Метод ГИУ в краевых задачах трехмерной динамической теории вязкоупругости Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика деформируемого твердого тела Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (4), с. 1569-1570

1569

УДК 539.3

МЕТОД ГИУ В КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ТРЕХМЕРНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ

ТЕОРИИ ВЯЗКОУПРУГОСТИ

© 2011 г. Е.А. Лебедева1, С.Ю. Литвинчук2

'Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского 2НИИ механики Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского

[email protected]

Поступила в редакцию 15.06.2011

Представлены граничные интегральные уравнения и гранично-элементные схемы их решения применительно к динамическим краевым задачам вязкоупругости. Решение организовано в реальном времени. Приведены результаты численных экспериментов.

Ключевые слова: метод граничных элементов, трехмерные задачи динамики, пороупругость.

Рассматривается однородное изотропное вяз-коупругое тело О в трехмерном евклидовом пространстве R с декартовой системой координат Ох1х2х3. Границу тела обозначим через Г. Введем следующие обозначения для параметров материала: р - плотность материала, Х(() и - функции Ламе материала. Динамическое состояние тела О описывается системой дифференциальных уравнений в перемещениях:

ц(0* Аи (х, t) + (Ц0 + + ))*grad u( х, t) = рй( х, 0, (1) где символ «*» означает свертку Стилтьеса по времени t. В уравнениях (1) и(х, 0 — вектор перемещений точки х = (х1; х2, х3) в момент времени t. Физические и геометрические соотношения имеют вид:

Qa =5 iA*s kk + 2y*S«

1

Sj = 2

duj du,

\

+ -

dui du

j

где Cjj, i = 1,3, j = 1,3 - тензоры напряжений и деформаций.

Пусть вектор перемещений и функции Ламе материала удовлетворяют условиям: u( х,0) = u( х,0) = 0, y(t -т) = 0, X(t -т) = 0,

где

t <т , lim yt) = 0, lim X(t) = 0.

t ^0 t ^0

Конкретный вид функций ^(t) и X(t) определяется вязкоупругой моделью материала. Будем рассматривать случай пропорциональных функций памяти, тогда достаточно описать физические соотношения, к примеру, для случая i j:

Qj = 2y*Sj = 2j G (t-T)dSj (t), =1-R(t),

R(t)=K(t)K^-т)K(т)dт +..., J(t) = 1 + K^),

о

где G(t) — функция памяти материала, R(t), К(() — ядра релаксации и ползучести материала.

Кроме того, пусть отношение значения модуля на бесконечности к значению модуля в начальный момент (для регулярных моделей) определяется параметром ^ = G(^)/G(0).

Применим к исходным уравнениям интегральное преобразование Лапласа:

да

/ (я) = | / (t)e "

о

где я — параметр преобразования Лапласа.

В качестве метода решения будем использовать метод граничных интегральных уравнений (ГИУ) [1], в основе которого лежит сведение краевой задачи для дифференциального уравнения движения к интегральному уравнению относительно граничных функций.

Вектор перемещений во внутренних точках области связан с граничными значениями перемещений и усилий:

й1 (х, я) = | и у. (х, (у, я ^уБ-

j Tj (х, y, s)uj (y, s)dyS,

l = 1, 2, 3, х efi.

(3)

Здесь и. и Ту — соответственно компоненты тензоров фундаментальных и сингулярных решений уравнения (1).

Формула (3) дает следующее ГИУ:

Су (х)й] (х, я) +1Ту (х, у, я)й} (у, я^уБ =

1570

Е.А. Лебедева, С.Ю. Литвинчук

= f Uy (х - y, s )tj (y, s)dyS, г

l = 1,2, 3, х еГ. (4)

Интеграл в левой части (4) является сингулярным, т.е. понимается в смысле главного значения по Коши, а Су (х) — известный коэффициент при внеинтегральном члене. Если в точке х поверхность имеет единственную касательную плоскость, то Су (х) = 61у-/2. ГИУ (4) позволяет разработать эффективную численную методику для определения неизвестных амплитуд граничных перемещений и поверхностных сил. Решением исходной начально-краевой задачи будет вектор-функция м(х, t), полученная путем применения к решению (3), (4) обратного преобразования Лапласа:

f (t) = — f f (s)eistds. (5)

а—

Для численного обращения (5) будем использовать алгоритм, предложенный Дурбином [1], а также метод квадратур сверток [2].

Результаты численных экспериментов представляют собой решение ряда задач модельного и прикладного назначения, среди которых следующие: задача о действии ударной силы на торец призматического тела с жестко закрепленным концом; задача о действии вертикальной силы на поверхность вязкоупругого полупространства; задача о действии вертикальной силы на поверхность полупространства с полостью; задача о реакции защитного корпуса атомной станции теплоснабжения на действие ударной силы.

При решении задачи о действии силы P(t) = = P0(H(t) — H(t — 0.0085)), где P0 = 1 Н/м2 на поверхность вязкоупругого полупространства с параметрами материала: E = 1.38 108 Н/м2; v = 0.35; р = 1966 кг/м3 (cj = 335.64 м/с; c2 = 161.24 м/с, cR = 150.5 м/с) в качестве точки наблюдения выбиралась точка (2.3333; 2.3333; 0).

На рис. 1 приведены численные результаты для модели Кельвина—Фойгта (X(^) = X, Ц(^) = = ц) при разных значениях параметра вязкости (кривая 1 соответствует упругому случаю, кривая 2 — случаю ß = 100; 3 — ß = 1; 4 — ß = 0.1; 5 — ß = 0.01).

1 s

4 Vi ....

0 г.; О.ой 0.07 ' 1Л

" о Ii >1 с :j: i; >; :i '-I

I. О Рис. 1

На рис. 2 приведены численные результаты для модели стандартного вязкоупругого тела при разных (ц(^) = Ц, X(^) = X, X(^)/X(0) = = ц(^)/ц(0) = 0.0625) значениях параметра вязкости у (кривая 1 соответствует упругому случаю, кривая 2 — у = 100; 3 — Y = 1; 4 — Y = 0.1; 5 — Y = = 0.01).

Рис. 2

Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (ГК №2222), при поддержке РФФИ (проект №10-08-01017-а) и гранта Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ НШ-4807.2010.8.

Список литературы

1. Баженов В.Г., Игумнов Л.А. Методы граничных интегральных уравнений и граничных элементов в решении задач трехмерной динамической теории упругости с сопряженными полями. М.: Физматлит, 2008. 352 с.

2. Schanz M. Wave propogation in viscoelastic and poroelastic continua. Berlin: Springer, 2001. 170 p.

THE BIE METHOD IN BOUNDARY-VALUE PROBLEMS OF 3D DYNAMIC VISCOELASTICITY

E.A. Lebedeva, S. Yu. Litvinchyk

Boundary integral equations and boundary-element schemes for analyzing them as applied to dynamic boundary-value problems of viscoelasticity are presented. The analysis is arranged in real time. The numerical experiments are presented.

Keywords: boundary elements method, 3D dynamic problems, porous elasticity.