то периодическое движение в параметрически возмущенной системе (1) - (3), пренебрегая величинами порядка малости выше первого относительно 5а, можно легко определить с помощью равенств

Т=т0 + ка5а, г1 = г10 + К15а, г2 = г0 + к02 5а, х*(Т0+5Т)=х*(Т0)+Ка5а, х(г)=х(г)+Ка(г)5а.

Выше предполагалось, что функция Ьтх(г) имеет качественный

вид на полупериоде, изображенный на рис. 3, т.е. Ьт х* (Т 0)

< В. Рассмот-

рим теперь ситуацию, когда

Ьтх*(Т0) >В, а функция Ь х(г) имеет каче-

Т,

ственный вид на полупериоде, представленный на рис. 4.

Рис. 4. Качественный вид функции Ьтх(г) при Ьтх*(Т0) >В

245

В этом случае все полученные выше результаты сохранят свою справедливость, если в соответствующих выражениях попарно заменить

»¡с »¡с »¡с »¡с

матрицы С на С , С на С, В на В , В на В, а также функции У(^ на W(t), W(t) на У(0, г(^) на g(to,t) и g(to,t) на r(to,t). Таким образом, равенст-

т t t

ва, которыми задаются коэффициенты чувствительности К, К0 , К02 , К0 и функция чувствительности К0 ^), примут вид:

К 0=-(1+QQ)-1 QP, (39)

т = Ит (Q(I+ОД)-10 - 1)р

Ят X - (т °) Ktl ^ [ W(tl0)к 0+ g(0,tl0)]

К 01 =- LT X - (^0) , (41)

К0 =--,т ^-, (40)

К 0

=-LT [У (t 2° - )Ql (W(tl0 )К 0 + g(0,tl0 ))+г ,t20 )] К 0 = LTX - (t20) ,

W(t)K0+ g(0,t), если0<t<t10;

У^-t10)Ql(W(t10)K0+ g(0,t10))+г(t10,t), если t10 <t<t§;

W(t - t20)Q 2 (У (t20 - t10)Ql( W(t10)K 0+ g(0,t10))+г (t10,t20))+g(t20,t),

если t20 <t<т°.

(43)

В соотношениях (39) - (43)

Q=W(T 0 - t0)Q2 У(^ - t10)QlW(t10), р = W(T0-t0)Q2(У(^2 -t10)Qlg(0,t10) + r(t10,t20)) + ^2°,т°), X-(t10)=С*(00>-(t10) + В*(0°)А, X + ^0) = 0(0°^+(t10)+В(00)А, X - ^0) = С(a0)x - ^0)+В(00) А, X + ^0)=С* (a0)x+^0)+В* (00)А, X - (т °) = -С*(a0)x* (т °)+В* (0°) А.

Таким образом, предложенный в настоящей статье метод позволяет достаточно просто определить чувствительность автоколебаний в релейной системе к изменению параметров объекта управления. Получены равенства, задающие в явном виде коэффициенты чувствительности полупериода автоколебаний, моментов переключения уравнений движения кусочно-линейного объекта управления, функцию чувствительности периодической траектории. С помощью данного метода на этапе синтеза релейной системы становится возможным формировать ограничения на величину чувствительности периодических движений в системе к изменению параметров объекта управления.

Рассмотренные модельные примеры показали высокую эффективность предложенного метода.

Список литературы

1. Фалдин Н.В. Релейные системы автоматического управления // Математические модели, динамические характеристики и анализ систем автоматического управления / под ред. К. А. Пупкова, Н.Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. С. 573 - 636.

2. Фалдин Н.В. Точный метод исследования релейных систем // Машиностроение (энциклопедия). Т. 1 - 4: Автоматическое управление. Теория / под ред. Е. А. Федосова. М.: Машиностроение, 2000. С. 231 - 253.

3. Фалдин Н.В, Моржов А.В. Автоколебания в релейных системах с кусочно-линейными объектами управления // Мехатроника, автоматизация, управление. 2007. № 2. С. 2 - 9.

Моржов Александр Владимирович, канд. техн. наук, доц., morzhovamail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Моржова Светлана Владимировна, svetlana-morzhovaamail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

THE METHOD OF SENSITIVITY RESEARCH OF PERIODIC MOTIONS IN RELAY FEEDBACK SYSTEM WITHPIECEWISE LINEAR CONTROL PLANT

A. V. Morzhov, S. V. Morzhova

The method of parametrical sensitivity research of periodic motions in relay systems with piecewise linear plant is offered.

Key words: relay system, piecewise linear control plant, periodic motions, parame-trical sensitivity.

Alexander Vladimirovich Morzhov, candidate of technical sciences, docent, [email protected], Russia, Tula, Tula State University,

Svetlana Vladimirovna Morzhova, svetlana-morzhovaa mail.ru, Russia, Tula, Tula State University