Метод интегральных уравнений для исследования задачи дифракции ТМ-волны на слое с графеновым покрытием Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958, 535.42

doi: 10.21685/2072-3040-2024-4-7

Метод интегральных уравнений для исследования задачи дифракции ТМ-волны на слое с графеновым покрытием

С. В. Тихов

Пензенский государственный университет, Пенза, Россия [email protected]

Аннотация. Актуальность и цели. Поднимается проблема изучения оптических свойств графена с учетом влияния окружающей среды. Цель работы - построение метода для нахождения приближенного решения задачи дифракции ТМ-поляризо-ванной волны на двумерном бесконечном слое, одна поверхность которого покрыта графеном, а другая экранирована. Материалы и методы. С использованием метода функций Грина задача дифракции сводится к граничному интегральному уравнению, содержащему интегральные операторы с ядрами, имеющими логарифмическую особенность. Применяется подход, позволяющий вычислить интегралы с особенностями аналитически. Результаты и выводы. Разработанный метод позволяет эффективно решать задачу дифракции ТМ-волны на слое с графеновым покрытием. Главным достоинством данного метода является то, что он не накладывает каких-либо ограничений на параметры задачи и, в частности, применим в широком диапазоне электромагнитного спектра.

Ключевые слова: электромагнитные волны, дифракция, графен, двумерный слой, интегральные уравнения

Финансирование: работа поддержана Стипендией Президента Российской Федерации для аспирантов и адъюнктов.

Для цитирования: Тихов С. В. Метод интегральных уравнений для исследования задачи дифракции ТМ-волны на слое с графеновым покрытием // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2024. № 4. С. 79-90. doi: 10.21685/2072-3040-2024-4-7

Integral equations method to study a scattering problem of TM-wave on a slab with graphene covering

S.V. Tikhov

Penza State University, Penza, Russia [email protected]

Abstract. Background. This paper focuses on study of optical properties of graphene accounting for the effects of the surrounding media. The purpose of the study is to build a method for finding an approximate solution to a diffraction problem of TM-wave on a two-dimensional infinite slab covered with graphene from one side and having an absolutely conducting wall on the other side. Materials and methods. Using Green's functions approach, the diffraction problem is reduced to a boundary integral equation involving integral operators with kerrs having logarithmic singularity. The method allowing to calculate the integrals with singularities is applied. Conclusions. The developed method allows to solve efficiently the diffraction problem of TM-wave on a slab with graphene

© Тихов С. В., 2024. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

covering. The main advantege of this method is it imposes no restrictions on the parameters of the problem and is applicable in a wide frequency range.

Keywords: electromagnetic waves, diffraction, graphene, two-dimensional slab, integral equations

Financing: the work was supported by the Scholarship of the President of the Russian Federation for postgraduate students and adjuncts.

For citation: Tikhov S.V. Integral equations method to study a scattering problem of TM-wave on a slab with graphene covering. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzh-skiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2024;(4):79-90. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-30402024-4-7

Введение

В настоящее время во всем мире большое внимание уделяется изучению двумерных материалов и двумерных электронных компонентов. Среди них особое место занимает графен, впервые экспериментально полученный в 2004 г. Геймом и Новоселовым.

Графен представляет собой двумерный слой атомов углерода, образующих гексагональную решетку [1]. Благодаря такому строению графен обладает рядом уникальных физических свойств, в том числе оптических [2]. Так, например, графен способен поглощать свет в очень широком диапазоне частот - от видимого света до средне-инфракрасного излучения [3], причем величиной поглощения можно управлять с помощью легирования или приложения к образцу электрического и/или магнитного полей [4]. Кроме того, графен обладает большой оптической нелинейностью, вследствие чего при взаимодействии света с графеном возникают различные нелинейные эффекты, как, например, двухфотонное поглощение, генерация высших гармоник, эффект Керра [5, 6]. Все это делает графен перспективным кандидатом для создания различных оптоэлектронных и фотонных устройств, интегрируя графен с конвенциональными материалами, такими как кремний [7, 8].

Как известно, изготовлению опытного образца того или иного устройства всегда предшествует этап математического моделирования его характеристик. Это верно и для графен-интегрированных оптоэлектронных и фотонных устройств. Отметим, что возникающие в этой связи задачи математического моделирования не только имеют большое практическое значение, но и богаты математическим содержанием. Действительно, учет двумерной природы графена и присущей ему оптической нелинейности требует построения и изучения новых математических моделей. Так, например, рассматривается новый класс краевых задач с нестандартными граничными условиями, нелинейным образом зависящими от искомой функции [9-13]. Для исследования таких задач требуется разработка новых подходов, поскольку классические математические методы к ним, как правило, малоприменимы.

Настоящая работа посвящена исследованию задачи дифракции ТМ-поляризованной волны на плоском слое, покрытом графеном. Используя метод функций Грина, указанная задача сводится к одному граничному интегральному уравнению, в котором в качестве искомой функции выступает след одной частной производной касательной компоненты магнитного поля на поверхности с графеном. Полученное уравнение содержит интегральные

операторы с ядрами, имеющими логарифмическую особенность. В работе предлагается оригинальный метод, позволяющий вычислить такие интегралы аналитически.

Материалы и методы

Определим множества

Q := {(x, z): x > h, z e M}, Q2 := {(x, z ):0 < x < h, z e M},

Г0 :={(x,z):x = 0,ze M}, rh :={(x,z):x = h,ze M},

где h есть некоторая положительная постоянная.

Рассмотрим двумерный бесконечный слой Q2 толщины h, покрытый графеном на границе rh и имеющий идеально проводящую стенку на границе Г0. На поверхность rh из полуплоскости Q} падает монохроматическая ТМ-поляризованная волна Eincexp(-¿rot), Hincexp (-¿rot), где ro - круговая частота и

Einc

= ( Е™ (x,z) 0, ЕГ (x,z)), Hinc =(0, H-c (x,z), 0

есть комплексные амплитуды.

Области О! и О2 пространственно однородными средами, которые характеризуются диэлектрическими проницаемостями е^ > ед и > е0, соответственно, и магнитной восприимчивостью ц = Ц0 • Здесь ед и Цд есть соответственно диэлектрическая и магнитная постоянные.

Проходя через поверхность Г^, падающий свет частично отражается

и частично проходит вглубь слоя О2 • Пусть ехр(-/юг),

ехр (-/юг) обозначают соответственно отраженное и прошедшее поля. Тогда полное поле имеет вид (Е1°1, H101 )ехр (-/юг), где

^ = ^ + Е*пс, (х,г) Оь нtot = + Н1пс, (х,2)е О^ {Etm, (х,2) О2, [и^ (х,2) О2.

Полагая, что отраженное и прошедшее поля имеют ту же поляризацию, что и падающий свет, можно записать

Еге^ = ( (х,г),0,Е^ (х,г)), Нге^ = « (х,г),0), = ( (х,г),0,ЕГ (х,г)), Н^ =(о( (х,г),о), Et0t =( (х,г),0,е!° (х,г)), Н=(0,И^ (х,г),0).

Введем кусочно-постоянную функцию

_ 1еь (x,z)е Qb г Ц, (x,z)е Q2-

Подставляя комлпексные амплитуды Etot, Htot в уравнения Максвелла | rot Htot _-гюе0£гEtot, [rot Etot _ /M|10Htot,

получаем

dE° (x,z) dE° (x,z) tot . .

x K ' z У ■ = to^Hf (x,z),

dz

dx

dH™ (x, z)

dz

dH™ (x, z) dx

= гюео£гEx0 (x, z),

(1)

= -iro£0£r Ezot (x, z).

Из второго и третьего уравнений (1) находим

3Exot (x,z)= -i d2H™ (x,z) dEf (x,z)= i d2ну (x,z)

dz

®£0er dz2

dx

®£0er dx2

Подставляя эти выражения в первое уравнение той же системы, полу-

чаем

AH:; (x,z) + k(2erH™ (x,z) = 0;

(2)

здесь Д = Э2 / Эх2 +Э2 / дz2 и к0 = ю2|10£0 •

Касательная компонента электрического поля непрерывна на границе Г^ и обращается в нуль на границе Го, т.е.

n, Etot" = 0, "n, Etot - _ "n, Etot -

- - x=0+0 - - x=h+0 - J

x=h-0

= 0,

(3)

где п = (1, О, О) есть единичный вектор нормали, направленный вдоль оси Ох , а [• , ] обозначает векторное произведение. Из-за наличия графена на границе Г^ для касательной компоненты магнитного поля выполняется соотношение

n, Htot- _ n, Htot- = -° г "n, Etot -

- - x=h+0 - - x=h-0 s - J

x=h-0

(4)

где ög есть проводимость графена.

Ясно, что в рассматриваемом случае tot

n, E

tot

= -Ez° (x,z)

n, H

= Hy0 (x,z). Принимая во внимание связь между функцией Ez0 и

частной производной ЭН|° / Эх, которая выражается третьим уравнением системы (1), условия (3) можно записать в виде

= 0,

dH™ (x,z)

dx

dH™ (x,z)

dx

x=0+0

x=h+0

dH™ (x, z)

£2 dx

x=h-0

а условие (4) - в виде

H™ (x,z)

x=h+0

H™ (x,z)

iag dH™ (x,z)

x=h-0 ГО£0£2 dx

x=h-0

Кроме того, отраженное Е , Н и падающее Е , Н поля удовлетворяют условию излучения Зоммерфельда.

Введем обозначения к2 =е1, к2 =е2, и1 (х,г):= Н^ (х,г),

и2 (х,г):= Н^ (х, г), и^ := Н^с (х, г).

Рассматриваемая задача дифракции эквивалентна краевой задаче, заключающейся в нахождении пары функций и = и1 (х,г) е С2(О1 )пС(О1),

и2 = и2

(х,2)е С2(О2)пС(О2) удовлевторяющих:

- уравнениям Гельмгольца:

Ди1 + к2и1 = 0, (х, г) е О1, (5)

Ди2 + к|и2 = 0, (х,г)е О2; (6)

- однородному условию второго рода на границе Г0, т.е.:

Эи2(х, г)

dx

= 0;

(7)

x=0

- условию непрерывности на границе Г^, т.е.:

1 дщ (x,z)

k2 dx

1 du2 (x, z)

k2 dx

x=h+0

1 duinc (x, z)

x=h-0

dx

(8)

x=h+0

условию сопряжения вида:

u1 (x,z)x=h+0 -u2 (x,z)\

УСg du2 (x, z)

x=h-0 r 2 k2

dx

= - u-

inc

(x,z t

x=h+0'

(9)

x=h-0

-1

где Y = (ic£0) ;

- условию излучения Зоммерфельда:

lim у[гщ = const, lim 4r —1 + iku = 0, r = 4x2 + z2. (10)

r r ^ dr у

Здесь пространственные координаты нормированы на ко. В качестве функции Ujnc используем фундаментальное решение уравнения Гельмгольца в полуплоскости Qi, которое имеет вид

Uinc z)= 4H01} (W(x — x0)2 + (z - z0)2 ), (11)

где H01) - функция Ханкеля первого рода; xq, z0 - вещественные параметры.

Для исследования задач дифракции часто применяют различные методы, позволяющие свести такую задачу к одному граничному интегральному уравнению для одной неизвестной функции [14, 15]. Далее, используя метод функций Грина, мы сведем нашу задачу к граничному интегральному уравнению.

Решение и уравнения (5) может быть представлено в виде [16]:

U1 (x,z) = — J G1 (x,z,h,n) (n)П, (12)

—^

где V1 (n) - след частной производной Э^ / dx на границе rh ; G1 - функция Грина задачи Неймана для уравнения Гельмгольца в области Q1, которая определяется по формуле

G (x,z,tn) = 4[hQ1) (k1P1) + hQ1) (1Р2) где HQ1) (z) - функция Ханкеля второго рода с нулевым индексом и

Р1 =4 (x Ч)2 + (z — n)2, Р2 = 4 (x — 2h + ^)2 + (z — n)2.

Решение U2 уравнения (6) может быть представлено в виде [16]:

U2 (x, z ) = — J G2 (x, z, h, n)vo (n) n+ J G2 (x, z, h, n)v2 (n) n, (13) —^ —^

где vq (n) и V2 (n) - следы частной производной ди2 / dx на границах Го и rh, соответственно; G2 - функция Грина задачи Неймана для уравнения Гельмгольца в области Q2 , которая определяется по формуле

1 0

G2 ( z t n)=—X вт exP (—P«lz—n|)cos (qnx )cos (qn S)

n=0" n

if и

где Чп = ппк 1, Рп =4ч2—к

0 = |1 при п = 0, п [ 2 при п Ф 0.

Из условия (7) следует, что ^ = 0. Тогда формулу (13) можно переписать в виде

и2 (х,г)= | &2 (х,г,к,(п)П —^

Введем обозначения:

g

x=h+0

Используя условие сопряжения (8), получаем, что

к 2 к 2 V! (П) = -2^ (П) — /(П)= -2у(П) — /^

к2 к2

откуда следуют представления:

2

u1 (x, z )= J G1 (x, z, h, n)/(rn)i/П- J -j Gl (x, z, h, n) (n)n, (14)

K2 — ^ Z,

и2 (х,г)= | в2 (х,г,к,п)(т|)П. (15)

—сю

Подставляя полученные выше представления для и и и2 в условие сопряжения (9), получаем

к% )(г) + к2 (^)(г) + ус^(г) = Г(г), (16)

где Г (г) = к| (.^ /)(г) + к|g (г) и операторы Nj определяются как

(ф)(г):= \ в) (г,п)ф(пМп

здесь

Gh (z,n) := G1 (h,z,h,n) = ^H01) ( |z - Л|), 1 ft

Gh (z, n):= G2 (h, z, h, n)= ^ £ eXp („|z-Л|).

Пусть всюду ниже индекс у принимает значения 1,2 .

Ясно, что поскольку функции в у являются фундаментальными

решениями двумерного уравнения Гельмгольца, то, как следует из теории, они имеют логарифмическую особенность. Вместе с тем, поскольку в у

также являются решениями задачи Неймана, то их частные производные Эву / Э^ должны обращаться в нуль на границе Г к. Принимая во внимание

эти соображения, в у можно представить в виде

1

в: (х, 2, п)=— 1п

1

+—1п 2п

4(х - 2к + ^)2 + (2-п)

2П 4(х-^)2 +(2-п)2

+ Фу (х, 2, п)

+

ЭФ у (х, 2, п)

где Ф есть непрерывные функции. Вычисляя в,- при х = ^ = к, получаем

к, ^ Ь 1

вк (2, п)=-!пг-^+К] (2, п);

п |2-п|

здесь

К у (2,п) = фу (к,2,к,п)

ЭФ у (к,2,п)

Э^

Используя полученные выражения, уравнение (16) можно записать в

виде

п

-1

(2 + к22 ) )(2) + ¿кг2 (К> )(2 ) + УС^ (2 ) = Г (2 ), (17)

г=1

где

и

Г (2 ) = ^ (5/ )(2 ) + ^ (// )(2 ) + ^ Я (2 )

)(2)= 1Ь,-!-^• V(п)^п, (/>)(2)= | Кг (2,п)у(п)^п.

—^ ' ' —^

Вводя новые переменные £ и р, связанные с 2 и п соотношениями 2 = агйапИ п = агйапЬ р, интегральное уравнение (17) примет вид

1//.2 , ,.2 п

к2 + к22 ))(0+¿кг2 (//.* (0=Г (С); (18)

г=1

здесь искомой функцией является V(£) = V(агСапИ^), операторы 5, Кг определяются как

1

(Sv )(Z) = - J ln

-1

arctanh

z-p

1 -zp

• v

(p)

dp

1 - p2

(v )(Z)= J K (z, p )v (p )1

dp

2 '

—1 * -Р

где Кг (р) = Кг (агс1апИ^, аг^апИр), а правая часть Римеет вид

Р(0 = к22 (5/)(0 + к22 (К/)(0 + к22g(С),

где

/ (С) = /(впйа^), g(Z) = g (втс^).

Оператор удобно представить в виде суммы 5 = С — К3, где

(С*)(0 = 1Ьр-^-V (р)-—pт, (С3*)(0= | Кз (Z, Р)■*(р)-—р-,

—1 |р — ^ 1—р —1 1—р

где

K (z, p ) = ln

arctanh

z-p

1 - zp

+ ln

|p-zr

Оператор С имеет логарифмическую особенность. Используя разложение в ряд Тейлора, несложно убедиться в том, что функция К3 непрерывна при Z = р.

Представим решение V(Z) уравнения (17) в виде

Kp ) = V

1 - p2

00 2

T0 (z) + YaanTn (z)

n=1

(19)

где Тп - полиномы Чебышева первого рода; ап е С - некоторые коэффициенты. Тогда, используя известную формулу 1

1п,

Jlnj—ЧTn (x)~Г=

-1 |x - y| V1 - x

' nln2

при n = 0,

.х2 1 пТп (у)/ п при п >1

уравнение (17) можно привести к виду

0> iv0 (z) + OgV^^ + +fan i Yn (z) + OgV^Tn (z)"j = F (z); (20)

n =1

здесь (5 g = ycg и

Yo (Z) = Kln2 -* J K3 (Z, p)+ £k2 J Kr (Z, p )-=£

Я-1 Vl - p2 r=1 -1 Ф -

p2

J K3 (Z, p )Щт+ikr2J K r(Z, p ,

n n-i Vl - p2 r=1 -1 Vl - p2

Yи (Z) =

где к = kl2 + k|.

Переходя в интегралах в Yn к переменной интегрирования x, связанной с p соотношением p = cosx, и используя формулу

Tn (х) = cos(narccosx), n = 0,1,...,

получаем

п 2 п

Yo (Z) = Kln2--|Кз (Z,cosx)dx + ¿кг2 JKr (Z,cosx)dx,

0 r=1 0

Yп = к (,со8х)со8(пх)х + Xк2 Г/г((,со8х)со8(их)Х-

п п*1 ,

0 Г=1 о

Результаты и обсуждение

Интегральное уравнение (20) является главным результатом данной работы. Подчеркнем, что все интегралы, входящие в уравнение (20), имеют непрерывные ядра и определены на отрезке от 0 до п, и, таким образом, легко вычисляются при помощи стандартных кубатурных формул, тогда как исходное уравнение (16) содержит несобственные интегралы с логарифмической особенностью, что вызывает некоторые сложности при вычислении.

Приближенное решение интегрального уравнения (20) можно искать, используя классические методы, такие как метод коллокаций (выбирая в качестве узлов коллокации корни многочлена Чебышева первого рода) и метод Галеркина. В данной работе дискретизация и алгоритмизация задачи не рассматриваются.

Подчеркнем, что при выводе уравнения (20) не накладывались никакие ограничения на параметры задачи, в частности проводимость графена а^.

В этом уравнении а^ может быть произвольным комплексным числом или

даже функций продольной пространственной координаты. Более того, проводимость может даже (нелинейно) зависеть от искомой функции. В этом случае для нахождения приближенного решения уравнения необходимо комбинировать метод коллокаций с каким-либо итерационным методом. Все ограничения на значение проводимости графена, как правило, сужают область электромагнитного спектра, в которой получаемые результаты имеют силу. Так, например, в некоторых работах [9, 10] действительная часть проводимости предполагается много меньше (или вовсе не учитывается), чем ее мнимая

часть, что с физической точки зрения верно лишь в терагерцовом диапазоне частот, где графен обладает сильным плазмонным откликом и малыми потерями. Наш подход не обладает таким недостатком и работает на любой частоте электромагнитного излучения.

Заключение

В данной работе исследована задача дифракции монохроматической ТМ-поляризованной волны на двумерном бесконечном слое, одна поверхность которого покрыта графеном, а другая экранирована. Исследуемая задача сведена к одному граничному интегральному уравнению, содержащему интегральные операторы с логарифмической особенностью. Предложен метод, позволяющий вычислить интегралы с логарифмической особенностью аналитически. Поскольку полученное интегральное уравнение более не содержит интегралов с особенностями, то оно легко решается с помощью классических методов, таких как метод коллокаций или метод Галеркина.

В дальнейшем предполагается исследовать разрешимость полученного интегрального уравнения, а также разработать комплекс программ, реализующих численный метод для нахождения приближенного решения данного уравнения.

Список литературы

1. Geim A. K., Novoselov K. S. The rise of graphene // Nat Mater. 2007. Vol. 6. Р. 183191.

2. Castro Neto A. H., Guinea F., Peres N. M. R. [et al.]. The electronic properties of graphene // Rev Mod Phys. 2009. Vol. 81. Р. 109-162.

3. Nair R. R., Blake P., Grigorenko A. N. [et al.]. Fine structure constant defines visual transparency of graphene // Science. 2008. Vol. 320 (5881). Р. 1308-1308.

4. Wang F., Zhang Y., Tian C. [et al.]. Gate-variable optical transitions in graphene // Science. 2008. Vol. 320 (5873). Р. 206-209.

5. Mikhailov S. A., Ziegler K. Nonlinear electromagnetic response of graphene: frequency multiplication and the self-consistent-field effects // Journal of Physics: Condensed Matter. 2008. Vol. 20 (38). Р. 384204.

6. Cheng J. L., Vermeulen N., Sipe J. E. Third order optical nonlinearity of graphene // New Journal of Physics. 2014. Vol. 16 (5). Р. 053014.

7. Liu M., Yin X., Ulin-Avila E. [et al.]. A graphene-based broadband optical modulator // Nature. 2011. Vol. 474. Р. 64-67.

8. Xia F., Mueller T., Lin Ym. [et al.]. Ultrafast graphene photodetector // Nature Nanotechnology. 2009. Vol. 4 (12). Р. 839-843.

9. Gorbach A. V. Nonlinear graphene plasmonics: Amplitude equation for surface plasmons // Phys Rev A. 2013. Vol. 87. Р. 013830.

10. Gorbach A. V., Marini A., Skryabin D. V. Graphene-clad tapered fiber: effective nonlinearity and propagation losses // Opt Lett. 2013. Vol. 38 (24). Р. 5244-5247.

11. Savostianova N. A., Mikhailov S. A. Third harmonic generation from graphene lying on different substrates: optical-phonon resonances and interference effects // Opt Express. 2017. Vol. 25 (4). Р. 3268-3285.

12. Smirnov Y., Tikhov S. The nonlinear eigenvalue problem of electromagnetic wave propagation in a dielectric layer covered with graphene // Photonics. 2023. Vol. 10 (5). Р. 523.

13. Tikhov S., Valovik D. Electromagnetic guided wave in goubau line with graphene covering: TE case // Photonics. 2023. Vol. 10 (11). Р. 1205.

14. Kleinman R. E., Martin P. A. On single integral equations for the transmission problem of acoustics // SIAM Journal on Applied Mathematics. 1988. Vol. 48 (2). Р. 307-325.

15. Saillard M., Maystre D. Scattering from metallic and dielectric rough surfaces // J Opt Soc Am A. 1990. Vol. 7 (6). P. 982-990.

16. Polyanin A. D., Nazaikinskii V. E. Handbook of linear partial differential equations for engineers and scientists. 2nd ed. Chapman and Hall/CRC, 2016.

1. Geim A.K., Novoselov K.S. The rise of graphene. Nat Mater. 2007;6:183-191.

2. Castro Neto A.H., Guinea F., Peres N.M.R. et al. The electronic properties of graphene. Rev Mod Phys. 2009;81:109-162.

3. Nair R.R., Blake P., Grigorenko A.N. et al. Fine structure constant defines visual transparency of graphene. Science. 2008;320(5881):1308-1308.

4. Wang F., Zhang Y., Tian C. et al. Gate-variable optical transitions in graphene. Science. 2008;320(5873):206-209.

5. Mikhailov S.A., Ziegler K. Nonlinear electromagnetic response of graphene: frequency multiplication and the self-consistent-field effects. Journal of Physics: Condensed Matter. 2008;20(38):384204.

6. Cheng J.L., Vermeulen N., Sipe J.E. Third order optical nonlinearity of graphene. New Journal of Physics. 2014;16(5):053014.

7. Liu M., Yin X., Ulin-Avila E. et al. A graphene-based broadband optical modulator. Nature. 2011;474:64-67.

8. Xia F., Mueller T., Lin Ym. et al. Ultrafast graphene photodetector. Nature Nanotechnology. 2009;4(12):839-843.

9. Gorbach A.V. Nonlinear graphene plasmonics: Amplitude equation for surface plasmons. Phys Rev A. 2013;87:013830.

10. Gorbach A.V., Marini A., Skryabin D.V. Graphene-clad tapered fiber: effective nonlinearity and propagation losses. Opt Lett. 2013;38(24):5244-5247.

11. Savostianova N.A., Mikhailov S.A. Third harmonic generation from graphene lying on different substrates: optical-phonon resonances and interference effects. Opt Express. 2017;25(4):3268-3285.

12. Smirnov Y., Tikhov S. The nonlinear eigenvalue problem of electromagnetic wave propagation in a dielectric layer covered with graphene. Photonics. 2023;10(5):523.

13. Tikhov S., Valovik D. Electromagnetic guided wave in goubau line with graphene covering: TE case. Photonics. 2023;10(11):1205.

14. Kleinman R.E., Martin P.A. On single integral equations for the transmission problem of acoustics. SIAM Journal on Applied Mathematics. 1988;48(2):307-325.

15. Saillard M., Maystre D. Scattering from metallic and dielectric rough surfaces. J Opt Soc Am A. 1990;7(6):982-990.

16. Polyanin A.D., Nazaikinskii V.E. Handbook of linear partial differential equations for engineers and scientists. 2nd ed. Chapman and Hall/CRC, 2016.

E-mail: [email protected]

Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов / The author declares no conflicts of interests.

Поступила в редакцию / Received 05.11.2024

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 25.11.2024 Принята к публикации / Accepted 23.12.2024

References

Информация об авторах / Information about the authors

Станислав Вячеславович Тихов

аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

Stanislav V. Tikhov

Postgraduate student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)