Метод функций Грина в математических моделях для двухточечных краевых задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

Метод функций Грина в математических моделях для двухточечных краевых задач

Дикарева Е.В.

Воронежский институт МВД России Ь,е1^епкгеи2@^аИ. сот

Аннотация. Во многих прикладных задачах, в которых рассматриваются вопросы синтеза и анализа автоматизированных систем, в задачах управления и оптимизации, теории систем используются математические модели, основанные на применении дифференциальных уравнений высокого порядка. Исследование таких моделей проводится методом функций Грина или их аналогов.

Ключевые слова: двухточечные краевые задачи, функции Грина, теория графов.

1 Функция Грина для двухточечных краевых задач

Во многих прикладных задачах, в которых рассматриваются вопросы синтеза и анализа автоматизированных систем, в задачах управления и оптимизации, теории систем используются математические модели, основанные на применении дифференциальных уравнений высокого порядка. Исследование таких моделей проводится методом функций Грина или их аналогов, см. [Покорный и др. 1997,2003, 2004; Кулаев 2013].

В работе сначала излагаются общие результаты о существовании и построении функции Грина в неклассической ситуации для многоточечных краевых задач. Затем рассматривается краевая двухточечная задача для системы дифференциальных уравнений четвёртого порядка, имеющая прикладное значение. Для этой задачи устанавливается существование функции Грина и выводятся её основные свойства.

Сначала рассмотрим классический случай двухточечной задачи, изложив схему построения и анализа функции Грина. Пусть на [а; Ь] с Ж1 задана двухточечная краевая задача, определяемая линейным дифференциальным уравнением

р0(х)у(п) + р± (х}у(й_1) + — + рп(х)у = /С» (1)

с непрерывными коэффициентами и ж краевыми условиями

1>{У) = Щ (2)

с функционалами 1} (у) вида

т = £?=1 щу^'Ча)+>'а_1)ао. (з)

Теорема 1. Для того чтобы краевая задача (1)-(2) была однозначно разрешимой для любой правой части/(х) и любого набора значений^ необходимо и достаточно, чтобы однородная задача/(г) = О, = 0 имела только тривиальное решение.

Приведённая теорема делает полезным следующее определение.

Определение 1. Задачу (1)-(2) назовем невырожденной, если соответствующая однородная задача имеет только тривиальное решение.

Для простоты фундаментальную систему решений мы будем выбирать так, чтобы она оказалась биортогональной набору функционалов Ц (.) (это по существу просто смена базиса в конечномерном пространстве). Эта система будет ниже обозначаться через {^¿(х)], так что Ц = Зц (6ц - символ Кронекера). Тогда решение краевой задачи выписывается явно:

уоо = ЬоО) - т}ш]+1-=1 (». (5)

Далее мы будем рассматривать только однородные условия

1,-00 = 0. (6)

Определение 2. Функцией Грина задачи (1)-(2) будем называть любую функцию С (х,^), позволяющую полнить решение задачи (1)-(6) в виде интеграла

у(х) = \ ° о (х, , (7)

Теорема 2. Для любой невырожденной задачи (1)-(6) функция Грина существует.

Доказательство состоит попросту в выражении у0 в формуле (5) через /(х). Это можно сделать, например, с помощью функции Коши

% (а) 2 >1

К(х,Б)

...¿" »(В)

(8)

% ••• ^п'ЧА)

— определитель Вронского фикций(х)!...,гп(х}) в виде

у0(х) = ¡*К(х,*КШз. (9)

Приведём фигурирующий здесь интеграл с переменным верхним пределом к интегралу с постоянными пределами вида (7), для этого представим (9) в виде

Уо СО = / Со Ос,

(10)

где обозначено

£0(х, 5} = з), а < 5 < х < Ь, 0, а < х < 5 < Ь.

(П)

На диагонали х = я, очевидно, = 0, поэтому включение значения

х = 5 и в ту, и в другую строку не приводит к противоречиям. Подставляя (10) в (6), получаем

У00 = 1^0 О; - Х?=1 Щ (Щ(1 (Х> (12)

так что вопрос о представимости у(х) в форме (7) упирается только в возможность перестановки функционалов 1} под знаком интеграла. Вообще говоря, такая перестановочность имеет место в силу известных свойств функции Коши: так как з) = 0 при 1 = 0,...,ж— 2, то из (9) следует

уР(Х) =

ж.

(1 = 0;,..,Ж—2),

и потому для функционала 1(у) вида (3)

т = I

г п

1=1

f(s)ds.

Обозначая здесь сумму в квадратных скобках через (для ^

соответственно через ^ (V)), получаем из (12)

п

у(х) = J С0(х, (»

/=1

f(s)ds,

что не только доказывает теорему, но и предъявляет С (х, я) явно:

'¿=1 I

1 к^л

(13)

или, в более «классической» форме,

1 — ы=

1=1

3! ^ Б ^ X

< х < х < Ь,

Следствие 1. ф^з) непрерывны на [а,й]. Действительно, если обозначить через

" те

1*00 =

1=1

составляющую функционала (3), сосредоточенную в точке Ь, то получим

K(x,s)

p0(_s)W(s)

if Ы ■■■ (f

(15)

Следствие 2. G{xfs") непрерывна вместе со своими производными по х до порядка та в каждом треугольнике а < i < s < Ь и а < 5 < х < Ъ вплоть до границы. Действительно, этим свойством обладает как сумма E"=izi так и (см. (8)) функция К(х, л).

Следствие 3. Непрерывная функция G(x,s), дающая представление решения в виде (7), единственна.

Следствие 4. Для любого фиксированного s £ (at b)

(О, i <¡ п — 2,

_JL_ ; _ „ _ у (16)

11 ft ¿i.

FoVO

В самом деле, из (15) следует, что разность (16) совпадает с s),

которая как раз равна правой части (7).

Следствие 5. Для любого фиксированного s ё (а, Ь) и любого lj(y) из условий (3), lj(G(x,$)) = 0.

Действительно, lj(G(x, s)) = lj(G0(x,s)) - ipj(s), а

ti ti те

lj(Co(x,z)) = ^ a{G%x\ats) + =

i=l ¿=1 ¿=1 = í/'/í».

Следствие 6. Для любого фиксированного s Е (at h) функция^ (x, s) является решением однородного уравнения (1) на [a, s] и на [s, Ь].

Теорема 3. Если двухточечная задача (1)-(2) невырождена, то функция G(x,s), определяемая для каждого фиксированного^ £ (а, Ь) условиями:

(а) она является решением однородного уравнения на [а, 5] и на

MJ;

(б) при х = s она удовлетворяет условиям

{ 0, i < п — 2,

G®(s+0,s)-G©O-0,s)=|j_ =

Ueo

(в) она удовлетворяет краевым условиям l¡ G (., s) = 0; существует и единственна.

Доказательство по существу алгебраическое: из условия (а) следует

п( ') = { + "" + ггА&ХпЬХа < 5 < х < Ь,

' ' '" \-(21(х)ф1(з) + — + 2п(х)4>.Г1(з))1а < X < 5 < Ь. Из условия (б) следует, что х^з) + ^¡(з) удовлетворяют системе г Л г л (0,0<; <п-2,

ЮЬпС*) + ^1(5)] + -^¡гООЬгпОО + = | = п _ 2;

откуда немедленно следует, что

¿PoOkiOO + +.....+ =

и поэтому

п

5) = 6'0(х, 5-) - ^ 2; (»^¡О), е=1

И, наконец, условие (в) (в предположении, что изначально была выбрана такая фундаментальная система решений, что Ц ) = ) немедленно дает

2 Функция Грина для двухточечной краевой задачи, описывающей систему струн или стержней на графе.

Теперь рассмотрим конкретную прикладную задачу, возникающую при исследовании механических деформаций стержней или струн [Покорный и др, 2003], аналогичные задачи возникают для дифференциальных уравнений на графах [Покорный и др, 2004].

На промежутке [0,/] рассматриваются дифференциальные уравнения

feu"?}' = ff(x), ХФЪ (1)

-СР?Н?Г = f?(x), хФ^ (2)

Первое из них возникает при описании поперечных деформаций классического стержня, а второе— обычной струны (или продольных деформаций стержня). В точке % (где, естественно, 0 <%< 1) оба уравнения выключаются, так что фактически (1)-(2)— это система четырёх уравнений. Однако нас интересуют лишь решения, непрерывно склеенные в точке х= %, что значит 0) = + 0),и2(|- 0) = и2(|+ 0).

Более того, в этой точке непрерывно склеены и решения разностных уравнений, т. е.

ui(ç±0) = u2a±0). (з)

В этой же точке мы предполагаем выполненным условие взаимодействия (трансмиссии)

аСР1<УШ + б(р2и^у© = о, (4)

где через бф(|) обозначается скачок ф в точке т. е.

бфШ = Ф(?+0)-ф(5-0).

Допуская у %(х) потерю гладкости в точке %, мы предполагаем при

этом

ср"Н"Т) с? - о) = СРГИ'Т) е + о). (5)

Последнее условие соответствует тому, что в точке х = % его излома оба его куска шарнирно скреплены (склёпаны). Если на концах х = 0,х = 1 отрезка поставить стандартные условия закрепления, т. е.

%(£)) = и1(0) = 0, ^0) = иЮ) = 0, и2(0) = 4(1} = 0, (6)

то мы сможем смотреть на систему (1) - (6) как на краевую задачу, моделирующую, например, деформации большого канатного моста. При ¿з = 0 второе уравнение (2) вместе с условиями (3), (4) заменяются, как несложно проверить, условием

§Ср?п'Т)'Ш + У%© = 0, у > о,

что вместе с (5) приводит (1) к модели двухзвенной цепочки стержней с упругой опорой в месте стыка (х = %). В нашей ситуации можно говорить о задаче на графе типа креста, на двух рёбрах которого задано уравнение типа (1), а на двух остальных — типа (2).

Можно считать, что ^ и есть обобщённые производные (4 = 4 = ) от функций ограниченной вариации. Физичность условий требует предположения 4 (<[} = что в случае скачков ¥г и ¥2 в

точке % означает совпадение атомов меры или — физически — общую для обеих функций щ, и2 сосредоточенную силу.

Задача (1) - (6) рассматривается в классе достаточно гладких (при х Ф <0 функций и(х) = {щ(ж),щ(х)) на [О, 1]. Далее во всех формулировках и условиях мы предполагаем, что х Ф \ без дополнительных оговорок. Всюду далее считаем, что Р1О) и р2(-} сильно положительны.

Теорема 1. Для любых из ВУ[0,1] задача (1) - (6) однозначно

разрешима (при = и = ¥'2).

Теорема 2. Пусть F1 и F2 — первообразные функций f± uf2. Тогда для любых неубывающих FlfF2 при наличии хотя бы одной точки роста Ft или F2 решение u(x) = {ui(x),u2Cx)} строго положительно в (0J), т. е. %(х) > Q и и2 (х) > 0 на (ОД). Более того, для любых двух "неотрицательных" пар [fv f2} соответствующие им решения и(х) = {и^х^ьСх}} и v(x) = (v-^x), v2(x)} соизмеримы по конусу неотрицательных функций в C[Q, i] X С [О, 1],т. е.

< СО при i = 1,2,

Последнее свойство означает усиленную положительную обратимость задачи (1) - (6). Более сильно это свойство можно описать так. Пусть К — конус неотрицательных функций в пространстве С [О, Z] X С [0,1\. Пусть А— обратный к задаче (1) - (6) оператор. Стандартным способом проверяется, что он имеет интегральный вид

(АР)'(х) = /^(х,*) сШ», (7)

где 0(х, 5)— двумерная матрица-функция Грина. Определяемый этой функцией интегральный оператор действует в Е = С [О, I] X С [О, I] и сильно положителен на конусе К.

Теперь рассмотрим вместо (1), (2) уравнения

СР1V)" = , - (р2и2у = Л.м"'и2, (8)

где М1( М2 — неубывающие функции, определяющие распределение масс соответственно на стержне и струне. Следующая теорема устанавливается на основе описанного свойства оператора в теореме 2.

Теорема 3. Пусть одна из функций (х), М2(х) имеет хотя бы одну точку роста (т. е. отлична от константы). Тогда минимальное по модулю собственное значение задачи (8) при условиях (3)-(б) является строго положительным и простым (корневое пространство одномерно), лю,ая другая точка "А спектра удовлетворяет неравенству |Л| > Л0. Соответствующая А0 собственная функция имеет обе строго

положительные (на (О, I)) компоненты.

Задача (1) - (6) оказывается самосопряжённой в естественном смысле, её функция-матрица Грина — симметричным положительным ядром. Поэтому весь спектр задачи (3)-(6), (8) состоит из вещественных положительных чисел. По всей видимости, все они простые, а соответствующие им собственные функции имеют (как в классической теории Штурма-Лиувилля) количество перемен знака, совпадающее с

номером соответствующего собственного значения (в естественной иерархии). Однако даже набор слов "число перемен знака", очевидный для скалярных функций, допускает разные толкования для вектор-функций, и потому описание осцилляционных свойств собственных функций в рассматриваемом случае пока не получено.

Функция-матрица Грина С(х, з) задачи (1) - (6) допускает стандартное задание через фундаментальную систему решений однородного "уравнения"

СРЦ1/')" = 0, (р2и2у=0, (9)

где, аналогично взглядам теории уравнений на графах [Покорный и др, 2004], условия (3) - (5) удобно отнести к определению решения и, более того, к толкованию обобщённого уравнения (9) в точке д = Функция 0(х,з) оказывается непрерывной на [ОД] X [0,1] и строго положительна (по каждой координате) внутри этого квадрата. Следует отметить, что даже непрерывность здесь — весьма непросто проверяемое свойство. Трудности сосредоточены в окрестности прямой з = %. Подобные трудности нетривиальны даже для скалярных задач с внутренними особенностями.

Для вектор-функции символ "<" означает у нас синхронное выполнение по обеим компонентам аналогичного скалярного неравенства.

Теорема 4. Существует строго положительная функция (р(х)(= {ч|> (х), <р2 (х)У такая, что ф(я}С(т,£) < С(х,я) при всех х/ т, 5. из

[о,ч.

Следствием этого факта для оператора (7) является неравенство Ф(х)тах1 (Аг)(г) < (Аг)(х) для любой т(х) > 0, где неравенства (и максиму) понимаются в синхронно-двухкомпонентном плане. Отсюда следует аналог классического свойства Харнака: для любого нетривиального решения и(х) (= (х), и2 (х)}) неравенств

Ср^ГГ >0, - Ср2и2')' > о

при условиях (3) - (6) имеет место ф(х) тахги(т) < нерассмотренная задача и метод её решения на основе использования функций Грина могут оказаться полезными также при рассмотрении двухточечных условий третьего рода [Найдюк и др., 2005], исследовании ядер операторов преобразования [Ситник, 1991, 2008а, 2008Ь, 2010; Зкшк, 2013], применении дифференциальных методов в теории сигналов [Киселев и др., 2014; Минин и др., 2009; Ситник & Тимашов, 2013, 2014; 21шгау1еу е1 а1, 2011] и задачах локализации относительно области в компьютерной графике [Недошивина & Ситник, 2013].

Список литературы

[Киселёв и др., 2014] Киселев Е.А., Минин Л.А., Новиков И.Я., Ситник С.М. О константах Рисса для некоторых систем целочисленных сдвигов // Математические заметки.- 2014.- Т. 96, вып. 2.- С. 239-250.

[Кулаев, 2013] Кунаев Р.Ч. О знаке функции Грина краевой задачи на графе для уравнения четвертого порядка // Владикавк. матем. журн.- 2013.- Т. 15, № 4.-С. 19-29.

[Минин и др., 2009] Минин JI.A., Ситник С.М., Журавлев М.В. О вычислительных особенностях интерполяции с помощью целочисленных сдвигов гауссовых функций // Научные ведомости Белгородского государственного университета.- 2009.- № 13 (68), Выпуск 17/2. -С. 89-99.

[Найдюк и др., 2005] Найдюк Ф.О., Прядиев В.Л., Ситник С.М. Описание профилей прямой и обратной волн для волнового уравнения на отрезке с краевыми условиями первого или второго рода - на одном конце и третьего рода или присоединённой массы -на другом // Чернозёмный альманах научных исследований. Серия: "Фундаментальная математика".- 2005.- № 1 (1).- С. 53-68.

[Недошивина и др., 2013] Недошивина А.И., Ситник С.М. Приложения геометрических алгоритмов локализации точки на плоскости к моделированию и сжатию информации в задачах видеонаблюдений // Вестник Воронежского государственного технического университета.- 2013.- Том 9, № 4.- С. 108-111.

[Покорный и др., 2004] Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев B.JL, Боровских A.B., Лазарев К.П., Шабров С.А. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. М.: Физматлит, 2004.

[Покорный и др., 1997] Покорный Ю.В., Мустафокулов Р.О. О позитивной обратимости некоторых краевых задач для уравнения четвертого порядка // Дифференциальные уравнения.-1997.- Т. 33, № 10..- С. 1358-1365.

[Покорный и др., 2003] Покорный Ю.В., Белоглазова Т.В., Дикарева Е.В., Перловская Т.В. О функции Грина для локально взаимодействующей системы обыкновенных уравнений разного порядка // Матем. заметки.- 2003.- Т. 74, № 1.-С. 146-148.

[Ситник, 1991] Ситник С.М. Факторизация и оценки норм в весовых лебеговых пространствах операторов Бушмана-Эрдейи // Доклады Академии Наук СССР.-1991.- Т. 320, № 6.- С. 1326-1330.

[Ситник, 2008а] Ситник С.М. Операторы преобразования и их приложения // Исследования по современному анализу и математическому моделированию. Отв. ред. Коробейник Ю.Ф., Кусраев А.Г.- 2008.- Владикавказ: Владикавказский научный центр РАН и РСО-А.- С. 226-293.

[Ситник, 2008b] Ситник С.М. Метод факторизации операторов преобразования в теории дифференциальных уравнений // Вестник Самарского Государственного Университета (СамГУ) - Естественнонаучная серия.- 2008.- № 8/1 (67).- С. 237-248.

[Ситник, 2010] Ситник С.М. Решение задачи об унитарном обобщении операторов преобразования Сонина—Пуассона // Научные ведомости Белгородского государственного университета.- 2010.- № 5 (76), Выпуск 18.- С. 135-153.

[Ситник и др., 2013] Ситник С.М., Тимашов A.C. Расчёт конечномерной математической модели в задаче квадратичной экспоненциальной интерполяции // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика, Физика,- 2013,- №19 (162), Вып. 32,- С. 184-186.

[Ситник и др., 2014] Ситник С.М., Тимашов А.С. Метод конечномерных приближений в задачах квадратичной экспоненциальной интерполяции сигналов // Вестник Воронежского института МВД России.- 2014.- № 2.- С. 163-171.

[Sitnik, 2013] Sitnik S.M. Buschman-Erdelyi transmutations, classification and applications // In the Book: Analytic Methods Of Analysis And Differential Equations: AMADE 2012. (Edited by M.V.Dubatovskaya, S.V.Rogosin).- 2013.- Cambridge Scientific Publishers.- P. 171-201.

[Zhuravlev et al, 2011] Zhuravlev M.V., Kiselev E. A., Minin L. A., S. M. Sitnik. Jacobi theta-functions and systems of integral shifts of Gaussian functions // Journal of Mathematical Sciences, Springer.- 2011, Vol. 173, № 2. - pp. 231-241.